數值例子分析

, ,1 2 2 2

ˆ ( ) ( , , ) 1 ( ( , , )) ( ) ( )

u

s s f u f

b u v u u u v u u u f u du

= +

f u

∫

(46) 根據(43)與(46)式的結果⁵，以下定理我們說明初級市場採用不同的競標制度並不 會影響發行者的收益。

命題 8 當次級市場採取第一價位秘密競標制度時，初級市場採取第一價位秘密 競標或第二價位秘密競標制度對發行者產生相同的收益。

根據命題 8 我們已經確定了以下兩種關係，(F, F)=(S, F)與(F, S)=(S, S)。但若要 進一步將以上四種組合加以排列，沒有轉賣市場一般性的解是無法達成的。雖然 如此，從某些存在均衡的特定例子中，我們還是可以歸納出一些結論，因此底下 我們考慮一數值範例。

4.3 數值例子分析

以下我們給定一特殊例子，在這個例子中我們可以找到均衡的出價策略。利 用這組均衡的結果我們得到當次級採用第一價位秘密競標的制度時，初級市場採 用不同競標制度並不會影響發行者的收益，這個結論與前一小節假設市場區隔的 結果相同。此外我們利用這個例子去比較不同拍賣制度組合對發行者與自營商的 收益會有什麼影響。以自營商的觀點來說其希望透過轉賣制度的選擇以增加自己 的利潤，但在市場完全區隔的條件下因為收益均等定理成立，因此選擇何種轉賣 制度對其收益影響都一樣。但在投資人可自由移動的情形下，由於不同市場參與 者彼此不對稱，因此自營商選擇不同的轉賣制度預期收益會有不同⁶。最後我們 對四種拍賣組合對發行者收益產生的影響作一個排列比較，我們發現命題 4 的 結果(次級市場採用第一價位秘密競標收益較高)並不會恆成立，本例中我們可以 找到不同的例子說明在次級市場不對稱的條件下命題 4 中＞的符號有時會產生

5 (43)與(46)為均衡，證明可參考 Bikhchandani and Huang (1989)，theorem 1 與 theorem 4

6 Vickery(1961) 即說明在競標者彼此不對稱，收益均等定理不一定會成立。

相反的結果。

給定一範例：假設各次級市場都只有一個參與者，每個投資者對標的物的價 值只有{0,

z

}兩種情況，而給定自營商 Dj的訊息

u

_j下，投資者對標的物的價值 分配為{

1 − u u

_j

,

_j}，兩不同市場投資者價值的分配狀況可以表示成圖 2。為了簡 化分析我們給定

u

_j滿足 uniform[r, s]分配。

圖 2、每一市場投資者訊息來源分配

z z

0

由於

u

_j屬於自營商 D_j的私有資訊，投資者只能透過自營商在初級市場的出 價去逆推其真實價值。假設自營商的出價策略為其私有訊息的單調遞增函數，若 D1在初級市場得標，則投資者由 Dj的出價逆堆得到的資訊為

u

_j

'

且u₁'

>

u₂'。此 外，當投資者收到的訊息為 0 時，由於為市場對低價，因此不管其來自哪一市場，

出價都為 0。而當其收到的訊息為

z

時，命題 9 說明此型態的投資者出價會採取 混合策略。

命題 9: 給定初級市場 D₁ 贏得競標，次級市場中每一區隔市場只有一名參與者 且參與者對標的物評價都只有 0 與

z

兩種。兩名競標者對標的物評價的決定分別 滿足 market 1 與 market 2 的機率分配（如圖 2）。則競標者的型態為 0 時，其出 價為 0。而當競標者為型態 z 時，競標者會在[0, zu ]採取混合策略且來自 M₂' i

市場的參與者出價根據(47)式的機率分配出價，其中 i=1, 2。

(1

2

') (1 ')( )

( ) '( )

i i

i

z u u z b

H b u z b

− − − −

= −

(47) 證明見附錄

有了(47)式的結果，我們可以推導出初級市場自營商轉賣的預期收益。在轉賣市 場中，自營商有可能面對四種情況，第一種情況：次級市場參與者的評價都為 0，

第二種情況：兩個投資者一者評價為 0 另一者的評價為

z

，評價為

z

的投資者來 自 M₁，評價為 0 的投資者來自 M₂，為方便表達，我定義r 為此情況發生時的收₁₂ 益。第三種情況：同樣為兩個投資者一者評價為 0 另一者的評價為

z

，但評價為

z

的投資者來自 M2，評價為 0 的投資者則來自 M1，我定義r 為此情況發生時的₂₁ 收益。最後一種情況則是兩投資者的評價都為

z

，我們定義此情況下的收益為 r 。以上的結果需要注意的是，因為型態22

z

的投資者會採取混合策略，因此在以 上四種情況的收益均為預期收益。根據以上的定義，給定 D2誠實出價的條件下(投 資者逆推得到u₂'

=

u₂)，D1的總預期收益可表示為

1 1 2 1 2 22 1 2 1 2 12 1 2 2 1 21 1 2

( ', , ) ( ', ) (1 ) ( ', ) (1 ) ( ', )

v u u u

f

= u u r u u + u − u r u u + u − u r u u

(48) 根據(48)式的結果，轉賣的價值同時受到 D₁與 D₂訊息的影響，因此允許次級市 場自由移動使得初級市場自營商的競標環境滿足共同價值的架構。因初級市場參 與者彼此對稱，我們以 D₁的觀點分析其在初級市場的出價行為。

