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第二章 文獻探討

第一節 因數與倍數概念探討

本節探討因數與倍數的意涵,以及從八十二年至九十七年數學課程綱要關於 國小因數與倍數的能力指標之修訂過程。

一、因數的意涵

對於因數的概念或定義有很多不同的解釋,從數學辭典中提到因數的意涵是:

整數甲可以被零以外的整數乙整除時,乙便是甲的因數。1 對任何整數而言都是 最小的因數,而整數本身是整數自己最大的因數(小牛頓國小數理辭典,1992);

而在數學百科中也提到對因數的定義如下:所有能夠整除某整數的商,稱為此整 數的因數(小牛頓數學百科 1,1996)。

另外因數的解釋可以由除法原理(若有 a、b 兩個正整數,則一定可以找到 q、

r 兩個非負整數,滿足 a = b × q + r 且 b > r > 0 或 b > r = 0 )為基礎,透 過判斷 a 是否能夠整除 b(餘數是否為 0)的方式,引入因數與倍數的定義,其定 義如下:設 a、b 是兩個正整數,若 a = b × q + r,其中 q 為正整數,而且 r=0,

則稱 b 為 a 的因數。例如:a = 12、b = 6,滿足 12 = 6 × 2,其中 q = 2,那 麼 6 是 12 的因數。在國小階段因數的討論範圍以正整數為主(國立教育研究院籌 備處,2002)。

然而在九年一貫課程綱要中對於「因數」的標準名詞解釋如下:一正整數 a 若能整除另一正整數 b,a 稱為 b 的因數。如:a = 6、b = 12,12 ÷ 6 = 2(餘

數等於 0),則 6 是 12 的因數。

因數問題是如設定一個正整數做為單位量,有哪些正整數為單位可以用乘法 方式成為這個正整數。如 8 的因數,一個 8 是 8;二個 4 是 8;四個 2 是 8;八 個 1 是 8,因此 8、4、2、1 皆可以用乘法方式成為 8 的單位量,稱之為 8 的因 數。

二、倍數的意涵

關於倍數的概念與定義,在數學辭典中的解釋如下:某個整數乘以另一個整 數所得的數,就是原來整數的倍數(小牛頓國小數理辭典,1992);而在數學百科 全書裡提到倍數的定義是整數加倍所得的數稱為此數的倍數(小牛頓數學百科 1,

1996)。

此外對於倍數不同的詮釋,是以除法原理(若有 a、b 兩個正整數,則一定可 以找到 q、r 兩個非負整數,滿足 a = b × q + r 且 b > r > 0 或 b > r = 0)為 基礎,透過判斷 a 是否能夠整除 b(餘數是否為 0)的方式,引入因數與倍數的定 義,其定義如下:設 a、b 是兩個正整數,若 a = b × q + r,其中 q 為正整數,

而且 r = 0,則稱 a 為 b 的倍數。例如:a = 12、b = 6,滿足 12 = 6 × 2,其 中 q = 2,那麼 12 是 6 的倍數。在國小階段倍數的討論範圍一樣以正整數為主(國 立教育研究院籌備處,2002)。

九年一貫課程綱要中對於「倍數」的標準名詞解釋如下:一正整數 a 若能整 除另一正整數 b,b 稱為 a 的倍數。如:a = 6、b = 12,12 ÷ 6 = 2(餘數等於 0),則 12 是 6 的倍數。

倍數問題是如設定一個正整數做為單位量,此正整數可以用乘法方式成為哪 些正整數。如 8 的倍數,一個 8 是 8;二個 8 是 16;三個 8 是 24;四個 8 是 32…,

因此 8、16、24、32…,稱之為 8 的倍數。

三、因數與倍數能力指標

八十二年國民小學數學科課程標準教材綱要與計算部分,關於因數與倍數概 念部分只著重於認識因數、公因數、倍數及公倍數而已;八十九年九年一貫課程

暫行綱要中有關於因數與倍數的能力指標有二:(1) N-3-18:能察覺整數的因數、

倍數、公因數、公倍數;(2) N-3-20:能察覺整數的最大公因數、最小公倍數、

質數和合數,並能將一個數做質因數分解。其中 N-3-18 屬於六年級課程,N-3-20 屬於七年級課程。從八十二年到八十九年課程綱要中,關於國小因數與倍數的課 程內容並無太大的差異。

九十二年公佈的九年一貫課程綱要裡提到的因數與倍數能力指標關於六年 級分年細目如下:(1) 6-n-01 能認識質數、合數,並作質因數的分解(質數<

20,質因數<10,被分解數<100);(2) 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最 小公倍數與兩數互質的意義,理解最大公因數、最小公倍數的計算方式,並能將 分數約成最簡分數。從八十九年暫行綱要到九十二年課程綱要中,關於國小因數 與倍數的課程增加了認識質數、合數、質因數分解、最大公因數、最小公倍數、

互質、最簡分數 及短除法等內容。

在九年一貫課程綱要九十七年修訂版中對於六年級因數與倍數部分所應達 成的能力指標如下:(1) 6-n-01 能認識質數、合數,並用短除法做質因數的分解 (質數<20,質因數<20,被分解數<100);(2) 6-n-02 能用短除法求兩數的最 大公因數、最小公倍數;(3) 6-n-03 能認識兩數互質的意義,並將分數約成最簡 分數。

從九十二年課程綱要到九十七年修訂版綱要中,關於國小因數與倍數的課程 只有質數的內容有些微調整,其他部分均無顯著差異。