學生常見之因數與倍數迷思概念

關於六年級之因數與倍數迷思概念，綜合國內學者的研究，大致上可歸納出 以下幾點：

一、因數與倍數的意義

1.特定數字的遺漏：學生在求因數、倍數、公因數與公倍數的過程中，常常 出現漏寫將 1 或本身的數字(周文忠，2002；林珮如，2002；邱慧珍，2002)。此 外黃耀興、邱易斌(1999)在探討國小學生在學習因數與倍數單元中，也發現學生 在找因數過程中時而會有缺漏。以因數問題來說，有部分的學生會依九九乘法而 忽略質因數大小撰寫順序，以致漏寫其他的因數。舉例來說：寫出 72 所有的因 數，有部分學生會漏寫因數 1；有些學生會寫 72 = 1 × 72 = 8 × 9 = 3 × 24，

因未按照質因數大小順序而漏寫其他因數。

2.計算錯誤：學生會因乘法與除法的計算細節不夠仔細而粗心寫錯。以倍數 問題來說，學生會因為乘法計算或除法計算錯誤而誤寫答案(周文忠，2002；林 珮如，2002；邱慧珍，2002)。陳標松(2003)從國小六年級學生學習因數與倍數 單元裡指出有些學生因粗心的錯誤，必須加強其乘法與除法的計算能力。舉例來 說：下列哪些是 11 的倍數？6204、5025、594、792；學生會選擇到錯誤的答案 是因為除法計算錯誤沒有仔細檢查，或是少選其他正確的答案。

3.概念混淆不清：學生會將因數與倍數的概念交錯連結，以致解題上出問題 (陳標松，2003；周文忠，2002；林珮如，2002；邱慧珍，2002)。何欣玫（2004）

在國小六年級學生因數與倍數之數學解題研究中，關於學生概念錯誤的類型，其 語言概念錯誤、認知概念錯誤及策略概念錯誤皆會影響學生解題。以公因數與公 倍數問題來說，例如：找出下列各組的公因數及最小的 3 個公倍數(1) 4 和 16 (2) 24 和 36，常見有以下三種錯誤的情形：(1) 因數寫不完整：學生會將題目錯看 成只求 3 個最小的公因數,以致答案多處漏寫；(2)漏寫公倍數：學生答案少寫 3 個公倍數,可能是題目沒看清楚；(3)題目看錯,找公因數寫成最大公因數,找公倍

數寫成最小公倍數：學生將答案寫成兩組數的最大公因數和最小公倍數,並非題 目所要求的公因數及 3 個公倍數,未將題目仔細看清楚再寫。

4.應用題文字理解上有困難：學生會因為題目看不懂而隨意作答(陳標松，

2003；周文忠，2002)。陳筱涵(2004)調查學生在學習因數與倍數的單元之錯誤 類型，發現學生常會因為題目一些無關緊要的訊息而誤解題意，以致無法解決問 題。例如：小平有 30 顆巧克力要分給同學，每個人都要分到一樣多且剛好分完，

他可以分給幾個人？學生的錯誤答案可能有以下三種：(1)學生將答案少漏寫 1；

(2)學生將答案寫成 8 人，不了解題目所要問的意思；(3)學生將答案寫成 4 種，

誤以為題目所求是 4 種情況。

二、質數、合數和質因數分解

1.1 是否為質數？ 1 不是質數也不是合數，1 是任何數的因數。施多美(2006) 在學生學習因數概念的知識結構研究中，發現學生對於「1 是否為質數？」有迷 思概念。質數的定義是一個正整數，除了 1 及本身以外，沒有其他的因數時，

稱為質數；而質因數是指一個數的因數也是質數，稱為該數的質因數。舉例來說：

(○) 81 是合數，81 只有一個質因數。大部份的學生沒選擇對的原因是認為 1 也是 81 的質因數。

2.質因數分解時漏寫質數：Kennedy, L. M. & Tipps, S. (1997) 認為學生 在學習因數概念上，可以利用樹狀圖來幫助其概念的澄清；使用因數樹( factor tree )來做某數的質因數分解，方式是將一個數寫成因數相乘，一層一層往下分 解擴展，直到寫成所有質數相乘。舉例來說：(1) 求 8 × 16 的質因數分解。學 生在寫樹狀圖質因數分解時少寫一個乘以 2；(2) 用質因數分解找出 95 的所有 因數。學生常會漏寫了因數 1 或漏寫了因數 95。

三、最大公因數與最小公倍數

1.只看關鍵字，缺乏閱讀能力(周文忠，2002；林珮如，2002；邱慧珍，2002)：

最大公因數的定義是指一正整數 a 同為兩個以上正整數的因數時，則 a 為這些

有一張廣告紙，長、寬各為 24 公分、16 公分。現在要將此廣告紙分割成大小一 樣的正方形(邊長公分數都是整數) ，正方形的邊長最多是幾公分？可以分割成 幾個？學生將分割的答案寫成最小公倍數,並非題目所求的答案；或將最大公因 數的答案算錯,以致第二個答案也算錯。

又一題如下：要將 126 顆紅球和 108 顆黑球平分裝袋，每袋分到的紅球要一 樣多，黑球也要一樣多，最多可以分幾袋？每袋有幾顆球？學生常見錯誤的寫法 如下：(1)學生將題目 126 顆紅球看成 128 顆紅球，以致答案算錯；(2)學生將最 多分成幾袋答案寫成 7 袋或 6 袋，可能看錯題目所求的意思；(3)學生將每袋有 幾顆球寫成 7 × 6 = 42 顆,看不懂題目要問的意思；(4)學生將每袋有幾顆球寫 成紅球 7 顆，黑球 8 顆，未將紅球與黑球相加。

2.因先備經驗不足，造成解題障礙(陳標松，2003；林珮如，2002；邱慧珍，

2002)：最小公倍數的定義是指一正整數 a 同為兩個以上正整數的倍數時，則 a 稱為這些數的公倍數。在所有公倍數中最小者稱為最小公倍數。黃寶彰(2003) 探討學生在學習因數與倍數的困難和錯誤情形，指出學生在解最大公因數與最小 公倍數問題時，會因為題意理解不清而造成學生不知道要用最大公因數或最小公 倍數的方式來解題。以最小公倍數問題來說：王家的大姊每 15 天回娘家一次，

二姊每 12 天回娘家一次，如果今年元旦，大姊和二姊一起回娘家，今年大姊和 二姊同一天回娘家的日子有幾次？學生常見錯誤的寫法如下：(1)學生將答案寫 成最小公倍數，未將題目的意思看清楚；(2)學生將答案寫成最小公倍數 + 1，

未將題目的意思看清楚；(3)學生將答案寫成 6 次，卻未將元旦那一天算到。

四、互質與最簡分數

1.對於互質的概念混淆不清(施美多，2006)：互質的意義是兩正整數的因數，

除了 1 以外沒有其他公因數，則稱此兩數互質。舉例來說：用質因數分解求 21 和 70 的最大公因數，並判斷是否互質，若不是，求出所有公因數。舉例來說：

學生常會將答案寫成最大公因數 7，而沒把題目求出所有公因數看清楚。

2.未將分數約成最簡分數：最簡分數的定義是指一個分數透過約分，可以將

分數化成分子和分母互質的分數，稱為最簡分數。舉例來說：如將

化成最簡

分數。學生會將答案寫成

，而沒約成最簡分數，可能沒找出兩數共有的因數。