以HO-DINA模式為基礎的國小五年級數學連結能力測驗編製與分析之研究

全文

(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所碩士論文. 指導教授：施淑娟博士. 以 HO-DINA 模式為基礎的國小五年級數學連結能力測驗編製與分析之研究. 研究生：盧金谷撰. 中. 華. 民. 國. 一. ○. 一. 年. 八. 月.

(2) 謝辭兩年前的際遇，讓我再一次披上學生身分，感覺真的很奇妙，期間也認識了許多形形色色的人、事、物，真的非常感謝你們出現，使得我更茁壯、精進。這兩年的研究生涯得以順利完成，首先要誠摯的感謝指導教授施淑娟老師，老師細心的教導使得我對認知診斷領域有更深入的瞭解，也不時地督促我的論文研究進度，並不厭其煩的替我解惑。另外，也感謝口試委員孫扶志老師及吳慧珉老師，在口試過程中，對我的論文內容提出精闢的修改建議及思考觀點，使論文內容更加嚴謹完整，讓我銘感在心。其次要感謝的是一路上相互砥礪的同儕們－書薇、宜玲、珮苓、書華、宗恩、偉民、保閔、芷寧、秀芬、為禹及政軒學長、智為學長、敏嫻學姊……等學長姐們的幫助。此外還要感謝幫忙施測的老師們，你們的幫助讓我的研究可以順利進行；還有，大學時期的死黨們，你們適時問候關心，更是我精神上最大的鼓舞，相信如果在研究過程中缺少大家，必定是枯燥乏味的。最後，謹以此文獻給我摯愛的家人們，你們不僅是我最好的避風港灣，更是我強而有力的依靠，在求學的路上默默支持我，讓我無後顧之憂的完成學業、成就理想，謝謝你們!. 盧金谷謹誌 2012 年 7 月. I.

(3) 中文摘要本研究旨在發展以九年一貫數學學習領域連結能力指標為架構之數學連結能力測驗，依據九年一貫數學學習領域課程綱要將其數學連結能力細分成「察覺、轉化、解題、溝通、評析」五個子能力向度，接著套以 HO-DINA 模式藉以精確地估計國小五年級學童的數學連結能力及認知屬性的有無，而後探討不同的背景變項對數學連結能力的影響。經由資料收集與統計分析，結果如下：一、「數學連結能力測驗」具有合宜的信度及效度。內部一致性信度為 0.736，內容效度、模式適配度分析均提供測驗效度的證據。二、整體而言，國小五年級學童在察覺與評析的認知屬性較為缺乏。三、在背景變項分析： 1.「學生個人因素」部分，以「喜歡數學的程度、將學到的數學知識運用到日常生活當中、將學到的數學知識應用到其他學科領域」層面有顯著差異，且正向意見愈高者數學連結能力的表現顯著優於負向意見者；至於在「性別、有無補習數學、每天花多少時間在練習數學、曾與他人討論數學問題的經驗」的層面皆無顯著差異。 2.「家庭因素」部分，以「家庭結構狀況、父母親的教育程度」層面皆有顯著差異，可見社經地位愈好對於學童在數學連結能力的表現有顯著的幫助。 3.「學校因素」部分，「學校規模」的層面來分析，大規模學校的學童在數學連結能力的表現顯著優於中、小規模學校的學童表現。. 關鍵詞：數學連結能力、認知診斷模式、HO-DINA、背景因素、測驗編製. II.

(4) A Research on the Analysis and Design of the Mathematical Connection Ability Test Based on HO-DINA Model for the Fifth Graders in Elementary Schools. Abstract The purpose of this research is to design the mathematical connection ability test according to the connection ability indices of mathematical learning areas in Grade 1-9 curriculum guidelines. According to the connection ability indices of mathematical learning areas in Grade 1-9 curriculum guidelines, the mathematical connection ability is. subdivided into the realizable ability, the transformable ability, the ability of. problem solving, the communicative ability and the evaluative ability. Then, the HO-DINA model is applied in order to estimate accurately the mathematical connection ability and cognitive attributes of fifth graders. Finally, discuss the impacts of different background factorson mathematical connection ability. The results are: 1. The reliability and validity of mathematical connection ability testare passable. The coefficient of internal consistency is 0.736. Evidences of validity include content-related validity and modelfit index. 2. Overall, most of the fifth graders lack the realizable and evaluative cognitive attributes. 3. Analysis of the background: In the students’ personal factors, the result shows that students’ performances on mathematical connection ability are significant differences among various degree of liking mathematic, whether students can apply mathematical knowledge in daily. III.

(5) life, and whether students can apply mathematical knowledge to other subject.Students who have positive opinions are better than who have negative opinions. As to the gender, whether students attend cram schools, spending much time in practice mathematics, and the experience that discusses mathematical problems with others, are not significant differences. In the family factors, the result shows that students’ performances of mathematical connection ability are significant differences among family structure and educational level of parents. It can be inferred that the higher socioeconomic status has a significant help for the performance of students mathematical connection ability. In the school’s factors, the result shows that the mathematical connection ability performances of large-scale school students are significantly better than medium-scale and small-scale school students.. Key words: mathematical connection ability, cognitive diagnostic models, HO-DINA, background factor, design of the test.. IV.

(6) 目錄謝辭 .............................................................................................................................................I 中文摘要 ................................................................................................................................... II Abstract ..................................................................................................................................... III 目錄 ........................................................................................................................................... V 表目錄 .................................................................................................................................... VII 圖目錄 ......................................................................................................................................IX. 第一章緒論 ...................................................................................................................1 第一節研究動機 .................................................................................................................. 1 第二節研究目的 .................................................................................................................. 4 第三節待答問題 .................................................................................................................. 5 第四節名詞解釋 .................................................................................................................. 6 第五節研究限制 .................................................................................................................. 8 第二章文獻探討 ...................................................................................................................... 9 第一節數學連結能力的意涵與重要性 .............................................................................. 9 第二節數學連結能力理論評量架構 ................................................................................ 17 第三節數學連結能力之相關研究 .................................................................................... 27 第四節 DINA 理論及相關研究 ......................................................................................... 38 第三章研究方法 .................................................................................................................... 45 第一節研究架構 ................................................................................................................ 45 第二節研究對象 ................................................................................................................ 47 第三節研究工具 ................................................................................................................ 49 第四節資料分析 ................................................................................................................ 65 第五節認知診斷模式建構 ................................................................................................ 66 第四章研究結果與討論 ........................................................................................................ 69 第一節數學連結能力測驗分析 ........................................................................................ 69. V.

(7) 第二節以 HO-DINA 探討五年級學童在數學連結能力之綜合表現 ............................. 72 第三節以 HO-DINA 探討五年級學童在數學連結能力各能力向度與認知屬性之表現 .............................................................................................................................................. 77 第四節不同背景因素對五年級學童在數學連結能力表現之影響 ................................ 82 第五章結論與建議 ................................................................................................................ 93 第一節結論 ........................................................................................................................ 93 第二節建議 ........................................................................................................................ 99 參考文獻 ................................................................................................................................ 101 中文部分 ............................................................................................................................ 101 英文部分 ............................................................................................................................ 104 附錄 ........................................................................................................................................ 106 附錄一預試之試題分析結果 .......................................................................................... 106 附錄二正式施測之試題分析結果 .................................................................................. 107 附錄三坊間教材內容與連結能力指標雙向細目表 ...................................................... 108 附錄四數學連結能力測驗試卷 ...................................................................................... 113 附錄五學生個人因素對數學連結能力之統計分析結果報表 ...................................... 117 附錄六家庭因素對數學連結能力之統計分析結果報表 .............................................. 123 附錄七學校因素對數學連結能力之統計分析結果報表 .............................................. 130. VI.

