文本內容與設計

本節綜合讀者、文本與脈絡來探討本研究文本所選定的主題－盒狀圖，並針對讀者 來的部分說明在盒狀圖單元可能面臨到的學習困難以及文本的脈絡。

一、 文本內容之主題

在統計越來越被廣泛使用的時代，透過閱讀數據或圖表來進行判斷、解釋資訊的能 力是更加重要了（李健恆、楊凱琳，2012）。Steen（1998）指出二十一世紀的公民必需 具備處理及詮釋資料的能力（譚克平，2007）。因此，統計能夠幫助我們整理資料並進行 分析，以提供決策時所需的資訊。

許多研究（Konold, Higgins, & Russell, 2000；Bakker & Hoffmann, 2005；Garfield &

Ben-Zvi, 2008）指出學生對於統計分布概念的理解是較有困難的。當教師幫助學生改善 統計思考與推理時，學生需要去建構、組織與閱讀統計表徵，更進一步地，教師希望學 生可以連結不同表徵，並使用表徵來猜測、推理與解決問題（Edwards, Özgün-Koca, &

Barr, 2017）。然而，許多研究（Biehler, 1996；Friel & Bright, 1996；Konold et al., 1997；

Friel, Curcio, & Bright, 2001；Ben-Zvi & Garfield, 2005；Capraro, Kulm, & Capraro, 2005；

delMas, Garfield, Ooms, 2005；Lem et al., 2013a, 2013b）更具體指出學生在解釋、推理與 閱讀表徵時有很大的學習困難。

以台灣的課程安排來看，在小學至國中的學習階段，學生學習過許多關於統計的內 容與概念。以使用「國民中小學九年一貫課程綱要」的學生而言，在三年級時學會了報 讀表格的能力，四年級時能夠讀取統計圖表的資料，包含長條圖、折線圖與圓形圖，在 六年級時則可以繪製出統計圖表，一直到了九年級下學期時，才學到常用統計量，如眾 數、中位數、平均數、四分位數、百分位數、全距、四分位距等，以及直方圖、次數分 配折線圖與盒狀圖，來瞭解資料表現的特質與分布情形。然而，以十二年國民教育的數 學領綱而言，在每個年級的統計學習內容上也做了調整，但九年級依然安排統計數據的 分布的學習內容，包含全距、四分位距與盒狀圖。由此可知，在統計內容的安排上皆以 循序漸進的方式進行教學，而「九年一貫」與「十二年國民教育的課程綱」要皆將盒狀 圖安排在九年級的學習內容，由此可以看出盒狀圖內容在統計的主題中，是屬於較深、

較高層的統計知識，且對於學生而言是有一定的困難程度。

盒狀圖（box plot）對國中程度的學生而言，可能並非為容易了解的概念（譚克平，

2007）。Bakker、Biehler 與 Konold（2005）的研究指出，盒狀圖和其他統計圖表的形狀 非常不相像，例如直方圖或折線圖，對國中生而言，對於以往所學習過的統計圖表（如 直方圖、長條圖、折線圖或圓餅圖）有很大的差異，因此較無法容易直接解釋資料分布 的情況，同時盒狀圖也是生活中較不常見的統計圖表。與其他的統計圖表相較而言，盒 狀圖的性質只能反映出「整體資料」的分散程度，並不能反映出「個別的資料」，這與學 生先前所學過的統計圖表差異較大。而 Gal（1998）認為教師要理解學生是如何解釋資 料是一大挑戰，因教師較難以去評價學生的看法以及理由。此外，李健恆與楊凱琳（2015）

分析國中數學教科書的統計內容，發現在統計單元的能力指標中大多著重於「統計知識」

的培養，而未有「統計思考」相關的指標出現。而在圖表理解的類型中，能力指標也較 著重於繪製統計圖表與判讀資訊，有關圖表資訊的延伸推論卻很少呈現。

因此，考量到學生學習統計分布的困難，加上盒狀圖與其他學生已學過的統計圖表 之形狀差異較大，甚至可能較難評量出學生解釋資料的想法，故本研究所設計的文本主 題以「盒狀圖」為主要內容，同時也會設計較合適的評量試題以檢驗學生是否理解盒狀 圖的相關概念。若學生已先具備了學習盒狀圖所需的先備知識，像是中位數、百分位數、

最大值與最小值、全距等統計概念，則學生在學習盒狀圖時，僅需了解應如何將這些概 念統整與結構，並從分布的角度來解釋資料。因此本研究所設計的文本與試題將由此目 的為主軸，讓學生可以透過自行閱讀文本，從文本中的獲取相關資訊與方法來學習盒狀 圖資料的解釋，並檢驗學生的統計推論與統計思考能力。

二、 學生對盒狀圖的學習困難

盒狀圖（Box Plot）是可以用來比較分布的強大工具之一，盒狀圖的圖形表徵顯示 了資料的中心與變數範圍的分布，以中位數作為資料中心的測度，同時也標示出四分位 距（Interquartile Range，IQR），可以看出資料的分散程度（spread），因此也容易由視覺 化去判斷與比較分布（Bakker et al., 2004）。因此，許多國家也將盒狀圖的概念納入課程 中，例如美國在 12 歲以前就開始學習盒狀圖的概念，且在 6 至 8 歲時就應該看過盒狀 圖，紐西蘭在13 至 14 歲時學習盒狀圖，澳洲、比利時和荷蘭為 15 至 16 歲，法國則是 16 至 17 歲。然而，也有一些國家並未將盒狀圖納進中學課程中，像是中國和以色列。

