第三章 研究方法
第三節 研究工具
本研究所使用的工具有自編之數學連結能力測驗、SPSS 18.0、MATLAB7、
WinBUGS 茲分述如下。
壹、自編數學連結能力測驗
一、測驗編製依據
本研究的試題編製是依據教育部九年一貫課程數學學習領域連結能力的能 力指標。由於施測對象為國小五年級學童，研究者統計坊間教材（康軒版、南 一版）五年級的數學領域教材中，九年一貫數學學習領域中連結之能力指標的 實施次數，也就是統計教師手冊中各單元中對應的連結能力指標次數（教材內 容與連結能力指標的雙向細目表見附錄三），並整理於表 3-3，其後發展成自編 測驗的架構。
表 3- 3 教材之對應連結能力指標次數統計表 連結
能力
能力指標 康軒版 南一版
察覺
C-R-01 能察覺生活中與數學相關的情境。 7 10
C-R-02 能察覺數學與其他領域之間有所連結。 6 8
C-R-03
能知道數學可以應用到自然科學或社會科 學中。
7 0
C-R-04
能知道數學在促進人類文化發展上的具體 例子。
6 8
轉化
C-T-01 能把情境中與問題相關的數、量、形析出。 2 8
(續下頁)
50
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連結 能力
能力指標 康軒版 南一版
C-C-05 能用數學語言呈現解題的過程。 7 5
C-C-06
能用一般語言及數學語言說明解題的過 程。
0 7
C-C-07
能用回應情境、設想特例、估計或不同角 度等方式說明或反駁解答的合理性。
3 0
C-C-08 能尊重他人解決數學問題的多元想法。 3 10
評析
C-E-01 能用解題的結果闡釋原來的情境問題。 2 2
C-E-02
能由解題的結果重新審視情境，提出新的 觀點或問題。
0 3
C-E-03
能經闡釋及審視情境，重新評估原來的轉 化是否得宜，並做必要的調整。
0 1
C-E-04 能評析解法的優缺點。 1 4
二、測驗工具設計
表 3- 4 自編測驗工具的設計
試題題型 四選一選擇題型
計分方式 二元計分
測驗形態 題間多向度試題
測驗題數 29 題
52
53
主能 力
子向度能力
（試題數）
細項能力（能力指標） 試題編號
能用一般語言與數學語言說明情境與問題。 22
能用數學的觀點推測及說明解答的屬性。 23
能用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式 說明或反駁解答的合理性。
24
能尊重他人解決數學問題的多元想法。 25
評析能力
（4 題）
能用解題的結果闡釋原來的情境問題。 26
能由解題的結果重新審視情境，提出新的觀點或問 題。
27、28
能經闡釋及審視情境，重新評估原來的轉化是否得 宜，並做必要的調整。
29
四、測驗內容
（一）察覺能力
察覺為連結的第一步驟，指察覺生活以及其他領域的某些情境中有數學的 要素，可藉助數學觀點的切入，使情境的情境變得清晰。以「C-R-01 能察覺生 活中與數學相關的情境」為例，選擇式的測驗試題設計如下例題：
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能力指標 C-R-01 能察覺生活中與數學相關的情境。
例題
( 3 ) 一位五年級男學生的平均身高大約多少厘米？
①50 ②100 ③150 ④200
作答說明 透過這類問題，教師可以了解學童生活經驗的數量感。
（二）轉化能力
轉化為連結的第二步驟，指把察覺到的數學要素，以數學的語言表出，把 情境待釐清的問題轉化成數學問題。以「C-T-01 能把情境中與問題相關的數、
量、形析出」為例，選擇式的測驗試題設計如下例題：
能力指標 C-T-01 能把情境中與問題相關的數、量、形析出。
例題
( 1 ) 忠孝國小五年甲班共有 27 位小朋友，第一次定期評量 中，有 15 位小朋友國語成績 100 分，有 19 位小朋 友數學成績未達 100 分，下列敘述何者正確？
①在第一次定期評量中，有 8 位小朋友數學 100 分。
②國語成績 100 分的人數比未達到 100 分的人數 少。
③國語成績和數學成績同時達到 100 分的人數最多 6 位。
④國語成績達 100 分的人數和未達 100 分的人數共 34 位。
作答說明 檢視學童能否在問題情境中，由已知的全體與部分關係，進一步找 出另一部分的數量。