(8) 表目錄表表表表表表. 2- 1 NCTM 對各學習階段的連結標準之課程建議 ................................................... 9 2- 2 九年一貫課程數學學習領域中「連結」主題之能力指標 ............................. 13 2- 3 「數學教育的準則與標準」的數學課程準則架構表 ..................................... 17 2- 4 NAEP 之數學評量架構之說明 .......................................................................... 20 2- 5 數學連結相關研究 ............................................................................................. 28 2- 6 數學連結能力的背景因素之相關研究 ............................................................. 33. 表表表表. 3- 1 3- 2 3- 3 3- 4. 國小學童預試樣本分配表 ................................................................................. 47 國小學童正式施測樣本分配表 ......................................................................... 48 教材之對應連結能力指標次數統計表 ............................................................. 49 自編測驗工具的設計 ......................................................................................... 51. 表表表表. 3- 5 3- 6 3- 7 3- 8. 預試測驗架構與試題分配表 ............................................................................. 52 自編數學連結能力測驗之預試試題難度整理對照表 ..................................... 58 常模參照測驗的試題選題建議表 ..................................................................... 59 修審題結果表 ..................................................................................................... 60. 表 3- 9 修題後題目呈現之對照表 ................................................................................. 61 表 3- 10 認知屬性內容描述及對應試題編號 ............................................................... 66 表 3- 11 Q 矩陣設計表 .................................................................................................... 67. 表表表表表. 4- 1 4- 2 4- 3 4- 4 4- 5. 模式適配度比較 ................................................................................................. 70 自編數學連結能力測驗之試題難度整理對照表 ............................................. 70 自編數學連結能力測驗之試題鑑別度整理對照表 ......................................... 71 學生表現之敘述統計摘要表 ............................................................................. 72 不同能力分組學童具備認知屬性的個數及其百分比 ..................................... 72. 表表表表表表表表表. 4- 6 4- 7 4- 8 4- 9 4- 10 4- 11 4- 12 4- 13 4- 14. 不同能力分組在察覺能力上之學童具備認知屬性的個數及其百分比 ......... 77 不同能力分組在轉化能力上之學童具備認知屬性的個數及其百分比 ......... 78 不同能力分組在解題能力上之學童具備認知屬性的個數及其百分比 ......... 79 不同能力分組在溝通能力上之學童具備認知屬性的個數及其百分比 ......... 79 不同能力分組在評析能力上之學童具備認知屬性的個數及其百分比 ....... 80 「性別」之組別統計量及 t 檢定 .................................................................... 82 「有無補習數學」之組別統計量及 t 檢定 .................................................... 83 「喜歡數學的程度」之變異數同質性檢定 ................................................... 83 「喜歡數學的程度」之均等平均數的 Robust 檢定及事後比較 ................ 84. 表 4- 15. 「每天花多少時間在練習數學」之變異數同質性檢定 ............................... 84. VII.

(9) 表表表表表表表表表. 4- 16 4- 17 4- 18 4- 19 4- 20 4- 21 4- 22 4- 23 4- 24. 「每天花多少時間在練習數學」之 ANOVA 表 ........................................... 85 「將學到的數學知識運用到日常生活當中」之變異數同質性檢定 ........... 85 「將學到的數學知識運用到日常生活當中」之 ANOVA 及事後比較 ....... 86 「將學到的數學知識運用到其他學科領域」之變異數同質性檢定 ........... 87 「將學到的數學知識運用到其他學科領域」之 ANOVA 及事後比較 ....... 87 「曾與他人討論數學問題」之組別統計量及 t 檢定 .................................... 88 「家庭結構狀況」之變異數同質性檢定 ....................................................... 88 「家庭結構狀況」之 ANOVA 及事後比較 ................................................... 89 「父親教育程度」之變異數同質性檢定 ....................................................... 89. 表表表表. 4- 25 4- 26 4- 27 4- 28. 「父親教育程度」之 ANOVA 及事後比較 ................................................... 90 「母親教育程度」之變異數同質性檢定 ....................................................... 90 「母親教育程度」之 ANOVA 及事後比較 ................................................. 91 「學校規模」之變異數同質性檢定 ............................................................... 92. 表 4- 29. 「學校規模」之 ANOVA 及事後比較 ........................................................... 92. VIII.

(10) 圖目錄圖圖圖圖圖圖圖. 2- 1 2- 2 2- 3 2- 4 2- 5 2- 6 2- 7. 數學連結概念圖 ................................................................................................. 12 兩個連結的一般型態 ......................................................................................... 19 1990-2003 年 NAEP 之數學評量架構圖........................................................... 20 NAEP 試題範例（一） ...................................................................................... 24 NAEP 試題範例（二） ...................................................................................... 25 兩個屬性的 DINA 模式的機率分配圖 ............................................................. 41 受試者 i 對試題 j 的反應程序圖 ........................................................................ 41. 圖 2- 8. HO-DINA 模式反應程序圖 .............................................................................. 43. 圖 3- 1. 研究架構圖 ......................................................................................................... 45. 圖 3- 2 圖 3- 3. 研究流程圖 ......................................................................................................... 46 正式施測試題測驗架構 ..................................................................................... 63. 圖 4- 1. 不同能力分組學童具備認知屬性百分比之折線圖 ......................................... 74. IX.

(11) 第一章緒論第一節研究動機一張高鐵車票，你知道它裡面含有許多數學學問嗎？從起訖站的時間差、票價折扣等問題，幾乎無所不見數學問題，但人們幾乎不察覺其存在性，之所以會這樣，是因為長久以來，不少人都錯誤地認為學習數學就是不停地背誦或套用公式，配合反覆的做練習題，以至於讓學習數學變成是一種機械式的操作，長久下來會讓學生對數學感到枯燥乏味，反而降低學習興趣，因此，西方數學教育家弗賴登塔爾(Hans Freudenthal)說：「與其說學習數學，不如說學習數學化」，也就是說，從實際的生活當中體驗或找尋數學的真諦（蘇恭弘，2011）。這種精神與我國自八十七年起開始逐步推動的教育改革相呼應，期望透過數學豐富生活的內涵。影響所及在九年一貫數學學習領域課程綱要中，除了明定指出教導「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題之外，還有主題五：「連結」能力的培養，著重於使學生串連所學的數學知識，讓學習不再是片段或是支離的狀態，讓學生不再孤立在知識的象牙塔裡，應當引導學生思考數學的意義與社會的互動關係。「連結(connection)」一詞最早出現在美國國家數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics, NCTM)1989 年出版的「學校數學課程與評量標準(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)」一書中（劉文杰，2005），其連結內容強調應以理解的方式來學習數學，並且也強調數學知識間的認知及一致性。除此之外，在國外的大型評量，如美國國家教育進展評量 (National Assessment of Educational Progress, NAEP)也談到，連結就是能在數學其脈絡之內或其他的學科脈絡之間進行連結。而在國內的「九年一貫數學學習領域課程綱要」則將數學連結能力細分成「察覺、轉化、解題、溝通、評析」五個子能力向度或步驟，藉此有邏輯規畫地培養學生數學連結能力，其中也說. 1.

(12) 到數學連結能力不只有數學內部知識的連結，還必須連結各學科及生活情境的外部連結。由此可知，現今無論在國內外，對於數學的教育皆強調數學連結的重要性，對於數學的教育不再是強調主題單元式的學習，而是數學領域與內外部的連結統整。在這次教改當中連結主題第一次明定在課程綱要當中，可推知國內對於此連結能力的培養越來越重視，但連結力的培養情況相較於其他四個主題，沒有自成性的單元來培養、學習，也就是說數學連結能力的培養是依附在數學概念的發展過程中、散布於各教學單元之中，這樣的教學方式，雖然具有無學習階段限制的優點，但在進行測驗時，常常被忽略或者不重視，尤其在成就測驗方面，往往也沒有單元性的評量來檢核學生對數學連結的學習狀況，加上國內在此數學連結能力的測驗工具開發較缺乏，因此發展一份良好的評量工具是必要的。良好的評量工具不僅可以當下對學生的學習狀況有所了解，也可作為日後教學的改善依據，更可視為一種教與學的相互回饋。再者，好的評量工具，也需搭配良好的計量模式，良好的計量模式不僅能讓分析事半功倍，更能準確的為評量工具加分。以往評量工具的計量模式大多套用古典測驗理論(classical test theory, CTT)的分析，也就是以整體的分數進行解釋真實分數的涵義，但隨著測驗理論的日新月異，為彌補古典測驗理論的不足之處，取而代之的是試題反應理論(item response theory, IRT)及許多的認知診斷模式(cognitive diagnosis models, CDMs)。試題反應理論是利用個別試題的角度精準地估計及解釋測驗分數的意義（余民寧，2009）；而認知診斷模式運用在測驗領域上，就被用來瞭解受試者的技能有無、認知過程及其解題策略 (de la Torre, 2011)。兩種計量模式測量功能並不相同，因此 de la Torre & Douglas (2004) 提出 higher-order deterministic input noisy and gate model (HO-DINA)整合試題反應理論與認知診斷模型，它在認知屬性上加上一個高階層的能力，使其具有認知診斷的功能，同時也能精準地估計參數。. 2.

