高中二年級學生在平面方程式概念屬性精熟個數的分布及程度

精熟情形

從上節的分析結果，我們可以得到高中二年級學生對於平面方程式相關的每 個概念屬性之精熟比例，乃至於知道對不同類組的學生來說，哪些概念屬性是較 為困難，哪些是較為容易精熟的。接下來，為了了解高中二年級學生對於平面方 程式單元的十一個概念屬性整體的精熟狀況，我們將每個受試者在各概念屬性是 否精熟的資料進行匯整，計算出每個學生所精熟的概念個數，以得到全體受試者 在精熟概念個數的分布。更進一步，我們希望能針對程度或學習成效不同的學 生，了解他們在各概念屬性的精熟情形有何差異，以利於進行補救教學時能更清 楚他們分別需要強化哪些不同的概念。

壹、全體學生之精熟概念個數的分布

表 4-16 為精熟概念個數不同的學生之人數比例，表中可看出人數比例 最多者是精熟 10 個概念屬性，佔了總人數的 20.1%，表示最多的學生在學 習平面方程式概念時，僅有 1 個屬性未能精熟。而人數比例次之者為精熟 7 個概念屬性，佔了總人數的 15.9%，事實上精熟 6 個或以上的概念屬性的學 生，其人數比例均超過 10%以上。再由以上累積人數比例來看，發現有 57.4%

的學生精熟 8 個或以上的概念屬性，精熟 7 個以上概念屬性能達到七成以 上，精熟 6 個以上概念屬性則能達到 84.2%的人數比例，本研究共 11 個概 念屬性，表示有超過八成的學生精熟平面方程式一半以上的概念屬性。由圖 4-3 精熟屬性個數與人數比例直方圖亦可看出，精熟概念個數 6 個以上的學 生佔了絕大多數，而僅精熟概念個數 5 個或以下者只佔不到 16%，而且全未 精熟到精熟 2 個屬性的比例只有不到 3%。綜合來看，對於程度在 PR92 左 右的學生，在平面方程式單元的概念屬性有相當不錯的精熟情形。

表 4-16 精熟概念個數不同的學生之人數比例

精熟概念個數

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 人數 76 131 75 93 104 71 45 19 20 4 5 10 人數比例 ^{11.6% 20.1% 11.5% 14.2% 15.9% 10.9% 6.9% 2.9% 3.1% 0.6% 0.8% 1.5%}

以上累積 人數比例

11.6% 31.7% 43.2% 57.4% 73.3% 84.2% 91.1% 94.0% 97.1% 97.7% 98.5% 100%

圖 4-3 精熟屬性個數與人數比例直方圖

根據上述分析，我們知道大多數的學生在這 11 個概念屬性中都有某種程度 的精熟，乃至於精熟 8 個或以上概念屬性的學生有接近六成。但更進一步的，我 們希望知道程度或精熟個數不同的學生，他們在各概念屬性之精熟呈現怎樣不同 的狀況和程度。這樣一來，可以知道如何對不同程度的學生群體，給予適性的概 念強化或補救教學。例如由上面的圖表我們知道精熟概念個數為 10 個的學生佔 了最多比例，但是他們大都是對於哪一個或哪些概念尚未精熟，需要進一步的分 析，以提供教學時的參考。所以接下來，我們將針對精熟概念個數不同的學生，

去統計他們分別是對於哪些概念已經精熟，又是對哪些概念尚未精熟的，並提出 觀察及說明。

貳、精熟概念個數不同之學生在各概念屬性的精熟情形

表 4-17 為精熟概念個數不同的學生在各概念屬性的精熟百分比，依各屬性 來看，概念屬性 C1 在精熟 8 個屬性的學生中只有 55.9%的學生精熟，而在精熟 9 個屬性的學生則則大大提高至有 97.3%的學生精熟，顯示此概念在具備 8 個以 上時才較有可能習得，對於具備 9 個以上概念的學生，幾乎全數已習得此概念。

表 4-17 精熟概念個數不同的學生在各概念屬性的精熟百分比 精熟

概念 個數

人數 人數

比例 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11

11 76 11.6% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0%

10 131 20.1% 100.0% 100.0% 58.8% 83.2% 100.0% 70.2% 100.0% 97.7% 100.0% 92.4% 97.7%

