研究問題察覺與分析

研究者擔任研究對象的數學科老師，教學過程中，透過平日的口語互動、訪 談、書面作業、試卷的資料，觀察到許多值得注意的相關問題，並蒐集學生數學 上的錯誤文件，進行分析，發現學生在題意理解上容易產生問題。在題意理解歷 程中，學生須具備語言知識和事實知識，將數學問題進行初步的轉譯(問題轉譯)，

並活化數學基模知識，利用基模知識處理辨認問題類型，對訊息做出判斷，並找 出解題所需要的資料，整合成一致的表徵模式(問題整合)。研究者將學生的問題 與題意理解的歷程進行對照分析，歸納出問題如下:

一、在問題轉譯方面

學生問題轉譯產生困難，源自於語言知識和事實知識的不足，此又可從詞彙 以及句子的語意來分析，分為學生詞彙知識不足或誤解、語意理解模糊不清，無 法將前後句子轉譯成一致性文意，造成題意理解困難。

(一)學生詞彙知識不足或誤解

學生遇到數學文字題不懂的詞彙，會自動忽略或自行臆測，對於詞彙的字義 常產生誤解。在文獻探討中，秦麗花（2007）將數學中的詞彙分為一般詞彙、專 門詞彙、特殊詞彙、代詞、一般詞彙在數學中的特定意義等。以下將學生誤解的

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詞彙依此分類做說明

在一般詞彙方面，學生不理解某些詞彙而將兩個相對詞意混淆，如認為「打 破雞蛋」是指「又買了雞蛋」、「剩下的蛋」是指「破掉的蛋」、「年輕」認為就是

「年紀大」；不理解同義詞，如「年紀」與「歲」無法連結；無法明白數量未知詞，

如「多少」、「幾條」等語詞以及「最接近」等語彙。

在特殊詞彙方面，學生不理解「各買一個」、「兩天共要」、「比...多...元」、「每 個」等詞彙的語意。

在代詞方面，不理解「甲數和乙數」、「哪一個」、「他」的代替集合。

一般詞彙在數學中的特定意義，如「便宜」一詞，雖是一般生活中的詞彙，

但運用在數學文字題中，卻有「差量」的特殊意義，學生不理解「便宜」有「差 量」的意義，會自動忽略。

(二)語意理解模糊不清，無法將前後句子轉譯成一致性文意

學生在題目語意上，由於理解不清晰，無法重述問題的已知條件，表現出如 下的行為:

整題題意不懂，無法從上下文推論題目的意思，就自行臆測，隨意拼湊數字 計算，有的甚至放棄做答，如「盤子裡有 74 顆糖果，吃了 36 顆，奶奶又放入 55 顆，盤子裡現在有幾顆糖果? 」，學生的算式記為「36＋55＝91，91－74＝17」，

訪談時，學生回答：「這樣比較好算」。

遇到題目中不理解之處，自動忽略，只選擇瞭解的文字部分訊息解題，如「12、

71、21、50 四個數中，哪兩個數相加最接近 80？」學生不明白「相加」的意思，

於是自動忽略，只以部分訊息「哪兩個數最接近 80」作答，答案是「71、50」。

忽略關係句中的關係，當作指定句看待，如「哥哥比弟弟多 5 元」(關係句)，

學生忽略關係的陳述，認為「哥哥只有 5 元」(指定句)。

把單位數當作單位量運算，如「一杯咖啡賣 35 元，阿姨買了 3 杯，一共要付

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幾元？」，學生列式為「35＋3＝38」。

對於解題的目標也常有誤解或不明白解題的要求，有時忽略解題目標的提問 及單位，如「一條手帕 39 元，一包面紙 12 元，買一條手帕和 2 包面紙，一共要 多少元？」學生記為「39＋12＝51，51＋51＝102」。