(13) 由於數學連結能力可依「察覺、轉化、解題、溝通、評析」五個子能力向度或步驟分析出許多認知屬性，所以將其數學連結能力視為高階層的能力，因此本研究套用具有階層式的認知診斷計量模式HO-DINA來進行測驗編制與結果分析，一來可以準確對高階層的量尺能力進行估計，二來亦可同時診斷學生的學習狀況，如此測驗結果便能提供老師與學生更多的學習資訊，進而即時改善學生的學習，提升教學效能。故本研究以九年一貫數學學習領域連結能力指標為架構，以HO-DINA為計量模式自編一份測驗工具，用以探討國內五年級學童在數學連結主題上的表現；又由於數學連結測驗為國際間大型成就測驗重要的一環，因此研究者從國內的學生個人因素、家庭因素和學校因素等三大因素進行分析，探討背景因素對數學連結能力的影響，藉以提供教學者在教學設計或評量的參考依據。. 3.

(14) 第二節研究目的本研究的目的配合九年一貫數學學習領域連結能力指標，建置一信、效度兼具之國小五年級學童數學連結能力評量工具，以期達成下列之目的，茲將目的分述如下：壹、編製一份具信度及效度的數學連結能力測驗。貳、探討國小五年級學童在數學連結能力之綜合表現。叁、探討國小五年級學童在數學連結能力各能力向度與認知屬性之表現。肆、探討不同背景因素對國小五年級學童在數學連結能力表現之影響。. 4.

(15) 第三節待答問題根據上節之目的，提出下列的研究待答問題：一、數學連結能力測驗試題之難易度指數及鑑別度指數為何？二、數學連結能力測驗之信度及效度為何？三、國小五年級學童在數學連結能力之綜合表現如何？四、國小五年級學童在數學連結能力各能力向度之表現如何？五、不同性別的學童在數學連結能力測驗上的表現是否具有顯著差異？六、學童有無補習數學的因素是否在數學連結能力測驗上的表現具有顯著差異？七、不同喜歡數學程度的學童在數學連結能力測驗上的表現是否具有顯著差異？八、學童每天花多少時間在練習數學的因素是否在數學連結能力測驗上的表現具有顯著差異？九、學童能將學到的數學知識運用到其他日常生活當中的因素是否在數學連結能力測驗上的表現具有顯著差異？十、學童能將學到的數學知識運用到其他其他學科領域的因素是否在數學連結能力測驗上的表現具有顯著差異？十一、學童是否曾與他人討論數學問題的因素是否在數學連結能力測驗上的表現具有顯著差異？十二、不同家庭結構狀況的學童在數學連結能力測驗上的表現是否具有顯著差異？十三、不同父、母親之教育程度的學童在數學連結能力測驗上的表現是否具有顯著差異？十四、不同學校規模的學童在數學連結能力測驗上的表現是否具有顯著差異？. 5.

(16) 第四節名詞解釋為能更清楚了解本研究之用語，將本研究所使用的相關特定名詞解釋定義如下：. 壹、五年級學童本研究所指的五年級學童為透過立意取樣之 100 學年度就讀五年級的學童，預試樣本來自臺中市與雲林縣的五年級學童；正式施測樣本來自新北市、臺中市與雲林縣的五年級學童。. 貳、數學連結能力指能透過對生活周遭的事物觀察，察覺數學的相關意涵及特性，並以數學的方式來表徵，再運用所學的數學知識、概念來評析或解決原來的情境是否正確合理，這種運用數學知識的能力稱之數學連結能力。九年一貫數學領域課程，將其分成「數學內部連結」與「數學外部連結」，其中數學內部連結是指能把數學內部主題，如：數與量、幾何、代數、統計與機率，將其融會貫通後加以應用的能力，亦是解題所需的基本條件；數學外部連結，強調數學與其他學科領域間的連結，還有與生活情境間的連結，透過的「察覺、轉化、解題、溝通、評析」五個步驟，有邏輯順序地呈現數學思考的全貌之能力。因此本研究依據九年一貫課程綱要分別將連結能力之各能力向度界定為「察覺能力、轉化能力、解題能力、溝通能力、評析能力」，再逐步分析出其認知屬性。. 叁、認知診斷模式認知診斷為心理學上很熱門的領域，它融合認知發展的理論與診斷性評量的功能，並運用於教育上。認知診斷模式以知識概念作為診斷的目標，診斷學生是否精熟了某些知識概念，所以認知診斷評量模式，不僅可以協助教師對學生有個別化的診斷，其結果也能作為補救教學之參考依據，亦可提供能力較佳. 6.

(17) 的學生自學的方向與目標。. 肆、higher-order deterministic input noisy and gate model (HO-DINA) 由de la Torre & Douglas (2004)提出的一種認知診斷模式，並有別於DINA模式只具簡單的參數：粗心(slip)及猜測(guessing)，其將DINA模式作延伸，在認知屬性  i 的機率分布加入IRT模式，也就是在其認知屬性  i 上加入潛在特質  i 的高階層架構，使得估計時就可以降低認知屬性組合的數量，同時也達到參數精準的估計。本研究當中的潛在特質  i 為數學連結能力，再依據五個能力向度的能力指標訂定數學連結能力的十九個認知屬性  i 。. 伍、能力分組本研究依 HO-DINA 模式估計出數學連結能力值的結果，將其能力值分成三種組別。定義方式，將受試者依能力值由高至低排序後，取總人數的前 27% 的學童定義成高能力組，取總人數的後 27%的學童定義成低能力組，中間部份的學童定義成中能力組。. 陸、學校規模現今教育資源的分配，其中的一項考量就是學校規模大小（班級數），但其學校規模的定義因各縣市人口不一，並無一致的定義。在本研究之定義：全校班級總數小於 12，定義成「小規模」學校；班級總數介於 13 至 48 之間，定義成「中規模」學校；班級總數大於 49，定義成「大規模」學校。. 7.

(18) 第五節研究限制本研究以國內五年級學童為研究對象，發展一份以九年一貫數學學習領域連結能力指標為架構且具有信效度的「國小學童數學連結評量工具」，以準確測量國小五年級學童之數學連結能力，但仍有許多限制，敘述如下：一、紙筆測驗限制方面在試題的題型方面，由於考量試題數目與施測樣本數，因此施測方式採紙筆測驗，且皆為選擇題型，所以無法避免猜測因素；施測方式方面，雖能控制施測時間一致，但因施測地點為各施測學校，因此無法確保施測情境之標準化；在評量架構方面，因連結能力涵蓋面向甚廣，有些能力指標無法有效地在此評量工具中測出，因此所得之結果不宜做過多的推論。二、研究對象方面本研究以國小五年級學童為研究對象，因此取樣為國內五年級學童，選取樣本僅分佈於新北市、臺中市與雲林縣，有地域限制，因此所得的結果不宜做過度且廣域之推論。三、抽樣方法方面礙於研究者的時間、能力與人力資源的不足，無法採用隨機抽樣的方式，改而採用立意抽樣方式採樣，也因立意抽樣進而會影響到測驗結果的外在效度。. 8.

(19) 第二章文獻探討本章依據研究目的對國內外相關的文獻進行探討，第一節介紹數學連結能力的意涵與重要性，第二節數學連結能力理論評量架構，第三節為數學連結能力之相關研究，第四節為 DINA 理論及相關研究。. 第一節數學連結能力的意涵與重要性壹、數學連結能力的意涵在美國國家數學教師協會(NCTM)的「學校數學課程與評量標準(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (1989)」指出連結是跨所有學習階段最重要的歷程標準之ㄧ，也針對每個學習階段做連結標準的課程建議，整理如下表 2-1。表 2- 1. NCTM 對各學習階段的連結標準之課程建議. 學習階段. 連結標準的課程建議. 幼稚園至四年級. 建議給予學童進行連結的機會，藉此協助他們明瞭數學概念間的關係。其包含：一、連結概念以及程序性知識。二、將各種概念或程序的表徵進行連結。三、辨識不同數學主題之間的關係。四、在其他課程領域運用數學。五、在日常生活中運用數學。. 五至八年級. 強調連結的探索，藉以開拓學童的數學視野。其包含一、可將數學視為一個整體。 (續下頁). 9.

