第四章 研究結果與討論
第三節 因數與倍數後測概念結果分析與補教教學實施之修正建議
本節主要由兩個方向來說明，第一個說明評量分析研究對象之迷思概念的改 變情形。第二個說明補救教學實施之修正與建議。
一、評量分析研究對象之迷思概念的改變情形
主要探討研究對象於接受五節課的補救教學後，其迷思概念是否有轉變。首 先對 3 位學生實施後測，後測題目和前測題目大致相同，只有稍微更改數字。在 分析迷思概念改變情形前，將 3 人在前、後測所答對的題數做對照，發現除了 S2 退步之外，其於 3 人都有進步，只是進步幅度不大，以 S4 進步 4 題最多，依 次是 S1 進步 3 題，S3 進度 2 題，下表 4-6 為 3 位學生在紙筆測驗前、後測的答 對題數對照表：
表 4-14 3 位學生前、後測答對題數對照表
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學生 前測答對題數 後測答對題數 進步之比率 備註
S1 10 20 36% 進步
S2 11 15 14% 進步
S3 13 21 29% 進步
(註：總題數為 28 題)
接著比較 3 位學生在接受補救教學前後迷思概念是否得到澄清，將 3 位學生 在補救教學前後迷思概念改變的狀況整理成表如表 4-7，其中╳代表迷思概念未 獲澄清，○代表迷思概念已澄清。以下針對這六個迷思概念來說明 3 人的改變情 況。
在「因數與公因數」的題型中，S2、S3 仍具有這方面的迷思概念，而 S1 全 對，表示迷思概念獲得澄清。在「倍數與公倍數」的題型中，S1、S2、S3 尚存
有迷思概念，但迷思概念並沒有那麼明顯，而以 S2 的表現進步最多。在「判別
10 數、合數 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ╳ ○ ○
表 4-16 受補救學生教學前後測迷思概念改變前後對照表
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已全部釐清；S1、S2、S3 在「最大公因數與最小公倍數」中仍具有迷思概念；S1、S2 在「判別互質與最簡分數」中仍具有迷思概念。而整體來說以 S2 除了在
因數分解」、「最大公因數與最小公倍數」、「互質與最簡分數」，都是先根據學生 的前測結果分析出的迷思概念來做設計，起初關於因數與公因數、倍數與公倍數 等迷思的概念也一併納進教學，但因為教學時間過於冗長的關係，擔心學生無法 負荷，於是選擇其迷思概念比較嚴重的部分來進行補強與複習，不過在實施測後 卻發現有部分學生在因數與公因數、倍數與公倍數的觀念仍未完全澄清，可見基 礎的先備知識稍嫌不足；然而在實施完五節課的補救教學後，發現有一位學生的 迷思概念竟然在課堂中大部分都澄清了，也沒有太大的問題，這讓研究者想起是 否進行在前測篩選學生的過程中考慮不太周延，以致讓他誤入接受補救教學；此 外每個學生的迷思概念本來就不相同，但由於都一起進行補救教學，以致學生間 學習的態度與反應有明顯落差，所以應該設計出個別化的課程內容，並考慮到每 個人的學習程度與學習狀況。另一方面，補救教學活動的時間僅有五節課，時間 明顯不足，要在這五節課裡完全熟悉這五個概念，對受補救教學的學生的確有些 困難，因此往後在設計課程內容時，應根據每個學生迷思概念的程度與問題的難 易來做修正與微調才是。
(二)教學方法
由於接受補救教學的對象是班上數學程度較落後的學生，因此在進行補救教 學活動的教學方式會和一般上課略有不同，課堂上課本所呈現的教材內容有時過 於艱澀難懂，並不太適合受補救教學的學生，於是設計出一些簡單又能使學生快 速了解的概念與題型，為了是希望能夠讓研究對象重拾學習數學的自信心，所以 在整個補救教學活動中，除了生活情境化的問題以及簡單易懂的題型能夠增加學 生的信心，有趣的數學遊戲活動也是能夠引起學生的學習動機。利用問題引導式 的教學，能夠讓學生主動說出自己的想法，並嘗試和數學題目做對話，經由反覆 練習可以達到熟練，並且可以澄清自己原有的迷思概念，也讓老師能夠更了解學 生的學習情形。數學遊戲是研究者很少利用的教學方法，學生對於遊戲十分熱衷，
從中不僅得到快樂也同時學習到重要的數學概念，是一舉兩得的好方式，讓研究 者思考是否於一般上課利用遊戲來帶入數學的觀念。這次的補教教學，雖然大部
分還是由研究者進行教學，但還是會不定時給予研究對象舉手發表的機會，配合 簡單的獎勵制度讓學生的學習效果更加提升。
(三)教具媒體
因數與倍數的概念對學生來說十分抽象也學習不易，因此在對於抽象概念的 學習，可以利用一些圖像表徵之方式來加深學生學習的印象，如在進行質因數分 解時，則請學生利用小白板將樹狀圖一層一層畫出來，透過因數樹可以清楚了解 質因數分解的過程，也澄清其原有的迷思概念；而研究者在自己的教學過程中，
教具媒體除了教學簡報與小白板的使用外，對於其他網路上的教學媒體與動畫也 能做適時的利用，以便增強學生的學習態度與學習動機，幫助學生理解抽象的迷 思概念。
(四)學生學習
