第四章 研究結果與討論
第二節 叮噹老師學科教學知識間的互動
在第一節 知識、
課程
將近二十次的教室觀察當中，研究者所觀察的單元包括了「一萬以內的 題的工具，因此他的布題舉例都比較生活化。此外，他亦注重低中年級基礎概念 的理解與奠定，在此前提之下，再來才可要求演算能力的精進。這個觀念就如同 教育部（2006）針對九年一貫數學領域課程基本理念的定義中所提到的，數學運 算或計算並不只是機械式計算操作而已。所謂能熟練數學的運算或計算，係指在 能夠理解數學概念或演算規則的情況下，所進行的純熟操作。這種透過理解並能 將觀念與計算結合的能力，才是演算能力。
當中，研究者將學科教學知識依據學科內容知識、一般教學 知識、學習者知識、情境脈絡知識以及教師個人信念知識來分析叮噹老師的 學科教學知識，是從一個比較鉅觀的角度來看。Cochran 等人（1993）指出 PCKg 的概念，認為學科教學知識不僅是對上述各種知識的理解，更重視彼此間的互動 關係。此外，在Marks（1990）所繪製的學科教學知識架構圖中，勾勒出學科主 題、學生理解、教學媒介及教學過程的相互關連，在教學過程中的呈現重點更是 從年級特殊性、單元組織、教學策略和解釋方法來檢視教師的學科教學知識。研 究者以此為依據從微觀的角度，來探討叮噹老師在進行不同單元的教學時，針對 不同學習者以及不同情境是如何來呈現學科教學知識？這之間的互動關係又如 何？
在
數」、「乘法」、「分數的加減」、「除法」、「重量」、「面積」等，首先以表4-1 陳列
各單元的教學重點，接著再進一步從其教學過程加以分析叮噹老師學科教學知識
除 與包含除的解題過程
類的題目便省略不提，他說：「這排列組合，這個已經超出加法的範圍了，他只
1. 10+10+10+10+10＝_______。
所以有____個 10 相加，全部等於______。
2. 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1＝_______。
所以有____個 1 相加，全部等於______。（學習單附錄乘法-1）
接著才漸漸延伸乘的觀念，並帶入乘號，在這個部分老師會將部份答案先寫
例4-19
1. 10+10+10+10+10＝50。
所以有____個 10 相加，全部等於____×10＝50。
2. 1+1+1+1+1+1+1+1+1＝9。
所以有____個 1 相加，全部等於_____×1＝9。
3. 2+2+2+2+2+2+2+2＝16。
所以有____個 2 相加，全部等於_____×2＝16。（學習單附錄乘法-2）
再來則是以某數的連加來布題，可說是九九乘法的暖身活動，不過其連加的
例4-20
1. 2+2＝____。
所以有____個 2 相加，全部等於____×2＝_____。
2. 2+2+2＝____。
所以有____個 2 相加，全部等於____×2＝_____。
3. 2+2+2+2＝____。
所以有____個 2 相加，全部等於____×2＝_____。
. . .
9. 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2＝____。
所以有____個 2 相加，全部等於____×2＝_____。（學習單附錄乘法-3）
這一連串的學習單練習，是一種循序漸進的過程，叮噹老師認為九九乘法
研：就是先引導？
236
位數小的要放下面時，就有學生呼應「對啊！位數小的放下面比較好算」，甚至 當某位小朋友將位數高的放下面時，台下學生會糾正他說：「這樣很討厭耶！位 數低的放下面啦！」（觀950307）。
例4-28
師：你幹麻一開始要這麼講，為什麼一開始要教難的給他，你看3×100 這樣不是很難，100×3 不是更好（比較簡單），所以我會跟他講位數高的寫在最前面。
研：（意思是）被乘數就是位數比較高的？
師：（對！）不過乘法被乘數跟乘數沒有什麼意義啦！
研：只有在應用問題的時候（才有意義嗎）？
師：被乘數跟乘數有意義的話是在單位，計算沒有什麼意義。在應用題單位的時候，你要 知道它出來是什麼意思；但是計算有沒有意義（呢？）計算只是一個工具。我們要技巧 、要讓他（算）快一點，那應該要教他簡單一點啊！為什麼要教他那麼難！（訪 950307）
由上可知叮噹老師認為應讓學生從小即熟練較快速的運算方式，意即成人的
此外，在課堂上叮噹老師同時補充了乘法交換律的概念，讓學生了解乘數
4-29
師：我們來看一個東西！400 乘以 2 等於多少？
Ss：800
師：2 乘以 400 等於多少？
Ss：800 啊！
老師布題
紀錄方式，此與周筱亭、黃敏晃（2001）所持的看法不太一樣，他們認為課本呈 現的一些成人的紀錄方式的目的在於使學生看懂成人的乘法直式紀錄，在之後的 習作或紙筆測驗中，教師不宜要求此種呈現方式為唯一的標準答案，若學童能理 解並掌握成人習慣的解題過程，而此紀錄方式又有簡便的功能，學童會自然地轉 換成此種格式，不必嚴格的要求或規定。研究者認為教師可適時提點學生成人紀 錄的方式，讓其在耳濡目染中逐漸熟悉。
與被乘數互換在計算時並無差異（如例4-29）。
例
400×2＝800
研：像那種問題的話，之前也有老師問過，就是上學期去（輔導的時候）…
師：國小他會為了這個在爭，到了國中或高年級他就不太會爭這個，都是低年級老師在爭。
