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提升國小二年級學生數學加減法文字題題意理解能力之行動研究

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Academic year: 2021

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(1)國立臺中教育大學教育學系 課程與教學碩士在職專班論文. 指導教授: 游自達. 博士. 提升國小二年級學生數學加減法 文字題題意理解能力之行動研究. 研究生:朱素珍 撰. 中華民國 103 年 1 月.

(2)

(3) 謝辭 二年半的研究生涯終於要告一段落了,回想剛考上研究所時短暫的興奮,接 著就是辛苦、勞累的過程。每當家人熟睡之際,自己卻還在電腦前搜尋著文獻資 料、苦思論文的內容架構敘寫,常累到精疲力盡,但心想:再堅持一下就好,每 一步的堅持都讓自己又多往前一步。每一步雖走得辛苦,但我走到了,我完成了, 此刻的我好想大叫:「我做到了!」 「行動研究」真不是一件簡單的事,雖然是在職的老師,有較多的實務經驗, 也有想解決教學現場問題的需求,但教學行動背後的理論,是研究者必須去深究 的,再將理論與實務結合轉化,又是另一門須克服的課題。在這重重的問題中, 很感謝游自達老師鉅細靡遺的指導,在論文架構的安排上,引導符合邏輯性;理 論的運用及釐清上給予專業的意見;在論文敘寫上也仔細斟酌文字用語,期能達 到精確性的表達。游老師嚴謹的態度,讓研究者認真去審視每個環節,也從中獲 益良多。也感謝施淑娟教授、易正明教授在計畫及正式論文口試中給予很多寶貴 的建議及思考的面向,讓論文可以更完整的呈現。 在這過程中也要感謝一起努力的好夥伴—瑋華、佳蓉、欣惠,每一次遇到瓶 頸,大家互相加油打氣,這種彼此支持的力量讓人重拾信心,偶爾也會苦中作樂 分享甘苦談,談一談,壓力又鬆了一些。也要感謝學校的好同事們,你們的關心 與肯定,讓我更有信心可以完成。更要感謝老公及二位寶貝給我的鼓勵,「你可 以的」一句簡單的鼓舞話語,在夜深人靜時,支持著我打拚下去。如今, 我要 說:「我的家人、我的朋友、我的老師,我愛您們,謝謝您們陪伴我一起完成這 本論文! 」 素珍 謹誌 103.01.

(4) 提升國小二年級學生數學加減法文字題 題意理解能力之行動研究. 摘要 本研究採行動研究的方式,探討教師如何引導學生進行題意理解、行動中遭 遇的困難及解決的歷程,以及透過行動方案,學生在數學加減法文字題題意理解 能力上的變化,並探究教學者在行動中的省思與成長。 研究者擬定語意釐清、關係釐清、訊息整合等三個階段的教學方案,以研究 者任教的二年級學生共20名為對象,進行二十二節課的教學行動,透過課堂錄影 紀錄、課堂觀察記錄、研究者省思札記、學生的文件作業等資料進行整理,歸納、 分析,並於過程中不斷的反省修正,解決教學時所遭遇的問題。 研究結果發現如下: 一、將相似詞彙、相同表面結構的問題、敘述反轉的關係句並置對照,能凸顯詞 義、結構、語意敘述的差異性,有助於學生區辨題意。 二、將數學概念轉化成生活中情境有助於學生連結情境中概念和數學概念。 三、運用同儕對話、舉例、圖示澄清語意或關係,貼近學生的生活經驗,有助於 理解。 四、二年級學生在初步策略的學習或困難概念的理解上,使用明確化、細部化、 操作化,能提高學習效果 五、運用自身參照,有助於學生察覺及釐清比較問題中的關係,並將比較的語意 經驗類推到文字題中的語意關係。 六、使用符號標記,將重要訊息外顯化有助於學生留意關鍵訊息。 七、例行性問題可以讓學生學習分析問題敘述、理解語意、區辨關係等基本分析 能力,非例行性問題則可以提升學生應用策略分析問題的能力。 I.

(5) 八、運用比較類關係圖示表徵題意對學生而言較困難。 研究者最後針對此次研究提出建議,作為教學者及未來研究之參考。 關鍵詞: 題意理解、加減法文字題、數學文字題. II.

(6) An action research on enhancing second graders’ ability of comprehension on addition/subtraction word problems. Abstract This study aimed at improving second-graders’ ability of comprehension on addition-subtraction word problems of whole numbers. Students’s performance and difficulties on word-problem comprehension were first gathered. An action research approach was employed to help students. The researcher guided the students step by step to explore the semantics structures and the relationship involved in the problem through a series of instructional activies. The researcher formulated three stages of teaching programs, namely, semantics clarification, relationship clarification, and information integration. The teaching programs based on 20 students in the researcher’s class. Twenty-two teaching sections were designed and conducted by the researcher. In the process of action research, classroom instruction was tape-recorded and analyzed. Students’ work sheets and researcher’s reflective journals were also collected and analyzed.. Based on the data analyses, the main findings of this study. are as follows: 1.. Juxtaposition of word problems with similar vocabulary, similar surface structure, and inverse relationship can highlight the differences and help students distinguish the differences among different problems.. 2.. Transformion of mathematical concepts using students’ familiar contexts and expreiences helps students link the situational information to mathematical concepts. III.

(7) 3.. Peer interactions, provision of examples, and the use of pictoral representation help students to clarify semantics and relationships of the word problems.. 4.. At the initial stage of problem comprehension, studeuts need to be guided in small steps, by clear direction, and by hand-on operations.. 5.. Transforming word problems by referring students themselves in the problem contexts help students to be aware of the relative structure of the word problems.. 6.. Marks or symbols are helpfur tools to help students focus on important messages in the word problems.. 7.. Routine problems allows students to learn the basic analytical strategies for exploring the problem description, semantic structure and the relationship of elements in the problem . Non-routine problems enhances students’ ability in applying problem-analysis strategy acquired in routine problems.. 8.. Some of the students encounter difficulties in transforming a word problem to its pictoral representation. Based on the findings, the researcher provided recommendations for. mathematics instruction of word problems. Recommendations for future research are also provided.. Keywords: problem comprehension, addition/subtraction word problems, math word problems. IV.

(8) 目. 次. 目. 次 ................................................. V. 表. 次 .............................................. VIII. 圖. 次 ................................................ IX. 第一章 緒論 ............................................ 1 第一節 研究背景與動機 .............................. 1 第二節 研究目的與待答問題 .......................... 3 第三節 重要名詞解釋 ................................ 4 第四節 研究範圍與限制 .............................. 5 第二章 文獻探討 ........................................ 6 第一節 題意理解與數學文字題之相關理論與研究 ........ 6 第二節 加減法問題之相關理論與研究 ................. 22 第三節 題意理解之相關策略與研究 ................... 31 第三章 研究設計與實施 ................................. 41 第一節 研究場域與研究對象 ......................... 41 第二節 研究問題察覺與分析 ......................... 43 V.

(9) 第三節 研究架構 ................................... 47 第四節 研究流程 ................................... 51 第五節 課程方案設計 ............................... 53 第六節 研究者背景 ................................. 54 第七節 資料整理與分析 ............................. 55 第八節 研究的信效度 ............................... 58 第四章 研究結果與討論 ................................. 59 第一節 語意釐清階段 ............................... 59 第二節 關係釐清階段 .............................. 101 第三節 訊息整合階段 .............................. 141 第五章結論與建議 ..................................... 167 第一節 結論 ...................................... 167 第二節 建議 ...................................... 171 第六章省思與成長 ..................................... 173 第一節 行動規劃上的省思 .......................... 173 第二節 實際行動上的省思 .......................... 174 VI.

(10) 第三節 教學中的成長 .............................. 176 參考文獻 ............................................. 177 附錄 ................................................. 187. VII.

(11) 表. 次. 表 2-1 表面結構與深層結構的數學題目實例 ..................................... 18 表 2-2 加減法問題的類型與例子 ......................................................... 24 表 3-1 提升題意理解能力之課程方案教學活動大綱 .......................... 53 表 3-2 作業單及檢測單內容說明 ......................................................... 56 表 3-3 資料編碼系統說明表................................................................. 58 表 4-1 第一階段教學流程分析表 ......................................................... 62 表 4-2 行動前後詞彙檢測對照表 ......................................................... 96 表 4-3 第二階段教學流程分析表 ....................................................... 104 表 4-4 改變類、合併類圖示檢測單分析表 ....................................... 119 表 4-5 比較類圖示分析表 .................................................................. 135 表 4-6 比較類圖示檢測單分析表 ....................................................... 136 表 4-7 第三階段教學流程分析表 ....................................................... 143 表 4-8 多餘訊息行動前作業單分析表 ............................................... 144 表 4-9 多餘訊息檢測單分析表........................................................... 149. VIII.