(20) 學習階段. 連結標準的課程建議二、運用圖形、數字、代數及語言的數學模式或表徵來探討問題以及描述結果。三、運用數學概念來增進其他數學概念的理解。四、運用數學思維及模式化來解決藝術、音樂、心理學、科學或商業方面的問題。五、重視文化和社會中的數學角色。. 九至十二年級. 建議除了強調數學連結的探索之外，更應進一步納入數學主題以及應用之間相互關係的強調。其包含一、辨識相同概念的等價表徵(equivalent representations)。二、運用並重視各數學主題間的連結。三、運用並重視數學與其他領域之間的連結。. 資料來源：整理自 Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, by National Council of Teachers of Mathematics, 1989, Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. 綜合上述，可知 NCTM 對數學連結能力意涵就是一、能夠瞭解數學概念並具有連結這些概念的能力；二、能夠瞭解數學概念相互連結的關係並藉此建立一個連貫的數學體系；三、能夠作數學外部的連結，並應用數學所學的知識於相關領域。可見美國的數學「連結標準」內容強調應以理解的方式來學習數學，在過去的經驗與先備的知識上學習新知，並且也強調數學知識間的認知及一致性，此一現象與我國九年一貫課程數學學習領域的連結主題相似。由於本研究是編製一份以國內五年級學童數學連結能力為量尺的測驗工具，因此針對國內學童接受的九年一貫數學學習領域中的連結主題課程內容，探討數學連結能力及其意涵。. 10.

(21) 九年一貫課程強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育的主軸，並以終身學習為教育的目標，也強調能力的培養與知識的統整（教育部，2003）。以數學學習領域而言，將數學的內容分成「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題，希望藉由課程目標的達成培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力、學習應用問題的解題方法，並希望能培養學生欣賞數學的態度及能力（教育部，2011）。數學連結能力可說是一連串數學化的歷程，在九年一貫課程綱要當中細分成「察覺、轉化、解題、溝通、評析」等五步驟。茲說明如下：（李威進、楊德清，2002；教育部，2011） 1.察覺：察覺生活以及其他領域的某些情境中有數學的要素，可藉助數學觀點的切入，使情境的情境變得清晰。例如：要去某觀光景點旅遊，知道如何查看大眾交通工具的時刻表。 2.轉化：把察覺到的數學要素，以數學的語言表出，把情境待釐清的問題轉化成數學問題。例如：要去某觀光景點旅遊，透過所查看的時刻表，推算時間的安排及運用。 3.解題：解答轉化後的數學問題。它必須植基於數學本身的技能，有時候更要把數學的內容（數與量、圖形與空間、代數、統計與機率）融會貫通，這屬於數學的內部連結。 4.溝通：與自己以及他人溝通解答的過程與合理性。 5.評析：評析情境的轉化及其解題，兩者的得失，是針對原來的情境問題，提出新觀點，或做必要的調整，同時能將問題解法一般化。例如：為何三角形的任二邊和大於第三邊，得透過直線是兩點間最短的路徑，回頭去評析問題的合理性。九年一貫課程綱要中又把連結主題分為數學內部的連結與數學外部的連結。所謂數學內部連結是指數學概念間的連結，也就是「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題間的連貫，且著重於解題能力的培養；數學外部連. 11.

(22) 結則是強調數學與其他學科領域間的連結，除此之外，也包括與生活情境間的連結，透過上述的「察覺、轉化、解題、溝通、評析」等五步驟，完整呈現數學思考的全貌且活用數學的能力（洪碧霞等人，2010）。. 數與量. 統計與機率. 內部連結. 幾何. 察覺生活以及其他領域的某些情境有關數學的問題. 代數. 將情境評析情境的轉化及其後的問題. 中待釐清的問題轉化成數學問題. 連結. 數與量. 與自己以及他人溝通解答的過程與合理性. 統計與機率. 內部連結. 幾何. 代數. 圖 2- 1 數學連結概念圖資料來源：修改自李威進、楊德清（2002）。從九年一貫數學領域的觀點談連結 12.

(23) 的重要性。九年一貫數學領域課程基礎研習手冊。臺北市：教育部。下表 2-2 說明九年一貫課程數學學習領域中「連結」主題下各子向度的能力指標。能力指標以三碼編排，第一碼以字母 C 表示「連結」主題；第二碼分別以字母 R、T、S、C、E 表示察覺、轉化、解題、溝通、評析；第三碼流水號，表示該細項下指標的序號。表 2- 2. 九年一貫課程數學學習領域中「連結」主題之能力指標連結. ◎察覺 C-R-01 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-02 能察覺數學與其他領域之間有所連結。 C-R-03 能知道數學可以應用到自然科學或社會科學中。 C-R-04 能知道數學在促進人類文化發展上的具體例子。 ◎轉化 C-T-01 能把情境中與問題相關的數、量、形析出。 C-T-02 能把情境中數、量、形之關係以數學語言表出。 C-T-03 能把情境中與數學相關的資料資訊化。 C-T-04 能把待解的問題轉化成數學的問題。 ◎解題 C-S-01 能分解複雜的問題為一系列的子題。 (續下頁). 13.

(24) 連結 C-S-02 能選擇使用合適的數學表徵。 C-S-03 能瞭解如何利用觀察、分類、歸納、演繹、類比等方式來解決問題。 C-S-04 能多層面的理解，數學可以用來解決日常生活所遇到的問題。 C-S-05 能瞭解一數學問題可有不同的解法，並嘗試不同的解法。 ◎溝通 C-C-01 能理解數學語言(符號、用語、圖表、非形式化演繹等)的內涵。 C-C-02 能理解數學語言與一般語言的異同。 C-C-03 能用一般語言與數學語言說明情境與問題。 C-C-04 能用數學的觀點推測及說明解答的屬性。 C-C-05 能用數學語言呈現解題的過程。 C-C-06 能用一般語言及數學語言說明解題的過程。 C-C-07 能用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。 C-C-08 能尊重他人解決數學問題的多元想法。 ◎評析 C-E-01 能用解題的結果闡釋原來的情境問題。 C-E-02 能由解題的結果重新審視情境，提出新的觀點或問題。 C-E-03 能經闡釋及審視情境，重新評估原來的轉化是否得宜，並做必要的調整。 C-E-04 能評析解法的優缺點。. 14.

(25) 資料來源：教育部（2011）。國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域。臺北市：教育部。. 貳、數學連結能力的重要性九年一貫課程強調培養學生帶得走的能力，顯示填鴨式的教學不再是主流，取而代之的是生活經驗的運用，連結能力正是培養學生活用所學的知識、與生活經驗作連結，協助學童開拓新的數學視野，讓學生了解數學不是一連串複雜的計算活動。以下茲分目標來敘述整理國內外對於數學連結重要性看法：（李威進、楊德清，2002）一、掌握各主題的概念與明白其概念間關係現今的國內數學教育皆以單元主題式的課程安排為主，因此使學童不知單元與單元之間的關聯性與前後的連貫性，導致認為數學只是繁瑣的計算活動的錯誤觀念，因此，透過連結能力的培養，視數學為一個整體，讓學童了解數學是一門前後連貫的學科。二、培養日常所需的數學素養九年一貫課程綱要中說明教材應以生活經驗為重心，佈題也應生活化，透過生活經驗去找尋相關的線索而達成將知識經驗化的歷程，如此一來，不僅可提升學生的學習動機且激發學童更大的能力，亦可達到數學與生活經驗的連結，培養學童數學的素養。三、察覺形成數學問題並解決數學問題的能力即數學領域的九年一貫課程綱要所提到的數學連結，第二、三步驟「轉化、解題」，察覺數學問題之後，透過數學語言表達情境之中的數量形，再藉由所學的數學知識解決其數學問題。美國數學課程與評量標準(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)明白的指出如果學生的數學要學得好，就必須能夠活用連結並運用各種不同的方法解決生活情境中的問. 15.

