速率概念的內涵

本節旨在探討速率概念的內涵，玆先就速率、速率的直接與間接比較、距離 和時間與速率之關係、秒速及分速和時速之意義、速率學習的迷思概念、速率學 習的錯誤類型等六部分加以探究後，再就近年來學者在速率之相關研究上做一整 理，以便提供本研究在速率補救教學時之文獻參考。

一、速率

康軒版數學教學指引指出：物體運動的快慢是由物體在某段時間移動了多少 距離作描述或比較。因此教師在數學或科學上宜使用「速率」這個語詞或概念作 描述。速率分為平均速率或瞬時速率，平均速率是物體通過路程與它通過這段路 程所用的時間的比值，它是標量。平均速率是路程與時間之比值，比值不能衡量，

一般情況下不等於平均速度的大小。例如一個物體圍繞一個圓周運動一周，花的 時間是 t，平均速率是 2πr/t，而平均速度為 0。在國小階段只學習平均速率的概 念，也就是說，國小數學中所說的速率都是指平均速率。

平均速度與平均速率（average speed）是有所區別的。平均速度是一個描述 物體運動平均快慢程度的量，一個做變速運動的物體，其位移與時間的比值不是 恆定不變的，根據百度百科之定義與說明，平均速度的概念是：反映一段時間內 物體運動的平均快慢程度，它與一段位移或一段時間相對應；在變速直線運動中，

平均速度的大小與選定的時間或位移有關，不同時間段內或不同位移上的平均速 度一般不同，必須指明求出的平均速度是對應哪段時間內或哪段位移的平均速度，

不指明對應的過程的平均速度是沒有意義的；而且平均速度是矢量（vector）（註¹） 其方向與一段時間Δt內發生的位移方向相同，與運動方向不一定相同；在勻變速

註¹：維基百科稱頭的線段。線段的長度可以表示矢量的大小，而矢量的方向也就是箭頭所

指的方向。物理學中的位移、速度、力、動量、磁矩、電流密度等，都是矢量。與矢量概念相對 的是只有大小而没有方向的標量（scalar）。

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直線運動中，中間位置的瞬時速度大於中間時刻的瞬時速度。具體的說，平均速 度指的是你所選定的時間內物體位移的速度，而在上面的例子中，t秒後此物體 已返回原地，所以它的位移為零，平均速度亦為零。因此本研究所指稱的平均速 率是指物體在某段時間，移動了多少距離的比值。

二、速率的直接與間接比較

速率的直接比較是指學生不需要透過數字運算即可判斷二物體開始移動後 是誰先達到終點線（相同距離中比較時間）或是誰移動的距離比較長（相同時間 中比較距離）。也就是說，學生判斷物體移動速率的快慢，可以不受是否為同一 起點、同一時刻的影響，只要根據二物體移動的距離一樣長，或移動的時間一樣 長，就可以直接進行速率快慢之比較。反之，如果須藉由數字的運算與記錄才能 判斷兩物體移動速率的快慢，即是間接比較。Matsuda（2005）提出兒童獲得時 間、距離和速率之相關概念可分為六個發展階段，在「速率」教學之前，學生若 已達高度理解相關概念程度，教師只要再結合適當反饋的反復經驗，便可加速學 生速率相關概念的發展，教師利用這些關聯的概念作為鷹架，學生在學後便能很 容易地理解「速率」的概念。

三、距離和時間與速率之關係

時間和距離是掌握速率的兩個要件，只知道距離不知道時間或只知道時間不 知道距離是不能比較快慢的。距離固定時，物體移動所花費的時間愈少，表示速 率愈快，反之則愈慢。時間固定時，物體移動距離較長，表示速率較快，反之則 較慢。距離和時間的比值就是速率。距離、時間、速率三者間的關係，在國小教 科書中有：「速率＝距離÷時間」、「距離＝速率×時間」及「時間＝距離÷速率」

等三種表示法。一般人習慣以時間為單位求算距離和時間的比，即採用「平均1 秒（分）跑5公尺（公里）」的說法來詮釋每單位時間移動多少距離是平均速率 的概念，而平均速率簡稱為「速率」，即「距離÷時間＝速率」。學生學習由已 知的速率和時間求出距離，或由已知的速率和距離求出時間的問題，必需透過教 學活動配合問題情境讓兒童體驗，亦即教學應以概念為先，以「速率×時間＝距