(12) 圖. 次. 圖 2-1 由語言文字到情境的解碼過程 ................................................ 10 圖 2-2. Lesh, Post, 與 Behr(1987)的表徵轉換模式 ..................... 12. 圖 2-3 高數學解題能力者的知識結構圖 ............................................ 25 圖 2-4 低數學解題能力者的知識結構圖 ............................................ 25 圖 2-5 Fuson 和 Willis(1989)基模圖 ............................................... 34 圖 3-1 研究架構圖 ............................................................................... 48 圖 3-2 研究流程圖 ............................................................................... 52 圖 4-1 第一階段的教學流程圖............................................................. 61 圖 4-2 第二階段的教學流程圖.......................................................... 103 圖 4-3 Fuson 和 Willis(1989)比較類基模圖與修改後比較類圖示 ..................................................................................................... 129 圖 4-4 第三階段的教學流程圖.......................................................... 142. IX.

(13) 第一章 緒論 本章主要針對研究者的研究動機與研究目的,提出研究問題,並對本研究相 關的名詞作解釋與界定,再提出研究範圍與限制,共分為四節,分別為研究背景 與研究動機、研究目的與待答問題、名詞釋義、研究範圍與限制。. 第一節 研究背景與動機 數學問題的理解乃是解題的重要歷程,也是影響解題成敗的重要關鍵之一。 Polya(1945)在「怎樣解題」一書中提出,解題步驟包含了解問題,擬訂計畫, 執行計畫,驗算與回顧等四步驟。理解問題乃是解題的第一步,也是能否解題成 功的關鍵因素。黃敏晃(1987)也指出,學生之所以解題失敗,有 60%的原因是 不理解題意,可見得題意的理解在學生的學習過程中是相當值得重視的一環。 在數學的教學現場中,研究者觀察學生的解題過程,發現學生一看到數學題 目,便急著解題、計算出答案;對於題意陳述的內容會快速看過,但甚少花時間 進行題意理解及分析;一遇到讀不懂的題目,就以部分訊息作答,甚或直接放棄; 有部分學生在數學中的解題是以套公式的方式,此時課堂中教導何種數學概念就 全部一體適用,忽略數學概念運用在解題中的適用性及合理性;或以關鍵字配對 記憶,這些都造成解題的失敗。以上種種關於學生在解題上的問題,其追根究柢 源於對題意的不理解,而導致解題的失敗。 很多的研究提出學生的閱讀能力是影響數學閱讀理解的一大因素 (王雅蘭、 張蓓莉,2004;林怡辰,2011;秦麗花、邱上真,2004;陳世杰,2005 ),但是 具備一般語文閱讀能力的學生在題意理解上仍有可能會產生困難,其原因在於數 學語言有其特殊性及精確性,更有獨特的句法、詞彙、詞序、同義字、否定詞、 慣例、縮寫、句子結構、和段落結構,這些使得數學題意上的理解更容易產生困 難(Esty,2003) ,再加上題意中的數學概念,也影響著學生能否正確解讀題意, 1.

(14) 陳美芳(2001)推論在數學閱讀理解中,數學概念成分的重要性可能大於一般的 語文閱讀理解,因此數學題意理解和一般語文的理解是有所不同的。 學生在題意理解上困難可能來自多方面的原因:一是對於數學概念不理解或 理解不完整:當學生對於數學概念的意義理解不完整,便無法確切的掌握數學概 念在題目中的意義,無法有效解題(江宜真,2007;彭可兒,2006) 。二是由於問 題中的專門詞彙所形成理解困難:數學問題中常包含數學專門詞彙或是一般詞彙 在數學上有特定的意義,當學生不理解問題中的數學詞彙或特定的表達形式,往 往會造成題意理解上的失誤,以「分數」一詞來說,在一般口語語彙上代表計算 成績的數目,如以數學專門詞彙來說,分數有「部分—整體」 、測量、比、商、運 算子等意義,郭夢瑤(1995)的研究指出學生在讀題時,過分專注語彙的口語意思, 忽略本身所代表的數學意義,就容易造成錯誤。三是對於文句語意上的誤解或不 理解:數學題目常用精簡的語句陳述問題,學生無法整合前後句子,使成一致性 的文意。四則是題目情境為學生所不熟悉:當數學題目呈現的脈絡非學生所能理 解,學生缺乏題目中的情境經驗,便無法將題意與先備知識做連結,導致理解困 難(古明峰,1999;侯鳳秋,1998;陳立倫,2000) 。由此可知,數學題意的理解 確實有許多值得探討的地方。 然而在數學課程教學中,常將學生的不理解題意歸咎於閱讀能力,以為加強 語文閱讀能力就能完全提升題意理解能力,教學者並未特別針對題意理解進行指 導,而把教學的重點放在擬定適合的策略,執行策略,古明峰(1999)和黃文慶 (2002)指出教學不應只是強調解題的演算程序,語文理解、情境描寫的理解也 應包括在其中。 反觀學生的解題習慣,學生往往花費多數的時間在嘗試及擬定策略,卻忽略 題意的理解,學生最常問老師:「這一題要怎麼算?」很少問:「這一題是什麼意 思?」 。講究策略的結果,就是常以題目的表面訊息(尤其是關鍵字)進行運算,. 2.

(15) 缺乏思考,忽略對題目的理解(呂玉琴,1997;翁嘉英,1988;謝毅興,1991)。 再者,題目語句結構上的固定性,使得學生可藉由部份訊息提取策略並解題 成功,減少理解題意所需的時間而增快解題的速度,但卻造成學生對於理解題意 的忽視,而教學者也因為偏重解題正確率,而忽略學生題意理解上的困難(陳立 倫,2000)。 研究者在教學現場中發現在加減法的文字題中,學生常出現題意理解上的問 題。對於數學基本加減法文字題的理解與學習,是培養複雜解題能力的基礎,實 徵研究發現縱使數字很小的加減法文字題對於數學能力低的學生仍會造成困難 (林淑玲,1999) ,而學生日後發生學習困難,往往可追溯到此一時期的學習(古 明峰,1999) ,因此加減法是兒童數學學習的基礎時期。研究者歸納班級學生在數 學加減法文字題上理解困難的原因分別是詞彙知識不足或誤解、語意理解模糊不 清,無法將前後句子整合成一致性文意、問題基模知識不足或錯誤、多餘訊息辨 別困難、忽略隱藏的訊息、非例行性問題中,無法找出題目中隱含的關鍵問題等。 本研究擬以題意理解為研究主題,綜合學者的看法,提出相關的教學策略,進行 數學加減法文字題題意理解的教學,並於教學過程中進行反省、評估、及修正, 以提升學生的題意理解能力。. 第二節 研究目的與待答問題 具體而言,本研究之研究目的如下:. 一、研究目的 (一) 探討在加減法文字題中引導國小二年級學生理解題意的歷程。 (二) 探討學生在行動歷程中遭遇到的困難及調整教學行動後的成效,並分析 教學行動方案實施歷程中學生學習的變化。 (三) 在教學歷程之後,探究教學者的覺察及省思成長。 3.

(16) 二、待答問題 根據上述的研究目的,待答問題如下: (一) 引導國小二年級學生進行題意理解的歷程為何? 1.. 如何引導國小二年級學生在加減法文字題中進行題目語意的釐清?. 2.. 如何引導國小二年級學生在加減法文字題中進行關係的釐清?. 3.. 如何引導國小二年級學生在加減法文字題中進行訊息的辨別及整合?. (二) 在行動歷程中遭遇的困難及調整教學行動後的成效為何?教學行動方案 實施歷程中學生學習的變化如何? 1.. 在行動歷程中遭遇到那些困難?. 2.. 研究者在教學行動上因應困難,調整教學行動之後的成效如何?. 3.. 教學行動方案實施歷程中,學生的學習有哪些變化?. (三) 在教學歷程之後,研究者的覺察及省思成長為何? 1.. 在各階段教學歷程之後,研究者有哪些覺察?. 2.. 在教學歷程之後,研究者有怎樣的省思及成長?. 第三節 重要名詞解釋 為使本研究內容與方向更加明確,茲將本研究涉及之重要名詞定義如下:. 一、數學加減法文字題 Mayer(1987)認為數學文字題是藉由文字敘述問題的一種數學計算題型。 本研究所指的數學加減法文字題主要是以文字敘述合併類、改變類、比較類的加 減法問題,包含文字題、短語題、文字結合圖畫題,不包含等化類問題及只以數 字為主的計算題。且本研究布題的加減法文字題包含例行性問題及非例行性問 題。. 4.

