第四章 研究結果與討論
第二節 因數與倍數補救教學之教學設計
本研究藉由生活化情境問題引導的方式與圖像表徵的方法來設計補救教學 活動，希望幫助學生釐清其在因數與倍數上的迷思概念，以下就分別從三個方面 來說明，第一是教學內容，第二是教學過程，第三是教學反思與改進。
一、教學內容
分析受補救教學生之迷思概念後，本研究的補救教學設計一共有 5 個活動：
「質數的判別與應用」、「合數的判別與應用」、「質因數與質因數分解」、「最大公 因數與最小公倍數」及「互質與最簡分數」。以生活化簡單之情境問題進行教學、
圖像表徵之方式、數學遊戲等等，一步步引導學生思考與記憶，讓學生理解抽象 的概念，進而達到精熟。其教學活動設計摘要如表 4-5：
表 4-13 教學活動設計摘要表
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教學活動名稱 教學目標 教學時間
質數的判別與應用
1. 能透過因數的概念理 解質數的意義。
2. 能判別一數是否為質 數。
40 分鐘
合數的判別與應用
1. 能透過因數的概念理 解合數的意義。
2. 能判別一數是否為合 數。
3. 能比較質數與合數的 不同。
40 分鐘
質因數與質因數分解
1. 能透過質數與合數的 概念理解質因數的意 義。
2. 能利用樹狀圖及短除 法將一個合數做質因 數分解。
40 分鐘
1. 能透過質因數分解及
數 短除法找出兩數的最 大公因數。
2. 能透過短除法找出兩 數的最小公倍數。
互質與最簡分數
1. 能透過找出兩數的最 大公因數判別其是否 為互質。
2. 能透過找出分子與分 母的最大公因數，將 分數約成最簡分數。
40 分鐘
二、教學過程
依據每個學生的迷思概念，設計生活化的情境問題或是利用簡單理解的數字 漸進式引導，慢慢幫助其觀念的澄清，並配合相關的學習單來瞭解學生學習是否 達到效果，間接也可以讓教學者思考教學的方式是否恰當，於下次教學後進行修 正，最後以數學心智圖來瞭解學生的學習，以達成整個補救教學的目的，以下就 將各個教學活動依實施過程、學生學習成效、數學心智圖及教學反思四個方面來 說明。
(一)活動一「質數的判別與應用」補救教學活動內容
1.先了解此概念的迷思有「無法正確寫出 1~10 的所有因數」、「判別 30 以內 的質數」兩種。希望從因數的先備經驗讓學生理解質數的定義並學會判別質數，
根據迷思概念，補救教學所設計的題型分為以下兩個部分，最後並透過數學遊戲 來增加學生對質數的熟悉度。
(1)第一個題型是「認識質數」，所設計的題目為「請學生寫出 1~10 各數的 因數」這是主要喚醒學生因數的先備經驗並導入質數的概念，目的除了澄清學生 漏寫因數的迷思概念，也讓學生認識 10 以內的質數。
(2)第二個題型是「質數的應用」，所設計的題目為「班上有 26 個學生，號 碼為 1 號到 26 號，老師請號碼是質數的學生上台說故事，共有幾位學生上台？」
這是屬於判別質數的概念，目的是為了澄清學生「判別 30 以內的質數」的迷思
概念。
(3)數學遊戲-質數心臟病。遊戲方法如下：首先把手上的牌發給在場的小朋 友，並請他們洗手中的牌，接著猜拳決定從誰開始翻牌；在翻牌的同時桌上牌出 現質數時，大家就要拍下去，最慢拍的人或是拍錯的人要拿走累積的紙卡，成為 自己的手牌，最快將手中紙卡出完的即為優勝者。藉由數學撲克牌遊戲，目的是 希望學生能熟練 13 以內的質數。
2.學生學習成效
從課堂學習單來看，S1 與 S2 對於 30 以內的質數仍有迷思概念，像是圈出 質數方面，兩位學生皆少圈 23 這個數字，如圖片內容(S1-1020401-01-01)為例，
但因為提升兩位學生的學習動機，所以也增加了他們在質數概念上的自信心。S3 對於整體質數概念已融會貫通，希望他之後的課程能繼續保持。
圖 4-2 學生 S1 判別質數概念課堂學習單之答題情形
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3.數學心智圖從 S1、S2、S3 的數學心智圖得知三位學生對於質數的判別與應用似乎沒有 太大的問題，以 S3 的圖片內容(S3-1020401-01-02)為例，表示學生對於此單元 的迷思概念已獲得大部份的澄清，已達成本單元的教學目標。
圖 4-3 學生 S3 判別質數概念之數學心智圖
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4.教學反思
對於質數單元的教學如果能再加強其觀念以及利用生活情境上的例子來引 導，相信會對學生於質數迷思概念的澄清有更進一步的幫助。
(二)活動二「合數的判別與應用」補救教學活動內容
1.先了解此概念的迷思有「判別 31 以內的合數」及「判別一數是質數或合 數」兩種。希望從因數的先備經驗讓學生理解合數的定義並學會判別合數，根據 迷思概念，補救教學所設計的題型分為以下兩個部分，並藉由引起動機之數學遊 戲來增強學生對質數的概念。
(1)引起動機：數學遊戲-找出 30 以內的質數。請學生念到質數時並拍手一 下，最後並歸納 30 以內的質數有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29。藉由 簡單的遊戲讓學生能夠熟練 30 以內的質數。
(2)第一個題型是「認識合數」，所設計的題目為「請學生寫出 1~10 各數的 因數」這是主要複習學生因數的舊經驗並導入合數的概念，目的除了澄清學生漏 寫因數的迷思概念，也讓學生認識 10 以內的合數。