另外當次級市場採用第二價位秘密競標制度時，因為投資者會誠實出價，因 此初級市場的出價不會影響轉賣價值，此時 D1預期轉賣價值可表示為

1 1 2 1 2

( ', , )

v us u u

=

u u z (49)

給定(48)與(49)的結果，我們可以分析當初級市場採用不同制度時自營商的 最適出價策略。由於次級採用第二價位秘密競標的結果之前已做過分析，因此在 此不多加描述，我們只考慮當次級市場採用第一價位秘密競標制度時，初級市場 採不同競標制度下自營商的最適策略。

根據(43)與(46)式的結果，我們得到當初級市場採用第一價位秘密競標制度 時，自營商的出價策略可表示為

, ,1 2 2

ˆ ( )

_{f f}

1 [

^u _f

( , , )

^{u t} _f

( , , ) ]

r r r

b u v t t t dt v u u u du dt u r

= +

− ∫ ∫ ∫

(50) 而當初級市場採用第二價位秘密競標制度時，自營商的出價策略可表示為

, ,1 2 2

ˆ ( )_{s f} ^u( _f ( , , )) _f( , , )

b u

= ∫

r v u u u du

+

v u u u (51) 接下來，在此例子下，我們想要比較不同的拍賣制度組合對發行者的收益有 什麼影響，我們發現發現即使在次級市場採第二價位秘密競標制度的收益會大於 採第一價位秘密競標制度，但在初級市場發行者的收益並不會因為次級市場採第 二價位秘密競標而有較大的收益。因此在本例中我們發現不同發行制度的組合在 市場完全移動的情況下會有兩種情形，即（S, F）=（F, F）

≥

（S, S）=（F, S）

或（S, F）=（F, F）≤（S, S）=（F, S）。

(i) 不同競標制度下自營商的轉賣收益

根據前一節的結果，我們知道自營商的出價策略為其私有訊息的單調遞增函 數，因此轉賣市場開始時，次級市場投資者可準確的從出級市場的出價逆推得到 到µ 與₁ µ 的資訊。所以給定₂ µ₁'

=

µ µ₁, ₂'

=

µ₂，(48)與(49)兩式可視為自營商採用 兩種不同的拍賣制度下實際可獲得的收益。根據(48)(49)的結果，兩種競標制度 的收益差異可表示為

1 2 1 2 1

( , ) ( , , )

s f

v u u − v u u u =

2 2 1

2 1 1 2 2 2 1 2 2 2

1

( ( 6 1 2 6 ( 2 ) ( 3 7 ) 6 ( 1 2 ) ( 1 ) (log(1 ) ) )

1 2

z u u u u u u u u u u

u

+ + − + − + + − + − − + − − (49)

輔理 8. 給定0

<

µ₂

≤

µ₁

<

1，(49)式恆大於 0。

證明見附錄

根據輔理 8 的結果，我們知道次級市場採取第二價位秘密競標 制度使自營商獲 得交高的收益。接下來我們進一步比較初級市場的情形。

(ii) 不同競標制度的組合對發行者收益的影響

根據前面的結果，我們知道當次級市場轉賣制度一樣時，發行者採用何種制 度產生的收益都一樣，因此我們已經確定了以下兩種關係，(F, F)=(S, F)與(F, S)=(S, S)。在市場完全區隔的例子中，我們知道因為次級市場滿足收益均等定 理，但當次級市場採第一價位秘密競標時自營商因有訊息傳遞的動機而提高出 價，所以在次級市場採用第一價位秘密競標制度時發行者會有較大的收益。

在這個例子中因次級市場採第二價位秘密競標時會產生的較大的收益，若不 考慮自營商的訊息傳遞動機，原則上命題 4 中大於符號應該相反。但加上訊息 傳遞的效果時，命題 4 的關係是否成立則視訊息傳遞效果的強弱。若訊息傳遞 效果強，次級市場採第一價位秘密競標較低的收益會因為訊息傳遞效果的補強而 使得命題 4 的關係繼續成立；若訊息傳遞效果較差時，則該效果不足以補強原 本在次級市場第一價位秘密競標較差的劣勢，因此造成與命題 4 相反的結果。

以下我們沿用上面的例子，但給定不同的外生變數說明以上兩種狀況都可能出 現。

我 們 給 定 上 述 例 子 中 兩 狀 態 的 報 酬為 {0, z

=

3.5} ， Dj 的 訊 息

u

_j滿 足 uniform[0.2, s]。定義

m

_{f f,} 表初級市場與次級市場均採用第一價位秘密競標制度時 發行者的預期收益，

m

_{f s,} 則表示初級市場採第一價位秘密競標與次級市場採用第 二價位秘密競標制度時發行者的預期收益。若定義 D=

m

_{f s,} －

m

_{f f,} ⁷，我們可以畫 出 D 與 s 之間的關係圖，如圖 3。

圖 3. D 與 s 關係變化圖

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 s

-0.01 0.01 0.02 D

根據圖 3 的結果我們約可以 s=0.6 作一個分界，我們得到以下結論：

7 D 的結果經由 mathematica 計算而得到，其結果見附錄二。

當 s>0.6 時 (F, F)=(S, F)＜(F, S)=(S, S)

在文檔中 存在轉賣市場之拍賣架構下，拍賣機制的選擇、最適證券的發行與資產泡沫的產生 (頁 40-45)