(17) 二、題意理解能力 學生接受到一個數學問題,回憶過去的經驗,以既有的語言知識、事實知識 及數學基模知識進行處理,對應題意,產生有意義的詮釋,且能清楚明確的表達 出來,此為題意理解能力。具有題意理解能力的學生能清楚的說出詞彙的意義、 文句的語意,並能知道題目中的已知條件有哪些、解題目標是什麼,並辨別有關 及無關訊息、數字與集合的對應、集合之間彼此的關係。主要以研究者的課堂錄 影紀錄、課堂觀察紀錄、學生文件資料、省思札記、訪談稿等資料,採錄影、錄 音方式蒐集,進行分析與詮釋學生題意理解能力的變化情形。. 第四節 研究範圍與限制 一、研究範圍 (一) 本研究在探討學生在數學加減法文字題上的理解能力,屬於認知部分 的歷程,其他數學範圍及情意部分均不在本研究的範圍內。 (二) 本研究對象為國小二年級學生,考慮學生的認知發展和學習經驗,教 材與教學活動設計以三位數以內的整數加減法為範圍。. 二、研究限制 本研究著重在學生數學題意理解及分析的面向,其他的面向,均不在本研究 的範圍內,故在研究推論上應有所限制。其研究結果在推論上只可參考,不宜過 度推論至其他教學場域。. 5.

(18) 第二章 文獻探討 本章主要在說明與題意理解相關的理論基礎與文獻資料,共分為三個部分, 第一節先探討題意理解與數學文字題之相關理論與研究,第二節再說明加減法問 題之相關理論與研究,第三節則討論題意理解之相關策略與研究。. 第一節 題意理解與數學文字題之相關理論與研究 在數學的學習過程中,數學文字題是學習教材中相當常見的題型,學生在解 文字題時需要先理解題意,才能進行解題。. 一、題意理解之意涵與歷程 題意理解是一複雜的心智活動,在題意理解的歷程中,個體會整合不同的知 識類型進行數學問題的訊息處理。. (一)題意理解之意涵 當學生面對一道需要解決的數學題目時,理解問題的文字敘述的意義並辨別 問題的主要部分 (如「什麼是未知?」、「哪些是已知的訊息?」、「未知的與已知 的有沒有關係呢?」和「有些什麼條件呢?」等)乃是問題解決的基礎 (Polya, 1945)。 劉秋木(1996)認為「理解」這個概念至少含有三個要素,一是所理解的對象, 二是知識表徵結構,三是知識表徵結構與對象的配合或適應。題意理解就是以數 學題目為理解對象,藉由閱讀數學題目,產生有意義的轉譯,將題目內容轉換為 適宜的知識表徵,此知識表徵在腦中是具有結構的,且可納入或擴展既有的數學 知識網絡。 題意理解是從數學題目的外在表徵(問題情境、語言文字)到建立正確內在 表徵的過程。而「表徵」就是對於一個物件,人們常習以使用語言、文字、符號、. 6.

(19) 圖像…..等來描述或表示(蔣治邦、陳竹村、謝堅、林淑君、陳俊瑜,2000)。題 意理解牽涉的是表徵的轉換,此過程如同 Mayer 所提「問題轉譯」步驟,即是將 題目中每個陳述句轉譯為內在表徵(Mayer, 1987/1997)。人們在表徵的過程中, 會主觀的選取某些性質而捨去大多數的性質來形成表徵,因此「表徵」與「被表 徵物件」比較,必然產生失真的現象(蔣治邦、陳竹村、謝堅、林淑君、陳俊瑜, 2000) 。題意理解就在於如何使得題目的外在表徵轉換為內在表徵狀態愈趨於真實, 縮小失真。 真正的題意理解意味著學習者能彈性運用多元表徵適切的轉換題意,將題目 內容和原有知識重新組織產生關聯性,使題意在腦中呈現出結構性及關係性,題 意訊息是整合的,非零碎不相關的。 具有題意理解能力的學生能清楚的說出詞彙的意義、文句的語意,並能知道 題目中的已知條件有哪些、解題目標是什麼,並辨別有關及無關訊息、數字與集 合的對應、集合之間彼此的關係。. (二)題意理解的歷程 Mayer(1987, 1992)從認知心理學觀點,將解題歷程分為問題表徵(problem representation)及問題解決(problem solution)兩階段,問題表徵的過程將問題陳 述的內容進行重新組織分析,和個體原有的知識結構整合,此過程是為題意理解 的歷程。 在此歷程中,Mayer 又將問題表徵分成問題轉譯(problem translation)和問 題整合(problem integration)兩階段,問題轉譯是指將問題中的陳述句轉變為內 在心理表徵,需要用到語言知識及事實知識。問題整合是將轉譯出來的訊息整合 起來成為連貫一致的表徵,需要具備數學基模知識。以下分別說明問題轉譯和問 題整合。. 7.

(20) 1.問題轉譯 數學問題以語言敘述問題,K. Durkin 與 B. Shire 認為數學語言在文本中的呈 現有三方面:一是字彙的形式,二是一般詞彙應用在數學的例子,三是特殊術語 在數學文本中的敘述(引自秦麗花,2007) 。學生須具備語言的知識及事實的知識, 不僅要能閱讀文字,還要明白句子中的詞彙、語意、概念,才能對問題中的句子 加以解義(paraphrase),甚至可以使用自己的語言重述已知條件及解題目標(Mayer, 1987/1997)。在題意理解歷程中,學生須具備語文的知識及事實知識,才能將問 題正確的轉譯。 2.問題整合 問題整合需依靠數學基模知識, Marshall(1987)認為「基模」是包含人類 如何與環境互動的訊息的一種知識結構,它可用來說明人類如何知覺外在的環境, 以及在該情境下,會採取何種行動來因應。Richard E. Mayer 認為基模是閱讀者 的普遍性知識結構,用來選擇及組織輸入的訊息,使納入一個整合的、有意義的 架構中(Mayer, 1987/1997)。當個體接收外在環境的各種訊息時,如數學題目, 本身所擁有的基模會主動的對題目中的訊息進行辨認,而較能符合題目訊息的基 模就會被活化,被活化的基模在處理數學題目時,會先存在一些預設值(default value),這些預設值可以協助個體快速的瞭解題目的意義(余民寧等人,2003)。 基模也有可變性,環境改變,挑選基模也會不同,且一基模會被嵌入另一基模內, 被嵌入的基模也同時被活化,而基模內的資料可以是具體的事物也可以是抽象概 念,其不是呈現某個單一意義,而是呈現百科全書一樣的概念知識網路(Rumelhart & Ortony, 1977)。 因此問題的整合,需活化數學相關的基模知識,學生才能辨認問題的類型、 辨認有關及無關的訊息、並找出解題所需要的資料、用圖示或圖畫表徵問題(Mayer, 1987/1997)。但學生的先備知識不同,也會挑選不同的基模活化,當輸入的資料 8.

(21) 過度簡化、扭曲、或在不正確的基模中過濾,學生就會產生錯誤的理解及推論 (Good & Brophy, 1995/1999)。 綜合上述所言,題意理解歷程中須具備語言知識和事實知識,將數學問題進 行初步的轉譯,並活化數學基模知識,利用基模知識處理辨認問題類型,對訊息 做出判斷,並找出解題所需要的資料,整合成一致的表徵模式。學生具備語言知 識、事實知識及數學基模知識愈豐富,能提高其對於題意的理解能力。. 二、題意理解在數學文字題中的作用 Mayer 認為數學文字題是藉由文字敘述問題的一種數學計算題型(Mayer, 1987) 。即解題者須從文字語意去理解已知的狀態條件及目標條件,並將文字進行 轉換成表徵符號,從中擬定出適切合理的數學策略來解題。因此要確切的解題, 理解題意是重要的關鍵因素,在數學文字題中具有一定的作用。. (一)題意理解在理解數學文字題的問題情境 數學文字題的理解是一種先解碼,再重新編碼的過程。先將文字訊息解碼成 生活中的情境,再重新編碼形成新的表徵符號,最後再以數學符號編碼輸出。劉 秋木(1996)認為從語言符號追溯到對情境的把握,是一種解碼的過程,而情境 轉化形成語言符號是編碼的過程,所以語言理解就從語言符號的線索對應到問題 情境的理解過程,如圖 2-1。因此題意理解也應該要理解數學文字題的語言符號 解碼成問題情境的過程。. 9.

(22) 社會語言. coding 生活情境 的結構. 編碼. coding 行動表徵 形象表徵. 編碼. 語言符號. 解碼 decoding 圖 2-1 由語言文字到情境的解碼過程。引自國小數學科教學研究(頁 83),劉秋 木,1996,台北市:五南。. (二)題意理解在理解數學文字題中的關係 訊息處理(information-process)理論學者 A. Newell 與 H. A. Simon 認為必須先 將問題的相關特徵加以建碼,組成內在表徵,然後才進行問題解決,Newell 與 Simon 稱問題的內在表徵為「問題空間」(problem space),問題空間的基本元素 包括以下五項(引自鄭麗玉,1993): 1. 初始狀態(initial state):問題的起始狀態。 2. 目標(goal):所欲達到的最終狀態。 3. 物件(object):可用來解決問題的物件、資源…等。 4. 操作規則(operations):可用來解決問題的規則。 5. 限制(restrictions on the operations):解決問題時不可違犯的限制。 初始狀態是問題的已知條件,目標即問題的解題要求,物件、操作規則、限 制有時可由題目中搜尋,有時須依靠先備知識或問題基模才能得知。問題空間內 的元素彼此之間存在著一定的關係,這些關係需要被理解及釐清,因此題意理解 也是在理解數學文字題中的關係。. 10.