以上種種現象顯現學生在題目語意上的理解是模糊的，將前後句子轉譯成一 致性文意是有困難的。

二、在問題整合方面

數學問題的整合，學生須運用數學基模知識，利用基模知識辨認問題，對訊 息做出判斷，並找出解題所需要的資料，整合成一致的表徵模式。題意理解困難 的學生，數學基模知識明顯不足或錯誤、無法對問題中的有關訊息、無關訊息做 判斷，對題目中隱藏卻是解題所需的資料無法找出，也無法判斷問題中的關鍵問 題，形成一致性的表徵模式。

(一)問題基模知識不足或錯誤

從和學生的作業及口語對話中，發現有部分的學生缺乏「部分—整體」的基 模，在改變類起始量未知、合併類部分量未知題型容易出現理解錯誤，而在比較 類參考量未知、被比較量未知題型，有更多的學生誤解或無法理解這一類型的題 目，於是以關鍵字解題，看到「多」，就用「加法」，看到「少」，就用「減法」， 學生直接選取關鍵字和數字來組合，形成後續的解題計畫，未理解兩個集合之間 的關係，雖然有時會解題正確，但對於題意中的關係是不理解的。尤其是比較問 題中的不一致性問題，題目中出現「多」，卻不是使用「加法」，而是運用「減法」， 須將關係詞逆轉，逆向的思考增加題意理解的困難度，如「服裝店進貨了 100 件 上衣和一些裙子，只知道上衣比裙子多進了 50 件，請問服裝店進貨了幾件裙子?」

因為題目中提到「上衣比裙子多」，由於解題目標問裙子的數量，因此學生須將敘

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述逆轉成「裙子比上衣少」，使用「減法」，但 42%學生仍多以關鍵字進行解題，

使用的是「加法」策略。顯示學生「部分—整體」的基模可能只能單向操作，尚 無法逆向思考推論。

另外學生也會使用表面的問題結構歸納問題，而使用錯誤的問題基模，如「爸 爸有 82 元，花掉 33 元，剩下幾元？」和「爸爸有一些錢，花掉 82 元，剩下 33 元，爸爸原來有幾元？」從訪談中發現，學生認為這是花錢的問題，所以應該都 用減法。因此問題基模知識的不足或錯誤都將導致題意理解錯誤。

(二)無法辨別有關訊息及無關訊息

當題目出現多餘訊息時，有部分學生未進行訊息的區辨，直接採用所有數字 進行運算，認為題目中出現的數字都需運算，未正確轉譯題意，導致辨別有關訊 息及無關訊息有困難。如「阿姨到超商買水果，蘋果 1 袋 59 元，橘子 1 袋 49 元，

柳丁 1 袋 39 元，阿姨買了橘子 2 袋，花了幾元?」有 33%的學生如此的列式；

59+49+39；又如「明明身上有 60 元，買筆記本花了 26 元，買筆心花了 25 元，

請問明明全部花了幾元?」，有 42 %學生運用題目給的所有數字運算。以上都顯示 學生未對訊息做辨別。

(三)以題目中出現的數字運算，忽略隱藏的訊息

學生以直接轉譯的模式來表徵題意，以題目中現有的數字和關鍵字作為解題 計畫的依據，但當題目中有隱藏的訊息時，就容易誤解題意，無法進行推論，如

「媽媽有 7 雙鞋，一共是幾隻鞋子? 」題目未明列出 1 雙鞋有 2 隻，學生須從現 實生活中去推論特定數量的集合，但 26%的學生只以題目中出現的數字運算（如：

7+7+7+7+7+7+7），導致錯誤解題，故對於題目的轉譯中，應引導學生以問題模式 轉譯，建構以問題為中心的表徵模式。

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(四)非例行性問題中，無法找出關鍵訊息，整合成一致性表徵模式

學生習慣數學教材中的例行性題目的解題，對於非例行性問題，如「小美在 放學回家途中看到紅豆餅 1 個 8 元，他身上有 30 元，小美最多可以買幾個紅豆餅?」

學生雖看懂個別的句子，但無法整合問題，不知所措，即使題目符合學生的生活 經驗，但題型非如一般數學課本的例行性題型，可有多種不同的策略或解法，90%

的學生根據題意，無法從複雜題目中找出關鍵訊息，整合形成一致性的表徵模式。