第二章 文獻探討
第一節 幼兒數學學習理論探討
長久以來，許多學者針對兒童的數學概念和發展進行探究，多數的研究結果顯示：
數學的學習非常的複雜，甚至許多教師都未能深入瞭解如何指導學生（Susuwele-Banda，
2005）。隨著時代的轉變，數學學習理論呈現幼兒數學概念在教與學的趨勢上，從十九 世紀末桑代克（Thorndike）開始有系統的針對算數來探討人類的思考（邱守榕，2002），
兒童數學思考的探究歷經了行為主義的吸收論與聯結論的教育觀，及至認知心理學的皮 亞傑（Jeam Piaget）的建構論改變了對數學本質的看法，學習者的角色不再是被動的知 識吸收者，而是主動的建構者。維高斯基（Vygotsky）所提出的社會建構理論，為數學 的學習與應用帶來了社會性的觀點，深深的影響到當代教育界對於數學教育的方向。
近20 年來，數學的教育與學習觀點依然爭論不休，Baroody（桂冠譯，2000）統整 過去相關文獻，以及數學的學習理論與紛爭將之歸納為吸收論與建構論。簡而言之，吸 收論是指透過練習掌握事實與技巧；而認知論則主張透過學習的過程瞭解學生對於知識 的理解狀況。Haskins（2007）針對 Baroody 對於數學理論所談論的內涵由本質上進行分 析，認為學生的學習面只有兩個方向 - 有意義的學習以及無意義的學習。研究者認為 Haskins 的解讀未免失之武斷，畢竟在數學學習的過程，無論是透過反複的模式所吸收 的知識或是藉由理解而建構的知識，其數學概念最終都得形成記憶，然後進一步提供個 體在需要時隨時提取，無法將知識直接用有無意義來斷然切割為，因此將Baroody 複雜 的數學學習內涵用有意義、無意義的絕對二分法來看待不免失之偏頗，無法解析幼兒學 習的全貌。
即使數學教育思想的洪流已經將建構式數學融入於當前的數學教學精神和課程綱 要中，然而就數學教學信念上有所不同的教師來說，在教學上所展現的行為也會有所不 同。例如：有的教師在教學上會舉例講述並讓學生透過記憶、背誦或是反複練習來達到 學習的目標，在教導的過程中扮演著知識傳遞者的角色；反之，有的教師在教學上會引
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導學生透過探索來發現數學的概念，在角色與學生一同扮演著探索者的角色（莊淑琴，
2002）。
根據研究者的整理發現，過去針對幼兒數學學習的信念與行為的研究往往偏重於教 師方面的研究，例如：莊淑琴（2002）針對國小教師數學信念的研究是以傳統觀與建構 觀來進行教師在信念與行為上的探討；又如，Waxman 和 Zelman（1987）透過晤談的方 式，以 15 位國小數學教師為對象所做的數學教學信念研究，將結果分為兩類：第一類 為著重啟發式教學，提供學生問題解決的機會的建構教學觀；另一類則側重於反複演 算、熟練計算過程的傳統教學觀（引自陳彥廷，2002）。溫世展、呂玉琴（2004）則整 理相關研究將數學教學信念區分為傳統觀與非傳統觀。研究者認為，從教師的研究面向 事實上和從家長角度的研究所著重的方向仍然會有所差異。
以台灣在升學主掛帥的文化之中，許多家長對於幼兒數學的學習帶著焦慮與期許，
擔心孩子數學的成績會影響到未來的升學與學習成就，因此坊間充斥著各種數學學習的 課程，如：MPM數學、奧林匹克數學、傑立卡數學、蒙特梭利數學、珠心算等等。長 期以來，許多研究者依然在爭辯數學的教與學應該透過反複式練習或是需要有意義式的 學習，因此，對於幼兒學習數學的觀點值得進一步探究。
Baroody、Dowker（2003）從心理學將數學學習理論整理為兩大系統：行為理論與 認知學習理論，其下再細分為：聯結論、訊息處理論、社會學習論、極端建構論和基本 領域論等（如：圖2-3-1），最後再依此統整為吸收論與建構論來論述。而國內學者吳昀 倩（2007）、黎佳欣（2007）、胡志偉（2005）、張宇樑（2004）、莊淑琴（2002）、
陳彥廷（2002）、周淑惠（1999）等學者的研究，則區分為傳統觀、建構觀、社會建構 觀。本節綜合上述理論將先從Baroody所建立的數學學習理論系統切入，再從吸收論、
建構論以及社會建構論來進行探討。
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圖 2-2- 1 數學學習理論系統圖
資料來源：Baroody, A. J.、Dowker, A.（2003）.The development of arithmetic concepts and
skills ： constructive adaptive expertise . NJ：Lawrence Erlbaum Associates, Inc.p5.