(3)第二的題型是「合數的應用」，所設計的題目為「五月為班上閱讀月，老 師規定每個小朋友每天至少要閱讀一本書，如果閱讀的日期是合數，則必須閱讀 兩本以上，請問有哪幾個日期必須閱讀兩本以上？」這是屬於判別合數的概念，
目的是為了澄清學生「判別 31 以內的質數」的迷思概念。
2.學生學習成效
從課堂學習單來看，S1 的迷思概念如下：(1)找 31 以內的合數，將 31 誤 認為合數。(2)質數與合數著色方面，將 1 塗成黃色，2 塗成紅色。S2 的迷思概 念有：(1)寫出 18 的因數，8 不是 18 的因數卻寫進去。(2)找 31 以內的合數，
將 23 誤認為合數，而 12、26 是合數未圈出來，如圖片內容(S2-1020408-02-01) 為例。(3)質數與合數著色方面，將 8 塗成紅色。S3 對於合數的概念大致理解，
學習效果佳。
圖 4-4 學生 S2 判別合數概念課堂學習單之答題情形
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3.數學心智圖S1、S2、S3 的數學心智圖得知三位學生對於合數的判別與應用似乎沒有太 大的問題，以 S2 的圖片內容(S2-1020408-02-02)為例，表示學生對於此單元的 迷思概念已獲得大部份的澄清，已達成本單元的教學目標。
圖 4-5 學生 S2 判別合數概念之數學心智圖
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4.教學反思合數單元的教學相對於質數乃一體兩面，如果學生能將兩者的觀念釐清並 熟練，相信會對學生於質數與合數迷思概念的修正有更多的幫助。
(三)活動三「質數與質因數」補救教學活動內容
1.先了解此概念的迷思有「判別一數的質因數有哪些」及「寫出一數的質因 數分解式子」兩種。希望學生能利用質數與合數的先備經驗找出質因數並學會質 因數分解，根據迷思概念，補救教學所設計的題型分為以下三個部分，並藉由課 後重點歸納來增強學生對質因數與質因數分解的概念。
(1)引起動機：利用四題質數、合數綜合練習來澄清上次學生質數與合數的迷
思概念，從課堂學習單得知 S1 及 S2 的迷思觀念均已釐清。
(2)第一個題型是「認識質因數」，所設計的題目為「寫出 18 的因數」這主要 複習學生因數與質數的舊經驗並導入質因數的概念，目的除了澄清學生漏寫因數 的迷思概念，並找出其質數為何，進而讓學生認識 18 以內的質因數。
(3)第二個題型是「質因數分解(樹狀圖)」，所設計的題目為「寫出下列○中 的質因數，找出 24 有哪些質因數？」樹狀圖如下：
主要透過樹狀圖引導學生將一數寫成質因數連乘積，目的是要澄清學生漏寫 質因數的迷思概念，讓學生能夠正確寫出質因數分式子。
(3)第三個題型是「質因數分解(短除法)」，所設計的題目為「請找出 68 有 哪些質因數？」短除法如下：
2 68 2 34 17
68＝2×2×17
主要透過短除法引導學生將一數寫成質因數連乘積，目的是要澄清學生漏寫 質因數的迷思概念，並讓學生能夠正確寫出質因數分式子。
2.學生學習成效
由課堂學習單得知 S1 的迷思概念如下：(1)質因數分解樹狀圖中數字書寫模 糊不清，不夠認真。S2 的迷思概念有：(1)寫出 18 的因數，4、8 不是 18 的因數 卻寫進去。(2)未寫出 18 的質數有哪些，如圖片內容(S2-1020415-03-01)為例。
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(3)24 的因數重複寫 12，24 的質因數少寫 2。而 S3 對於質因數與質因數分解的 概念大致理解，學習效果佳。
圖 4-6 學生 S2 質因數與質因數分解概念課堂學習單之答題情形
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3.數學心智圖由 S2 的心智圖得知對於質因數分解還存有一些迷思概念，如圖片內容 (S2-1020415-03-02)為例，因此於下次教學時再加強質因數的概念，讓 S2 能澄 清錯誤的觀念。S1 和 S3 於質因數與質因數分解似乎沒有太大的問題，表示學生 對於此單元的迷思概念已獲得大部份的澄清，已達成本單元的教學目標。
圖 4-7 學生 S2 質因數與質因數分解概念之數學心智圖
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4.教學反思質因數與質因數分解是質數與合數的進階概念，由於學生對於質數與合數 的觀念大都能熟練理解，所以此單元的學習除了部分小錯誤需修正外並沒有太大 的問題。
(四)活動四「最大公因數與最小公倍數」補救教學活動內容
1.先了解此概念的迷思有「找出兩數的最大公因數」及「找出兩數的最小 公倍數」兩種。希望學生藉由質因數的短除法經驗求出兩數的最大公因數與最小 公倍數，根據迷思概念，補救教學所設計的題型分為以下四個部分，並藉由引起
動機之質因數分解練習來增強學生上次學習的概念。
(1)引起動機利用三題質因數分解練習來澄清上次學生質因數與質因數分解 的迷思概念，發現 S2 仍存有迷思概念，於課後時間再進行加強。
(2)第一個題型是「列舉法找出兩數的最大公因數」，所設計的題目為「找出
(2)第一個題型是「列舉法找出兩數的最大公因數」，所設計的題目為「找出