層級分析法之流程及重要步驟

層級分析法利用專家(或決策者)對事物的偏好及感受，標示在評 量 尺 度 表 ， 再 以 對 偶 比 較 矩 陣 評 定 各 指 標 相 對 重 要 性 (Relative importance)之權重值，其詳細的分析過程可細分為以下 9 大步驟，分 述如下：

1、決策問題之判定

首先要釐清問題，才可對問題下定義，方能清楚瞭解決策之目的。

尤其是在應用層級分析法時，對於評量要素之分層，更須充分掌握 問題之方向。

2、列舉各評量要素

在列舉各評量要素時，首在專家及決策者意見之整合，藉由其專業 知識與實務經驗對決策所面臨問題的評量要素，毋須考慮決策因素 的順序及關聯性。有關專家及決策者意見之採用可用腦力激盪法 (Group Brainstorming) 或「德菲法 (Delphi method)」以便意見 能夠收斂。

3、結合研究目的及流程建立研究模式層級

將各項評量要素，依各要素之相互關係與獨立性程度劃分層級。層 級劃分多寡視問題之複雜度而定，減少成隅成對之負荷，但各層級 之各要素彼此間必須是獨立(基本假設)。層級之種類又可分成完整 層 級 (Complete Hierarchy) 與 不 完 整 層 級 (Incomplete Hierarchy)。完整層級是指每上下層級間之要素彼此間都有所相

連；不完整層級則是指上下層級間並非全部都有聯結。層級結構之 建立是基於群體討論的方式，或參考相關文獻及專家之意見，經反 覆修正後加以彙總而成。鄧振源與曾國雄 (1989)認為建立層級時 應注意：

(1)最高層級代表評量之最終目標(Goal)。

(2)儘量將相對重要性相近的要素放在同一層級。

(3)層級內之要素不宜多，依 Saaty 之建議最好不要超過 7 個，以 減少成對比較之負荷。

4、應用成對比較評量權重

層級結構建立以後，即根據問卷結果或專家意見，評量同層級之各 評量要素間的相對重要性。層級分析法之評比方式是以上一層級的 要素為基準，將同層級內之任兩要素對該上層要素之相對重要性或 影響力兩兩比較，一方面可減輕受訪者在思考時的負擔，另一方面 亦能清晰地呈現決策因素的相對性。層級分析法係採用名目尺度為 成對比較之評量指標，其英文用語適合分為 9 個尺度如 4-1 表所示。

表 4-1 AHP 法評量尺度意義及說明表

評量尺度 定 義 說 明

1 同等重要 兩比較方案的貢獻程度具同等相對重要性

＊等強

3 稍重要 經驗與判斷稍微傾向喜好某一方案＊稍強 5 頗重要 經驗與判斷強烈傾向喜好某一方案＊頗強 7 極重要 顯示非常強烈傾向喜好某一方案＊極強 9 絕對重要 有足夠的證據喜好某一方案＊絕強 2、4、6、8 相鄰尺度

之中間值 須要折衷值時

資料來源：鄧振源與曾國雄(1989)；Saaty(1980)

在進行成對比較時，一般是彙集學者、專家的意見，經反覆討論而

作成群體評量，以取得一致的評量觀點；若有相異觀點存在而無法達成 共識時，則可將其評量結果，以幾何平均法綜合之。但若採取問卷方式 取得專家意見，則以算術平均法綜合其評量結果。至於應採取何種評量 結果，則可根據 Aczel & Alsing(1986)曾對整合問題提出 5 個條件與特性:

(1)可分解性條件 (Seperability Conditions) (2)同一性條件 (Unanimity Conditions) (3)互倒值特性 (Reciprocal Property) (4)齊次性條件 (Homogeneity Conditions) (5)乘冪性條件 (Power Conditions)

根據上述 5 條件或特性，則對於平均數之計算則有下列不同之計算 法，如表所示：

表 4-2 平均數之計算方法表

種類 名稱 方程式

第一類 算術平均數

(Arithmetic Mean)

∑

(Geometric Mean)

nx₁×x₂×Λ×xn

第三類 調和平均數 (Harmonic Mean)

∑

(Root-Mean-Square) ⁿ

x

(Exponential Mean)



5、建立成對比較矩陣

成對比較矩陣之建立是以每一層的評比要素作為基準，並以其所屬之 下一層的 n 個評比要素，進行兩兩比較，形成成對比較的評量值，其 所產生的 C(n,2)=n(n–1)/2 個評量值 aij即為成對比較矩陣（如表 4-3 所 示）中主對角線右上方的元素值。將右上方之元素值之倒數放置主對 角線左下方相對位置中，並將主對角線上的元素數值均設為 1，則可 得完整之成對比較矩陣 A。