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（三）解題能力
解題為連結的第三步驟，也就是解答轉化後的數學問題。它必須植基於數 學本身的技能，有時候更要把數學的內容主題，數與量、圖形與空間、代數、
統計與機率概念融會貫通，這屬於數學的內部連結。以「C-S-01 能分解複雜的 問題為一系列的子題」為例，選擇式的測驗試題設計如下例題：
能力指標 C-S-01 能分解複雜的問題為一系列的子題。
例題
( 4 ) 好吃炸雞攤的品項單價如下，下列四項計算，哪一個正 確？
品項 單價(元) 品項 單價(元)
鹽酥雞 30(份) 炸魷魚 50(份)
甜不辣 25(份) 七里香 20(串)
①小宜買了一份鹽酥雞跟兩串七里香，付 100 元，應 找回 25 元。
②小玲把上面四個品項都買一份，應付 25 元。
③老闆賣出一份鹽酥雞可賺 12 元，如果賣 10 份可賺 100 元。
④如果小華身上只有 20 元，他只夠買一串七里香。
作答說明 檢視學童是否能在複雜的買賣情況下，選出系列的子問題正確選項。
（四）溝通能力
溝通為連結的第四步驟，指與自己以及他人溝通解答的過程與合理性。以
「C-C-04 能用數學的觀點推測及說明解答的屬性」為例，選擇式的測驗試題設 計如下例題：
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能力指標 C-C-04 能用數學的觀點推測及說明解答的屬性。
例題
( 1 ) 判斷下圖三角形三個角的大小，所用的方法及結果，何 者正確？
①透過大角對大邊得知：角 2＞角 1＞角 3 ②透過大角對大邊得知：角 3＞角 2＞角 1 ③透過小角對大邊得知：角 3＞角 1＞角 2 ④透過小角對大邊得知：角 1＞角 2＞角 3
作答說明 檢視學童能否透過三角形邊角對應原理的數學觀點，說明答案的正 確性。
（五）評析能力
評析為連結的第五步驟，指評析情境的轉化及其解題，兩者的得失，是針 對原來的情境問題，提出新觀點，或做必要的調整，同時能將問題解法一般化。
以「C-E-02 能由解題的結果重新審視情境，提出新的觀點或問題」為例，選擇 式的測驗試題設計如下例題：
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能力指標 C-E-02 能由解題的結果重新審視情境，提出新的觀點或問題。
例題
( 2 )下表是四組小朋友所飼養寵物的數量，已知小恩養了 4 隻蠶寶寶，小恩是屬於哪一組呢？
組別 獨角仙 魚 兔子 其他
動物
一 1 5 1 2
二 3 7 0 5
三 4 2 0 1
四 5 4 3 3
①第一組。
②第二組。
③第三組。
④第四組。
作答說明 檢視學童能否從已知的蠶寶寶數量，重新審視統計圖表的數量，選 出正確的組別。
五、試題分析
預試資料回收之後，進行古典測驗分析，做為修審題的依據。
（一）信、效度
信度為測驗的一致性的指標，本研究採用 Cronbach
係數作為測驗 內部一致性的指標。預試分析結果 Cronbach
係數為 0.739，顯示此測驗 工具具有尚可的測驗信度。個別試題刪除後之信度分析結果，請參閱附錄 一。在效度方面採內容效度及專家效度，本研究為了使試題符合測驗目的，
研究者參考九年一貫課綱數學領域的連結能力指標及測驗相關文獻，並和 測驗領域之教授、兩位現職數學科老師及一位具教育背景的同學討論，依
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訂定的預測試題測驗架構（參閱表 3-5）進行試卷編製及組卷。
（二）難度
本研究的難度分析採用高、低分組試題答對率的算術平均數，即
2
H L
i
P P
P
，其中全體受試者按高分至低分排序，取前 27%的受試者定義 為高分組（P
H），取後 27%的受試者定義為低分組（P
L）。一般而言，所分 析出的難度值（P
i）是介於 0 跟 1 之間，其值愈大，表示該試題愈容易；反之，值愈小則代表試題愈難，而當難度指標值接近 0.5 時，則表示該試題 難易適中（余民寧，2000），也依此做為修審題的依據。預試資料經分析之 後（如附錄一），難度值介於 0.1087 至 0.8696，其中以試題 02 難度最低，
