關係釐清階段

研究者觀察學生在合併類及改變類問題的理解上，經常受到題目中語意的影 響或情境因素而選用錯誤的運算符號，如題目中有「再來、放入、給了……」等，

就選用加法；「用去、花掉、破了……」等，選用減法，這樣在子集合未知題型及 起始量未知題型就容易出現錯誤。而在比較問題上，學生對於比較問題中的關係 無法正確轉譯，常受到關鍵字（多，少）的影響來選擇運算符號，導致不一致型 問題錯誤偏多，也形成錯誤的理解。因此如何引導學生正確的表徵題意，是本階 段行動的重點。

在文獻探討中發現提供或教導學生使用圖示，對學生的數學表現是有幫助的。

林美惠（1997）以國小二年級學生為對象的研究中更指出圖畫題有利於讀題、分 析、探索，且解題程序順暢，而低數學能力的學生組，圖畫題的解題表現優於短 語題與文字題。題意理解的困難常發生於低成就學生身上，如果能指導學生試著 將文字題轉換成圖示，不僅將問題轉譯，也對問題的訊息做了整合，這就是題意 理解能力的展現。

然而圖示有一般圖示、線段圖、基模圖示等不同的形式，到底怎樣的圖示更 有助於理解呢?研究者應該提供怎樣的指導對學生最適切?雖然二年級學生的整數 概念發展有部分已進入「部分－整體」運思，但大多數仍是處於累進合成運思。

因此，研究者從提供鷹架協助學生進入「部分－整體運思」來思考行動方向，希 望促使兒童能力及表現往上提升。涂金堂、林佳蓉（2000）也提出具有「部分─

全體」的基模知識者，應該知道全體是兩個部分的合成，分解全體可重新獲得部 分。這更加給研究者一個明確的方向，在合併類及改變類問題中，引導學生去分 辨「部分」、「全體」的關係，並運用陳麗帆（2011）研究中使用的基模圖示，試 著先指導學生將文字題轉為關係圖示，再以此去判斷正確的運算。

而相較於改變類及合併類來說，比較類問題是較困難的題型，研究者一直在

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思考應該從何處著手，讓學生能釐清比較問題中的關係。文獻中提及 Fuson、Carroll 及 Landis(1996)認為比較情境之所以困難是因為它們關係到第三個數量，而這個 數量並非獨立存在於問題情境中，必須要透過比較運思才能獲得。而 Riley、Greeno 和 Heller（1983）也指出兒童問題基模的發展應先透過實務的操作協助，形成具 體的外在表徵，來理解題目中的數量；其次才能形成內在的心理表徵來彰顯問題 中各數量的關係。

因此，研究者擬定比較類問題的行動重點如下：先運用具體物操作，讓學生 進行具體物的實際比較，透過比較運思出差異量，而理解差異量是內嵌於比較量 或參照量中。之後移除具體物，改以加入翁嘉英（1988）和葉雪梅（1990）所提 出的「關係子題」的提示來辨別關係，接著引入圖示表徵。研究者修改 Fuson 和 Willis（1989）的比較類基模圖，循序漸進地引導學生釐清比較問題中的關係。本 階段的教學流程圖及教學流程的分析表，如圖 4-2 和表 4-3 所示。

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圖 4-2 第二階段的教學流程圖

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一、教學活動歷程

本階段將引導學生分辨合併類、改變類問題的「部分—整體」關係，以及辨 別比較類問題中的關係，共分為兩個單元，分別是改變類及合併類問題的以圖表 意」，以及比較類問題的「關係句大進擊」。其教學活動歷程如下:

(一)合併類、改變類的關係圖示

1. 由學生的圖示導入「部分」「整體」的概念

班上學生在合併類的子集合未知及改變類的起始量未知容易出現錯誤，原因 是受到題目中語意脈絡的影響而選用錯誤的運算符號，從文獻探討中得知提供或 教導學生使用關係圖示，學生能從圖示中正確理解語意，能協助學生分析問題。

因此在理解合併類及改變類問題上，研究者先讓學生依題意自行繪製圖示，之後 再引導至「部分—整體」關係圖示。

研究者尚未進行教學前，先以學生熟悉的改變類結果量未知問題布題，請學 生依循「看問讀問記」步驟做標記，之後將題目轉換為圖示。在未經提 示的情況之下，部分學生可以將題意完整的轉換成圖示，有部分學生則只是轉譯 數字、集合，關係則不清楚。研究者的省思札記這樣寫著:

剛開始上課時，佈改變類結果量未知問題請學生將題目轉換為圖示，並未給予任何 提示，孩子很開心的畫圖，展示時發現孩子的圖示大概分為兩部分，其中一部分將 改變的過程畫出來了，另一部份則只是畫出數字對應的圖示，而數字之間的關係並 未呈現，這一階段的目標應要讓學生將語意轉換成圖示時，能呈現關係才是。

（省 1020521）

課堂後再次整理學生的圖示，結果發現：有 6 位學生（30%）把起始量和改變 量的關係畫出來了(以例 4-29 中 S19 為例)；有 13 位（65%）只是把題目中的數字 以錢幣代替，畫出數字對應的錢幣，圖示中看不出原有的金額和花掉的金額之間 的關係(以例 4-29 中 S2 為例)；另外有一位學生（5%）則直接抄題，並未畫出圖 示(如例 4-29 中 S7 的圖示)。

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例 4-29

題目：我有 55 元，買早餐花掉 23 元，我還剩下幾元?

