第四章 結果與討論
第一節 高中二年級學生在平面方程式相關概念屬性的精熟情形
本研究希望了解高中二年級學生在平面方程式單元的學習情形。從表 4-1 中，可以看出學生在不同的試題之答對率不盡相同，但是更重要的是我們希望能 透過利用認知診斷模式來分析學生之作答資料，以對於他們是否精熟這些試題背 後所牽涉的認知概念屬性有所了解。更進一步了解依性別或類組所區分之不同群 體的學生，他們是否不僅在試題答對率上有或沒有差異，而是在對於這些概念屬 性的精熟上是否有差異。
壹、全體學生對平面方程式概念屬性之精熟百分比
表 4-2 為高二學生在平面方程式測驗中，在「兩向量平行的意義」、「向量內 積與長度及夾角的關係」、「平面方程式的表示法」、「平面法向量的意義與特性」、
「向量(a, b, c)是平面方程式 ax+by+cz+d=0 的法向量」、「點到平面的距離公 式」、「兩平行平面的距離公式」、「兩相互平行平面的法向量互相平行」、「兩相互 垂直平面的法向量互相垂直」、「兩不平行向量的外積為兩向量的公垂向量」及「兩 平面夾的其中一角，為兩平面法向量的夾角」等十一個概念上全體受試者在各概 念屬性的精熟百分比，其中受試者概念屬性之精熟機率超過 0.5 者即視其為精熟 該屬性。
表 4-2 高二學生在平面方程式測驗各概念屬性的精熟百分比
而「向量內積與長度及夾角的關係」、「兩平行平面的距離公式」及「兩相互 垂直平面的法向量互相垂直」，精熟比例從 84.7%~85.6%。前兩個概念均為公式 的計算，熟記公式後會有不錯的表現。而最後面的概念，是前一單元向量經常強 調的垂直概念，延續到這個單元時，也有不錯的表現。
精熟比例介於 60.8%至 71.1%的則有「兩向量平行的意義」、「平面方程式的 表示法」、「平面法向量的意義與特性」、「兩不平行向量的外積為兩向量的公垂向 量」及「兩平面夾的其中一角，為兩平面法向量的夾角」。上述每個概念都需要 經過理解，無法利用背誦的方式習得，因此精熟比例較可利用公式背誦的概念來 的低。
精熟比例低於 60%的則有「點到平面的距離公式」及「兩相互平行平面的法 向量互相平行」。其中前者的概念精熟比例較「兩平行平面的距離公式」的精熟 比例來的低，原因可能是學生回憶舊經驗，平面中兩點距離，是用兩點坐標相減 取絕對值，而兩平行平面的距離公式其分子部份，是兩平面方程式相減的結果取 絕對值，與舊經驗的做法類似，而點到平面的距離公式分子部份，要將點代入平 面方程式後再取絕對值，與舊經驗不同，因此造成有較低的精熟比例。後者的概 念精熟比例，較「兩向量平行的意義」來的低，是因為要具備「兩相互平行平面 的法向量互相平行」的概念除了要能將平面方程式取出法向量之外，還需有向量 平行的概念。
貳、不同性別的學生對平面方程式概念屬性之精熟百分比
從表 4-3 可看出男、女生對每個概念的精熟百分比，男生對於所有的概念皆 有過半數的學生精熟，而女生對於 C8 精熟比例僅 46.5%，顯示仍有半數左右女 生尚未能掌握此一概念。
將男女生精熟百分比描繪於折線圖中，如圖 4-1，可看出男生對於所有概念 的精熟情形，除 C6 差異不大外，其餘表現均優於女生，並由表 4-3 最下方欄，
亦可看出精熟百分比的差距，從-0.3%~10.0%不等。
表 4-3 男、女學生對學習平面方程式概念屬性之精熟百分比
表 4-4 自然組、社會組學生對學習平面方程式概念屬性之精熟百分比
表 4-5 性別及類組在 C1 的精熟與否之顯著性
B 之估計值 S.E, Wals df 顯著性 Exp(B)
EXP(B) 的 95% 信賴區間
下界 上界
步驟 1a 性別 .050 .088 .328 1 .567 1.052 .885 1.249
類組 -.398 .088 20.491 1 .000 .672 .565 .798
性別與類組的交互作用 -.028 .088 .105 1 .746 .972 .818 1.155
常數 .469 .088 28.474 1 .000 1.599
由表 4-5 得知對於兩向量平行的意義(C1)這個概念屬性之精熟，性別與類組 無交互作用效果，僅顯示不同類組的學生有顯著差異，雖然在表 4-3 中，男女生 在 C1 之精熟比例有 8.8%的差距，但此差異在統計上並不顯著。
表 4-6 性別及類組在 C2 的精熟與否之顯著性
B 之估計值 S.E, Wals df 顯著性 Exp(B)
EXP(B) 的 95% 信賴區間
下界 上界
步驟 1a 性別 .088 .120 .535 1 .465 1.092 .863 1.381
類組 -.283 .120 5.579 1 .018 .753 .595 .953
性別與類組的交互作用 -.029 .120 .057 1 .812 .972 .768 1.229