試題 11 難度最高；平均難度值為 0.4955，顯示測驗工具的難易度適中。
表 3- 6 自編數學連結能力測驗之預試試題難度整理對照表
難度 試題評鑑 與預試試題對應 占預試試題比例
0.8 P
i 極容易 11 3.45%0.6 P
i0.8
容易 01、12、13、14、18、21、24、27
27.59%
0.4 P
i0.6
適中 04、05、08、15、19、20、22、23、
25、28
34.48%
0.2 P
i0.4
困難 03、06、07、09、16、17、26、29
27.59%
i
0.2
P
極困難 02、10 6.89%（三）鑑別度
本研究鑑別度分析採用計算高低分組答對率的差，即
D P
H P
L，判59
別試題是否能正確區別受試者優劣，以鑑別度作為修審題依據，根據常模參 照測驗的試題選題建議（余民寧，2000），整理於表 3-7
表 3- 7 常模參照測驗的試題選題建議表
鑑別度 試題評鑑 與預試試題對應 占預試試題比例
0.40 D
非常優良 03、05、08、12、13、14、15、20、
21、22、23、25、
27、28
48.28%
0.30 D 0.40
優良，但可能需要 修改04、06、07、17、
18、24
20.69%
0.20 D 0.30
尚可，但可能需要 修改01、09、10、11、
26
17.24%
0.20
D
劣，需要刪題或修改
02、16、19、29 13.79%
預試資料經分析之後（如附錄一），試題 02、16、19、29 鑑別度均小於 0.20，
故與專家討論修審題動作，過程與結論整理如表 3-8、表 3-9：
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表 3- 8 修審題結果表
試題編號 修審題過程 結論
02 由於預試當時，五年級的學童尚未學到大單位
「公畝、公頃」，故與專家討論結果，建議刪題。
刪題
16 由於高分組大多選選項①②，低分組也是如 此，以到致無法區分高低分組差別，可見題目 只限制「每一種至少要買一杯」並無限制需湊 滿 50 元，使得學生誤解題意。
修題結果，於試題 後方加上提示註 解。
19 由於此題的測驗架構為「能理解數學語言的內 涵」，試題內容與架構相符合，但試題敘述可能 不夠生活化，以至於學生無法清楚題意。
修題結果，將試題 敘述改成較貼近 生活化的情境內 容
29 此試題為因難度高、鑑別度也高之試題，但本 測驗工具之性質為成就測驗，故也需此類的試 題，因此與教授、專家討論之後，以於保留，
並在試題編排做修整。
修題結果，將試題 述敘，以條列方式 呈現以利學童判 讀
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預試卷試題 修題後試題
29. ( 2 )甲、乙、丙三人中，只有 一個人全班第一名。甲 說：「我是第一名」、乙 說：「我不是第一名」、
丙 說 ：「 甲 不 是 第 一 名」 ，如果這三句話中只 有一句是真的，那麼誰 是第一名？
①甲 ②乙 ③丙
④甲、乙、丙都不是第一 名。
28. ( 2 )甲、乙、丙三人之中，有 一個是全班第一名。
甲說： 「我是第一名」 。 乙說： 「我不是第一名」 。 丙說： 「甲不是第一名」 。 三個人中只有一個人說
實話，請你判斷誰是真 正的第一名？
①甲 ②乙 ③丙
④甲、乙、丙都不是第一 名。
六、正式測驗評量架構
經預試的試題分析，刪除預試的第 02 題後，為試卷排版將重新試題編碼，
圖 3-3 呈現正式施測的評量架構與試題分配
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貳、SPSS 18.0 (Statistical Product and Service Solutions)
SPSS 為統計相關分析常用之軟體，固本研究用以分析試題信度、難度、鑑 別度及統計相關檢定分析。
叁、MATLAB 7
本研究使用 Matlab 撰寫 HO-DINA 的相關程式，搭配 WinBUGS 進行模式 的參數估計。
肆、WinBUGS
BUGS(Bayesian inference Using Gibbs Sampling)為使用MCMC的方法處理貝 氏模式架構的軟體。本研究使用WinBUGS軟體進行模式的參數估計。