作 1020521-S19 畫出起始量和改變量的關係

作 1020521-S2 只畫出數字對應的錢幣表徵

作 1020521-S7 直接抄題

研究者為了讓學生理解「關係」的意思，先以人與人之間的關係為例加以說 明，如母子或同學之間具有特定的關係，和陌生人之間就缺乏關係，讓學生試著 先明白「關係」這個詞彙的意思，學生才能去判斷圖示中集合或數字彼此的關係。

研究者也發現，學生初步針對問題所做的關係判斷，是針對問題表面結構上的判 斷，如「都跟錢有關係（錄 1020521-S5）」、「買了東西的錢（錄 1020521-S6）」、「數學關 係（錄 1020521-S3）」等。在討論過程中，也有學生能察覺到有些圖示未表現出關 係，以例 4-29 中 S2 的圖示為例，S11 認為 S2 的圖示「沒有關係，只有畫『我有』

和『花了』的錢（錄 1020521-S11）」，其他學生進一步補充說明「錢都分開了，沒有碰 在一起（錄 1020521）」。從學生的說明可以知道，學生逐漸明白「關係」是「要有

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研究者請學生試著針對討論的「部分」、「整體」概念，再畫一次圖示，但學 生對這陌生的概念仍然感到無從下手。如例 4-31 中，學生指出「老師，可是我還 是不懂要怎樣畫（錄 1020521-S17）」、「我想不出來……我想不出來（錄 1020521）」。由於 研究者希望學生可以試著建構出圖示，因此持續鼓勵學生嘗試，如例 4-31。

例 4-31

T:現在再請你想一想，如果再畫一次，你會怎樣畫圖把關係表現出來?

S3:老師要再畫圖喔!

S17:老師，可是我還是不懂要怎樣畫

T:沒關係，你先想，試著畫畫看，老師等一下再告訴你。你可以想一下，這一題裡 的全部可以分成 2 個小部分，你會怎麼畫呢?真的想不出來，沒關係

（S 馬上接話）

S:我想不出來….我想不出來

T:你都還沒試就說想不出來，先試試看，沒有畫對也沒有關係 （錄 1020521）

2. 學生建構出的「部分」「整體」圖示

雖然學生們表示不知道該怎麼畫有關係的圖示，不過有部分學生具備「部分」

「整體」概念後，能自行建構出關係圖示。在例 4-32 中，S18 用圓圈代替整體，

並能從自己所畫的圖中找出構成整體的 2 個部分。雖然這樣的圖示已偏向抽象，

但是其他學生藉由 S18 的圖示，也可指出問題中的部分和整體之間的關係而說出

「23 和剩下的錢在全部的裡面（錄 1020521）」。由圖示解讀出部分和整體的關係，顯 示學生可以理解這樣的圖示。

例 4-32

作 1020521-S18

T：這個圓圈代表全部，這什麼意思?

S5：總共加起來的錢

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T：全部裡面一小部分是 23，另一部分是剩下的錢，有沒有看到很明顯的關係?

S：有

T：是怎樣的關係?

S：23 和剩下的錢在全部的裡面

T：很棒!會用圖表現自己的想法（錄 1020521）

S5、S1 也把關係圖畫出來了，S1 更畫出部分整體之間雙向的關係，S11 也能 針對 S1 的圖形做解釋：「他把 55 分開成 2 個，分開再合起來還會是 55（錄 1020521-S11）」， 如例 4-33，S11 的解釋意涵著整體可以分割成部分，而部分可以組合成整體。不 過，其他的學生對這樣的討論，仍舊一知半解，顯示大多數學生的思考仍屬於累 進合成運思，需再給予鷹架，協助其運思上的發展。

研究者於是以生活經驗中的情境來比喻，舉例解釋「部分—整體」的概念，

研究者以一塊「大黏土」比喻「整體」，你可以把 1 塊「大黏土」分成 2 塊「小黏 土」，「小黏土」就是「部分」，就是把「整體」切割成 2 個「部分」；當你再把 2 塊「小黏土」合在一起，就會變回原來的「大黏土」，也就是把 2 個「部分」合成

「整體」。經過這樣的比喻，學生反映出比較理解「部分—整體」的概念。

例 4-33

作 1020521-S1

作 1020521-S5

T：S1 和 S5 這二張圖，他們說全部是 55，分成 23 和剩下的，但是 S1 他還做了一個 動作，他把 23 和剩下的加起來還是會等於 55，這代表什麼?

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S11：因為他把 55 分開成 2 個，分開再合起來還會是 55 T：他把 55 拆成 2 塊，2 塊再合起來呢?

S11：還是一樣的答案

T：就像你把一塊黏土分成 2 塊，再把 2 塊黏土合在一起，應該還是原來那一大塊黏 土

T：S1 做得好!很棒啊!（錄 1020521）

同樣是關係圖示，學生較能理解 S18 的圖示（參見例 4-32），反應也較熱絡，

而 S1 和 S5 的圖示（參見例 4-33）以學生的反應來說較困難。

3. 從標記出的已知條件和解題目標去判斷「部分」、「整體」的集合

在第一階段中，學生已學會用「看問讀問+記」的步驟找出已知條件和 解題目標，將問題做最初步的分析，研究者試著讓學生再從已知條件和解題目標 中去尋找「部分」、「整體」的集合，做進一步的分析。從例 4-34 的討論中，可以 發現學生在判斷「全部」的集合上仍很模糊，無法明確指出。

例 4-34

請 S3 先依照「看問讀問+記」的步驟找出已知條件和解題目標

T：S3 做記號的這 3 個地方，你覺得哪一個是「全部」?

S：55 元…..原來有幾元

T：55 是我花掉的錢，那是我全部的錢嗎?

S：不是

T：這個題目跟上個題目一樣嗎?

T：這個題目跟上個題目一樣嗎?