第二章 文獻探討
第二節 數學連結能力理論評量架構
數學連結能力依課程設計來看，是屬於課程統整的理念，強調數學應與生活 連結及重視數學概念間的統整，由於本研究試圖設計評量工具來探討學生在連結 能力的表現及發展，為瞭解數學連結能力的評量架構，本節將針對國外連結能力 的觀點進行闡述。
壹、美國國家數學教師協會對連結能力的觀點
NCTM 是美國最具權威的數學教育機構，致力於建立數學教育標準，此標 準對於學校數學科教學影響甚大，因此提供其他專業學科的組織發展該學科之 標準。
1989 年出版的「課程與評量標準(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)」一書中，指出評量的目的在於診斷、教育回饋、分階段比 較一般數學成就及課程評鑑。2000 年出版「數學教育的準則與標準(Principles and Standards for School Mathematics)」制定一套具體的數學課程準則，同時也作為 數學課程評量的準則，希望學生擁有對數學的認知和把數學認知運用日常生活 當中的理念，其準則架構條列如下表 2-3：
表 2- 3 「數學教育的準則與標準」的數學課程準則架構表
內容標準 (content standards)
一、數學運算的規準 二、代數學的規準 三、幾何學的規準 四、測量學的規準
五、資料分析與機率學的規準
過程標準 (process standards)
六、問題解決的規準 七、推理與證明的規準
(續下頁)
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八、溝通的規準 九、連結的規準 十、表徵的規準
資料來源：整理自丁于珍（2007）。雲林縣國民中學學生數學能力診斷評量試題 分析之研究（未出版之碩士論文）。國立雲林科技大學，雲林縣。
NTCM 在「課程與評量標準(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)」依年級將學習分成四個階段，分別在各階段明定需達到的標準，
之中也指出連結是跨所有階段最重要的歷程標準之一（洪碧霞等人，2010）。連 結的規準說到，學生要具備區辦並連結數學想法的能力，應用數學基礎知識建 構屬於自己的數學模式，之後將自己建構的數學模式應用在其他學習層面或研 究領域之中。連結在 NCTM 被歸類於過程的標準，說明連結能力是藉由學習數 學的過程中養成，並透過新舊經驗的相互連結，形成內化的過程。NTCM(1989) 將連結分成兩種型態
（一）、問題情境間的模式化連結，是指除了數學以及其數學表徵之外，問 題情境是來自於真實世界。
（二）、兩個等價表徵間以及其中的對應歷程的數學連結。
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圖 2- 2 兩個連結的一般型態
資料來源：洪碧霞、陳沅、林宜樺、黃秀霜、鄒慧英、蔡玲婉、…、龔憶琳（2010）。
呼應能力指標的教學與評量設計。臺北市：心理出版社。
貳、美國國家教育進展評量(National Assessment of Educational Progress, NAEP) 對連結能力的觀點
NAEP是個有系統評量學生基本學科知識及能力的機構，已有四十多年的歷 史，深受各先進國家的重視，其層級單位依性質不同分成全國性和州等級，而全 國性的NAEP有兩個主要目標：一是測量在教學脈絡下全國學生的成就，二是在 某特定領域中追溯四年級、八年級與十二年級的學生成就改變程度，藉以促進教 育改革與課程教學的創新、了解教育表現的相關因素。
美國國家教育進展評量(National Assessment of Educational Progress, NAEP) 於1996、2000及2003年的數學教育成就評量，將其評量架構分成三個向度，包含 內容成分(content strands)、數學能力(mathematical abilities)、數學力(mathematical power) (見圖2-3、表2-4)。說明如下(National Assessment Governing Board, 2002)
問題情境
表徵 2 (如統計圖) 表徵 1
(如代數方程式)
解法 模式化連結
數學的連結
例：統計 圖的分析 例：代數
運算
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圖 2- 3 1990-2003 年 NAEP 之數學評量架構圖
資料來源：“The 1990–2003 Mathematics Framework”by National Center for Education Statistics, NAEP,from
http://nces.ed.gov/nationsreportcard/mathematics/previousframework.asp
表 2- 4 NAEP 之數學評量架構之說明
主向度 子向度 註解
內容成分 (content strands)
數字概念與運算 (number properties and
operations)
包含數感(number sense)、概念
(properties)、運算(operations)內容。
測量(measurement)
(續下頁)
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主向度 子向度 註解
幾何(geometry) 包含幾何(geometry)、空間感覺 (spatial sense)內容。
資料分析與機率 (data analysis and
probability)
包含資料分析與機率(data analysis)、統計(statistics)、機率 (probability)內容。
代數(algebra) 包含代數(aalgebra)、函數(functions) 內容