(23) (三)題意理解在理解數學文字題中的表徵轉換 數學表徵是指學習者解題時,基於相關問題的基本知識,以不同的形式表徵 重新詮釋問題的存在(楊瑞智,1994) 。其表徵的方式又可分為內在表徵和外在表 徵二種。人們試著去理解問題的方式有兩種表徵類型的存在,第一是「內在表徵」, 反映人如何想像這個主題和在他心中的關係,被定義為在腦中被編碼、修正和儲 存的訊息;第二是「外在表徵」 ,是人們利用描繪略圖、圖形、寫下符號或方程式 去創造它(Hayes, 1981) 。G. M. Bodner、D. S. Domin 與 M. J. Yang 認為外在表徵 為「訊息的物理顯示」 ,它可能是一個字被使用來描述一個內在表徵、一個圖或一 個訊息列表的結果,而引起內在表徵或方程式(引自劉文雄、周進洋,2011)。 Bruner(1966)根據運思方式的觀點,將表徵分為動作表徵、圖像表徵、符 號表徵等三種型式,學生經由具體物操作而得以理解,為動作表徵的形式;學生 利用外在實物在心中的影像(心像)來掌握理解的事物,即使具體物消失,仍能 進行內在的運思,為圖像表徵;學生利用符號進行運思,此階段的符號可以是任 何的記號,代表實物或心象的某一種抽象的意義,和實體不必然有相似之處,此 為符號表徵。 Bruner 所指的三種表徵是事物在心中被定義理解的內在表徵模 式。 Lesh, Post, 與 Behr(1987)提出五種不同的外在表徵轉換模式,有現實生活 情境(real word situation) 、操作具體物(manipulative aids) 、圖像(pictures) 、口 語符號(spoken symbols)、書寫符號(written symbols)等五種表徵,如圖 2-2, 不同的表徵有不同的功能。如果學生能用不同的表徵系統來表徵題目,且能自由 的轉換,代表其對於題意是理解的。 題意理解即在理解文字題的表徵內容及轉換,運用外在表徵來表徵題意,引 發內在表徵的心理理解歷程。. 11.

(24) 圖 2-2. Lesh, Post, 與 Behr(1987)的表徵轉換模式。取自 Problem of. Representation in Teaching and Learning of Mathematics, (p. 34), by Lesh, Post, & Behr, 1987, Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.. 三、影響數學文字題題意理解的相關因素 題意理解牽涉到複雜的心理認知歷程,其影響因素相當多。以下分別就文字 題中的語言、文字題的閱讀方式、文字題訊息處理方式、學生的先備知識等方面 加以分析。. (一)文字題中的語言 文字題中的語言有文字語言、符號語言、圖形語言。學生能理解此三種語言, 對於文字題文意的轉譯能更精確。 1.文字語言 數學題目藉由文字語言的敘述來陳述問題,如無法理解文字的語言敘述,就 可能造成語意混淆或語句結構的邏輯誤差 (黃文慶,2002)。學生除了需要具備基 礎的語文閱讀能力,還須理解一般詞彙(如上、下、相同) 、專門詞彙(如半徑、 平行、垂直) 、特殊詞彙(各有、比、每一個) 、代詞(如哪一個、它、這個) 、一 12.

(25) 般詞彙在數學中的特定意義(如點、分數、平分、頂點、商)(秦麗花,2007)。 學生掌握數學中這些不同性質名詞的語意,才能正確的轉譯題意。 2. 符號語言 符號語言是將敘述的語言符號化,利用符號表示數學對象(如 x 表示未知數、)、 數學運算(如+、-、=)、數學關係(如≥、≠、⊥)、或數學的過程(如∵、 ∴)、以及縮寫符號(如 cm、km)等抽象性的語言形式(數學語言,2007)。 數學符號語言的抽象性往往難以讀懂,蔣宇立(2000)對學生學習數學符號 所產生的焦慮研究指出學生學習符號的困難有:(1)對符號意義不熟悉;(2)對 符號的策略性知識不足; (3) 缺乏對符號的反思能力; (4)不清楚符號運用的時 機。 符號的學習應以理解概念為主,非記憶為主,唯有了解概念才能將符號運作 自如,在符號語言與一般的數學語言之間來回轉譯(數學語言,2007)。 3. 圖形語言 圖形語言包括幾何圖形、函數圖像及其他圖形語言,如示意圖、表格等(數 學語言,2007) 。它在數學上具有非常重要的地位,圖形語言中可以呈現一些重要 訊息或趨勢。數學問題中常可見到以圖輔文的題型,圖形可能是題意中重要訊息 的來源,也可能純粹是題意的輔助表徵而已。但不論是何種,讀懂圖形語言,對 於題意的理解都是有幫助的。 以上三種語言並不是絕對孤立的使用,而是交互存在於數學題目中。且數學 中語言的句法(syntax) 、詞彙(vocabulary) 、詞序(word. order) 、同義字(synonyms)、. 否定詞(negations) 、慣例(convention) 、縮寫(abbreviations) 、句子結構(sentence structure) 、段落結構(paragraph structure) ,和一般語文理解的語言有所不同(Esty, 2003),教師在指導學生解題之前,應先讓學生理解數學中使用的語言。 當學生對於題目中的語言不理解,就容易擬定錯誤的解題策略或是束手無策, 13.

(26) 在數學概念專有名詞的理解上更是如此。數學概念是結合著理論抽象性與實物具 體性而形成,Skemp(1987)指出學習新概念時,使用低干擾且較具體的例子, 學習較不易分心,之後的階段,可搭配使用高干擾性或較難的例子,提升學習及 應用層次。因此在引入新概念時,多利用學生已有的先備經驗與數學概念,搭配 具體實例,讓學生容易理解,也可提供正例與反例,正例主要在傳遞概括性的資 訊,反例傳遞有利於資訊的辨別(張宇樑,2012) ,讓學童在多樣化情境中歸納共 同通則,掌握數學概念的語意。 要學生習得這些數學語言,發展數學的語言,應如同兒童學習生活語言一般, 在社會環境中模仿學習,在具體經驗中操作學習(張春興,2002) 。郭夢瑤(1995) 指出學習一種新的語言時,必須先學習該種語言的語彙或詞彙所代表的意義,再 學習特有的語句規則或語言結構。但學生生活的環境中不盡然包容各種數學語言, 因此教師應輔以多樣化的學習情境,讓學童可以從不同的觀察和操作中感知數學 語言。. (二)文字題閱讀的特性 數學問題的句子結構大多以說明文的方式述說,是一種簡化脈絡,甚至非脈 絡、偏邏輯關係的,所以數學問題的閱讀理解會比一般敘事文本的結構要難以理 解,當以敘述文呈現閱讀內容時,結構就固定、具可預測性,讀者也較容易記住 及回憶敘述的內容,但說明文的結構就不像記敘文般,常是讀者所不熟悉的(林 麗華,2006;秦麗花、黃敏秀,2004)。 在題目的閱讀上,常需要反覆閱讀思考,Meyer 與 Rice(1984)提出第一次 讀題在於回憶過去的相似情境,引發和先備經驗的連結,第二次反覆讀題在於蒐 集題目所需的資訊。讀者需將剛讀過的訊息放在短期記憶中,與已經建立的表徵 或上下文一起處理,在處理的歷程上訊息的負荷較重(Britton, Glynn & Smith, 1984)。 14.

(27) 文字題中的代名詞或名詞和對應的概念連結緊密,詞彙非脈絡性,只能以放 慢速度的策略來因應,不可跳躍或忽略任何文字或符號,逐一的處理內容中出現 的事實或概念,再整合成完整的訊息,且須顧及彼此之間的關聯(林麗華,2006; 秦麗花、黃敏秀,2004)。 由於數學題目的精簡結構及邏輯性,放慢速度在題意閱讀上,重複的讀題思 考,逐一處理題目中的語彙與訊息,有助於題意資訊的蒐集與記憶。. (三)文字題的訊息處理方式 文字題採用文字呈現數學問題,學生閱讀文字訊息之後,會依據問題轉譯、 問題基模、問題情境、問題結構等進行訊息的處理。 1.問題轉譯 所謂問題的轉譯是將每一個陳述句轉為內在表徵(Mayer, 1987/1997) 。Hegarty, Mayer 與 Monk(1995)提出使用直接轉譯(direct translation)和問題模式(problem model)兩種模式來解釋學生的理解策略。 直接轉譯的解題者選取關鍵字和題目呈現的數字來組合,形成後續解題計畫 的發展依據;使用問題模式的解題者會選取題目中的敘述轉譯成問題情境的心理 模式(mental model),以此模式作為解題計畫的基礎。 使用直接轉譯者會刪除數字和關鍵詞以外的訊息,建構一個比題意訊息還少 的表徵;使用問題模式者,會建構一個以問題為中心的表徵,涵蓋題意隱含的訊 息(古明峰,1999;林麗華,2006)。雖然直接轉譯取向的優點是可以降低認知負 荷,但是當隱含在題目情境中的訊息與解題有關時,便會錯誤表徵情境。 Mayer(1987)認為問題轉譯歷程對學生而言可能是十分困難的,題意能正 確的轉譯須具備語言知識及事實知識,才能對問題中的句子加以釋義,並完整的 轉譯語意。 15.

