第二章 文獻探討
第一節 數學連結能力的意涵與重要性
第二章 文獻探討
本章依據研究目的對國內外相關的文獻進行探討，第一節介紹數學連結能 力的意涵與重要性，第二節數學連結能力理論評量架構，第三節為數學連結能 力之相關研究，第四節為 DINA 理論及相關研究。
第一節 數學連結能力的意涵與重要性
壹、數學連結能力的意涵
在美國國家數學教師協會(NCTM)的「學校數學課程與評量標準(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (1989)」指出連結是跨所有學習 階段最重要的歷程標準之ㄧ，也針對每個學習階段做連結標準的課程建議，整 理如下表 2-1。
表 2- 1 NCTM 對各學習階段的連結標準之課程建議 學習階段 連結標準的課程建議
幼稚園至四年級 建議給予學童進行連結的機會，藉此協助他們明瞭數學概念 間的關係。其包含：
一、連結概念以及程序性知識。
二、將各種概念或程序的表徵進行連結。
三、辨識不同數學主題之間的關係。
四、在其他課程領域運用數學。
五、在日常生活中運用數學。
五至八年級 強調連結的探索，藉以開拓學童的數學視野。其包含 一、可將數學視為一個整體。
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學習階段 連結標準的課程建議
二、運用圖形、數字、代數及語言的數學模式或表徵來探討 問題以及描述結果。
三、運用數學概念來增進其他數學概念的理解。
四、運用數學思維及模式化來解決藝術、音樂、心理學、科 學或商業方面的問題。
五、重視文化和社會中的數學角色。
九至十二年級 建議除了強調數學連結的探索之外，更應進一步納入數學主 題以及應用之間相互關係的強調。其包含
一、辨識相同概念的等價表徵(equivalent representations)。
二、運用並重視各數學主題間的連結。
三、運用並重視數學與其他領域之間的連結。
資料來源：整理自 Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, by National Council of Teachers of Mathematics, 1989, Reston, VA: National
Council of Teachers of Mathematics.
綜合上述，可知 NCTM 對數學連結能力意涵就是
一、能夠瞭解數學概念並具有連結這些概念的能力；
二、能夠瞭解數學概念相互連結的關係並藉此建立一個連貫的數學體系；
三、能夠作數學外部的連結，並應用數學所學的知識於相關領域。
可見美國的數學「連結標準」內容強調應以理解的方式來學習數學，在過 去的經驗與先備的知識上學習新知，並且也強調數學知識間的認知及一致性，
此一現象與我國九年一貫課程數學學習領域的連結主題相似。
由於本研究是編製一份以國內五年級學童數學連結能力為量尺的測驗工具，
因此針對國內學童接受的九年一貫數學學習領域中的連結主題課程內容，探討 數學連結能力及其意涵。
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九年一貫課程強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育的主軸，並以 終身學習為教育的目標，也強調能力的培養與知識的統整（教育部，2003）。以 數學學習領域而言，將數學的內容分成「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與 機率」、「連結」等五大主題，希望藉由課程目標的達成培養學生的演算能力、
抽象能力、推論能力及溝通能力、學習應用問題的解題方法，並希望能培養學 生欣賞數學的態度及能力（教育部，2011）。數學連結能力可說是一連串數學化 的歷程，在九年一貫課程綱要當中細分成「察覺、轉化、解題、溝通、評析」
等五步驟。茲說明如下：（李威進、楊德清，2002；教育部，2011）
1.察覺：察覺生活以及其他領域的某些情境中有數學的要素，可藉助數學 觀點的切入，使情境的情境變得清晰。例如：要去某觀光景點旅遊，知 道如何查看大眾交通工具的時刻表。
2.轉化：把察覺到的數學要素，以數學的語言表出，把情境待釐清的問題 轉化成數學問題。例如：要去某觀光景點旅遊，透過所查看的時刻表，
推算時間的安排及運用。
3.解題：解答轉化後的數學問題。它必須植基於數學本身的技能，有時候 更要把數學的內容（數與量、圖形與空間、代數、統計與機率）融會貫 通，這屬於數學的內部連結。
4.溝通：與自己以及他人溝通解答的過程與合理性。
5.評析：評析情境的轉化及其解題，兩者的得失，是針對原來的情境問題，
提出新觀點，或做必要的調整，同時能將問題解法一般化。例如：為何 三角形的任二邊和大於第三邊，得透過直線是兩點間最短的路徑，回頭 去評析問題的合理性。
九年一貫課程綱要中又把連結主題分為數學內部的連結與數學外部的連結。
所謂數學內部連結是指數學概念間的連結，也就是「數與量」、「幾何」、「代數」
和「統計與機率」四個主題間的連貫，且著重於解題能力的培養；數學外部連
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的重要性。九年一貫數學領域課程基礎研習手冊。臺北市：教育部。
下表 2-2 說明九年一貫課程數學學習領域中「連結」主題下各子向度的能 力指標。能力指標以三碼編排，第一碼以字母 C 表示「連結」主題；第二碼分 別以字母 R、T、S、C、E 表示察覺、轉化、解題、溝通、評析；第三碼流水號，