表 4-3 對偶成對比較矩陣表

評比元素 A B C D

A 1 2 4 8

B 1/2 1 3 6

C 1/4 1/3 1 4

D 1/8 1/6 1/4 1

令

j i

ij w

a = w 此處

w

¹

,w

²

,…,w

ⁿ代表層級中各要素對於上一層級中某要素 的相對權數。此時矩陣有兩個特點：

(1)層級分析法的成偶對比矩陣為正轉置矩陣。

(2)若專家評比時的判斷均非常完美精確，此時矩陣為一致性矩 陣。亦即所有成對值均滿足數學遞移律。

6、計算各成對矩陣的優先向量及最大特徵值

由於 A 為正倒值矩陣，所以 Aw=nw, A=[aij

]

n╳n

， w=(w

1

,...,w

n

)

^T，按矩 陣理論而言，w 為一致性矩陣 A 的特徵向量 (Eigenvector)，在層級 分析法中又稱為優先向量，代表各要素間的相對權數，而其特徵值 則為 n。成對比較矩陣為符合一致性矩陣，只會有一個特徵值 n，其 餘特徵值均為零，因而其最大特徵值為 n。在主觀的成對過程中有稍 許不合邏輯誤差之存在(如 a_ik

a

kj≠

a

ij時)，雖然特徵值有微量變動，但 只要矩陣 A 為符合一致性矩陣(如 aik

a

kj

= a

ij時)，其最大特徵值仍會 趨近於 n。至於誤差在多少之內可以不影響結果的正確性，則須由一 致性指標及一致性比率加以檢驗。此時相對於最大特徵值之特徵向

量 (亦即 A 分析程序層級法所稱之優先向量)w 可由矩陣 A 的 n 次乘 方的極限矩陣標準化後再將橫列予以加總的方式得出，因其計算不 易，經由電腦計算較可求得精確結果。至於最大特徵值 λmax的求法 可經由電腦計算方能有精確結果。惟若對準確度要求不高時，可以 由下法求其概略值：首先由 w'=Aw 求 w'(w'即為將 w 標準化之結果)，

再將 w'的每一個元素分別除以相對應的 w 之元素，最後將所得之數 值取算術平均數即可得概略的 λmax。

7、求取及驗證一致性指標與一致性比率

在進行成對比較評估時，專家對於評量指標間可能無法完全一致。

因此必須檢驗誤差大小，視其是否在可忍受的範圍內，才不會影響 優先順序之結果。

Saaty 將最大特徵值 λmax與 n 之間 C. I. =(λmax- n)/(n-1)的平均差異值轉 化為一致性指標，以用來評量一致性的高低，作為是否接受成對矩 陣的參考。其數學式為 C. I. =(λmax- n)/(n-1)。此外，隨機產生的正倒 值矩陣的一致性指標稱為隨機指標 (Random index) R. I.，Saaty 求出 與階數相對應的隨機指標如表 4-4。

表 4-4 N 階正倒值矩陣的隨機指標值表

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 R.I. 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.53 資料來源：Saaty(1980)

利用上述之一致性指標及隨機指標，便可求得成對矩陣之一致性比 率，即 C.R.= C. I ./ R.I.。Saaty 教授認為，一致性比率在 0.1 以下是合理 可接受的。

8、計算及分析整體層級的一致性指標與一致性比率

上一步驟是針對單一成對比較矩陣一致性程度的衡量，至於整體層 級 的 一 致性 亦 應予 以 評 量， C.R.H = C.I.H./R.I.H. ， 其中 C.R.H.

（Consistency Ration of Hierarchy）表示整體層級的一致性比率；C.I.H.

（Consistency Index of Hierarchy）表示整體層級的一致性指標；R. I.

H. （Random Index of Hierarchy）表示整個體級的隨機指標；同樣在 C.R.H.≦0.1 時，整個層級的一致性達到可接受的水準。

9、計算整體層級的總優先向量或權重大小

整體層級之一致性若達到可接受的水準後，層級分析法最後的步驟 是將各階層之要素的相對權數加以整合，以求算整體層級的總優先 向量，所算出的向量即代表各決策方案對應於決策目標的相對優先 順序或權重大小。

在文檔中 台灣高科技產業無形資產評鑑專家模擬模型之建構 (頁 65-70)