(26) 題(NCTM, 1989)。四、發展以數學作為表達或溝通的工具之能力即數學領域的九年一貫課程綱要所提到的數學連結，第四步驟「溝通」，將問題情境轉化成數學語言之後，透過與自己以及他人溝通解答的過程與合理性，使數學的情境更加清楚了解。五、培養數學的批判、欣賞的能力「評析」能力的培養是說明當我們提出解釋和解決方法後，還需回頭去思考整個過程的合理性或正確性。因此，評析能力是建築在連結相關的數學能力和連結相關的知識之上，之後才能夠進行有意義的批判與分析。懂得評析之後，也需懂得欣賞、體會數學之美(NCTM, 2000)。 NCTM(1989, 2000)指出如果數學知識與技能欠缺內部連結，那麼學習者必須記憶許多的獨立概念；如果欠缺外部連結，則無法發現數學在其他領域的作用及功能。洪碧霞、林素微、謝堅（2004）提出可透過數學與生活、數學與其他領域以及數學概念間的教學主題方式，協助學生數學思考的內化、脈絡化及自動化。目前的教育發展慢慢的脫離填鴨式的教學，強調與現實生活情境作結合，不再刻意的要求計算的快速性與準確度，希望學童能在面對問題時，能以所學的數學概念去解決問題，透過有程序的數學連結能力養成就能達到此目標，所以數學連結能力不但能加強學童的思維，也能培養學生對於日常生活面的數學素養。當學童們能夠將數學的知識做相互的連結，他們會對數學有更深一層的了解，這些知識對他們而言也將變得更有意義，也比較不容易忘記而達到內化、脈絡化。 (NCTM, 2000). 16.

(27) 第二節數學連結能力理論評量架構數學連結能力依課程設計來看，是屬於課程統整的理念，強調數學應與生活連結及重視數學概念間的統整，由於本研究試圖設計評量工具來探討學生在連結能力的表現及發展，為瞭解數學連結能力的評量架構，本節將針對國外連結能力的觀點進行闡述。. 壹、美國國家數學教師協會對連結能力的觀點 NCTM 是美國最具權威的數學教育機構，致力於建立數學教育標準，此標準對於學校數學科教學影響甚大，因此提供其他專業學科的組織發展該學科之標準。 1989 年出版的「課程與評量標準(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)」一書中，指出評量的目的在於診斷、教育回饋、分階段比較一般數學成就及課程評鑑。2000 年出版「數學教育的準則與標準(Principles and Standards for School Mathematics)」制定一套具體的數學課程準則，同時也作為數學課程評量的準則，希望學生擁有對數學的認知和把數學認知運用日常生活當中的理念，其準則架構條列如下表 2-3：表 2- 3. 「數學教育的準則與標準」的數學課程準則架構表一、數學運算的規準二、代數學的規準. 內容標準三、幾何學的規準 (content standards) 四、測量學的規準五、資料分析與機率學的規準六、問題解決的規準過程標準七、推理與證明的規準 (process standards) (續下頁). 17.

(28) 八、溝通的規準九、連結的規準十、表徵的規準資料來源：整理自丁于珍（2007）。雲林縣國民中學學生數學能力診斷評量試題分析之研究（未出版之碩士論文）。國立雲林科技大學，雲林縣。 NTCM 在「課程與評量標準(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)」依年級將學習分成四個階段，分別在各階段明定需達到的標準，之中也指出連結是跨所有階段最重要的歷程標準之一（洪碧霞等人，2010）。連結的規準說到，學生要具備區辦並連結數學想法的能力，應用數學基礎知識建構屬於自己的數學模式，之後將自己建構的數學模式應用在其他學習層面或研究領域之中。連結在 NCTM 被歸類於過程的標準，說明連結能力是藉由學習數學的過程中養成，並透過新舊經驗的相互連結，形成內化的過程。NTCM(1989) 將連結分成兩種型態（一）、問題情境間的模式化連結，是指除了數學以及其數學表徵之外，問題情境是來自於真實世界。（二）、兩個等價表徵間以及其中的對應歷程的數學連結。. 18.

(29) 問題情境. 模式化連結表徵 1 (如代數方程式) 數學的連結例：代數運算. 解法. 圖 2- 2. 表徵 2 (如統計圖). 例：統計圖的分析. 兩個連結的一般型態. 資料來源：洪碧霞、陳沅、林宜樺、黃秀霜、鄒慧英、蔡玲婉、…、龔憶琳（2010）。呼應能力指標的教學與評量設計。臺北市：心理出版社。. 貳、美國國家教育進展評量(National Assessment of Educational Progress, NAEP) 對連結能力的觀點 NAEP是個有系統評量學生基本學科知識及能力的機構，已有四十多年的歷史，深受各先進國家的重視，其層級單位依性質不同分成全國性和州等級，而全國性的NAEP有兩個主要目標：一是測量在教學脈絡下全國學生的成就，二是在某特定領域中追溯四年級、八年級與十二年級的學生成就改變程度，藉以促進教育改革與課程教學的創新、了解教育表現的相關因素。美國國家教育進展評量(National Assessment of Educational Progress, NAEP) 於1996、2000及2003年的數學教育成就評量，將其評量架構分成三個向度，包含內容成分(content strands)、數學能力(mathematical abilities)、數學力(mathematical power) (見圖2-3、表2-4)。說明如下(National Assessment Governing Board, 2002). 19.

(30) 圖 2- 3. 1990-2003 年 NAEP 之數學評量架構圖. 資料來源：“The 1990–2003 Mathematics Framework”by National Center for Education Statistics, NAEP,from http://nces.ed.gov/nationsreportcard/mathematics/previousframework.asp. 表 2- 4 主向度. NAEP 之數學評量架構之說明. 子向度. 註解. 數字概念與運算. 包含數感(number sense)、概念. (number properties and 內容成分. (properties)、運算(operations)內容。. operations). (content strands) 測量(measurement) (續下頁). 20.

(31) 主向度. 子向度. 註解包含幾何(geometry)、空間感覺. 幾何(geometry) (spatial sense)內容。資料分析與機率. 包含資料分析與機率(data. (data analysis and. analysis)、統計(statistics)、機率 (probability)內容。. probability). 包含代數(aalgebra)、函數(functions) 代數(algebra) 內容（一）對於概念符號的正反例能加以辨識。（二）能利用模式、圖形及符號來表示概念。（三）辨識和應用原理原則。（四）能知道及應用事實與定義。數學能力. 概念性理解（五）能整合相關概念和原理原. (mathematical. (conceptual. abilities). understanding). 則，擴充原本的概念和原理原則。（六）能辨識和應用符號表示概念。（七）能詮釋概念間相關結論與關係。. (續下頁). 21.

(32) 主向度. 子向度. 註解（一）正確地選擇和應用程序。（二）能對程序的運用加以說明及. 程序性知識判斷其正確性。 (procedural knowledge). （三)擴充或修正程序，以處理問題中原有的因素。（一）在新的情境中能使用數學知識。（二）能確認及明確地陳述問題。（三）能運用策略、數據、模型及. 問題解決相關的數學。 (problem solving). （四）能創造與使用程序並予以發展和修正。（五）能判斷解答的正確性與合理性。（一）能對數學的內容有所認知。（二）有全面性的能力能結合和使用. 數學力 (mathematical. 數學知識去進行探究、臆測、推理(reasoning). 邏輯推理、解決非例行性的問題。. power). (續下頁). 22.

(33) 主向度. 子向度. 註解（一）能在數學脈絡之內，或其他的學科脈絡進行連結。. 連結(connections) （二）能了解數學概念是環環相扣的體系。（一）能夠過溝通強化數學思維。（二）能與他人互相溝通數學思維，並分析、評估他人的數學溝通(communication) 思維與策略。（三）能使用數學語言表達數學概念達溝通目的。資料來源：整理於The 1990–2003 Mathematics Framework, by National Center for Education Statistics, NAEP, from http://nces.ed.gov/nationsreportcard/mathematics/previousframework.asp 其中在評量架構中談到的數學力皆屬於高層次的能力，也就是說其數學力的發展是建構在內容成分與數學能力之上。在數學力的連結說明了三點要素：（一）能理解和進行數學概念之間的連結。（二）能了解數學概念是環環相扣的體系。（三）能在數學領域外辨認及使用數學。以NAEP在2011年數學架構報告書 (National Assessment Governing Board, 2010)的選擇題例子說明，如圖2-4、圖2-5. 23.

