第四章 研究結果與討論
第一節 叮噹老師學科教學知識的內涵
本研究依據文獻探討將學科教學知識所包涵的成分界定為學科內容知識、教 學知識、課程架構知識、學習者知識、情境脈絡知識以及教師個人信念知識六種 做為分析的依據，以下就叮噹老師教學現場與教學輔導情形，從較鉅觀的角度來 分析其學科教學知識。
壹、 學科內容知識
學科內容知識指教師對任教學科知識的了解，係指教師所應該了解學科中的 事實知識與原理，學科中核心與邊緣概念等知識，從叮噹老師教學輔導情形及教 學表現可歸納其具有的學科內容知識如下：
一、理解乘法算式規則
就乘法算式來看，叮噹老師認知到「物件單位量×單位數＝物件總數量」與
「單位數×物件單位量＝物件總數量」的互通性，無論使用何種規則，學生只要
能正確說明乘法算式中各數字和符號的意義都是可被接受的。在某次乘法教學後 進行訪談時，他說：「被乘數跟乘數有意義的話是在單位，計算沒有什麼意義。
在應用題單位的時候，你要知道它出來是什麼意思，但是計算有沒有意義，計算 只是一個工具，我們要技巧，要讓他快一點、會算，那應該要教他簡單一點！（訪
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）」此外，在某次的教學輔導中，有老師問到「二、三年級應用問題的乘法是否 應強調3（元）×6（個）＝18（元），例如 3 元的 6 倍，若學生寫成 6×3＝18 的 式子是否應糾正？以前有本Q&A 中提及一輛車子 4 個輪子，5 輛有多少個輪子？
（以4×5＝20 或 5×4＝20 皆可解釋）難道每道問題皆可以不同解釋使被乘數與乘 數互換？」當時叮噹老師回應：「從題意來看，
4
個輪子有5
輛應該是4×5
＝20
（個）輪胎，但如果學生回答，有
5
輛車子，一輛有4
個輪胎，所以5×4
＝20
（個）輪胎，那也沒有錯。就數來講的話，被乘數跟乘數互換是成立的。（教輔
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）」二、乘法問題情境中，被乘數與乘數的位置無特別意義
在三下的教師手冊中提到關於乘法的教學研究，編輯者指出，我們可透過乘 法的因果關係，將乘法問題情境分成「非對稱型情境」（如例4-1）與「對稱型情 境（如例4-2）」，前者意指乘數與被乘數有不同的意義或單位，後者則指乘數與 被乘數角色相通可以互換。
例4-1
老闆將店裡每顆3 元的軟糖，分成 100 顆和 250 顆兩種包裝。
（1）100 顆軟糖的包裝，一包要賣多少元？
（2）250 顆軟糖的包裝，一包要賣多少元？
例4-2
小丸子有4 件上衣、5 條褲子，她可以有幾種搭配方式？
雖然手冊中將乘法問題情境分成「對稱」與「非對稱」兩類，但從訪談的過 程中發現，叮噹老師認為乘法問題情境中，被乘數與乘數的位置無特別意義，當 研究者問：「像他這個在問多少錢的話啊，像這單位是元，你元就一定要寫在被 乘數，有這個說法嗎？」他說：「國小他會為了這個在爭，到了國中或高年級他 就不太會爭這個，都是低年級老師在爭。（訪
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）」意思是有些低年級老師 會強調名數一定要寫在前面，但高年級老師就不那麼重視了。在實際教學時叮噹 老師並不強調乘數和被乘數所在位置的意義，只要學生能正確解釋答案代表的意 義即可。以例4-1（1）的題目來看，橫式紀錄應寫成【3×100＝300】，但叮噹老 師則說：「我們用計算來解答，那計算來講的話，我們可以應用100×3
，寫答案 的時候你要知道它是元，或是幾顆這樣子啊。（訪950302
）」由此可知，叮噹老 師並不刻意強調被乘數與乘數位置的意義，反而較在意其本身代表的意義以及計 算的方便與快速。三、認知「量」的多樣性，但較少提及關於教學方式的差異性
就對「量」的概念而言，本單元首次進入「重量保留」與「量感」的概念，
就此部分的教學來看，叮噹老師認知到「量」的多樣性，包括了長度量、時間 量、容量、重量等，而量與量之間又有其差異性。以重量來看，它是一種無法 以視覺直觀感受的量，因為物件的重量與其外顯的體積、形狀、顏色等都沒有 絕對的關係，這種特質使得學生在建立重量的量感、形成重量的保留概念、發 展重量的估測能力等方面，都比長度、面積等量來的困難。他說：「我跟你講，
重量不好上啦，（它不像其他的量），它觀念很簡單，但是對上的人來講，你跟 他講這樣怎麼看怎麼看（指秤面上指針變化的情形），這很簡單，但是不是這 樣（用看的）而已，在日常生活中你要準備很多東西，你要一下就上過去很好 上，幾公斤幾公斤量一量，很多老師認為說很好上，其實我覺得最主要要有量 感，他應該是說他要有量感，讓他自己拿東西秤秤看這個東西到底有多重，（讓 他去感覺），讓他自己有量感。（訪
