教材分析

壹、 「乘與除」教材分析

互逆指兩種運算會互相抵消，透過乘除互逆關係得到的運算規則就 是：乘除的等量公理或移項法則，說明了 a，b，c 三數的下數等價關係（a，

b，c 不為零）

a÷b＝c ←→ a÷c＝b ←→ a＝b×c（或 a＝c×b）

本教材採用單位量轉換活動的觀點，認為乘除法是用來解決單位量變 換的問題，以「有7 盒肥皂，其中每盒有 6 塊肥皂，合起來有 42 塊肥皂」

的情境為例：在正整數的乘法問題中，一個量本來是用高階單位（盒）來 描述的，例如「有7 盒肥皂，其中每盒有 6 塊肥皂」，現在要求重新用低 階單位（塊）來描述，例如「合起來共有幾塊肥皂？」。換言之，乘法運 算是將原來有分界的狀態（6 塊裝一盒，共有 7 盒），把其中的分界取消（共 42 塊，不再有分界）。而在除法運算中，一個量本來是用低階單位（塊）

來描述，例如「原有42 塊肥皂」，現在要求用高階單位（盒）來重新描述，

例如「每6 塊裝一盒，可以裝幾盒？」或「不知道幾塊裝一盒，但可以裝 7 盒」。換言之，除法運算是將原來沒有分界狀態（有 42 塊），增加了分界

（每6 塊裝一盒，共有 7 盒）。

以上述觀點來看乘除法運算的互逆關係，其意義應該是：有分界的狀 態甲，經由乘法運算取消了分界，變成沒有分界的狀態乙，而沒有分界的 狀態乙，經由除法運算增加了分界，又變成有分界的狀態甲，先除再乘的 情況亦同，故而乘、除法互為逆運算。

對國小學童而言，同時要觀察到數量關係並描述數量的狀態並非易 事，因此增加加、減法互為逆運算活動，與乘、除法互為逆運算紀錄的對 比下，可以幫助學童觀察（經驗）乘、除法互為逆運算的關係。活動進行 的基本步驟是：○¹ 先布一個乘法文字題，要求學童用有乘號的算式填充題 把問題記下來，並進行解題，獲得解題紀錄（例如「6×7＝（42）」）；○² 再

布一個以○¹ 的結果42 為被除數、乘數 7 為除數的除法文字題，要求學童 用有除號的算式填充題把問題記下來，並進行解題，獲得解題紀錄（例如：

「42÷7＝（6）」）；○³ 比較兩個紀錄，要求學童注意到第二題的結果，居然 和第一題中的被乘數相同。由於學童不易說出完整的乘除互逆意義，活動 中只要求學童說說看，怎麼會這樣。使用相同的教學步驟，可以進行先除 後乘的互逆活動。（國家教育研究院，2006）

貳、 「分數」教材分析

分數的概念起源於「分」，是用來解決不滿一個單位量的量的數值的 問題（呂玉琴,1995）。Larry and Joseph 將分數區分為：一、圖形中全 部的一部份；二、比例中的比；三、除法中的商；四、自然數中的有序對 等四種。且其主張兒童在學習分數的初步概念，必須掌握，一、確定單位 量；二、認知等分大小；三、找出等分割數；四、所聚份數與等分割數之 比較。（轉引自,李端明,1997）。Piaget (1960)認為，兒童能理解分數 的意義，必須具有以下的概念：一、能分割整體；二、決定部份的量；三、

必須窮盡分割量；四、決定分割數與全體的關係；五、所有的被分割量皆 相等；六、知道部份來自於全體； 七、部份的和對等於全體， 且全體是 不變的。所以兒童能否進行等分割活動，是學習分數的首要因素，此外，

兩量的關係比較，特別是部份與全體關係的掌握更是分數意義的主要內 涵。

在小學分數的啟蒙階段，分數的意義是為一等分割的活動，將一個 或多個基準單位量平分成數份後，再合成數等份的結果。例如「ｍ／ｎ」

是把一個或多個基準單位量，透過實作或心理的等分割活動成為ｎ等份，

再合成其ｍ份，命名為「ｎ分之ｍ」。也可以說此分數詞的意義是透過等 分割再合成的活動找出其所指示的量。等值分數是指在選取相同基準單位 量的情境下，兩分數雖然等分割的份數與合成份數不同，但兩分數所代表

的量卻是一樣多，例如選取一塊蛋糕當基準單位量，3

4 塊是把一塊蛋糕四 等分割，合成其中的三份，6

8 塊是把一塊蛋糕八等分割，再合成其中的六 份，雖然3

4 塊和6

8 塊對於實際所代表的蛋糕量是一樣多的，但對於初接觸 分數的學童而言，由於無法取消已分割的痕跡而將不同的分割與合成活動 所得的分數視為不同。

由於現階段的學童，尚需要透過等分割活動，才能掌握分數的意義，

如果被等分割的量不確定時，則無法進行等分割活動，因此，82年版部編 本建議在布置連續量分數問題情境時，或提供實際的物件（例如：一條繩 子、一張色紙）、或使用學童已熟悉的物件來描述（例如：一個蛋糕、一 公升的水，....），讓學童在心像上能產生一個確定的量（其數值可以未 定）；在布置離散量與全部為單位量的問題情境時，亦必定清楚地描述「1」