此外，德國也有學者認為 15 歲以上的學生應學會使用盒狀圖（Arbeitskreis Stochastik, 2003）。由各國家對於盒狀圖的課程安排來分析，可以明顯看出對於學生而言，學習盒狀 圖是有一定的困難。因此，Bakker 等人（2004）提出四種學生在學習盒狀圖時，可能面 臨到的挑戰與困難：

1. 學生缺乏分布的整體概念

學生剛在學習統計時，容易只看到個別資料，像是局部的點或專注於每一筆數據，

而非整體的資料分布，難以看出整體的趨勢（Biehler & Steinbring, 1991； Hancock, Kaput,

& Goldsmith, 1992； Konold, Pollatsek, & Well, 1997；Ben-Zvi & Arcavi, 2001；Cobb, McClain, & Gravemeijer, 2003；Bakker & Gravemeijer, 2004)。同樣的，學生在解釋盒狀圖 的資料時，通常傾向看資料值而非注意分布，因為可以用這些資料計算平均數、中位數、

全距與四分位距（Bakker et al., 2004）。但是以盒狀圖來說，學生無法從圖形上看出每一 筆資料，因此必須學會如何由統計圖形來看出資料的趨勢與分布，而教師可以將盒狀圖 的概念傳遞給學生，但是也有研究指出這可能增加學生的困惑（Konold et al., 1997）。由 許多研究可以發現，國外多數的教師會使用Minitool（Cobb et al., 1997）來表示資料，

先明確表示出每一筆數據，再轉換成盒狀圖，讓學生可以由視覺化去比較與連結（如圖 2-3-1）。

圖2-3-1、盒狀圖的表徵轉換（Bakker et al., 2004）

2. 盒狀圖資料的解釋方式與其他統計圖表不同

以往學生所學過的統計圖表，像是長條圖、直方圖或折線圖等，其資料解釋的方式 都不同。以長條圖為例，長條圖是一種用許多寬度相同，長度與已知次數成比例的長方 形顯示數據的統計圖，而直方圖則是一種用來展示分組數據的圖，圖中每個長方形寬度 相對於組區間，面積則相對於它所代表的次數。不論是長條圖或直方圖，都可由圖表中 最高或最長的長方形來了解該組分布最密集的資料為何。除此之外，尚有散布圖能統計 資料，可以直接由散布圖的圖形中看出資料的密集程度。然而，以上這些由面積或頻率 來讀取資料的方法並不適用於盒狀圖，因盒狀圖中並未標示每一筆數據，只有標示大約 每25%的資料（第 1 四分位數、第 2 四分位數、第 3 四分位數），並將整組資料大約平 分成四個部分以便快速地由資料的密度來解釋資料的分布或比較差異。但是盒狀圖與其 他統計圖表不同，若盒狀圖每部份的區間愈大，則該區資料的分布愈分散，若盒狀圖每 部份的區間愈小，則該區資料的分布愈集中。由於盒狀圖的圖像表徵與資料的密集程度，

其資料的解釋方式和其他統計圖表不同，因此這種差異可能導致讓學生難以理解盒狀圖 的概念與資料的解釋。因此，教師應該培養學生解釋盒狀圖資料的能力，像是解釋資料 的中心（center）與資料的分散程度（spread）之意義或差異。

3. 中位數的概念對學生而言較不直觀

盒狀圖是由許多元素組成，包含最小值、第1 四分位數、中位數、第 3 四分位數與 最大值，而中位數是被用來表示分布的中心，然而，即使學生可以容易計算出中位數的 值，但不表示學生可以明確知道中位數可以用來解釋分布的中心（Konold and Higgins, 2003），多數學生會視中位數為資料的切割點（cut point），因此需要教師的指導來促進 學生對中位數的了解，並從將其視為中心的測度（measure of center），同時也是群體資 料的特徵之一。

4. 四分位數的概念不易理解

依據台灣現行之教科書中所描述的四分位數，一群資料的第 25、50、75 百分位數 即為第1、第 2、第 3 四分位數，分別計為𝑄₁, 𝑄₂, 𝑄₃。然而，並非所有的整數都能被4 整 除，尤其是當一群資料的數據量為奇數時（Biehler and Steinbring, 1991），因此學生也容 易對四分位數的概念與計算產生學習困難。此外，每個計算器或軟體的程序也使用了不 同的定義來計算百分位數（Freund & Perles, 1987），但是在一般的課堂上，大多數的學 生甚至是教師都認為盒狀圖恰將資料分為四等分，然而實際蒐集到的數據也難剛好平分 成四等分。

除此之外，四分位數的概念通常與學生所設想的分布不同，學生通常會以為盒狀圖 的分布是由三個部份組成而非四個，包括居中50%的資料、前 25%的資料，以及後 25%

的資料（Bakker & Gravemeijer, 2004；Konold et al., 2002）。由此可知，學生並未將四分 位數的概念與盒狀圖的表徵連結，由於四分位數在計算上的困難，加上學生的概念不清，

而造成學生學習盒狀圖時產生困難。

綜合上述四項在學習盒狀圖時學生所可能面臨到的問題來看，Bakker 等人（2004）

認為盒狀圖的概念不宜在學生 15 歲以前教，因為學生尚未建立好百分位數的意義、計

認為盒狀圖的概念不宜在學生 15 歲以前教，因為學生尚未建立好百分位數的意義、計