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）」由於研究者在研究期間所觀察到的單元有限，在「量」的部份只有重量與 面積量兩個部份，因此在訪談時並未詢問叮噹老師在進行重量教學時與其他量 的教學方式有何差異之處，僅提及重量教學特別著重操作與體驗而已。
四、加減乘除間互有關聯性
乘法的觀念是透過累加的概念而形成的；除法的初步概念是從累減開始，而 之後再建立乘除法互為逆運算的觀念做為除法算則的基礎。從叮噹老師進行乘法 與除法的教學過程中可發現「加法與乘法」、「減法與除法」以及「乘法與除法」
之間的關連性。此部分在第二節單元之間的學科教學互動會詳加說明，從中可看 出叮噹老師認知加、減、乘、除之間關聯的程度。
貳、 教學知識
教學知識係指各學科都適用的ㄧ些教學原則與策略，包括班級經營和發問技 巧等。叮噹老師在課堂上展現了不少教學知識，分述如下：
一、兼顧外在動機與內在動機，但較著重內在動機的培養
研究結果顯示，叮噹老師認知到動機的具備是促使學生學習能持續進展的 重要因素，因此在教學時他會兼顧內外在動機的培養，在外在動機方面，當學 生作答或回答正確時，他會提供小獎品作為酬賞物，學生會因物質酬賞而有學 習的動力；在內在動機方面，叮噹老師則是透過培養學生的參與感、成就感來 增進，進而成就個人價值或是滿足自我預期。在參與感方面，他說：「活動來 講教學來講，我都會讓他們參與，雖然感覺上秩序有點亂，但是他們的參與程 度很高。（訪
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）」在成就感方面，他說：「最重要的是，學完之後給他強 調就是說，ㄝ..
很簡單，當然我會挑比較簡單的題目給他們練習。當然啦成就 感是支持他們能夠繼續努力的重要原因。（訪941215
）」就如同在某次除法教 學的課堂觀察中，叮噹老師一開始先以提問的方式複習九九乘法，每個小朋友都特別專心的等著老師喊「1、2、3」，想要獲得回答的機會（觀 941205）。叮 噹老師指出，因為成就感是引發學生內在動機的重要元素，如能由簡單的布題 讓學生從中獲得信心，先培養對數學的興趣後，便能使其上課更專注，相對的 學習成效也會增加。
二、增強物的多元運用
叮噹老師認知到在教學時可使用增強物來提升學生的學習興趣與動機。增 強物依照其性質可分「原級增強物」、「次級增強物」與「社會性增強物」。在 原級增強物方面，叮噹老師準備了放滿許多小玩具的戳戳樂禮盒；在次級增強 物方面，班上同學最喜歡的「優點大放送」（如圖4-1），是叮噹老師刻意塑造 一個讓大家可以獲得成就感及榮譽感的活動，不管是課前的複習還是上課中的 練習都可運用，只要小朋友表現良好就可以拿到一個優點（貼紙）；在社會性 增強物方面，叮噹老師時常會讚許學生的表現，如「你們太厲害了！」「×××
表現的很好」「×××很棒喔！」來增加學生的榮譽感和信心。
說明：在課堂上回答正確或上台練習正確者，即可獲 得一個優點，集滿十個優點可以參加戳戳樂 活動。
圖 4-1 加分表
三、學習策略與解題策略的傳遞
學習策略係指學習者所使用的任何有助於知識獲得、保留與回憶的行為與思 考活動。叮噹老師認知到學生並非生來就知道如何使用有效的學習策略，這項能 力是後天較晚才逐漸發展而成的，因此教師可以協助學生發展其學習策略。在多 年的國中教學經驗影響下，叮噹老師習慣在講解概念後，將其歸納成定理或公 式，請學生抄在課本中，如此一來學生在翻閱課本時，便能加深印象（如例4-3），
同時達到複習的效果，並可養成學生隨手做筆記的習慣。
例4-3
研：那老師你剛叫他們抄那個同分母..分子愈大..數愈大..那就是讓他們等於說記起來是 一個口訣嗎..
師：這本來就是定理啊 研：就是反射動作喔..
師：不是反射啦..沒有那麼嚴重啦…就是他以後看書會加強印象..沒有什麼特別的啦…你 敎的要留下一點紀錄..
研：就是講過他可能會忘記（訪950330）
在解題策略的部分，學生有時因為練習不足無法認知出簡單快速的解題策 略，這時叮噹老師會適時提供小撇步（例4-4，例 4-5）給學生，以引導的方式 讓學生提早習得這些策略，而這些小技巧對學生往後的學習也有所助益。此外，
這也是一種建立教學威信的方法，學生會因學到老師的絕招而更喜歡上數學課
（如例4-6）。
例4-4
師：把課本蓋上，筆收起來
（1） （2）
13000 40000 × 2 × 3 26000 120000
師：第一題算出來多少？
S1：（想了一下）26000 師：第二題呢？
Ss：（想了想）120000
Ss：YA！（觀 950307）
例4-5
社會互動意指的是人與人間的思想觀念的交流，而人與人間的直接對話(討 論)則為最直接、頻繁的一種社會互動，整個社會互動的過程具有社會化的作用。
在班級中的社會互動就是師生之間與學生之間的互動了，而叮噹老師時常將結合
在班級中的社會互動就是師生之間與學生之間的互動了，而叮噹老師時常將結合