(34) 圖 2- 4. NAEP 試題範例（一）. 資料來源：Mathmatics Framework for the 2011 National Assessment of Education Progress, by National Assessment Governing Board, 2010, National Assessment Governing Board U.S.Department of Education. 此試題是評量四年級學童在空間轉換上的表現，學童如了解原圖形與轉換後的圖形，邊長的長可以相互對應，也就是14=11+3的關係，便能推出邊長的寬為何。可見此試題評量的能力向度：內容成分－幾何、數學能力－概念性理解、數學力－推理。. 24.

(35) 圖 2- 5. NAEP 試題範例（二）. 資料來源：Mathmatics Framework for the 2011 National Assessment of Education Progress, by National Assessment Governing Board, 2010, National Assessment Governing Board U.S.Department of Education. 此試題是評量四年級學童在資料分析與機率統計的向度上的表現，學童可能藉由對學生數量、狗、社團的知識（屬問題情境）還有對統計圖表結構（屬數學的連結）的了解，才能分析選出此圖形的較近似的標題。可見此試題評量的能力向度：內容成分－資料分析與機率、數學能力－程序性知識、數學力－連結。. 綜合上述得知，九年一貫課程綱要的連結內容對應NCTM的評量架構的連結內. 容，其中有許多雷同之處，都將其連結分成「數學內部的連結」、「數學外部的連結」。不同之處是九年一貫課程綱要的連結能力是無階段的課程目標，而NTCM. 25.

(36) 將連結的準則依學習階段的不同，所對應的連結準則也是不同的，由淺而深的達到連結能力的培養。因此，在測驗工具的開發就必須注重測驗試題數學知識涉及的層面、真實情境脈絡的佈題內容，還有數學內部知識的連貫性以及數學與各其他領域之間的關聯性，使連結的測驗內容變成是評量學童全面性的數學力。由NAEP的連結要素推知，連結具有統整性與平衡性，以九年一貫課程而言，內部連結統整數學領域各主題概念，還有整合就經驗與新知識；而外部連結是整合數學與生活、數學與其他領域的整合，其目的都在建構一個完整的體系，避免片段知識學習的產生。連結的平衡性是說明連結內部與連結外部之間的平衡，在發展時均受到其重視，強調或忽略任何一方都是不正確的，缺乏學習的經驗是空乏的，缺乏經驗的學習是抽象的，至於在評量方面就必須注重連結的兩個特性存在，並以學生的學習經驗來命題。. 26.

(37) 第三節數學連結能力之相關研究壹、國內數學連結能力相關研究現今九年一貫數學學習領域課程愈來愈重視數學連結能力的培養，因此許多研究透過不同的教學方法，例如：數學步道、結合 U－learning 的數學步道或強化連結能力的教學設計……等，從中探討學童在教學完後的學習成效。陳厚吉（2003）研究結果發現接受「數學步道」的學生在數學學習態度及數學連結能力學習表現上顯著優於接受「傳統教學法」的學生。陳鴻綸（2006）也說到數學步道教學活動符合「數學生活化」的目的，且能有效的讓全班進行討論，也提供學生實際運思的機會。之後研究者邱昀亭（2010）更結合 U－learning 的優勢發展成適性 U－learning 數學步道，結果發現適性 U－learning 數學步道教學較傳統教學模式，不管在教學成效、補救教學及學後保留的平均成績，實驗組都優於對照組，結果也顯示此教學模式有益於學生在線對稱連結能力的學習成效，且透過教學意見回饋表發現學生對此教學模式有不錯的正向意見。在強化連結的教學設計上，劉文杰（2005）在行動研究中，研究者設計數學連結生活、數學連結其他領域、數學概念間的連結的數學課程，發現學生透過「連結」主題的教學後數學能力有所提升。陳瑞中（2005）發現強化連結能力的教學能有效增進學生數學信念及數學能力，並對不同數學能力的學生產生不同的提升效果。張琇清（2008）在實施連結生活情境之數學教學活動時，透過師生與同儕間的互動，可增進數學概念理解；又藉由探索與實作，將學習意義化、趣味化，給予學童不同的數學經驗、改變對數學的刻板印象、增進對數學的學習興趣，並發展運用數學解決問題的能力。針對國內以課程教學內容探討學童的數學連結能力有許多的相關研究，整理敘述如下表 2-5：. 27.

(38) 表 2- 5 研究者. 數學連結相關研究. 研究主題. 研究結果. 數學步道對國中. 1.接受「數學步道」與「傳統教學法」的中分群及. (年代) 陳厚吉. （2003）生數學學習的成效研究. 低分群學生在數學學習成就之立即效果上沒有顯著差異，但在保留效果上有顯著差異。 2.接受「數學步道」的學生在數學學習態度上顯著優於接受「傳統教學法」的學生。 3.接受「數學步道」的學生在數學連結能力學習表現上顯著優於接受「傳統教學法」的學生。 4.透過訪談得知，接受「數學步道」的學生亦具有分析問題的能力。遇到不同方法時也能分析、判斷出較適合的方法使用，使得在數學連結能力方面有較佳的學習表現。. 劉文杰. 強化數學連結主. 1.在行動研究中，研究者設計數學連結生活、數學. （2005）題「教學設計」. 連結其他領域、數學概念間的連結的數學課程，發. 之行動研究. 現學生透過「連結」主題的教學後數學能力有所提升。 2.教師在發展連結課程教學設計中獲得專業成長。 (續下頁). 28.

(39) 研究者. 研究主題. 研究結果. 強化連結能力之. 1.強化連結能力的教學能有效增進學生數學信念，. (年代) 陳瑞中. （2005）數學教學對國小. 並對不同數學能力的學生產生不同的提升效果。. 學童數學信念與. 2.強化連結能力的教學能有效增進學生數學能力，. 數學能力影響之. 並對不同數學能力的學生產生不同的提升效果。. 研究. 3.多數學生對於強化數學連結能力的教學持積極與肯定的正面態度。. 陳鴻綸. 實施數學步道對. 1.本研究採準實驗研究，以臺北縣國小六年級兩個. （2006）國小學生之數學. 班級 70 人為實驗組與控制組，實驗組實施十週的. 學習的影響—以. 「數學步道教學活動」，控制組進行傳統教學；並. 六年級為例. 依據學習單、數學日記之回饋及教學者反思，進行三階段分析檢討；在活動前、後進行數學成就及數學態度量表之前、後測。 2.本研究之結果，數學步道教學活動符合「數學生活化」的目的，能有效的進行全班討論，提供實際運思機會，而且教師角色轉變為「引導者」，注重學習興趣，也轉變成多元教學。 (續下頁). 29.

(40) 研究者. 研究主題. 研究結果. 雲林縣國民中學. 本研究旨在針對93年雲林縣國民中學學生數學能. (年代) 丁于珍. （2007）學生數學能力診. 力診斷評量試題，進行質性、量化以及綜合性分析。. 斷評量試題分析. 1.質性分析包含檢核九年一貫課程綱要所公佈之數. 之研究. 學領域能力指標與NCTM 六大數學教育指導原則、十大數學課程規準。 2.量化分析則包含試題的內部一致性信度、難度、鑑別度及選項誘答力之分析。. 張琇清. 實施連結生活情. 1.研究之結果，實施連結生活情境數學教學活動. （2008）境數學教學活動. 後，經由師生與同儕互動中，可增進數學概念理. 對國小五年級學. 解；經由探索與實作，將學習意義化、趣味化，給. 生數學學習影響. 予學生不同的數學經驗，改變數學刻板印象，增進. 之研究. 數學學習興趣，並發展運用數學解決問題的能力。 2.在數學學習成就方面，實驗組後測成績高於控制組後測成績，並達顯著。 (續下頁). 30.