常數 1.779 .120 219.836 1 .000 5.923
由表 4-6 得知性別與類組對於向量內積與長度及夾角的關係(C2)之精熟無交 互作用效果，性別之效果未達顯著，僅顯示不同類組的學生有顯著差異。
表 4-7 性別及類組在 C3 的精熟與否之顯著性
B 之估計值 S.E, Wals df 顯著性 Exp(B)
EXP(B) 的 95% 信賴區間
下界 上界
步驟 1a 性別 .117 .086 1.823 1 .177 1.124 .949 1.331
類組 -.142 .086 2.707 1 .100 .868 .732 1.028
性別與類組的交互作用 -.056 .086 .423 1 .515 .945 .798 1.120
常數 .410 .086 22.554 1 .000 1.507
由表 4-7 得知性別與類組對平面方程式的表示法(C3)之精熟無交互作用效 果，更進一步地，雖然在表 4-4 與表 4-3 中，不同類組的精熟比例雖有 8.5%的差 距，男女生的精熟比例亦有 8.1%的差距，但此結果顯示性別與類組對於 C3 之精 熟與否均無顯著效果。換句話說，不論學生是男生或女生、自然組或社會組，他 們在 C3 這個概念屬性的精熟比例並無顯著差異。
表 4-8 性別及類組在 C4 的精熟與否之顯著性
B 之估計值 S.E, Wals df 顯著性 Exp(B)
EXP(B) 的 95% 信賴區間
下界 上界
步驟 1a 性別 .131 .089 2.156 1 .142 1.140 .957 1.358
類組 -.276 .089 9.524 1 .002 .759 .637 .904
性別與類組的交互作用 .151 .089 2.846 1 .092 1.163 .976 1.385
常數 .567 .089 40.347 1 .000 1.763
由表 4-8 得知性別與類組對於平面法向量的意義與特性(C4)這個概念屬性的 精熟無交互作用效果，雖然在表 4-3 中男女生的精熟比例有 10.0%的差距，但性 別仍無顯著效果，僅顯示出不同類組的學生之精熟比例有顯著差異。
表 4-9 性別及類組在 C5 的精熟與否之顯著性
B 之估計值 S.E, Wals df 顯著性 Exp(B)
EXP(B) 的 95% 信賴區間
下界 上界
步驟 1a 性別 .387 .298 1.683 1 .195 1.472 .821 2.640
類組 -.798 .298 7.169 1 .007 .450 .251 .807
性別與類組的交互作用 .077 .298 .067 1 .796 1.080 .602 1.938
常數 3.655 .298 150.295 1 .000 38.649
由表 4-9 得知性別與類組對於向量(a, b, c)是平面方程式 ax+by+cz+d=0 的法 向量(C5)這個概念屬性的精熟無交互作用效果，性別之效果未達顯著，僅顯示不 同類組的學生有顯著差異。
表 4-10 性別及類組在 C6 的精熟與否之顯著性
B 之估計值 S.E, Wals df 顯著性 Exp(B)
EXP(B) 的 95% 信賴區間
下界 上界
步驟 1a 性別 -.146 .087 2.837 1 .092 .864 .729 1.024
類組 -.347 .087 15.944 1 .000 .707 .597 .838
性別與類組的交互作用 -.155 .087 3.202 1 .074 .856 .722 1.015
常數 .075 .087 .739 1 .390 1.077
由表 4-10 得知性別與類組對於點到平面的距離公式(C6)之精熟無交互作用 效果，性別之效果未達顯著，僅顯示不同類組的學生有顯著差異。
表 4-11 性別及類組在 C7 的精熟與否之顯著性
B 之估計值 S.E, Wals df 顯著性 Exp(B)
EXP(B) 的 95% 信賴區間
下界 上界
步驟 1a 性別 -.040 .119 .113 1 .737 .961 .760 1.214
類組 -.420 .119 12.334 1 .000 .657 .520 .831
性別與類組的交互作用 -.017 .119 .020 1 .889 .983 .778 1.243
常數 1.737 .119 211.242 1 .000 5.679
由表 4-11 得知性別與類組對於兩平行平面的距離公式(C7)這個概念屬性的 精熟無交互作用效果，性別之效果未達顯著，僅顯示不同類組的學生有顯著差異。
表 4-12 性別及類組在 C8 的精熟與否之顯著性
B 之估計值 S.E, Wals df 顯著性 Exp(B)
EXP(B) 的 95% 信賴區間
下界 上界
步驟 1a 性別 .045 .086 .274 1 .600 1.046 .884 1.238
