資料包絡分析法

（Data Envelopment Analysis, DEA）

一、DEA 之緣由與基本概念

（ㄧ）緣由─Farrell效率觀念

DEA最早起源於Farrell（1957）所根據之柏拉圖最適境界（Pareto Optimality）而來，所謂柏拉圖最適境界意指無人可在不損及他人利 益的情況下，而增加另一人的利益。Farrell透過現性規劃並利用「非 預設生產函數」代替慣用的「預設生產函數」，求出確定性無參數效 率前緣（deterministic non-parametric efficiency frontier），即效率生產 函數（efficiency production function），用來衡量生產效率，尋求被評 估單位的最適配置，而奠定了資料包絡法的理論基礎。其理論主要基 於三個假設：

1. 生產效率前緣（production efficiency frontier）是由最有效率的 單位所構成，較無效率的單位皆位於此前緣曲線之外。

2. 投入產出間呈固定規模報酬（constant returns to scale, CRS）。

3. 生產效率前緣曲線凸向（convex）原點，每點的斜率皆為負值。

此模式乃利用實際被評估單位與效率前緣的相對關係求得評估 單位的技術效率（Technical Efficiency, TE）；所謂技術效率是指組織 於現有技術上，以一定水準投入所能產生的最大可能產出。若再考慮 成本函數之項目價格比，則能求得價格效率（Price Efficiency, PE）；

所謂價格效率係指在既定價格比率與技術效率下，投入項目成本為項 目組合中之最低。早期經濟學家較重視分析廠商的價格效率，直到 Farrell於1957年提出：以生產邊界（production frontier）的觀念來衡

量技術效率之後，技術效率的衡量才逐漸受到重視（孫遜，2004；陳 宗義，2004；劉雅芳，2004）。

Farrell（1957）指出，若同時達到技術效率與價格效率則稱之為 總效率（overall efficiency），亦即總效率為技術效率與價格效率的乘 積。圖2-1 說明三種效率之關係。

假使使用二項投入X₁、X₂，亦產出項Y，而SS’為滿足技術效率 的等產量曲線（isoquant），表示生產一單位Y所需X₁-X₂的最小可能生 產組合；另假設X₁-X₂價格比固定（AA’斜率表示）的情形下，此時B 點之技術效率為OB’/OB，價格效率為OB’’/OB’，總效率為OB’’/OB。

以圖2-1 來看，若想改善 B 點的技術效率值，在同樣產出之下須 減少投入，使原投入組合點由 B 移至 B’，此時該決策單位在技術上 有效率，但價格上仍無效率；惟有將投入組合點移至C 點方可滿足技 術效率與價格效率之最大。

X₂/Y

S

B B’

B” C S’

O A’ X1/Y 圖2-1 Farrell 效率前緣圖

（二）DEA 基本概念

資料包絡分析法（DEA）是一種無母數（non-parametric method）

的效率衡量方法，係以生產邊界（product frontier）作為衡量效率的 基礎，並以數學規劃模式求得生產邊界，無須預設生產函數模式，且

A

將各決策單位（decision making unit, DMU）之實際資料與生產邊界 比較，即可衡量出各決策單位之相對效率及相對無效率的程度，即達 到相對效率的改善建議目標（孫遜，2004）。

其中生產邊界亦即包絡線（envelopment）是 DEA 效率評估模式 的理論基礎，在經濟意義上是指最有利的投入產出所形成的前緣，即

「基於投入資料所決定之最大產出」，藉由直線或曲線將這些效率單 位連結起來，構成之效率前緣線（efficiency frontier）。而在幾何學意 義上的解釋，則是利用包絡線原理，將所有 DMUs 的投入產出項投 射到空間中並尋找其最低的邊界（效率前緣線）。凡是落在邊界上的 DMU，表示其投入產出組合是有效率的；若是落在邊界右邊的 DMU，則表示其投入產出組合是無效率的（孫遜，2004）。

DEA 由 DMUs 所形成的集合中，找尋各 DMU 之投入及產出權 數，使得各DMU 在相同限制條件下，達到最大的效率。在限制式完 全相同情況下，將每一DMU 的投入產出當作目標式來求得最大之效 率值（孫遜，2004）。

