第四章 研究結果與討論
第一節 因數與倍數前測概念結果分析與探討補救學生之迷思概念
本節主要由四個方面來說明，第一是篩選補救對象前之因數與倍數概念測驗 的結果分析。第二是說明如何篩選出接受補救對象。第三是描述 3 名研究對象的 學習特質與家庭背景。第四是呈現 3 名學生在因數與倍數概念前測的作答情形。
一、篩選補救對象前之因數與倍數概念測驗的結果分析
實施因數與倍數概念測驗之對象為研究者本身任教班級的六年級學生共 15 人，下表為施測後結果之分析，分別表示該題錯的人數與答錯的比率，並且依據 各題目所代表的因數與倍數概念來論述分析的結果，其中 A－「因數」：找出因 數與找出公因數，共四題；B－「倍數」：找出倍數、找出公倍數，共五題；C－
「質數」：判別質數、判別合數、判別質因數與質因數分解，共十題；D－「最大 公因數與最小公倍數」：找出最大公因數、判別互質、最簡分數與找出最小公倍 數，共九題。學生整體的答題表現如下：
表 4-1 六年級學生因數與倍數迷思概念測驗之結果分析
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【第三題】下列的數中，何者為 32 的因數？① 2 ② 3 ③ 5 ④ 6。
【第五題】下列何者不是 15 和 45 的公因數？① 3 ② 5 ③ 15 ④ 45。
【第二十一題】8 和 9 的公因數有哪些？( )。
最大公因數是多少？( )。
其中第一題及第三題平均答錯率僅 17%，代表大部分學生理解因數基本概念：
第五題及第二十一題平均答錯率為 30%，答錯的學生有些未能將題目看清楚，或 是多寫其他因數。
(二)倍數方面
此題型主要了解學生是否具有倍數及公倍數概念。
【第二題】寫出三個 8 的倍數：( )。
【第四題】下列何者不是 24 的倍數？① 48 ② 42 ③ 24 ④ 72。
【第十六題】請問在 100 以內有幾個 17 的倍數？ ① 2 個② 3 個③ 4 個 ④ 5 個。
【第十七題】請問在 100 以內有幾個 19 的倍數？ ① 2 個② 3 個③ 4 個 ④ 5 個。
【第六題】那一個數不是 6 和 12 的公倍數？ ① 6 ② 12 ③ 24④ 48 。 第二題、第四題、第十六題與第十七題平均答錯率為 28%，尤其第十六題及 第十七題答錯率偏高，兩題學生選擇的答案主要是1 或 2，表示對於使用除法找 倍數之概念無法理解；第六題答錯率僅 20%，表示大部分學生均能理解公倍數之 概念。
(三)質數方面
此題型主要了解學生是否能判別質數、合數、質因數以及做質因數分解概 念。
【第九題】1~30 的整數中，下列那個數是質數？ ①7 ②9 ③15 ④21。
【第十題】 從下面各數中，那個數的 2 倍再加 1 不是質數? ①3 ②5 ③7 ④
第九題及第十題平均答錯率為 27%，表示有少部分學生對於質數的基本概念 尚未理解。
【第十一題】下面那個數是合數？①5 ②7 ③9 ④13 。
【第十二題】下面那ㄧ個數的 2 倍再減 1 是合數？ ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9。
第十一題及第十二題平均答錯率為 50%，答錯的學生均未能理解合數的意義，
或是與質數概念混淆以致選錯。
【第十三題】下列那一個數是 28 的質因數，也是 16 的質因數？① 2 ② 3 ③ 4 ④ 5。
【第十四題】下列那一個數是 40 的質因數？ ①4 ② 5 ③ 8 ④ 10。
【第十五題】下列那一個數是 91 的質因數？ ①2 ② 3 ③ 5 ④ 7。
第十三題至第十五題平均答錯率為 42%，表示有些學生對於質因數的概念未 能理解。
【第十八題】寫出 14 的質因數分解：( )。
【第十九題】寫出 28 的質因數分解：( ) 。