表示該細項下指標的序號。
表 2- 2 九年一貫課程數學學習領域中「連結」主題之能力指標 連結
◎察覺
C-R-01 能察覺生活中與數學相關的情境。
C-R-02 能察覺數學與其他領域之間有所連結。
C-R-03 能知道數學可以應用到自然科學或社會科學中。
C-R-04 能知道數學在促進人類文化發展上的具體例子。
◎轉化
C-T-01 能把情境中與問題相關的數、量、形析出。
C-T-02 能把情境中數、量、形之關係以數學語言表出。
C-T-03 能把情境中與數學相關的資料資訊化。
C-T-04 能把待解的問題轉化成數學的問題。
◎解題
C-S-01 能分解複雜的問題為一系列的子題。
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連結 C-S-02 能選擇使用合適的數學表徵。
C-S-03 能瞭解如何利用觀察、分類、歸納、演繹、類比等方式來解決問題。
C-S-04 能多層面的理解，數學可以用來解決日常生活所遇到的問題。
C-S-05 能瞭解一數學問題可有不同的解法，並嘗試不同的解法。
◎溝通
C-C-01 能理解數學語言(符號、用語、圖表、非形式化演繹等)的內涵。
C-C-02 能理解數學語言與一般語言的異同。
C-C-03 能用一般語言與數學語言說明情境與問題。
C-C-04 能用數學的觀點推測及說明解答的屬性。
C-C-05 能用數學語言呈現解題的過程。
C-C-06 能用一般語言及數學語言說明解題的過程。
C-C-07 能用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。
C-C-08 能尊重他人解決數學問題的多元想法。
◎評析
C-E-01 能用解題的結果闡釋原來的情境問題。
C-E-02 能由解題的結果重新審視情境，提出新的觀點或問題。
C-E-03 能經闡釋及審視情境，重新評估原來的轉化是否得宜，並做必要的調整。
C-E-04 能評析解法的優缺點。
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資料來源：教育部（2011）。國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域。臺北 市：教育部。
貳、數學連結能力的重要性
九年一貫課程強調培養學生帶得走的能力，顯示填鴨式的教學不再是主流，
取而代之的是生活經驗的運用，連結能力正是培養學生活用所學的知識、與生 活經驗作連結，協助學童開拓新的數學視野，讓學生了解數學不是一連串複雜 的計算活動。以下茲分目標來敘述整理國內外對於數學連結重要性看法：（李威 進、楊德清，2002）
一、掌握各主題的概念與明白其概念間關係
現今的國內數學教育皆以單元主題式的課程安排為主，因此使學童不知 單元與單元之間的關聯性與前後的連貫性，導致認為數學只是繁瑣的計算活 動的錯誤觀念，因此，透過連結能力的培養，視數學為一個整體，讓學童了 解數學是一門前後連貫的學科。
二、培養日常所需的數學素養
九年一貫課程綱要中說明教材應以生活經驗為重心，佈題也應生活化，
透過生活經驗去找尋相關的線索而達成將知識經驗化的歷程，如此一來，不 僅可提升學生的學習動機且激發學童更大的能力，亦可達到數學與生活經驗 的連結，培養學童數學的素養。
三、察覺形成數學問題並解決數學問題的能力
即數學領域的九年一貫課程綱要所提到的數學連結，第二、三步驟「轉 化、解題」，察覺數學問題之後，透過數學語言表達情境之中的數量形，再 藉由所學的數學知識解決其數學問題。美國數學課程與評量標準(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)明白的指出如果學生的數學 要學得好，就必須能夠活用連結並運用各種不同的方法解決生活情境中的問
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題(NCTM, 1989)。
四、發展以數學作為表達或溝通的工具之能力
即數學領域的九年一貫課程綱要所提到的數學連結，第四步驟「溝通」， 將問題情境轉化成數學語言之後，透過與自己以及他人溝通解答的過程與合 理性，使數學的情境更加清楚了解。
五、培養數學的批判、欣賞的能力
「評析」能力的培養是說明當我們提出解釋和解決方法後，還需回頭去 思考整個過程的合理性或正確性。因此，評析能力是建築在連結相關的數學 能力和連結相關的知識之上，之後才能夠進行有意義的批判與分析。懂得評 析之後，也需懂得欣賞、體會數學之美(NCTM, 2000)。
NCTM(1989, 2000)指出如果數學知識與技能欠缺內部連結，那麼學習者必須 記憶許多的獨立概念；如果欠缺外部連結，則無法發現數學在其他領域的作用及 功能。洪碧霞、林素微、謝堅（2004）提出可透過數學與生活、數學與其他領域 以及數學概念間的教學主題方式，協助學生數學思考的內化、脈絡化及自動化。
目前的教育發展慢慢的脫離填鴨式的教學，強調與現實生活情境作結合，不 再刻意的要求計算的快速性與準確度，希望學童能在面對問題時，能以所學的數 學概念去解決問題，透過有程序的數學連結能力養成就能達到此目標，所以數學
目前的教育發展慢慢的脫離填鴨式的教學，強調與現實生活情境作結合，不 再刻意的要求計算的快速性與準確度，希望學童能在面對問題時，能以所學的數 學概念去解決問題，透過有程序的數學連結能力養成就能達到此目標，所以數學