Meaning Theory
（e.g.,Brownell）
意義理論
（如：布朗內爾）
Strategy-Choice Model
（e.g.,Siegler）
策略選擇模型
（如：席格勒）
Drill Theory
（e.g.,Thorndike）
練習理論
（如：桑代克）
Accumulator Model
（e.g.,Gelman or Wynn）
累加計數模型
（如：蓋爾門、維恩）
Incidental-Learning Theory（e.g.,Dewey）
偶發學習理論
（如：杜威）
Schema-Based View
（e.g.,Baroody & Ginsburg）
基模模組觀
（如：巴魯迪、金斯堡）
Associative-Learning Theory
聯結學習理論 Information- Processing Theory
訊息處理理論
Social-Learning Theory
（e.g., Vygotsky）
社會學習理論
（如：維高斯基）
Privileged Domain Theory
特權領域理論 Empiricist Tradition
傳統觀察實驗者
Nativist tradition 傳統先天論者
Behavioral Theory 行為理論
Cognitive Theory 認知理論
Theory of learning
學習理論
Radical Constructivist
（e.g.,Piaget）
極端建構論（如：皮亞傑）
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一、Baroody 架構的數學學習理論系統
Baroody（2003）在「數學的概念與技巧的發展」一書中將數學學習理論進行有系 統的分析，將之分為行為理論與認知理論兩大系統（圖2-3-1）。從歷史觀點來看，早期 學者的爭論的焦點在於知識是藉由反複記憶的方式或是需要對個體形成意義才能吸 收，Baroody（2003）指出 Brownnell（1935）將數學學習理論分為三大理論：練習理論
（Drill Theory）、意義理論（Meaning Theory）和附屬學習理論（Incidental-Learning Theory），其中所辯論的重點即在學習的技巧與概念上，依學者所提出的觀點認為練習 理論的觀點在於強調數學教學應該著重於掌握基本的技巧而非數學概念的培養；但附屬 學習理論則側重教育的重點應該在於概念的培養而非基本技巧的記憶性。Brownell
（1935）則取中間路線，他所提出的意義理論結合前述兩種理論，一方面他建議審慎的 使用教科書來進行教學，透過反複練習來促進基本技巧的掌握；另一方面，他亦認同幼 兒學習數學透過經驗探索來培養概念理解的重要性（引自Baroody、Dowker，2003）。
近 25 年來以來，對於數學學習的論辯則從技巧和概念的重要性轉為探討技巧優先 或概念優先。行為主義學者主張數學技巧的發展先於概念，因此，數學技巧的學習應該 透過模仿、反複練習和增強等方式，透過這些方式來讓幼兒發現數學的規則與概念，隨 著概念性知識慢慢的累積，就能和程序性知識產生聯結（Baroody、Dowker,2003）。例 如：父母在教導幼兒學習8+3 時會告訴孩子從大的數字往上加，透過這個模式，孩子會 發現8+3 和 3+8 的結果是一樣的，兩個數字的位置並不會影響結果。
有些認知學者則持概念性知識優先發展並引導程序性知識的建立，事實上已有先天 論學者如：Dehaene（2000）、Wynn（1992）等人經實驗發現，嬰幼兒在一歲以前雖然 數概念尚未發展成熟，但已有數的基本知識稱之為數感（number sense）（引自Dehaene，