【第二十題】寫出 80 的質因數分解：( ) 。 第十八題至第二十題平均答錯率為 33%，仍有少部分學生未能將答案寫成質 因數相乘以致錯誤。
(四)最大公因數與最小公倍數方面
此題型主要了解學生是否具有最大公因數、判別互質、最簡分數與最小公倍 數概念。
【第七題】小花用一根筷子去量 24 公分和 36 公分的兩條緞帶，都剛好可以 量完，請問這根筷子最長是多少公分？ ① 12 公分② 18 公分③ 24 公分④ 36 公 分。
【第二十二題】求出 18、12 的最大公因數：( )。
第七題和第二十二題平均答錯率為 37%，第七題因有些學生不懂題意而無法 算出正確的答案。
【第二十五題】( )下列各組數中，那組是互質？ ①18、12 ②50、51 ③26、13 ④28、42。
【第二十六題】21 和 49 是否互質？( )；
21 和 49 的公因數有那些？( ) 。
第二十五題和第二十六題平均答錯率為 63%，答錯人數超過一半以上，表示 大部分學生對於互質的概念未能熟悉與理解。
【第二十七題】( )下列各分數中，那個數是最簡分數？
① 35 24 ②
100 15 ③
30 21 ④
25 55
【第二十八題】
16
12的最簡分數是( ) 。
第二十七題與第二十八題平均答錯率為 47%，有些學生對於化成最簡分數 之概念不甚了解。
【第八題】 老師將班上的同學分組玩遊戲，每 6 人分 1 組，或每 9 人分 1 組，
都剛好可以分完，請問班上同學最少有幾人？ ① 12 人② 18 ③ 24 人④ 27 人。
【第二十三題】求出 30，31 的最小公倍數：( )。
【第二十四題】求出 32，24 的最小公倍數：( )。
第八題、第二十三題和第二十四題平均答錯率為 49%，尤其第二十三題及第二十 四題幾乎超過一半的學生答錯，有些同學將答案誤寫成最大公因數或是計算錯 誤。
依據以上說明統整繪製本前測試題之六年級學生因數與倍數迷思概念答錯 率如下圖 4-1。
圖 4-1 因數與倍數迷思概念答錯率長條圖
3
二、如何篩選接受補救教學的對象
接受補救教學的對象是從六年級的一個班級共 15 名學生中所選取出來的。
首先，以因數與倍數概念前測卷施測，挑選出答題率低於 50%（題目總數 28 題）
的學生共 6 人，參考其學習狀況與因數與倍數單元各項成績(包含學習單、習作、
平時考與期中考)，並考慮家長是否讓學生接受補救意願，最後挑選出 3 人接受 補救教學，這 3 人的性別皆為男生，前測的成績為 10 分、11 分、13 分，再考量 每個概念的得分狀況，依總分 28 分來看均屬偏低，3 人的大致情形如表 4-2。
表 4-2 受補救教學之前測分析表
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補救對象 性別 因數(總 分 4 分)
倍數(總 分 5 分)
質數(總 分 10 分)
最大公因 與最小公 倍數(總 分 9 分)
前測之得 分(總分
28 分)
S1 男 3 4 3 0 10
S2 男 3 1 4 3 11
S3 男 2 3 6 2 13
三、研究對象之背景分析
以下就分別說明 3 人的學習特質與家庭背景。
S1 學生就研究者本身從五年級剛接任才得知該生有學習障礙，S1 學生自國 小二年級開始進入本校資源班就讀；由於學習障礙的關係，常常因為國字構字不 清與無法使用注音來連結，因此對於數學題目會因看不懂而放棄，需要老師一字 一句讀題才能寫出答案，資源班老師說 S1 學生對於數學計算方面尚可，但對於 文字應用題則是完全無法理解。雖然 S1 學生的國字和數字習寫會分離，老師時 常提醒他要慢慢書寫，養成正確的寫字習慣；S1 學生上數學課時學習態度還算 認真，阿嬤也同意 S1 學生接受補救教學，希望他能夠再進步。