(41) 研究者. 研究主題. 研究結果. 探討適性 U－. 1.設計線對稱單元的適性無所不在學習數學步道教. (年代) 邱昀亭. （2010） learning 數學步. 學系統，並探討其應用於國小五年級學童數學的學. 道對學生數學學. 習，對學童之數學成效、補救教學成效、學後保留. 習成效、連結能. 與連結能力的影響。. 力之影響及學習. 2.學生對此教學模式有不錯的正向意見。. 意見－以國小五. 3.不管在教學成效、補救教學及學後保留的平均成. 年級線對稱單元. 績，實驗組都優於對照組。. 為例. 4.適性 U－learning 數學步道教學較傳統教學模式更有益於學生在線對稱連結能力的學習成效。. 黃信華. 國小五年級學生. （2010）對數學的生活連結與態度之研究. 研究的目的在探討國小五年級學生對數學的生活連結之改變為何以及為何改變，採質性研究為主並輔以量化研究，以臺北市國小五年級兩個班級 47 人為實驗組與控制組，在教學活動前、後皆進行連結能力及數學態度量表之前、後測作為量化之依據。連結能力的改變有： 1.學生培養了以數學之眼看生活的習慣 2.將疑問形成數學問題 3.使用各種歷程與方法找出多元的答案 4.發展明確表達、理性溝通工具的能力 5.培養數學的批判分析能力. 從過去國內文獻發現，坊間中針對數學連結能力的研究，大部份都從課程教學觀點切入，其教學後大多藉由教學意見回饋表或訪談記錄，分析研究學童. 31.

(42) 在數學連結主題上的表現，少有只針對數學連結主題評量的測驗編制，以及探討學童在數學連結學習上的缺陷。對應國際間大型評比測驗的概念，顯示連結能力是不可或缺的，因此本研究對應九年一貫課程數學學習領域的連結主題，以能力指標作為診斷屬性，研究現今國內國小五年級學童在連結主題上的表現。. 貳、數學連結能力的背景因素相關研究背景因素係指直接或間接影響結果之因素，在本研究當中係指影響數學連結能力的因素。賴培真（2011）經學習問卷研究結果發現符合以下條件者為數學學習成功者：1.雙親家庭、2.父親職業不限，母親職業為軍公教警、3.父母親教育程度為碩、博士以上、4.學生家長會參與學校活動、5.家中適合閱讀的書籍數量能在 26 本以上、6.適當參加數學科補習或安親班者、7.課後學習能與同學或家人一同討論數學問題、8.每天花不到 1 小時的時間在看電視與使用電腦、9.有閱讀科學類，語文小說類和史地類等書籍等。洪川富（2008）研究發現國小四年級，學生在數學家庭作業完成時間與學生數學學習成就為負相關；教師指派數學家庭作業頻率與學生數學學習成就之間為正相關。黃量意（2007）研究發現「數學學習策略」和「數學學業成就」呈正向中度相關；「數學焦慮」和「數學學業成就」呈負向中度相關。孫旻儀、蔡明學（2007）透過後設分析發現社經地位與學業成就之間有低度的關係存在。陳美玲（2006）發展自編測驗來探討男、女性學童的表現情形發現：女性學童在統計初步概念之理解情形略優於男性；在不同規模學校之學童的表現情形：就讀大規模與中規模學校學童在統計初步概念之理解情形優於小規模學校學童。可發現影響學生學業成就的因素有許多面向，例如：物質條件、教育態度、教養方式、價值觀念、語言型態、智力因素、學習動機、抱負水準、學習環境資源……，然而有些因素是直接影響學業. 32.

(43) 成就，有些則是透過一些中介因素間接影響（陳奎熹，2011）。研究者將與學童的價值觀念、智力表現、學習動機、抱負水準……等相類似的因素歸類成「學生個人因素」；物質條件、教育態度、教養方式、語言型態…… 等因素皆與學童的家庭相關，因此歸類成「家庭因素」；學習環境資源的因素則與學童的學校相關，故歸類成「學校因素」。研究者將其因素整理歸類成「學生個人因素、家庭因素、學校因素」三個層面來探討。表 2-6 整理國內對於學業成就影響的研究結果，依上述三種層面因素分類呈現。表 2- 6 因素. 研究者. 層面. (年代). 數學連結能力的背景因素之相關研究. 研究主題. 研究結果. 孫清山、補習教育、文 1.研究發現顯示，在台灣地區，家庭背景因素對黃毅志. 化資本與教. （1996）育取得. 於教育之影響主要透過下列三個中介變項：接受補習教育之份量、是否唸書時要為家裡賺錢或做工、家庭讀書環境，這反映在父母對子女教育之激勵，與教育物資之提供上。 2.然而深具理論意涵的文化資本對教育之影. 學生. 響，卻不是很明顯，這可能是台灣的升學篩選. 個人. 過程，如聯考制度，多以成績的高低為標準，. 因素. 而且成績的評定又多能合乎公平原則，文化資本較高，不易發揮作用所致。陳美玲. 統計初步概. （2006）念試題編製. 男、女性學童在本自編測驗表現情形：女性學童在統計初步概念之理解情形略優於男性。. 與其在不同學校規模下之應用. (續下頁). 33.

(44) 因素. 研究者. 層面. (年代) 黃量意. 研究主題. 研究結果. 國小學童數. 1.不同「性別」學童分別對「數學學習策略」和. （2007）學學習策. 「數學焦慮」有顯著差異，但是對於「數學學. 略、數學焦慮習成就」則無差異存在。不同「區域」學童分與數學學業. 別對「數學學習策略」和「數學焦慮」上存有. 成就相關之. 差異，但是對於「數學學習成就」則無差異存. 研究. 在。 2.「數學學習策略」和「數學學業成就」呈正向中度相關。「數學焦慮」和「數學學業成就」呈負向中度相關。. 林淑娟. 國小學童數. 1.國小六年級學童之數學科自我概念、學習動. （2007）學科自我概. 機、行動控制策略與數學科學業成就具有中上. 念、學習動. 水準表現。. 機、行動控制 2.學習動機為數學科自我概念與數學科學業成策略與學業. 就的中介變項。. 成就之關係. 3.行動控制策略為數學科自我概念與數學科學. 研究. 業成就的中介變項。 4.行動控制策略為學習動機與數學科學業成就的中介變項。. (續下頁). 34.

(45) 因素. 研究者. 層面. (年代) 洪川富. 研究主題. 研究結果. 家庭作業完. 研究結果顯示：. （2008）成時間與頻. 1.在國中二年級，學生數學家庭作業完成時間與. 率對學習成. 教師指派數學家庭作業頻率，對學生數學學習. 就的影響之. 成就皆有正向的影響。. 研究－. 2.在國小四年級，學生數學家庭作業完成時間與. TIMSS 2003. 學生數學學習成就為負相關；教師指派數學家. 台灣數學科. 庭作業頻率與學生數學學習成就之間為正相. 資料的階層. 關，但並不顯著。. 線性模式分析蔡慧真. 數學學習表. 在國小一~三年級、六年級與國中七~九年級階. （2009）現性別差異. 段，女生的數學學習表現比男生好，但是差距. 之後設分析. 很小。. 研究石培欣. 國民中學學. （2000）生家庭環. 1.國中女生的同儕關係及學業成就都較國中男生好。. 境、同儕關係 2.國中生的家庭環境、同儕關係與學業成就之間家庭與學業成就. 是兩兩相關的。. 因素之相關研究. (續下頁). 35.

(46) 因素. 研究者. 層面. (年代). 研究主題. 研究結果. 孫旻儀、社經地位和. 透過後設分析發現社經地位與學業成就之間有. 蔡明學. 低度的關係存在。. 學生學業成. （2007）就關係之後設分析陳美玲. 統計初步概. 不同規模學校之學童在本自編測驗表現情形：. （2006）念試題編製. 就讀大規模與中規模學校學童在統計初步概念. 與其在不同. 之理解情形優於小規模學校學童。. 學校規模下之應用學校陶韻婷. 國中生科學. 1.就全體受測學生而言，與科學成績相關度最大. 因素（2007）成就與學生. 的學生特質是「家中藏書」，對科學成績預測力. 背景、學校規最高的學生特質是「自己的期望學歷」。模及城鄉之. 2.城市地區與鄉村地區之學生的科學成就表現. 關聯性探討-. 有所差異，城市優於鄉村。. 以 TIMSS. 3.造成城市地區與鄉村地區之間的科學成就差. 2003 為例. 異，相關變項是：「學校規模」。. 表 2-6 綜合研究發現，在學生個人因素中影響學業成就的有性別、學習動機、數學學習策略、家庭作業量、補習……等；在家庭因素方面則有家庭的社經地位、家庭結構及環境……等；在學校因素方面則有城鄉差異、學校規模…… 等，都值得再度探討與研究。因數學連結能力為學業成就的一環，故本研究針對學生個人因素（例如：性別、有無補習數學、喜歡數學的程度、每天花多少時間在練習數學、將學到的數. 36.