二、DEA 基本比率模型

Farrell 的研究建立了 DEA 非預設生產函數方式之衡量效率的雛 形，然而其模式僅限於處理單一產出之情形，雖簡易且不受函數式之 限制，亦無須估計生產函數之參數，但運用在兩個以上多重生產要素 之生產效率分析時，卻十分困難。直到 Charnes, Cooper & Rhodes

（1978）根據 Farrell 之效率衡量觀念，提出 CCR 比率模型，將其擴 充至固定規模報酬下『多項產出/多項投入』之多元評估準則環境，

並正式定名為資料包絡分析法（DEA）。

DEA 發展至今，已有許多研究學者提出不同的模式改良。首先 於 1984 年 Banker, Charnes & Cooper 將 CCR 模式加以修正而提出 BCC 比率模型，將 DMU 生產規模的可變性考慮進模式中，擴大了 DEA 的應用範圍，使 DEA 不僅是一種應用來評估組織績效與效率的 工具方法，且使其有更大的應用空間，為 DEA 替代模式中相當常見 的一種。近年來，DEA 不斷創新之下，有許多替代模式與延伸模式 陸續被發展出來，使 DEA 更趨於完善與多元（陳宗義，2004），而 仍以CCR 與 BCC 模式最為常見，以下僅就此二種模式作一簡單介紹。

一般而言，不管使用 DEA 何種模式評估效率，於推估效率前緣 時，可採用兩個方向進行，一為投入導向（input-orientated）：在生產 現有產出水準之下，模式目標追求投入極小化；另一為產出導向

（output-orientated）：則使用現有投入水準之下，模式目標為追求產 出極大化（孫遜，2004；劉雅芳，2004）。

（一）CCR 模式

Charnes, Cooper & Rhodes（1978, 1979, 1981）提出 CCR 模式，

其觀念乃源自Farrell 的無參數生產前緣函數的效率衡量架構，利用數 學規劃技術以多項投入、多項產出情況，來評估組織之相對效率。其 原理是假設在固定規模報酬之下衡量整體之效率，所謂固定規模報酬 即增加一部分投入，同時產出也會有相對的一部分增加。

所謂的「相對效率」，係利用數學技巧將評估的DMU 區分為有 效率及無效率兩種。有效率的 DMU，是在全部 DMU 中能以最適的 投入-產出組合運作，由他們構成效率前緣。無效率 DMU 則是以本身 與效率前緣的相對位置，衡量出無效率程度。而所區分出的有效率及

變，相對效率程度也會變動，故稱之為「相對效率」。

CCR模式可為分數規劃模式、線性規劃模式與對偶命題，從對偶 命題的解可得知差額變數（slack variable）及包絡曲面（envelopment surface）。各簡述如下：

1.投入導向模式

（1）分數規劃模式

假設有一生產可能集合（production possibility set）P，其中 P 有 n 個性質相同（homogeneous）的 DMU，每一個 DMU_j（j=1,…,n）使 用 m 項投入 x_i（i=1,...,m），生產 s 項 y_r（r=1,…,s）。若要評估第 k

以下面分數規劃（fractional programming）模式，估計一個目標 DMU₀ 之效率値：

u_r ≥ε >0

v_i ≥ε >0

r=1,2,3…,s ; i=1,2,3…,m ; j=1,2,3…,n h ₀ =目標DMU之效率値；

y_rj=第j個DMU之第r個產出項數量；

x_ij=第j個DMU之第i個投入項數量；

ε=非阿基米德常數（non-archmedean constant），即極小的正數；

其目的是使所有u_r , v_i 均為正。

第（2-1）式限制所有DMUs的實際產出與實際投入之比値須為正 值，且介於0～1之間，此時為對各個DMU最有利的加權值，使得效 率值h ₀最大。u_r , v_i 之最佳値係由（2-1）式估計各DMU之效率値中所 獲得，不需由決策者事前決定。h ₀ =1，則此受評估DMU為相對有效 率；h ₀ <1，則受評估DMU為相對無效率。由於在此模式中，每一DMU 均有成為目標函數的機會，而其他DMU之投入與產出則均當成限制 條件，故其為公平與客觀的相對效率評估方法。