(28) 問題的轉譯亦受到語意陳述的影響,D. D. Cummins 在研究中進一步指出, 兒童解題失敗並非完全由於缺乏部分-全部之知識,如將問題稍加改寫,使語意 陳述更為清楚,則兒童便能正確表徵出部分-全部之結構 (引自江宜真,2007)。 因此,如果題目設計上更清楚陳述題意,將數學學習困難降低,學生更容易 將問題轉譯成功,例如: 「我和哥哥有 12 顆糖果,哥哥 7 顆,我有幾顆糖果?」, 若修改成「我和哥哥共有 12 顆糖果,其中哥哥有 7 顆糖果,(其他都是我的), 請問我有幾顆糖果?」,則 12 顆糖果(整體)和哥哥有 7 顆(部分)之語意關係則會 更加明確,有助於學生正確轉譯問題(古明峰,1999;陳麗帆,2011) 。題目中如 含有代詞、濃縮詞、省略說詞,則將語意展開完整陳述,凸顯語意關係,並讓學 生對照完整陳述句子和濃縮詞、省略詞的不同,讓學生對此類的語詞有更進一步 的理解,例如: 「農場今年種了 1499 顆番茄,(今年)比去年少種了 501 顆,去年種了幾顆 番茄?」(陳雅婉,2010)—「今年」為省略語詞,補上使關係敘述更明確。 「1 枝鉛筆 10 元,1 個橡皮擦 15 元,各買 1 樣(買 1 枝鉛筆和 1 個橡皮擦)要 付幾元?」—「各買 1 樣」為濃縮詞,將語意完整展開,陳述清楚。 「今天書店特價,蠟筆每盒便宜 10 元(蠟筆每一盒價錢都少 10 元) ,1 盒蠟 筆原本賣 50 元,特價後只要付幾元?」—「每盒」為濃縮詞, 「便宜」為學生理解 困難的語詞,將語意改寫,使學生更明白「每盒便宜」的意思。 綜而言之,當學生對問題中的語意不清楚,教師可以完整陳述,凸顯語意及 關係句,並讓學生對照完整陳述句與代詞、濃縮詞、省略詞的敘述,協助學生確 實理解問題中的語意。除此之外,教師宜引導學生建構以問題為中心的表徵模式, 非直接轉譯數字及關鍵字。 2. 問題基模 Marshall(1995)認為基模是一種記憶的媒介,以某種方式將個體相似的經 16.

(29) 驗組織化,使個體具有:(1)增加相似的知識,並區辨不相似者。(2)建立語言 和非語言部分的相同經驗。(3)描述結論、評價、目的和發展的架構。(4)利用 技巧,程序,規則來得到特殊架構。基模是整合知識的一種認知結構。 Riley、Greeno 和 Heller(1983)曾指出文字題解題需要三種概念知識,分 別為問題基模、行動基模與策略知識。其中「問題基模」(problem schemata)是 表達問題中各個量之間關係的網路,是個體用來理解題意、表徵問題的模式。 當學生閱讀數學問題之後,與內容相關的問題基模隨即被活化,並對訊息進 行編碼、辨認、比對,並使問題內容與自己已有的基模相符,用以理解問題的內 容及情境。不同的問題題型,將對應到不同的問題基模。 Riley、Greeno 和 Heller(1983)也指出兒童問題基模的發展分為三個層次, 第一層次是透過實務的操作協助,形成具體的外在表徵,來理解題目中的數量; 第二層次能形成內在的心理表徵來彰顯問題中各數量的關係,能明白改變後的結 果,也能記憶改變的過程,但只能單向運作尚無法逆向思考推論;第三層次已發 展出整合性的「部分—整體」基模,能明瞭辨別整體和子集合之間的關係,也具 有逆向推論的能力。 3. 問題結構 所謂問題結構是指題目之間所隱含的深層結構與表面結構。問題的深層結構 是指題目之間具有解法相似的問題基模(problem schema),問題的表面結構是指 題目之間具有情境相似的問題基模(涂金堂,2007) 。如表 2-1,第 1 題和第 2 題 具相同的表面結構,問題情境都是年紀的問題,但深層結構卻不同,第 1 題是相 差的問題,第 2 題是倍數的問題,反而是第 2 題和第 3 題雖表面結構不同,但具 有相同的深層結構。. 17.

(30) 表 2-1 表面結構與深層結構的數學題目實例 第1題. 爸爸今年的年紀是 36 歲,哥哥今年的年紀是 8 歲,請問爸爸的年紀 比哥哥的年紀大幾歲?. 第2題. 哥哥今年的年紀是 8 歲,爸爸今年的年紀是哥哥今年年紀的 2 倍又多 4 歲,請問爸爸的年紀是幾歲?. 第3題. 小明的零用錢有 15 元,小華的零用錢是小明零用錢的 4 倍又多 10 元, 請問小華的零用錢有多少元?. 資料來源:修改自「國小學生數學文字題問題結構與數學解題表現之相關研究」, 涂金堂,2007,屏東教育大學學報,26,頁 132-133。. J. R. McDermott 與 J. H. Lakin 在專家與生手的研究中顯示,生手傾向以問題 的表面結構來表徵問題,但也常引導生手錯誤的解題方向,相對地,專家則以問 題的深層結構來表徵問題,而採用深層結構的表徵方式,使得專家能朝著正確的 方向解題(引自涂金堂,2007) 。 在題意理解上應引導學生從多樣情境中歸納出相似的深層結構,形成深層的 問題基模,納入學生已有知識結構之中,擴大基模知識的網絡。. (四)學生的先備知識 Mckenna 和 Robinson(2002)歸納學科閱讀指導包含三種主要的認知技能: 一是一般讀寫技巧(general literacy skills);二是學科的先備知識(prior knowledge of content);三是學科特殊的讀寫技巧(content-specific literacy skills),因此在特定學 科的理解上,先備知識具有重要的影響。以數學來說,先備知識包含一般生活經 驗的知識以及與數學概念有關的先備知識,例如學生缺乏正三角形的概念知識, 當題目出現正三角形一邊的長度,就無法理解及推論邊長與周長的關係,先備知 識是學生題意理解的基模知識。閱讀者先備知識越豐富,題意理解的能力就越強, 有些兒童雖然具有足夠的解碼能力,卻無法理解題目中的內容,可能原因是缺乏 18.

(31) 相關的先備知識所導致的(秦麗花、黃敏秀,2004)。學生先備知識的充足與否關 係到題意的理解。. 四、數學文字題題意理解的相關研究 很多關於數學文字題的研究著重在探究學生的解題,本研究則在協助學生解 決題意理解相關之問題。研究者綜合有關數學文字題題意理解之相關研究,歸納 分析如下:. (一)題意理解的困難來自於學生缺乏語言知識、事實知識及基模知識 從研究中發現語言知識、事實知識及基模知識的缺乏導致學生理解困難。例 如,林麗華(2006)以 84 名國小三年級的學生進行數學文字題閱讀理解能力的研 究,發現學生普遍缺乏語言知識和事實知識,對於數學的專有名詞無法清楚轉譯, 且會使用錯誤的基模來組織問題。 江宜真(2007)針對二年級學生在不同步驟加減法文字題解題的研究中指出 文字題中文字概念和語意關係的確是影響解題的因素。二年級學生雖已達累進性 合成運思階段,但在加減互逆概念的形成卻有差別,有的學生已達到加減互逆性 質「概念性理解」,有的只達到「工具性理解」,只是把題目中的兩個數字拿來做 加減,而不知原因。 王彩芝(2011)篩選出有數學解題困難的三位二年級學生,統整二上數學教 科書教材,設計個別的補救教學計畫,經八週補救教學後發現基模知識、陳述知 識缺乏是困難原因。 李雅萍(2011)以國小低年級數學教科書應用題文字敘述與國語教科書字詞 學習進度關聯性之分析,結果顯示若是低年級學生生活中常見且熟悉之事物,則 詞義理解上不會造成困難,但是對「相差」、「已經」、「賣」、「比」、「還不夠」等 詞義在高、中、低成就學生理解情形有差異,也影響其解題表現。 19.