(47) 學知識運用到日常生活當中、將學到的數學知識應用到其他學科領域、是否曾與他人討論數學問題）、家庭因素（例如：家庭結構狀況、父母親教育程度）及學校因素（例如：學校規模）做驗證及深入探討。. 37.

(48) 第四節 DINA理論及相關研究壹、認知診斷模型(cognitive diagnosis models，CDMs) 認知診斷是結合心理與測驗發展而成，加上診斷的目的是在解釋、分析個別的狀態、分類，所以認知診斷模型(CDMs)是以屬性概念作為診斷的目標，可用來了解學童技能有無、認知的過程，還有解決問題的策略之用（涂金堂，2003； Torre, 2011）；換句話說，認知診斷理論正是探討學生潛在知識結構與作答關係的研究（甘媛源、余嘉元，2009）。 CDMs透過二元分類的方法診斷學生是否具備解題的技能，也就是說透過測驗了解學生是否精熟技能，因此說明CDMs具有診斷功能。舉例而言，一個診斷3 個屬性技能的診斷測驗，其學生可能的作答反應組型，透過向量表示所有集合： {(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(1,1,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,1)}，接著以Q矩陣當作技能影響試題的對照表 (Tatsuoka, 1985)。Q矩陣表示題庫中的試題所需要的特定的技能，假設若有J個試題及K個技能，則Q矩陣大小為J×K，矩陣內元素定義為. 1 第j個試題需要第k個技能 q jk =  ，其中，j  1...J；k  1...K 0 其他 . (2.1). 從上可知，每一個試題恰為Q矩陣中的一列，且Q矩陣的使用普遍存在認知診斷模式當中。透過學生在試題上的反應組型與Q矩陣的對照後，模式再進行分類，但影響受試者答對的因素有是否具備此解題所需的技能，還有技能精熟的程度或受到雜訊(noise)干擾，所以不同的機率設計就衍生不同的認知診斷評量模式，例如：DINA 模式(Deterministic Input, Noisy “and”Gate Model, DINA)、NIDA模式(Noisy Input, Deterministic “and”Gate Model, DINA)、DINO 模式(Deterministic Input, Noisy “Or” Gate Model, DINO)。. 38.

(49) CDMs可分成潛在特質模型與潛在分類模型，其中潛在分類模型主要是用來分析受試者的作答反應組型，從中了解受試者的潛在知識結構，也克服了古典測驗理論與試題反應理論的缺點。本研究將集中探討潛在分類模型的DINA模式及其延伸的模型。. 貳、DINA 模式(Deterministic Input, Noisy “and”Gate Model) DINA 模式的創建與流行開始於 Junker, Sijtsma (2001)的研究，它是一個隨機連接模式的例子，也是潛在分類模型的一種，模式隨機的因素是說如果受試者具備有解題該有的屬性，其結果不一定能百分之百答對試題，但如果缺乏該有的屬性，也不能百分之百保證一定會答錯試題，也就說明 DINA 模式最重要的兩個參數―猜測(guess)、粗心(slip)。定義 Yij 是受試者 i 在試題 j 上的作答反應，其中 i  1,, I；j  1,J ，受試者的二元的屬性向量表示為  i   i1 , i 2 ,, ik  ，其中 k  1,, K ，之中的元素若表示為  ik  0 ，說明受試者不精熟或具備認知屬性k，而  ik  1 說明受試者能精熟認知屬. 性k。 DINA模式的分類確定是依附在受試者潛在反應 ij ，ij 代表受試者是否具有答對第 j 個試題所需的所有技能，若全部具備則其值為1，反之，受試者至少缺少 1個答對第 j 個試題所需的技能，其值為0，其中DINA模式是依據受試者認知屬性的狀態與試題的Q矩陣進行判斷，其計算公式如下： K. ij   ik. q jk. k 1. 其中， q jk ：受試者答對第 j 個試題是否需要第 k 個認知屬性，如需要該屬性其值為1，無則為0。. 39. (2.2).

(50) 但在實際的作答情形當中，受試者會受到雜訊(noise)干擾，並非像理想的 DINA模式所假設的，如具備需要的認知屬性時便能答對該題，也就是說受試者會受粗心(slip)及猜測(guessing)兩種影響。粗心的意思是受試者具備需要的屬性，但卻不小心答錯了試題；猜測的意思是受試者不完全具備該有的屬性情況下，卻答對試題，其定義分述如公式(2.3)(2.4)：. . . (2.3). . . (2.4). s j  P Yij  0ij  1 g j  P Yij  1ij  0. 綜合上述所有情況，DINA模式下受試者i答對試題j的試題反應函數定義如下公式 (2.5)： PYij  1i   1  s j  ij g j . 1 ij.  Pj i . (2.5). 其模式也假設說 1  s j  g j (Henson, Templin, & Willse, 2009)，也就是說模式假定受試者精熟試題 j 的屬性之答對機率比受試者不精熟試題 j 的屬性之答對機率還要大，這個假定顯然是很容易理解。舉例來說，假如一個試題需要兩個屬性，且設定 g j  0.1、s j  0.1 ，其DINA 模式的機率分配圖如圖2-7：. 40.

(51) DINA Model 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5. Probability of α. 0.4 0.3 0.2 0.1 0 (0,0). (0,1). 圖 2- 6. (1,0). (1,1). 兩個屬性的 DINA 模式的機率分配圖. 資料來源：Advanced Topics in Cognitive Diagnosis Modeling工作坊，2011。接著說明在DINA模式裡受試者 i 對試題 j 的反應程序，. 圖 2- 7. 受試者 i 對試題 j 的反應程序圖 (de la Torre, 2009). 41.

(52) 表示受試者的能力反應組型ij 是與受試者認知屬性的狀態與試題的Q矩陣相關，如果ij  0 ，則答對的機率為 g j ；ij  1，則答對率為1  s j 。 DINA模式的優點在於模式簡單易懂，只涉及「粗心(slip)及猜測(guessing)」兩個參數，真正實現了對認知診斷模型的簡化。. 叁、HO-DINA 模式(Higher-Order DINA) HO-DINA 是 DINA 的延伸模式，de la Torre & Douglas (2004)認為受試者的能力是多維度的，與試題難度、鑑別度的多維性相對應，所以將屬性的機率分配加入 IRT 模式，在 DINA 的基礎上提出了一個六參數的 HO-DINA 模式。高層次的表示式中，在給定高階的潛在特質  i 之下，假設受試者的認知屬性  ik 條件獨立，其關係可用下列式子(2.6)表示： K K  expaki  bk   P i i    P ik i      k 1 k 1 1  expaki  bk  . (2.6). 式子(2.6)與IRT的雙參數對數模型類似，主要的差異是資料矩陣被設定受試者的認知屬性  ik 、認知屬性的鑑別度 a k 和難度 bk 這三項的模組。屬性的難度 bk 愈高代表愈難精熟，換句話說，隨著受試者能力越高，掌握屬性的機率就越大；而屬性對試題答對機率的影響，還是與DINA模式相同。de la Torre & Douglus (2004)定義如果DINA模式包含了  i 就稱為HO-DINA模式。其圖形表示如圖2-9. 42.

(53) i. ak , bk. i. qj. ij. gj. 1 sj. Yij. 圖 2- 8. HO-DINA 模式反應程序圖. HO-DINA模式的優點在於認知屬性上加上一個高階層的架構，潛在特質  i 的加入，使得估計時就可以降低屬性組合的數量，同時也達到參數精準的估計。. 43.

(54) 44.