9 75 ^{11.5% 97.3% 98.7% 64.0% 56.0% 100.0% 56.0% 98.7% 76.0% 98.7% 72.0% 82.7%}

8 93 ^{14.2% 55.9% 94.6% 75.3% 50.5% 100.0% 47.3% 94.6% 37.6% 94.6% 77.4% 72.0%}

7 104 ^{15.9% 35.6% 93.3% 57.7% 58.7% 100.0% 51.0% 85.6% 20.2% 85.6% 64.4% 48.1%}

6 71 ^{10.9% 38.0% 69.0% 49.3% 49.3% 97.2% 36.6% 83.1% 14.1% 67.6% 62.0% 33.8%}

5 45 ^{6.9% 13.3% 55.6% 46.7% 31.1% 93.3% 24.4% 66.7% 4.4% 75.6% 51.1% 37.8%}

4 19 ^{2.9% 21.1% 52.6% 15.8% 57.9% 89.5% 31.6% 21.1% 15.8% 42.1% 15.8% 36.8%}

3 20 ^{3.1% 5.0% 35.0% 15.0% 65.0% 100.0% 15.0% 20.0% 0.0% 20.0% 20.0% 5.0%}

2 4 ^{0.6% 0.0% 25.0% 25.0% 75.0% 50.0% 25.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0%}

1 5 ^{0.8% 0.0% 20.0% 60.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 20.0% 0.0% 0.0%}

0 10 ^{1.5% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0%}

概念屬性 C2 在精熟 4 個以上概念屬性的學生中，精熟比例開始超過 52.6%，

直到精熟 7 個以上概念屬性時，精熟率可達到九成以上。此概念為向量單元常在 解題時需要用來進行計算的公式，顯示本研究的受試者，即使尚未對其他大多數 的概念皆已精熟，對此偏公式背誦的概念屬性仍可有不錯的表現。

概念屬性 C3 不會因為學生之精熟概念個數變多，對它的精熟也逐漸變高，

相反地，只精熟 8 個概念屬性的受試者，精熟比例達七成五，但精熟 9 個或 10 個概念屬性的學生在此概念的精熟比例卻反而下降到六成左右，此概念為平面方 程式的表示法，是學生常發生的錯誤，有可能學生學完乃至精熟平面方程式的其 他相關概念後，仍不知道平面正確的表示方式，還誤以為空間中 2x+y=4 是直線，

教師應留意此情形。

概念屬性 C4 似乎呈現出雙峰的情形，精熟 2 至 4 個屬性的受試者會有 57.9%

以上的人數精熟該屬性，但是精熟 5 至 9 個概念屬性的受試者，精熟人數比例似 乎有下降的趨勢，直到精熟 10 個概念，精熟人數比例才能到達 83.2%，顯示此 概念幾乎在全部概念精熟時，才能精熟此概念。

精熟 3 個或以上屬性的學生，對於概念屬性 C5 的精熟均有不錯的表現，精 熟百分比均在 89.5%以上，顯示此概念對學生而言是較為容易的。

概念屬性 C6 在精熟 7 個概念屬性學生間的精熟比例為 51.0%，但是在精熟 8 個概念屬性時精熟比例稍微下降至 47.3%，而在精熟 9 個概念屬性時精熟人數 比例又提升至 56.0%，但是即使對精熟 10 個概念屬性的學生來說，精熟比例也 僅有七成，顯示此概念是較難的概念，雖然是公式，但是記憶的方式較為不易。

概念屬性 C7 在精熟 5 個以上概念屬性的學生中，精熟比例可達 66.7%以上，

而且當學生精熟 6 個以上概念屬性時，對此概念的精熟比例將超過八成，顯示因 為此概念為較簡單的公式，學生容易記得並加以應用。

概念屬性 C8 對於精熟 8 個以下概念的學生，精熟比例在 37.6%以下，需要 精熟 9 個以上概念時，在 C8 的精熟比例才能超過七成，顯示此概念為較難以精 熟的概念。事實上 C8 與 C1 概念相類似，均為平行概念，而 C8 的精熟人數比例 都小於 C1。

概念屬性 C9 在精熟 5 個以上概念時，精熟比例均高於 67.6%，精熟 7 個以 上概念時，精熟比例則超過 85.6%，換句話說，只精熟 5 個概念屬性的學生，會 精熟此概念的比例就不低。但精熟 7 個概念屬性時，此概念的精熟比例就可以提