(32) 郭怡君(2012)研究國小二年級學童在加、減與乘兩步驟文字題的解題表現 中提出學生文字題錯誤解題的原因是因為基模知識不足,只好以自己熟悉的方式 運算,卻非正確的基模知識;語文知識的不足或語意不瞭解造成問題轉譯困難, 有時學生雖具有閱讀題目的能力,但並不代表其知道題目真正的意思。 吳秀美(2012)以國小一年級十位學童為研究對象,發現問題轉譯的正確性 受題目敘述方式影響,且因誤用關鍵字而選擇錯誤策略,學生需要正確的語文及 語意知識。 Cardelle-Elawar(1992)研究低數學成就學生的數學學習,發現要使低數學 成就學生的解題能力有所進步,必須改善學生的語文能力,才能使學生能夠了解 問題核心,並加強自身的基模知識。 綜合研究結果,學生理解的困難常是因為學生本身具備不足夠的語言知識、 事實知識、基模知識,因此造成問題組織上的錯誤、選擇錯誤的策略、轉譯錯誤, 詞彙字義理解錯誤。. (二)理解單一步驟文字題是多步驟文字題的先前基礎 多步驟文字題較單一步驟文字題,題目陳述較複雜,學生理解較困難,故確 實的理解單一步驟文字題是進行多步驟文字題的基礎。江宜真(2007)以國小 334 位二年級學童面對不同步驟加減法文字題時的迷思概念,針對一步驟、二步驟、 三步驟的題型,指出題目中步驟越多,學童的理解越差,而對於學童來說,多步 驟文字題中的第一個步驟是最困難的,故在學習二步驟之前,學童一定要完全了 解第一步驟的類型。 顏欣妤(2012)以國小二年級學生為對象,進行多元表徵發展二步驟加減文 字題數位教材之行動研究,發現直接進行二步驟文字題時,學生容易產生理解困 難,宜先確定學生理解一步驟問題,且布題時使用分段布題策略,從學生已有的 解題經驗開始,能促進概念連結。 20.

(33) (三)以非例行性題目評量題意的理解 學生可以正確的解題,並不表示確實的理解題意,有時是因為題目陳述上的 固定性導致的,以非例行性題目,可以評量學生理解的情形。陳立倫(2000)研 究 86 位國小二年級學生在比較類文字題的認知歷程,發現學生雖出現正確的解題 策略,並不代表學生真的理解題意,而是題目語句結構上的固定性,使得學生可 藉由部份訊息提取策略並解題成功,當學生面對複雜問題,容易顯得束手無策。 因此學生即使解題正確,仍須留意其是否確實理解題意。 理解是學習中很重要的目標。學校教育中常以例行性題目進行紙筆測驗評量 學生是否達到理解的程度。黃敏晃(1997)認為可由兩種方式來評量,一種方式 是讓學生儘量寫出或說出一些他知道的知識,例如「請舉例說明 0.05 的意思」之 類的申論題,另外的方式是用非例行性問題考他們,看學生會不會將知識作學習 遷移,應用到他們沒看過的題目上去,而所謂的非例行性的問題,常包含下列四 種型態: 1.資訊多餘的:例如,媽媽帶 500 元上街,買菜用去 245 元,買水果用去 179 元,問共用去多少元? 2.資訊不足的:如媽媽買了 2 盒蘋果和 14 個水梨,問還要知道什麼,才知道 媽媽買了多少水果? 3.資訊矛盾的:如有六個小朋友來小華家玩,媽媽給他 100 元去買飲料,他 想買 7 罐可樂,可樂一瓶 15 元,問他可買多少瓶? 4.有運作上觀點的:如(二、三年級),三張色紙 20 元,12 張多少元?. 五、小結 綜合本節的文獻,數學文字題理解困難的原因可以分為題目本身和學生本身, 題目本身造成的理解困難,包含題目使用的詞彙、題目語意、題目結構、題目情 21.

(34) 境等,而學生本身所導致理解困難的原因則是文字題閱讀習慣錯誤、題目轉譯模 式錯誤、問題基模不夠、先備知識不足等。因此在課程設計上應掌握這兩大影響 因素,運用策略在數學文字題題意的探究,改變學生錯誤的習慣及加強不足之處, 較能達到學生題意理解能力的改善與提升。在評量學生題意理解方面,以國小二 年級的學生來說,請學生說出他心中的數學知識及使用非例行性問題問學生,是 可行的做法,故研究中關注學生對於數學知識的口語表達,亦將非例行性題目融 入教學設計中,用以評量學生的理解情形。. 第二節 加減法問題之相關理論與研究 兒童文字題加減法的學習,是數學學習的重要時期,日後發生學習困難,往 往可追溯到此一時期(古明峰,1999),因此加減法是兒童數學學習的基礎。. 一、加減法問題的語意結構 語意結構是指問題內容情境中,句子語言陳述的意義及各陳述之間的關係(古 明峰,1998;王雅蘭、張蓓莉,2004) 。單一步驟的加減法都包含兩個集合,以及 兩個集合之間關係的陳述。 單一步驟的加減法文字題依語意結構可區分為改變題(change)、合併題 (combine) 、比較題(compare) 、等化題(equalize)等四種題型(古明峰,1999; 翁嘉英,1988;Carpenter & Moser, 1982;Fuson, 1992),又可依數量運作之後的 增加、減少、比多、比少以及未知數的位置分成各種類型的問題,以下綜合學者 的看法,分別陳述單一步驟加減法問題的四種題型,並以表 2-2 加減法問題的類 型與例子來輔助說明。. (一)改變類 改變題問題是給定一個起始量,因為事件或動作使得起始量產生改變,起始 22.

(35) 量增加為添加型問題,起始量減少為拿走型問題,又可依未知數的性質細分為起 始量未知、改變量未知、結果量未知,共可分為起始量未知添加型、起始量未知 拿走型、改變量未知添加型、改變量未知拿走型、結果量未知添加型、結果量未 知拿走型等六類。. (二)合併類 合併類問題僅是靜態的關係,探討子集合的全體量和兩個子集合之間的關係, 依未知數的性質可分為部分量(子集合)未知和全體量未知。. (三)比較類 比較題問題是探討兩個互斥的集合相互比較的關係,一個為被比較量,另一 為參照量,兩集合之間相差的數量為差異量,依未知數的性質可分為被比較量未 知、參照量未知、差異量未知,題目描述的比多或比少,共可分為比較量未知比 多型、比較量未知比少型、參照量未知比多型、參照量未知比少型、差異量未知 比多型、差異量未知比少型等六類。. (四)等化類 等化題問題是改變類和比較類問題的混合,比較兩個互斥集合的大小,並加 上行為,使其中一集合元素的個數與另一集合元素內個數相等。依未知數的性質 亦分為被比較量未知、參照量未知、差異量未知。依數量運作之後的增加、減少 又細分為比較量未知比多型、比較量未知比少型、參照量未知比多型、參照量未 知比少型、差異量未知比多型、差異量未知比少型等六類。. 23.

(36) 表 2-2 加減法問題的類型與例子. 註:引自「中年級兒童『部分—全體』運思的發展:文字題圖選與解題作業表現 的差異」,蔣治邦,2001,中華心理學刊,43,頁 240。. 24.

(37) 加減法問題雖然其運算符號不同,但彼此之間是可以整合成一個有系統的知 識結構,涂金堂、林佳蓉(2000)提出高數學解題能力者能清楚瞭解加法與減法 的逆向關係,而低數學解題能力者則將加法、減法視為各自獨立的解題方法,具 零散的知識組織,無法將加減法統整於一個知識結構底下,如圖 2-3、圖 2-4。高 數學解題能力者必定擁有部分─全體的基模知識,知道全體是兩個部分的合成, 分解全體可重新獲得部分,部分與整體彼此的關係是雙向的。 5. 加. 於. 等 3. 3 等 於. 減 8. 圖 2-3 高數學解題能力者的知識結構圖。取自如何協助學生解決數學應用問題 (頁 34),涂金堂、林佳蓉,2000,台北市:復文。 5. 5. 於. 加. 等. 3. 3 等. 減 於. 8. 8. 圖 2-4 低數學解題能力者的知識結構圖。取自如何協助學生解決數學應用問題 (頁 35),涂金堂、林佳蓉,2000,台北市:復文。. 二、加減法問題的語句結構 在加減法問題的的語句結構上,綜合 Mayer(1982)和林碧珍(2000)曾提 出的句型,有指定句、關係句、疑問句、動作句、隱藏句等,不同的句子在問題 中的作用也不一樣,其範例說明如下: 25.