數學能力 (mathematical
abilities)
概念性理解 (conceptual understanding)
（一）對於概念符號的正反例能加 以辨識。
（二）能利用模式、圖形及符號來 表示概念。
（三）辨識和應用原理原則。
（四）能知道及應用事實與定義。
（五）能整合相關概念和原理原 則，擴充原本的概念和原理原 則。
（六）能辨識和應用符號表示概念。
（七）能詮釋概念間相關結論與關 係。
(續下頁)
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主向度 子向度 註解
程序性知識 (procedural knowledge)
（一）正確地選擇和應用程序。
（二）能對程序的運用加以說明及 判斷其正確性。
（三)擴充或修正程序，以處理問題 中原有的因素。
問題解決 (problem solving)
（一）在新的情境中能使用數學知 識。
（二）能確認及明確地陳述問題。
（三）能運用策略、數據、模型及 相關的數學。
（四）能創造與使用程序並予以發 展和修正。
（五）能判斷解答的正確性與合理 性。
數學力 (mathematical
power)
推理(reasoning)
（一）能對數學的內容有所認知。
（二）有全面性的能力能結合和使用 數學知識去進行探究、臆測、
邏輯推理、解決非例行性的問 題。
(續下頁)
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主向度 子向度 註解
連結(connections)
（一）能在數學脈絡之內，或其他的 學科脈絡進行連結。
（二）能了解數學概念是環環相扣的 體系。
溝通(communication)
（一）能夠過溝通強化數學思維。
（二）能與他人互相溝通數學思 維，並分析、評估他人的數學 思維與策略。
（三）能使用數學語言表達數學概 念達溝通目的。
資料來源：整理於The 1990–2003 Mathematics Framework, by National Center for Education Statistics, NAEP, from
http://nces.ed.gov/nationsreportcard/mathematics/previousframework.asp
其中在評量架構中談到的數學力皆屬於高層次的能力，也就是說其數學力的 發展是建構在內容成分與數學能力之上。在數學力的連結說明了三點要素：
（一）能理解和進行數學概念之間的連結。
（二）能了解數學概念是環環相扣的體系。
（三）能在數學領域外辨認及使用數學。
以NAEP在2011年數學架構報告書 (National Assessment Governing Board, 2010)的選擇題例子說明，如圖2-4、圖2-5
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圖 2- 4 NAEP 試題範例（一）
資料來源：Mathmatics Framework for the 2011 National Assessment of Education
Progress, by National Assessment Governing Board, 2010, National Assessment
Governing Board U.S.Department of Education.此試題是評量四年級學童在空間轉換上的表現，學童如了解原圖形與轉換後 的圖形，邊長的長可以相互對應，也就是14=11+3的關係，便能推出邊長的寬為 何。可見此試題評量的能力向度：內容成分－幾何、數學能力－概念性理解、數 學力－推理。
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圖 2- 5 NAEP 試題範例（二）
資料來源：Mathmatics Framework for the 2011 National Assessment of Education
Progress, by National Assessment Governing Board, 2010, National Assessment
Governing Board U.S.Department of Education.此試題是評量四年級學童在資料分析與機率統計的向度上的表現，學童可能 藉由對學生數量、狗、社團的知識（屬問題情境）還有對統計圖表結構（屬數學 的連結）的了解，才能分析選出此圖形的較近似的標題。可見此試題評量的能力 向度：內容成分－資料分析與機率、數學能力－程序性知識、數學力－連結。
綜合上述得知，九年一貫課程綱要的連結內容對應NCTM的評量架構的連結內
容，其中有許多雷同之處，都將其連結分成「數學內部的連結」、「數學外部的連 結」。不同之處是九年一貫課程綱要的連結能力是無階段的課程目標，而NTCM
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將連結的準則依學習階段的不同，所對應的連結準則也是不同的，由淺而深的達 到連結能力的培養。因此，在測驗工具的開發就必須注重測驗試題數學知識涉及 的層面、真實情境脈絡的佈題內容，還有數學內部知識的連貫性以及數學與各其 他領域之間的關聯性，使連結的測驗內容變成是評量學童全面性的數學力。
由NAEP的連結要素推知，連結具有統整性與平衡性，以九年一貫課程而言，
內部連結統整數學領域各主題概念，還有整合就經驗與新知識；而外部連結是整 合數學與生活、數學與其他領域的整合，其目的都在建構一個完整的體系，避免 片段知識學習的產生。連結的平衡性是說明連結內部與連結外部之間的平衡，在 發展時均受到其重視，強調或忽略任何一方都是不正確的，缺乏學習的經驗是空 乏的，缺乏經驗的學習是抽象的，至於在評量方面就必須注重連結的兩個特性存 在，並以學生的學習經驗來命題。