在整個補救教學活動中，對於學習較弱勢的學生，應該要用個別化的教學模 式才能幫助其澄清迷思概念，並且要時時關心他們的想法，從課堂的問答中、課 堂學習單以及數學心智圖等方面，一來可以了解學生錯誤的原因，二來可以表達 自己心裡真正的想法，學生曾說：「畫心智圖很好玩，也可以把我們所學的觀念 或數字記錄下來。」因此對於他們是否已學到正確的觀念，從心智圖中大概就能 略知一二。而課堂學習單對整個補救教學活動是個很重要的工具，除了真實的反 應學生答題的正確與錯誤之情形，也能發現其學習之過程中的改變；最後訪談學 生的學習狀況頗為重要，如此才能清楚了解其迷思概念是否得到正確的澄清。
根據上述補救教學活動的反思，本研究的研究對象於「判別質數」、「判別合 數」與「質因數與質因數分解」的迷思概念均已大部分獲得澄清，因此針對原本 所設定的補救教學活動「最大公因數與最小公倍數」及「互質與最簡分數」兩個 概念來說明前後教學歷程比較的建議，此建議修正的部分可供往後的教學者當作 參考的依據，接著以下就進行訪談後修正過的教學活動及教學反思的修正建議來 說明：
(一)訪談部分
此部分是在實施完後測，為了解學生仍存有的迷思概念，做為修正教學活動 的依據，並設計相關的訪談題目。底下就分兩個迷思概念來說明：
1. 最大公因數與最小公倍數概念
(1)以後測第七題為例，S1、S2 都認為筷子最常是幾公分求的是兩數的最小 公倍數，表示 S1、S2 對於題意理解不清，將最大公因數與最小公倍數的概念混 淆。而反之以第八題為例，S1、S2、S3 皆認為班上最少有幾人是求出最大公因 數，說明 S1、S2、S3 對於最大公因數與最小公倍數的概念仍缺乏閱讀上的理解。
(2)依據上述所提出之迷思概念，設計修正後的教學活動如表 4-9，在活動 的過程中，除了原本的「活動一、列舉法找出兩數的最大公因數」與「活動二、
質因數分解找出兩數的最大公因數」來說明最大公因數的概念，於「活動三、短 除法求兩數的最大公因數」和「活動四、短除法求兩數的最小公倍數」中將原本 的題型修改為簡單生活化的問題，以便釐清學生在一些文字理解題上的困難：
表 4-17 最大公因數與最小公倍數概念修正前後教學活動設計
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項目 教學流程 修正前
課前 準備
教學簡報、學習單、小白板
引起 動機
暖身活動：質因數分解練習
用短除法找出下列各數的質因數。
1.30＝( )×( )×( )
2.54＝( )×( )×( ) ×( ) 3.85＝( )×( )
活動一：列舉法找出兩數的最大公因數
1. 情境佈題：請找出 12 和 18 的最大公因數。
2. 教師引導與提問：
(1)先列出 12 和 18 的所有因數。
(2)把 12 和 18 的相同因數圈起來，有 1、2、
3 和 6 三個公因數？
發展
12＝3×4 15＝3×5 3×4×5＝60
60 即是 12 和 15 的最小公倍數
綜合 活動
本節重點歸納：
1. 最大公因數：兩數的公因數中最大的數。
2. 最小公倍數：兩數的公倍數中最小的數。
3. 如何求最大公因數與最小公倍數：
(1)質因數分解。
(2)短除法。
2. 互質與最簡分數概念
(2)以後測第二十六題為例，S1 因不懂互質的概念而放棄作答，S2 雖知道兩 數是否互質，而卻找不出兩數正確的公因數，S3 正確知道將兩數的的公因數，
而卻將兩數視為互質；由此可知 S1、S2、S3 對於互質的概念仍然混淆不清。以 二十七題為例，除了 S3 答對表示觀念正確外，S1 和 S2 都認為
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15為最簡分數，
可知兩位未能理解最簡分數的定義。
(2)依據上述所提出之迷思概念，設計修正後的教學活動如表 4-10，在活動 的過程中，除了原本的「活動一、兩數的最大公因數是 1 稱為互質」來說明互質 的概念，於「活動二、區辨兩數都是合數但都是互質」和「活動三、利用最大公 因數求出最簡分數」中將原本的題目修改為數字較簡單的問題，以便釐清學生在 概念理解上的困難：
表 4-18 互質與最簡分數概念修正前後教學活動設計
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2、3、6；15 的因數有 1、3、5、15。
表 4-19 建議修正後教學歷程之教室觀察記錄表
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項目 文字記錄
觀察時間 102 年 4 月 29 日
教學主題 最大公因數與最小公倍數
地點 六年級教室
教學活動設計
引起動機利用質因數分解例題來複習質因數與質因數分 解概念，接下來四個活動分別帶出最大公因數、最小公倍 數之觀念與應用，最後利用課堂學習單與數學心智圖來了 解學生學習的成效。
師生互動情形
在進行教學活動中，透過簡單的教學方式與數字讓 S2 的 學習動機有慢慢進步；而 S1 和 S3 有了基礎的先備知識，
在進行教學活動中，透過簡單的教學方式與數字讓 S2 的 學習動機有慢慢進步；而 S1 和 S3 有了基礎的先備知識，