類組 -.375 .086 18.997 1 .000 .687 .581 .814
性別與類組的交互作用 -.029 .086 .110 1 .740 .972 .821 1.150
常數 -.018 .086 .045 1 .833 .982
由表 4-12 得知性別與類組對於兩相互平行平面的法向量互相平行(C8)這個 概念屬性的精熟無交互作用效果，雖然在表 4-3 中男女生的精熟比例有 8.8%的 差距，但性別仍無顯著效果，僅顯示出不同類組的學生之精熟比例有顯著差異。
表 4-13 性別及類組在 C9 的精熟與否之顯著性
B 之估計值 S.E, Wals df 顯著性 Exp(B)
EXP(B) 的 95% 信賴區間
下界 上界
步驟 1a 性別 -.025 .124 .043 1 .836 .975 .765 1.242
類組 -.456 .124 13.641 1 .000 .634 .497 .807
性別與類組的交互作用 .112 .124 .824 1 .364 1.119 .878 1.425
常數 1.770 .124 205.452 1 .000 5.873
由表 4-13 得知性別與類組對於兩相互垂直平面的法向量互相垂直(C9)之精 熟無交互作用效果，性別之效果未達顯著，僅顯示不同類組的學生有顯著差異。
表 4-14 性別及類組在 C10 的精熟與否之顯著性
B 之估計值 S.E, Wals df 顯著性 Exp(B)
EXP(B) 的 95% 信賴區間
下界 上界
步驟 1a 性別 .078 .093 .688 1 .407 1.081 .900 1.298
類組 -.263 .093 7.900 1 .005 .769 .640 .924
性別與類組的交互作用 .019 .093 .043 1 .836 1.020 .849 1.224
常數 .894 .093 91.506 1 .000 2.445
由表 4-14 得知性別與類組對於兩不平行向量的外積為兩向量的公垂向量 (C10)這個概念屬性的精熟無交互作用效果，雖然在表 4-3 中男女生的精熟比例 有 6.9%的差距，但性別仍無顯著效果，僅顯示出不同類組的學生之精熟比例有 顯著差異。
表 4-15 性別及類組在 C11 的精熟與否之顯著性
B 之估計值 S.E, Wals df 顯著性 Exp(B)
EXP(B) 的 95% 信賴區間
下界 上界
步驟 1a 性別 .034 .089 .145 1 .703 1.034 .869 1.231
類組 -.288 .089 10.492 1 .001 .750 .630 .893
性別與類組的交互作用 -.088 .089 .980 1 .322 .916 .770 1.090
常數 .623 .089 49.169 1 .000 1.864
由表 4-15 得知性別與類組對於兩平面夾的其中一角，為兩平面法向量的夾 角(C11)這個概念屬性的精熟無交互作用效果，雖然在表 4-3 中男女生的精熟比 例有 6.1%的差距，但性別仍無顯著效果，僅顯示出不同類組的學生之精熟比例 有顯著差異。
由以上統計分析來看，性別及類組在各概念屬性之精熟上無交互作用影響，
且男女生在各概念屬性之精熟比例亦無顯著差異。此與廖焜熙(1999)的研究中指 出，男、女生之空間能力未達顯著差異之結論相符。
而自然組與社會組學生除了在平面方程式的表示法(C3)這個概念屬性的精 熟比例上無顯著差異外，在其餘概念屬性的學習上，自然組學生的精熟情形均顯 著優於社會組學生。根據文獻，陳俊廷(2002)的研究指出，大多數「空間向量」
的概念，自然組學生的表現較社會組學生好，與本研究的結果一致。劉嘉琪(2007) 在高中數學單元「函數與方程式」研究，診斷高三自然組與社會組學生的學習情 形，同樣也發現自然組的測驗表現均顯著優於社會組的表現，亦與本研究結果一 致。
有顯著差異的概念屬性中，精熟百分比差距超過 19%以上的有兩向量平行的 意義(C1)及兩相互平行平面的法向量互相平行(C8)。而精熟百分比差距介於 13%~16%的則有平面法向量的意義與特性(C4)、點到平面的距離公式(C6)及兩平 面夾的其中一角，為兩平面法向量的夾角(C11)。精熟百分比差距介於 10%~12%
的則有兩平行平面的距離公式(C7)、兩相互垂直平面的法向量互相垂直(C9)及兩
不平行向量的外積為兩向量的公垂向量(C10)。精熟百分比差距低於 9%的有向量 內積與長度及夾角的關係(C2)及向量(a, b, c)是平面方程式 ax+by+cz+d=0 的法向
不平行向量的外積為兩向量的公垂向量(C10)。精熟百分比差距低於 9%的有向量 內積與長度及夾角的關係(C2)及向量(a, b, c)是平面方程式 ax+by+cz+d=0 的法向