(38) 範例一:哥哥身上有 25 元(指定句),買了一個甜甜圈花掉了 15 元(動作 句),哥哥身上還有多少元。(隱藏句,沒有明顯地在問題中呈現,其實是下一句 之指定句)媽媽又給了他 10 元,(動作句)現在哥哥有幾元?(疑問句) 範例二:哥哥身上有 25 元(指定句) ,妹妹身上的錢比哥哥多 5 元(關係句), 請問妹妹身上有幾元?(疑問句) 當題目中含有關係句時會增加理解的難度,所謂的關係句是表示數量間之數 量關係的陳述句。Mayer(1982)在一相關的研究中發現問題理解轉譯上的錯誤 通常發生在關係句,而不發生在指定句中,顯示學生缺乏合適的語言知識可以將 關係句表徵於記憶之中,因此提取時容易發生錯誤。而在 J. G. Greeno 與 M. S. Riley、J. G. Greeno 與 J. J. Heller 的研究中也發現兒童會忽略關聯性的敘述,將關 係句直接當成指定句使用,導致理解錯誤(Mayer,1987/1997)。 當題目中只含有指定句、單一動作句、疑問句,是單一步驟的加減法,對學 生而言是容易理解的,但是當題目中含有指定句、多個動作句、隱藏句、疑問句 時,此時形成多步驟的題型,對學生而言較困難,因為多步驟的問題需要更多問 題的整合(蔣治邦,1993),學生須能從句子脈絡中明白隱藏句,將指定句、動作 句、隱藏句整合成一貫的問題,進行多階段的運算,若無法成功整合,就會無法 成功解題。. 三、低年級兒童數的合成運思與加減法問題理解的關聯 加減法問題具有不一樣的語意結構,不同運思層次的兒童能理解的語意結構 亦不同。序列式合成運思的兒童,對於部分-整體關係的理解仍有困難,因此對於 比較類差異量未知比少型的問題就容易產生理解困難。依據甯自強(1997) 、蔣治 邦、鍾思嘉(1991)及呂錘卿、余毓珊、蘇淑紋(2011)的研究,研究者將兒童 運思層次和加減法問題理解之關係整理如下:. 26.

(39) (一)序列式的合成運思 兒童進行數的分解與合成時,運用數個「1」將數量依序具體模擬,進行操作 表現出來。學生可以理解合成、分解的意義,對於改變類的結果量未知、合併類 的全體量未知、比較類差異量未知比多型的題型,能理解問題。. (二)累進性合成運思 此運思可以使用一個集聚單位(例如:10 或 16)為基礎,繼續合成新的「1」, 而形成新的集聚單位,例如以 16 為起點,繼續合成 3 個「1」,而形成 19,已不 需要全盤托出,可以集聚單位為出發點進行量的合成及分解,但尚未能掌握加、 減互逆關係。此時可以理解比較類差異量未知比少型,亦可利用累進方式理解改 變類改變量未知、等化類差異量未知等題型。. (三)部分─整體運思 此運思掌握「1」單位與以「1」為單位量所合成的集聚單位(例如:10 或 100) 間的部分─全體關係,且能明顯地區分兩者的意義,故而在混合使用兩種以上的 被計數單位時,不會混淆,也可以將數個集聚單位和數個「1」單位合而為一,形 成新的集聚單位,例如,能區辨 3 個「十」與 3 個「一」這兩個 3 具有不同的意 義,而將 33 視為 3 個「十」與 3 個「一」的合成結果,發展多單位的觀點。改變 類起始量未知、合併類部分量未知、比較類比較量未知、比較類參考量未知的理 解會逐漸提高,等化類的比較量未知,也會因學生具備部分—整體的運思,題意 理解的困難度會下降。 兒童運思階段發展的不同,所能理解的加減法問題類型也不相同,而等化類 參考量未知並未歸類於此三種運思模式之下,顯現低年級兒童對於此類題型則是 比較難理解的。教師在進行題意理解的教學時,應先了解學生運思階段的發展,. 27.

(40) 利用策略,逐步提升學生運思層次,有助於題意的理解。. 四、理解加減法問題的相關研究 與加減法問題相關的研究相當多,研究者從理解的角度去分析加減法問題的 相關研究,歸納如下:. (一)加減法問題具有不同的語言特徵 加減法問題在陳述題目時,不同類型有不同的語言特徵,如合併類常會出現 「和」 「共」 ,改變類的「又」 「再」 ,比較類的「比…..多(少)」 ,等化類的「還要」 「才夠」 「和……一樣」等,學生如果只根據語言特徵判斷語意及運算符號,可能 導致理解錯誤。 洪敬傑(2011)以數學加減文字題進行語言分析,以小句為基本單位,進行 成分分析,將小句區分成參與成分、過程成分、環境成分、連接成分、及人際成 分。研究中提出加減法文字題語言特徵相同的是參與成分多是物品或人名,過程 成分中「有」出現頻繁,且細分為關係過程的「有」及存在過程的「有」 。而四種 文字題的語言差異集中於環境成分、連接成分及人際成分。改變類的語言特徵有 「原來」 「現在」 「又」 「再」 ,合併類的語言特徵有「和」 「共」 「其中」 ,比較類的 語言特徵有「比…..多」 「比…..少」 ,等化類的語言特徵有「還要」 「才夠」 「和…… 一樣」 。學生在閱讀文字題時經常受到表達成分的干擾,如「和」 「共」 ,就用加法, 「差」「比」,就用減法,而忽略由文字題中其他成分來判斷數量的關係及題目的 語意。 梁瑞真(2005)分析國小四年級學習障礙學生在加減法應用問題題意理解上 之表現,發現學生固著於四種類型加減問題語言特徵上的字義,造成題意理解失 敗,如合併類的語言特徵常出現「共」字,學生單就關鍵字義來思考,導致子集 合未知題題意理解錯誤;對於改變型的題目,依據句中的動作語言作判斷(如: 28.

(41) 又飛走 25 隻、再來了 15 人) ,未能掌握整題語意;比較類的題型中單就關係句中 「比」字,運用「固定減法策略」解決所有的比較型題目,導致題意理解錯誤。. (二)加減法問題具有不同的難易度 相關的實徵研究提出改變類和合併類的未知數位置愈前面,則難度愈高。而 多數的研究認為比較類是加減法問題中讓學生感到較困難的題型,尤其題目語言 敘述與運算符號不一致性時,更容易理解錯誤。 Riley(1981)研究發現,在改變類和合併類來說,未知數所在位置愈前面則 難度愈高。例如改變類問題中, 「起始量未知」比「結果未知」的題目困難;在合 併類的題目中, 「子集合未知」比「總數未知」困難;其難度增高的原因是由於語 意結構與兒童解題的策略有所衝突﹙Riley, 1981; Willis & Fuson, 1988﹚ ,例如:「小 明有一些糖果,小華給他 5 顆後,現在小明有 8 顆糖果,請問小明原本有幾顆糖 果?」 。此為改變類添加型,以語意結構來說,對應的是累加的策略,但實際解題 的策略卻是結果量減掉改變量,和語意結構所對應的策略矛盾。此類問題的解題, 學生須發展出加法與減法的互逆關係,符合涂金堂、林佳蓉(2000)所提出的高 數學解題能力者的知識結構。 但在比較類的題目中,「參照量未知」比「差異量未知」或「被比較量未知」 困難(Riley,1981)。其牽涉到語意敘述的一致性與不一致性,例如: 「小明有 8 顆糖果,小華比小明多 5 顆彈珠,請問小華有幾顆彈珠?」—小 華是關係句的主詞,「比多」和運算符號「+」對應,是為一致性比較題。 「小明有 8 顆糖果,小明比小華多 5 顆彈珠,請問小華有幾顆彈珠?」小華 是關係句的受詞,「比多」所對應的運算符號卻是「-」,此為不一致型比較題。 這也是比較題中最難的題型,學生須反轉關係句的語意,才能正確解題。 翁嘉英(1988)探討國小二、三年級兒童在「比較」應用問題的解題行為, 提出在「被比較量未知」題裡, 「比多」比「比少」的問題造成較多的錯誤,在「參 29.

