van Hiele 理論

自西元1993 年起實施的國小數學課程中，有關幾何教材的編制，即是以 van Hiele 理論為主軸。可知 van Hiele 理論在國內受到相當的重視，本節就來探討 van Hiele 理論。

一、van Hiele 幾何思考層次

根據van Hiele 的理論，幾何思考的發展模式共分為五個層次，每個層次都有 各自獨特的發展特徵。對於這五個層次的描述方式，國內外的研究者有兩種不同 的表達方式，一部份研究者使用「層次０、層次一、層次二、層次三、層次四」

來描述這五個幾何思考層次(黃盈君，2001；盧銘法，1999；Fuys, 1985; Golinskaia, 1997) 另一部份研究者則使用「層次一、層次二、層次三、層次四、層次五」來 描述van Hiele 的五個幾何思考層次(吳德邦，1998，1999，2000a，2000b，2001a，

2001b，2002，2003，2004，2005；林玉琦，2003；薛建成，2003；Usiskin, 1982;

van Hiele, 1986; Wu, D. B., 1994; Wu & Ma, 2005a, 2005b)。 Van Hiele（1986）自 己在書中提到，我現在所說的層次二就是以前的層次一，層次三就是以前的層次 二，以此類推。本研究採用van Hiele(1986)對層次的說法，分別為層次一：視覺 的(visual)層次、層次二：描述的(descriptive)層次、層次三：理論的(theoretical)層

次、層次四：形式邏輯的(formal logic)層次、層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical laws)層次。以下分別描述各層次的內容：

（一）層次一：視覺的(visual)層次

這個層次的學生，主要是經由視覺觀察物體的輪廓而得知形體，視覺差異不 大的圖形，可以透過移動或旋轉等方法來辨識，並且能夠依據各種物體的外觀說 出形狀(如：三角形、正方形等)，但是他們無法瞭解這些圖形的真正定義，不能 根據圖形的性質或組成要素來進行分析。

（二）層次二：描述的(descriptive)層次

這個層次的學生，具有豐富的視覺辨識經驗，除了藉由圖形的外觀輪廓來判 斷圖形，更能依據視覺所觀察到的結果，進而分析圖形的構成要素及性質，也能 利用這些要素及性質來辨認整個圖形(如：他們能說出正方形有四個相等的邊、四 個直角)。但是他們還無法分辨不同類圖形間的關係(如：他們不會認為正方形也 是長方形)。

（三）理論的(theoretical)層次

這個層次的學生，已經很清楚各種圖形的構成要素，並且知道圖形之間的相 互關係。能夠依據圖形的性質進行非正式的推演，瞭解圖形的內在屬性關係與圖 形間的包含關係。（如：知道正方形可以分成兩個直角等腰三角形，但是還不能 進行有系統的證明）

（四）形式邏輯的(formal logic)層次

這個層次的學生，能夠用邏輯推理來解釋未定義的名詞、定理、定義、公設，

而不再只是記憶，並經由抽象的推理過程，來證明幾何問題及相互間的關係，也 能了解這些定理證明的方法可能不只一種。（如：能證明三角形的內角和是180 度）。

（五）邏輯法則本質的(the nature of logical laws)層次

達到這個層次的人，可以在不同的公設體系中，建立定理並且進行分析或比

較各種不同的公設系統，也能根據不同的公設系統進行推論。能達到此層次的人 並不多，即使是專業的數學工作者也都不容易達到這個層次。

二、van Hiele 幾何思考層次之特性

Crowley(1987)對 van Hiele 幾何思考層次特性的描述為：次序性(sequential)、

提昇性(advancement)、內因性與外因性(intrinsic and extrinsic)、語言性 (linguistics)、以及不配合性(mismatch)。各特性分別敘述如下：

（一）次序性(sequential)：幾何思考層次的發展是循序漸進的，每一個層次的概 念一定是來自於前一個層次的概念。學生必須充分的學習所在層次的各種 概念、知識、能力，才能順利進到下一個層次的學習。所以學生不可能還 沒學會層次一的各項概念、知識與能力就已經到達層次二，或直接跳過層 次二的學習到達層次三。

（二）提昇性(advancement)：學生層次的提昇是經由教學，而非個體的年齡成長 或個體的成熟而發展，也沒有一種教學方式可以讓學生躍過某一層次而進 入下一個較高的層次。van Hiele(1986)曾經提到，學童幾何思考層次的進 展，主要是依賴教學而不是兒童的年齡成長或成熟度的增加。因此由一個 層次到另一個層次的轉變並不是一個自然的過程，它是在教與學課程計畫 的影響下而提昇的。

（三）內因性與外因性(intrinsic and extrinsic)：在幾何思考層次中，某個層次的應 有目標，即為下一個層次的研究目標。林軍治(1992)也指出：在每一思考 層次上，先前層次的內在性，變為目前層次的外在性。而對某些概念的瞭 解，雖然在目前這個層次可能不明顯，但在下個層次卻是明確可知的 (Clements & Battista, 1992)。

（四）語言性(linguistics)：每一個層次都有屬於該層次獨特的語言、符號，以及 這些符號之間的關聯系統。每一層次有其專屬的獨特語言，在某一個層次

中屬於正確的語言，到了另一個層次中，可能就必需經過修正才能符合。

（五）不配合性(mismatch)：依據 van Hiele 幾何思考層次的語言獨特性，每個層 次有它自己獨特的語言、符號。若學生是屬於層次一，然而教學設計，語 言符號的運用，卻是層次二或層次三，那麼學生的學習成效就會不好，老 師的教學效果就很差。這也就是為什麼老師和學生之間會常常發生誤解或 無法溝通的原因之一。

三、小結

一九九三年起實施的國小數學課程中，幾何教材的發展順序，即是以van Hiele 理論為主軸，可見 van Hiele 理論在國內受到相當的重視。本研究使用的工 具即是以van Hiele 理論為基礎所開發出來，尤其是低年級大部分屬於視覺層次，

對於測驗低年級簡單平面圖形的概念，相當適合。