2000），也就是說人類天生已經發展出數感概念已是無庸置疑。另一派學者則認為發展 應該呈現循環模式，Delaware 大學於 1980 年中期針對數學的概念與程序性發展舉辦一 系列的研討會，提出概念與技巧的學習兩者之間並非線性關係，也不能簡單劃分為概念
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優先或技巧優先來做解釋（引自Baroody、Dowker，2003），依此結論，循環模式似乎 並未推翻天生數感的研究。Baroody 與 Ginsburg（1986）倡議概念與技巧間具有反複性 關係，認為概念性知識可以引領程序性知識的進展，而技巧的運用同樣能引領概念的建 立；而Rittle-Johnson and Siegler（1998）則認為程序性知識和概念性知識的發展是並行 發展（引自 Baroody、Dowker，2003），例如在進行加法 3＋8 時，從大數字往上繼續 數的策略與加法交換率的概念（3＋8＝8＋3）的發展是緊密結合不可分割。
綜合Baroody 從數學學習的歷史發展架構可以發現，學習理論的發展源自於傳統以 行為主義內涵的吸收論，以及從認知學習角度的建構論。
二、吸收論（Absorption Theory ）
周淑惠（1999）、洪菁詩（2007）等學者指出 Baroody 所提出的吸收論基本上屬於 行為主義理論（Bahaviorist），以 Thorndike、Skinner 和 Gagñe 為代表人物。行為取向 觀點認為「學習」係指非先天所獲得的能力，個人透過經驗而使行為產生改變的歷程，
學習者透過模仿、練習、強化與習慣而吸收知識。
（一）吸收論的意涵
林淑玲（1994）整理國外學者的研究指出學習是個體行為受到外在環境的獎懲或是 增強所產生的反應，其主要的觀點如下：
1. 環境是一種刺激。
2. 個體對外在環境刺激的而產生行為反應。
3. 強調透過環境來控制行為。
4. 行為的形成被細分為許多小步驟。
5. 個體在接收到刺激後會立即產生特定的反應，此行為可以客觀的被測 量出反應的增減。
6. 學習的產生來自於一連串的刺激、反應與增強的聯結。
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7. 透過操弄可以確定個體是否已經達成學習。
由此可知，行為論者認為兒童是被動的知識接受者，成人對兒童的學習具有主導 權，Baroody（桂冠譯，2000）依行為論的觀點從知識的本質、知識的吸收和信念將這 種數學學習模式歸類為吸收論。根據吸收論的觀點，數學知識在本質上是由事實（facts）
與技能（skill）所結合而成，學習者透過記憶將事實和技巧聯想在一起。由於知識是由 外在事實而根植於內心，所以學習就是將外界的訊息內在化或是一種訊息複製的過程，
當個體需要訊息時，就可以從記憶中隨時提取，因此在學習的過程需要透過反複式的記 憶。例如：要熟練加法的技巧，就需要熟悉每一組數字的總和；透過機械式的學習，將 一組組數字（刺激）聯想到其特定的答案而形成一種習慣，例如：當我們透過反複的練 習之後，看到7+2 這個刺激，立刻會從長期記憶中提取出答案就是 9。也就是說，數學
當個體需要訊息時，就可以從記憶中隨時提取，因此在學習的過程需要透過反複式的記 憶。例如：要熟練加法的技巧，就需要熟悉每一組數字的總和；透過機械式的學習，將 一組組數字（刺激）聯想到其特定的答案而形成一種習慣，例如：當我們透過反複的練 習之後，看到7+2 這個刺激，立刻會從長期記憶中提取出答案就是 9。也就是說，數學