(42) 照量未知」題裡, 「比少」比「比多」的問題造成較多的錯誤,以低年級學童而言, 由於兩個數量不同才有作比較的需要,因此「比」意味著兩量的不同,如此也就 隱含「相減」的意義,所以用減法運算解決所有比較問題,被比較量未知的比多 題與參照量未知的比少題的錯誤率就較高了。 蔣治邦、鍾思嘉(1991)研究一到三年級學童在加減法概念上的發展,發現 添加型結果量未知、拿走型結果量未知、添加型改變量未知和拿走型改變量未知 及合併型全體量未知是學童們最早能掌握的類型,較多型差異量未知和較少型差 異量未知其次,而較多型比較量未知、較少型比較量未知及合併型部分量未知是 較困難的題目。 Fuson、Carroll 與 Landis(1996)根據對國小一二年級學童的解題表現,提 出兒童在解比較類文字題有四個表現層次,第一層次是關係層次,兒童能夠回答 「誰比較多?」及「誰比較少?」的問題,至於「多了多少?」及「少了多少?」 的問題,則是隨機從題目中選一個數字作為答案,或是忽略關係句中的「多」或 「少」這個字眼。第二層次是語言線索,依賴關鍵字「比多」或「比少」而選擇 符合語言的加或減的運算符號。第三層次是瞭解可配對情境層次,能使用配對的 概念而直接進行兩集合配對比較。第四層次是解決不一致層次,問題關係句中所 使用的語詞與運算符號是相反,而這種問題即是參照量未知的問題,兒童會利用 與題目中關係句相反的等化概念來解題。 謝毅興(1991)的研究也同樣指出攜帶數量之比較語句困難度高於不攜帶數 量之比較語句,和 Fuson 等人(1996)所說的第一層次符合,顯示兒童對於比較語 句的差異數量表徵較困難。 胡秋綾(2008)探討國小三年級學童在比較類加減法文字題的理解能力,提 出比較類加減法文字題中,被比較量未知比多型和參照量未知比少型,困難度相 較之下高於其他的題目類型,以題意陳述方式為不一致性語言的參照量未知題最. 30.

(43) 不易理解。學生傾向將比較類加減法文字題與減法做連結。算式的未知數位置愈 左邊,愈不容易被理解。 吳秀美(2012)探討國小一年級學童面對不同類型加減法文字題的解題及思 考方式,發現「改變類/結果量未知/添加型」和「改變類/結果量未知/拿走型」相 對難度最低,相對難度最高的是「比較類/參照量未知/比少型」。 綜合學者的研究,比較類問題是學童最困難的題型。其可能原因是兒童對於 問題中的「關係句」較無法理解,形成表徵困難的主要原因。. 五、小結 綜合上述文獻,不同類型的加減法文字題因為語言特徵、語意結構的不同而 有其不同的難度,學生在閱讀加減法文字題時,大多順著題意脈絡思考,解題策 略如與題意敘述一致,學生較容易理解,如需逆向轉換敘述語言,常是理解困難 的地方,尤其是關係句的部分。為了擺脫學生對題意脈絡的依賴,本研究在進行 課程設計時,除了配合不同類型加減文字題的難易度之外,並利用策略讓學生辨 別問題的結構。. 第三節 題意理解之相關策略與研究 題意理解對於解題歷程來說是極其重要的第一步驟,教學者應當於教學過程 中給予學生一些策略性的指導,逐步培養並提升學生題意理解的能力。. 一、題意理解相關的策略 在數學文字題中,教學者如能利用策略,提供鷹架,將可提升學生的題意理 解能力。以下提出一些與題意理解相關的策略。. 31.

(44) (一)SQRQCQ 策略 L. Fay 針對數學文字題解題提出一個六步驟的 SQRQCQ 策略,作為解決數學 文字題的步驟(引自 Barton, 2002),此步驟亦提供題意閱讀一個程序性的步驟, 其說明如下: 1.瀏覽(survey):快速閱讀問題以獲得大概之了解。 2.提問(question):自問問題提供了那些訊息以及問題的要求是什麼。 3.閱讀(read):重讀問題以確認與解題有關的訊息、事實與細節。 4.再提問(question):自問欲成功解題所必須執行之步驟、運算及執行的順 序。 5.計算(compute or conduct):執行計算或執行解題。 6.再提問(question):自問解題過程正確性及答案的合理性。 Fay 的「瀏覽」及「閱讀」步驟,即是對問題進行二次讀題,和 Meyer & Rice(1984) 所提出的論述雷同,即第一次讀題在於回憶過去的相似情境,引發和先備經驗的 連結,第二次反覆讀題在於蒐集題目所需的資訊。葉家綺(2005)在了解不同語 文理解能力與數學計算能力學生的解題中也發現,學生常利用重讀以理解問題。 數學題目以簡潔精確的文字書寫,任何一個文字或符號可能表達一些重要概念, 因此需反覆閱讀,確認已知條件、問題的解題目標、認識有關及無關資料、辨認 解題所需資料。學生常有快速讀題,導致題意誤解。在教學上,應引導學生反覆 讀題,以確認題意。 L. Fay 的「提問」步驟,如同 Polya(1945)在「怎樣解題」一書中提出的, 一再的問學生「有哪些已知條件、解題目標是什麼」 ,雖是相當普遍性的問題,對 學生卻是相當有幫助的。提問可以協助學生將注意力集中在主要內容而非不重要 的細節上。第四步驟「再提問」 ,將問題的已知條件、情境、目標進行整合,形成 以問題為中心的表徵模式,符合 Mayer 和 Monk(1995)提出的問題模式。 32.

(45) 因為研究對象為國小二年級,尚無自主使用策略的能力,因此提問的部分先 由老師引導提問及示範提問,供學生於情境中模仿,學習使用自問的策略。初期 由教師提問題目中已知的條件、情境、及所要解題的目標,逐步的轉移為學生共 同提問,之後自己提問。. (二)標示 標示策略是指在題目內安置一些非內容的文字或記號,作為強調或重點的提 示。Mayer(1987/1997)指出標示有利於缺乏閱讀技能的讀者,引導閱讀者注意到 概念性訊息,可鼓勵學習者圍繞著概念性訊息組織學習材料。在數學問題的分析 上,教導孩子將已知條件、解題目標做記號,能提醒學生注意到兩者之間的落差, 在這落差之間試著尋找連結,並將有關及無關訊息做標示,可引導學生的注意力。. (三)倒推法 對於數學題目的理解,我們常順著題目思考,運用順向思考方式去推理問題, 是為前推式處理方式,但有些問題卻適合從目標倒推向前,如數學的證明題,倒 推法必須符合問題有單一明確的目標,並且有清楚可描述的結束狀態(鄭麗玉, 1994) 。數學文字題大多有一明確清楚的解題目標,故當問題無法用前推法解決時, 可由目標狀態倒推向前,也是另一種分析策略,如數學問題中的多餘資訊的題型, 此類題型中有數個線索,當閱讀完題目之後,不知該選取哪些訊息時,即可用解 題目標倒推回題目中找訊息,則比較容易找出相關正確的訊息。. (四)問題基模圖示 在問題的分析上,教師常會使用畫圖的方式幫助學生理解題意並分析問題,。 然而圖畫是有不同的成分存在(Kozhevnikov, Hegarty, & Mayer, 2002),Hegarty 及 Kozhevnikov (1999)定義兩種圖畫類型:一般圖示及基模圖示,一般圖示只是將問 33.

(46) 題中的物體畫出來,而基模圖示則可以將問題間關係表現出來,基模圖示比起一 般圖示來說,更有助於理解題意。 Fuson 和 Willis(1989)設計一套「基模圖」(schematic drawing)如圖 2-5, 題目依語意結構分為四大類:合併、改變-增多、改變-減少、比較,每一類型又 依未知數的位置分成三種,教導 96 位小學二年級學生解單一步驟加減法文字題, 大部分的學生在接受了五個單元的教學後,可以依不同的語意關係選出基模圖, 且正確的圖示與正確解題策略成高的正相關,前後測的成績也達顯著差異。. 圖 2-5 Fuson 和 Willis(1989)基模圖。引自圖示表徵策略對提昇國小三年級數 學低成就學童加減文字題補救教學成效之研究(頁 21),羅秋霞,2006,國立台 北教育大學特殊教育學系碩士論文:台北市。. 34.

(47) 二、運用策略協助理解之相關研究 在題意理解過程中使用策略,對於學生正確轉譯題意有正面的成效,在數學 加減法文字題的相關研究中,常運用多元的策略協助學生理解問題。歸納其使用 的策略如下:. (一)圖示表徵 圖示表徵可協助學生理解問題中的關係,相關研究中所使用的圖示可分為一 般圖示、線段圖、問題基模圖示等,以下分為說明。 1.一般圖示 阮慧津(2009) 、鄭雅文(2012)以一般圖示為研究方法進行教學,協助學生 三、四年級學生理解數學文字題。阮慧津(2009)發現教學時從具體、半具體到 抽象,能使學生繪製出符合題意的圖示表徵協助理解;鄭雅文(2012)的研究中 提出初期學生會專注在圖示表徵的圖案上導致失焦,在過程中要不斷提醒學生確 認圖示中的數字和題意的相符性。 以研究結果來說,以林麗華(2006)在進行國小不同成就學生對數學文字題 的閱讀理解能力的探討中,提出加強圖示表徵可以輔助學生的數學閱讀理解,有 助於學習 2. 數線圖 數線圖也是圖示的一種,使用數線也可以協助學生理解題目中的關係,有助 於理解問題。 李虹韻(2010)、李冠穎(2010)、顏欣妤(2012)、邱靜宜(2012)運用數線 圖策略進行研究,李虹韻(2010) 、李冠穎(2010)在國小四年級數學低成就學生及 3 名四、五年級學習障礙學生的研究中發現,學生在線段圖策略引入之後,會想 35.

參考文獻

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