S2 學生雖然在學校能做好自己本分的事情，但個性容易被人激怒，偶爾會 和班上同學玩過頭一時情緒激動而起衝突，也常因說話不算話或亂說話遭同學排
易分心，對於回答問題也會畏畏縮縮或一問三不知；家長對於 S2 學生在學校的 學業成績並不要求，只希望他能完成學校交代的功課，因老師和家長溝通過希望 S2 學生數學能夠進步，所以同意讓 S2 學生進行補救教學。
S3 學生為單親隔代教養家庭，為研究者剛接五年級時轉來的學生。由於 S3 學生的衛生習慣不佳、愛遲到、不交功課、說謊等等行為，常常被其他同學排擠，
本身個性沉默寡言，在班上十分安靜，不善與人交際，因此在班上的人際關係不 佳，不過有老師長時間的輔導與關心，目前 S3 學生的情況已經慢慢改善；課業 方面，S3 學生雖然上課認真，但是成績一直不是很理想，也會忘記完成回家功 課；尤其是數學作業，因家人無法給予指導，時常空白或是亂寫答案，考數學時 也常常看不懂題目而隨意作答，僅對於簡單的計算觀念能夠理解，爺爺希望老師 能夠利用課餘時間好好督促 S3 的課業。
四、研究對象之迷思概念分析
由表 4-3 可得知三位學生數理能力與語文成績於補救教學前後的差異情形，
S1 的國語成績雖然於補救教學後有些微的退步，但在數學方面進步許多，表示 經由補救教學後 S1 的數學能力有提升；S2 的國語與數學成績於補救教學前後差 異並不大，其原因大都是自己的努力不夠而無法再進步：S3 的國語成績僅退步 一點點，其數學成績從不及格進步至及格，表示 S3 透過補救教學後增加對數學 學習的信心，並願意努力把數學學好，以下為三位學生數理能力與語文成績於補 救教學前後統整表現：
表 4-3 三位學生數理能力與語文成績於補救教學前後統整表現
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項目學生
教學前 教學後
國語 數學 國語 數學
S1 84.5 38.625 78 59.01 S2 77.34 47.9 77.06 48.08 S3 83.245 53.995 80.415 63.965
在探討受補救對象的迷思概念時，研究者從前測的試題中，每個概念挑出 1~2 題來進行訪談，以更能清楚分析出學生本身之迷思概念，其中每個概念以本 章第一節所列之代號 A-「因數」、B-「倍數」、C-「質數」、D-「最大公因數與最 小公倍數」來表示之。 以下將以每個概念來做分析，並簡要呈現學生的訪談內 容與孩子的錯誤類型 (有※表示正確答案)：
(一)因數概念
以 A-第二十一題為例來說明研究對象在因數概念題目的答題情形，先 呈現題目內容再說明研究對象在作答時所表現出來的迷思概念。
1.A-第二十一題，題目為 8 和 9 的公因數有哪些？( )。最大公因數 是多少？( )。
表 4-4 為前測試題因數概念第二十一題研究對象的答題情形。在 A-第二十 一題中得知 S1 及 S3 的公因數寫對，而 S1 的最大公因數答案空白，因為不了解 最大公因數的意義；S2 的公因數答案多寫 2 和 4，因看成只求 8 的公因數，最大 公因數亂猜寫正確 。
表 4-4 A-第二十一題研究對象之答題情形
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項目學生 答案內容
S1 8 和 9 的公因數為 1；最大公因數空白 S2 8 和 9 的公因數為 1、2、4：最大公因數為 1
S3 ※8 和 9 的公因數為 1；最大公因數為 1 (二)倍數概念
以 B-第四題以及 B-十六題為例來說明研究對象在倍數概念題目的答題情形
，先呈現題目內容再說明研究對象在作答時所表現出來的迷思概念。
1.B-第四題，題目為下列何者不是 24 的倍數？① 48 ② 42 ③ 24 ④ 72。
1.B-第四題，題目為下列何者不是 24 的倍數？① 48 ② 42 ③ 24 ④ 72。