（2）線性規劃模式

由（2-1）式，可以看見其為一非凸性及非線性之分數規劃模式，

若要對其進行真正的求解運算是為一項困難的工作，因此Charnes et al.（1985）將上式轉換成線性規劃模式，先令（2-1）目標函式中之 分母

∑

= m i vixi

1 0 =1，再將之加入限制式中。原（2-1）限制式中之不等式，

分子與分母各乘以

∑

= m i

ij ix v

1

，即可修正成為線性規劃模式。

Max：h ₀ =

∑

^{s u y}

S.t 0 件。Charnes et al.（1985）指出，這意味著滿足經濟學上之Pareto最佳 化條件，因為最大效率值的增加，僅可藉由某些投入項數量的增加或 某些產出項數量的減少而達成。

（3）對偶命題

Boussofiane et al.（1991）指出，由於模式（2-2）之限制條件式 的變數多於目標式，若將（2-2）式採取對偶命題（dual）的解法會使

λj=第j個DMU之權數，其目的為被評估DMU提供所有產出項的 上界限制與所有投入項的下界限制。

受評估DMU₀之CCR效率可能出現下列三種結果：

A. 若θ<1，則判定DMU₀無CCR效率。

B. 若θ=1，但S_i⁻或（且）S_r⁺不為0，則DMU₀具弱效率，即Farrell效率，

但不具CCR效率。

C. 若θ=1且S_i⁻、S_r⁺為0，DMU0具CCR效率。

（4）效率改善

當DMU評估結果為無效率時，DEA以效率邊界作為效率衡量的 基礎，經由對各投入產出項作差額分析，可提供各DMU於目前經營 情況下，資源使用情形之相關資訊，不但可視為未來目標設定基準，

亦可了解本身尚有多少改善空間。對ㄧ無相對效率之DMU₀，其投入 產出為（x0, y0），要改善其效率，於投入項需減少θ^∗之比値與過多 的s^−*；在產出項需增加短缺的s^+*。淨投入改善Δx₀與淨產出改善Δy₀可 由下列二式求得：

(

*

) (

*

)

0 ^*

0

* 0

0 = − − ⁻ = 1− − ⁻

Δx x θ x s θ x s

* 0

= +

Δy s

因此，無效率DMU₀之效率邊界投射（CCR projection）為：

0

* 0

* 0 0

0 x x x s x

X = −Δ =θ − ⁻ ≤

0

* 0 0 0

0 y y y s y

Y = +Δ = + ⁺ ≥

2.產出導向模式

CCR產出導向之分數規劃模式如下：

0

Banker, Charnes & Cooper於1984年提出BCC模式，探討DMUs純 技術效率、配置效率與規模報酬的問題，並將無效率的原因分為技術 的無效率或營運規模的不當。同時藉由對生產可能集合作一些假定，

再引入Shephard（1970）的距離函數（distance function）概念，導出 與CCR相同之模式。由於CCR模式是假設在固定規模報酬來衡量整體

S.t ₀ 0 DMU具BCC效率。因BCC模式較CCR模式多了ㄧ 1

1

v_i ≥ε >0 三、DEA 使用程序（孫遜，2004；陳宗義，2004）

Roll, Golany, & Seroussy為有效運用DEA於實際問題上，於1989 提出ㄧ系統化的DEA應用程序，分別為：在相同目標下，定義及選擇 適當的DMUs；運用專家意見或統計分析等適當方法，界定投入與產

出項；應用DEA模式與結果分析。

（ㄧ）DMUs之選取與定義

DMU為資料包絡分析法所評估之決策單元，進行效率比較時，

針對受評估之DMU 須是使用相同或類似的投入項目，製造出相同或 類似的產出項目，也就是研究者須以同質（Homogeneous），亦即須 以同一市場條件為準則來選取所要評估的對象，否則評估時DMU之 立足點不同、差異過大或不相關之單位的比較，則會因無法辨別究竟 是DMU間外在的差異，還是內部管理的無效率，而將造成評估結果

針對受評估之DMU 須是使用相同或類似的投入項目，製造出相同或 類似的產出項目，也就是研究者須以同質（Homogeneous），亦即須 以同一市場條件為準則來選取所要評估的對象，否則評估時DMU之 立足點不同、差異過大或不相關之單位的比較，則會因無法辨別究竟 是DMU間外在的差異，還是內部管理的無效率，而將造成評估結果

在文檔中 以資料包絡分析法（DEA）評估國內醫院相關管理研究所之效率; Evaluating Efficiency for Institutes of Health Services Administration in Taiwan by Using the Data Envelopment Analysis (頁 31-45)