單位中內容物的量（例如：一打鉛筆有12枝或全部有12枝鉛筆）。而「1」

單位性質為未定量或變數的問題情境，則是國中教材的範圍。也因此82年 版部編本所有分數的認識及其加減乘除問題必定是量的文字情境問題，而 不直接布「7

10 ×1

10 ＝( )」及「7 10 的1

10 倍是多少？」的問題，因為這些 問題都是基準單位量「1」未知的分數問題。

國小「分數」概念在九年一貫的數學領域之五大主題中隸屬於「數與 量」，根據九年一貫課程綱要數學學習領域（2003），依分年細目所編列 的階段能力指標中，將與分數概念教學相關的羅列於下：

表2-2-2 九年一貫數學領域綱要（2003）中分數教材的分年細目表

置；六年級理解除數為分數的意義及其計算方法，並解決生活上的問題。

在三年級分數的教學應初步認識分數的意義，並能理解在日常生活中 使用分數的溝通方式。在此階段分年細目標在於，學童從具體情境或活動 中掌握分數的概念，能學會分數的記號，並理解運用分數記號來記錄同分 母分數的比較與加減的方式。由於本細目在理解分數的意義，建議分母只 用小於12 的數字。教學上可先強調單位分數的意義，再及於真分數，但 本細目的分數並未限制在真分數的範圍內，若教師採行分數的數數教學，

則也可自然進行到假分數的範圍，但宜暫時避免「真分數」、「假分數」

這些名詞的出現。由於日常生活的分數使用，常常用到小於1 的分數，因 此在三年級可多強調真分數的部分。

參、 「時間」教材分析

一、 時間的定義

時間是一種隨事件發生而流逝的量，它雖然存在，但看不到、摸不到，

它不同於長度、重量、容量這一類在實物上存在可以找到的量。世人已形 成文化共識，利用鐘面上的刻度來報讀時刻或測量時間，所以，時間是工 具量而非感官量（鍾靜，2006）。劉秋木(1996)指出「時間」其實含有兩 個概念：時刻與時間，時刻是時間之流上的點，標記著時間之流的順序，

而時間是兩個點之間的間隔，標記著時間之流的綿延。Leushina(1991)認 為：時間是客觀而獨立的存在於知覺之外，而時間的察覺和時間的概念只 是真實的反應存在於我們的生活之中。所以，時間具有三個特性：第一、

流動性：時間是不斷的在運行；第二、不可逆性：時間是無法再重回到過 去；第三、缺乏觀測的方式：時間是無法看到和聽到的。

因為時間的抽象性，對於時間的定義與特性描述，也是較難以具體 化，若由連續和期間來說明的話，則是將時間所具有的功用，利用物體來

呈現，有助時間的測量，若由事件來表達的話，則是從真實生活中，以抽 取時間的使用性，實際來看時間的作用。綜合來看所謂「時間」就是：在 連續流動中，經由事件的位置知覺時間的變動，而且是單向無法再迴溯 的，由人為制定的時間單位是具有週期性質的。(張怡婷，2006）

人們對於「時間量」的感覺，會受到心理因素的影響，對自己喜歡的 事情，就覺得它花費的時間量很短；做不喜歡的事，就覺得度日如年 。 所以時間量的教學非常困難。在教學上，先安排活動讓學生對時間量有感 覺；再運用生活事件，配合鐘面上的時針、分針或秒針的位置變化進行量 感教學，讓學生經驗一分或一秒的量感。學生需要認識的時間「普遍單位」

有「一日」、「一時」、「一分」、「一秒」，而不同的時間單位，需要安排不 同的教學活動。時間不是在實物上存有的量，教學生什麼是「1 小時」時，

不可能拿出一個量讓兒童有明確的體驗；如果利用鐘撥轉長針一圈說是 1 小時，但其實際經過的時間可能只有幾秒；如果讓兒童目視時鐘，實際看 長、短針轉動情形，體驗的 1 小時必定是度時如年。

成人描述何謂 1 小時？多數人會說 1 小時是 60 分，但 1 分鐘又是怎 麼樣描述的呢？事實上，每個人可能因事不同，對「1 小時」的感覺也不 同，如果 1 小時在進行喜歡的活動、或不喜歡的活動時，其對 1 小時的感 覺就有差異；所以對「1 小時」精確的度量，必需借助工具－時鐘，從刻 度的變化建立所謂的相對量感。

我們在工具量教材架構層次建立量感階段，讓學童配合生活事件，

以及鐘面上時針、分針的位置轉動變化進行教學活動，以經驗 1 小時的量 感。讓兒童察覺 1 小時的量，有 1 小時量感的自覺性；而非讓兒童僅藉假 轉鐘面上長（分）針一圈，或以 60 小格是 60 分鐘來教學 1 小時。

因為時間是工具量，所以教學「1分鐘」時，不可能拿出一個量讓兒

童明確感受；要像教學「1小時」是配合生活事件，以及鐘面上時針、分 針的位置轉動變化進行教學活動，而產生量感的自覺性。

教學活動的設計，是先以生活事件和「1分鐘」量感做連結，再配合 鐘面現象由H時M分到H時（M＋1）分，以名稱「分」的觀點認識「1分鐘」；

並非利用兒童已察覺鐘面上分針轉1圈、時針轉1大格是1小時的現象，或

並非利用兒童已察覺鐘面上分針轉1圈、時針轉1大格是1小時的現象，或