高到八成五，顯示此概念對學生較容易精熟。此概念亦是在過去向量單元常強調 的垂直概念，雖然兩平面垂直與兩向量垂直稍有不同，但是表中精熟比例顯示，

過去的經驗似乎有助於學生易習得此概念。

概念屬性 C10 在精熟 5 個以上概念時，精熟人數比例有 51.1%，並隨著學生 概念精熟個數的增加，對它的精熟比例也有緩慢增加的趨勢。此概念常用來計算 平面的法向量，可能因概念精熟個數增加，學生愈能了解平面方程式的整體概 念，也就更能知道何時能利用公垂向量來求法向量，因此概念精熟個數愈多，能 精熟此概念的比例也愈高。

精熟 7 個以下概念的學生對於概念 C11 的精熟比例低於 48.1%，但精熟 8 個 以上概念的學生，對它的精熟比例大大提升達 72.0%，顯示 C11 是不容易但難度 較為普通的概念，而且會隨著學生所精熟的概念個數增加，對此概念的精熟比例 也會提高。此概念與 C2 概念類似，C2 概念為兩向量的夾角公式，而 C11 則為 兩平面的夾角，觀看這兩個概念的精熟比例，不管學生概念精熟個數是多還是 少，相同程度的學生對 C11 精熟比例均小於 C2，顯示若不精熟 C2 的概念，亦 不會精熟 C11 的概念，原因為凡兩平面的夾角問題，需利用兩向量夾角求解，

因此若不精熟 C2 概念，就不可能會有 C11 概念。

依精熟概念個數來看，精熟 10 個概念個數的人數比例最高，這種程度的學 生未精熟的概念，最有可能的是概念 C3，因為這群學生在 C3 的精熟人數比例最 低僅 58.8%，另外有可能唯一還未精熟的概念是 C6 或 C4，這兩個概念精熟的人 數比例分別為 70.2%及 83.2%。

精熟 9 個概念個數的學生，其未精熟的兩個概念中，最有可能的是概念 C4 及 C6，因為這種程度的學生在這兩個概念的精熟人數比例均只有 56.0%，是所 有概念屬性中最低，而概念 C3 的精熟人數亦不高，精熟比例僅有 64.0%，亦有 可能是尚未精熟的概念。概念 C10 及 C8 精熟人數比例分別為 72.0%與 76.0%是 除上述三個概念外，較有可能未精熟的概念。而且與精熟 10 個概念個數有可能 未精熟的概念比對，發現精熟 9 個概念個數較有可能未精熟的屬性與精熟 10 個

概念個數其有可能未精熟的是相同的。

精熟 8 個概念個數的學生，其未精熟的三個概念中，最有可能的是概念 C4、

C6 及 C8，因為這種程度的學生在這三個概念的精熟比例分別為 50.5%、47.3%

及 37.6%為最低，發現概念屬性 C8 是精熟人數最少的，而在精熟 9 個概念個數 時，其精熟人數比例有 76.0%，顯示此概念在精熟 9 個概念時，精熟人數比例會 大為提升。而概念 C1 亦有可能是還未精熟的概念，其精熟人數比例為 55.9%。

與精熟 9 個概念個數有可能未精熟的概念比對，最有可能同樣未精熟的概念為 C4 及 C6，而概念 C3 是精熟 10 個概念屬性個數與精熟 9 個概念屬性個數均較有 可能未精熟的概念屬性，但在精熟 8 個概念個數時其精熟人數比率有 75.3%，比 精熟 10 個概念屬性個數在 C3 的精熟率 58.8%及精熟 9 個概念屬性個數在 C3 的 精熟率 64.0%高出許多，顯示此概念不會因為概念精熟個數增加，精熟比例提 升，即有可能精熟個數多的反而 C3 概念屬性還未精熟，但精熟個數少的反而 C3 概念屬性已精熟。

精熟 7 個概念個數的學生，其未精熟的四個概念中，最有可能的是概念 C1、

C6、C8 及 C11，因為這種程度的學生在這四個概念的精熟人數比例分別為 35.6%、51.0%、20.2%及 48.1%為最低，發現概念屬性 C8 與是精熟人數最低的，

與精熟 8 個概念個數相同，而概念屬性 C1 與 C11 其精熟人數比例低於 50%，而 概念屬性 C3 與 C4 其人數比例分別為 57.7%與 58.7%，反而不是精熟人數比例最

與精熟 8 個概念個數相同，而概念屬性 C1 與 C11 其精熟人數比例低於 50%，而 概念屬性 C3 與 C4 其人數比例分別為 57.7%與 58.7%，反而不是精熟人數比例最