綜上所述，叮噹老師在進行乘法單元的教學前，已十分熟悉乘法的基礎觀
部份（如例4-36）。
問的方式隨即應證學生的理解程度（如例4-38）。
問題的答案，一但請他使用除法直式計算時，他便混淆了該如何計算（如例
20 師：再重新寫一次。
雖然答案正確，但老師請他重寫，每一步驟都要仔細寫下（觀941205）
4-43
老師你很強調他每個步驟寫出來？
S7：
例
法得來的..他會這樣做是很好..其實這有時 研：所以
師：（恩！）他會用心算沒有錯..因為他是用乘
候可以歸類到驗算，他可以算出正確答案，但是他的作法不對，比方他會驗算了，那 為什麼我會強調作法，今天比較簡單他會這樣做，他就沒辦法用乘法去反推回來，這 時候必須按照一個位數一個位數除，現在簡單他可以這樣做，阿難的他就沒辦法這 麼做，簡單的他就要學會，不然到難的他就覺得怎麼都不會，那時候挫折感就很重，
簡單他就要學會，所以我比較強調步驟，有些東西要強調，有些東西不用那麼在意，
這個是經驗吧！（訪 941215）
在二位數除以一位數的活動之後，叮噹老師設計了多份的學習單讓學生熟練
（如圖4-5、圖 4-6）。
1 2 6 7
6
2 1 1
2 2 0
圖 4-5 除法學習單 1 圖 4-6 除法學習單 2
接著就是三位數除以一位數的問題，叮噹老師認為這部分需花費時間解釋
（如例4-44）。延續著二位數除以一位數的教學策略，他同樣以敘述性的方式來 引導學生直式步驟與位數的關係（如4-45）。
例4-44
師：三位數除以一位數一定是二位數以上，那二位數的話我會讓它整除，商是整除，學習單 5 的最後一題是 105÷7，這些都會整除，而且 105 這個數蠻特殊的，不過我想提的就是啊
，你要怎麼解釋給他們聽他們才知道，這比較重要。（訪950420）
例4-45
師：三位數除以一位數有兩個關卡，百位數可以除跟不可以除兩種題型，那我是這麼 跟他解釋，我們先看百，先講300 除以三，他知道每個人得 100，那 330 呢？先 算百，300 分給三個人，每個人得 100，那剩下還有 30，30 再分給 3 個人，每個人 得10，所以每個人得 110。
研：就是用分解的？
師：我是這樣子教的啦！不知道對不對，那再來直式計算怎麼算呢？300 多的時候，先看
百位數，300 要分給幾個人，再來十位數，分給幾個人，個位數依此類推，這叫做百
研：就是你如果解釋就會了！（訪950420）
另外，就「有餘數，商要加 1 的應用問題（如例 4-48）」，叮噹老師有其特 別的教學策略。他通常會把應用問題中的主角換成班上的學生，讓他們有設身 處地的感受，如此一來對問題也會更加的敏銳（如例4-49）。
例4-48
9 個果凍裝一盒，375 位小朋友一人 1 個，最少要幾盒才夠呢？
例4-49
研：像這題還蠻那個（複雜）的。
師：不會，這種題目我有特別講，餘數到底要不要加一的問題。我就問跟他們切身有關（
的事情）。（例如說）去戶外教學啊！車子不夠，剩下一個人，請問你那那個人要不要去 ？分蛋糕勒？你要不要吃？要（就要）加一；賣蛋糕，要賣的裝一整盒才能賣，剩下 的可不可以賣，不夠不能賣。就是這樣啊，舉他們切身的例子，讓他們自己感受啊！（
訪 950420）
（二）除法教學之學科教學知識互動情形
關於叮噹老師進行除法單元教學時，學科教學知識之間的互動如下所述：
就其學科內容知識而言，叮噹老師認知除法的概念是從「累減」→「乘除 法互為逆運算的經驗」。因此在教學的過程中，他搭配課本中包含除（分裝）
與等分除（平分）的布題，讓學生先以累減的方式來解題，之後再帶入乘除法 互為逆運算的方式。另外就除法的紀錄格式來看，叮噹老師認知到除法算式填 充題對於未來進行數學溝通的重要性，因此建立除法概念後，隨即引導學童理 解「被除數÷除數＝商數…餘數」的格式，最後再引入除法直式記錄格式，在 此階段叮噹老師是運用「先算商數最多有幾個十，再算剩下的可以有幾個一」， 再引入使用「先算商數最多有幾個百，再算剩下的最多有幾個十，最後算剩下 的可以有幾個一」的教學策略。
就其學習者知識而言，叮噹老師認知到學生九九乘法的概念已具備，因此 花較少時間在使用累減策略解題的部份，而是較著重乘除法互為逆運算的經驗
累積。另外在除法直式記錄格式方面，叮噹老師認知到三年級學童尚屬「部分 -全體運思期」，此時學生不易掌握使用估商策略解決除法問題，再加上學生常 會犯「位數對錯」的錯誤，因此他會使用多步驟除法直式記錄格式解題活動，
搭配「先算商數（最多有幾個百），再算剩下的最多有幾個十，最後算剩下的 可以有幾個一」的教學策略，協助學童將自己的乘、減算式記錄轉換為直式格 式。
就其課程架構知識而言，叮噹老師認知到乘法與除法之間的相關性，因此 他調整課本單元的順序配置，在進行乘法教學後，隨即進入除法單元教學。此 外由於擔任輔導員的關係，叮噹老師平時即到各校進行正式綱要的推廣，所以 即使目前使用的教科書是依據暫行綱要所編制的，但叮噹老師會因應正式綱要
就其課程架構知識而言，叮噹老師認知到乘法與除法之間的相關性，因此 他調整課本單元的順序配置，在進行乘法教學後，隨即進入除法單元教學。此 外由於擔任輔導員的關係，叮噹老師平時即到各校進行正式綱要的推廣，所以 即使目前使用的教科書是依據暫行綱要所編制的，但叮噹老師會因應正式綱要