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離」、「距離÷速率＝時間」的公式來解題為後。

根據Matsuda（2005）研究發現指出，兒童若對時間、距離和速率之關係的 概念學得更好，他們就能夠使用更多的對策解題，因此Matsuda建議教師在速率 單元教學前，應對學生詳細說明時間、距離和速率之間的相關概念，並有效的使 用學生先前的知識，利用相關的概念作為鷹架，採用「速率=距離÷時間」的公 式作為三個概念之代表，再引導速率是單位時間內移動的距離之想法。

另外，學生在解有關「平均速率」的問題時，常將兩段路程的已知速率相加 除以2（蔡子雲，2008）或對速率任意做加減乘除的運算，由於這些都是違反「平 均速率＝總距離÷總時間」定義的迷失概念，因此張祥瑞（2009）的研究結果便 指出，即使是六、七年級的資優生，在平均速率類型的題目解題上亦容易產生困 難或迷思，甚至造成解題失敗。

綜上所述，研究者認為學生如果只是無意義的記憶公式，將會因不理解其原 理而產生概念的混淆而造成學習困擾，最後甚至會因為迷失概念無法獲得澄清產 生學習挫敗，進而逃避學習。因此，針對數學學習落後學生設計補救教學活動時，

在平均速率題型的補救教學前，研究者將先澄清平均速率之意義，再以較具體的 學生生活經驗情境或圖示表徵來幫助學生了解有關平均速率 (例：上、下山求全 程平均速率)的問題，最後以統整歸納的方式讓學生透過真正理解了平均速率的 意涵後自然的記住「平均速率＝總距離÷總時間」的公式。單純以套用公式來解 題或許對正確解題有所幫助，但只知其然卻不知其所以然的公式套用或定理的記 誦，容易阻斷對概念的深入理解，這樣的學習對數學學習落後的學生而言，無法 提供長遠而實質的幫助。

四、秒速、分速和時速之意義

以秒為單位，平均每秒所移動的距離叫做秒速；以分為單位，平均每分鐘所 移動的距離叫做分速；而以時為單位，平均每小時所移動的距離叫做時速。一般 速率的紀錄格式分為「時速是20公里」、「速率是每小時20公里」及「速率是20

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公里/小時」三種，通常我們問兒童時速是多少？兒童若回答20公里是很正常的。

所以我們要問速率是多少？希望兒童能用「時速是20公里」、「速率是每小時20 公里」及「速率是20公里/小時」方式描述。以兒童的認知能力來說，「速率是 20公里/小時」的描述方式需要透過教學活動來指導方能達成（黃怡清，2010）。

鍾靜（2004）指出，教師在數學速率單元的教學時，宜先引導兒童用平均的概念 來列出除法算式，讓兒童察覺除數的單位是秒、分、時，代表的都是時間；被除 數代表的都是距離，單位則是公分、公尺、公里，商則代表速率。而三者之間的 換算和比較，教師要先引導學生找到共同測量單位（秒、分、時）來進行解題。

綜合上述，研究者認為教師教導數學學習落後學生解速率文字題時，除了要 求學生用「時速是20公里」、「速率是每小時20公里」及「速率是20公里/小時」

方式描述每單位時間物體移動的距離並用平均的概念來列出除法算式外，更應時 時提醒學生找到共同測量單位（秒、分、時）來進行速率的單位換算和比較。這 也是研究者在設計及進行補救教學活動時，應謹慎與遵守的教學策略。

五、速率學習的迷思概念（Misconceptions）

迷失概念是指：凡是學生對於某一概念，有不完整的、甚至為偏差或錯誤的 想法或看法皆稱為迷失概念（許榮富、楊文金、洪振方，1990）。本研究指稱的

『速率迷思概念』則指：學生經由紙筆在速率的測驗中所呈現的錯誤類型，而此 錯誤概念為學生本身在學習過程中自行建構而成的，是研究者根據學生紙筆測驗 作答情形加以分類歸納後整理而成的學生解題之思考脈絡。

根據王春奎（2004）研究發現，兒童對速率的迷思概念（Misconceptions）

主要有對速率想法的迷思概念以及判斷運動快慢的迷思概念二種。在兒童判斷運 動快慢的迷思概念方面，學者（鍾聖校，1994）亦發現兒童會依據生活經驗和背 景知識來判斷物體的運動快慢，而不以所記錄的數字（距離遠近、時間長短）來 判斷，甚至若在無法以超越現象作為判斷依據的情境下，有非常高比例的低年級 兒童存有不管任何情境，一律皆以超越現象或誰在前面，作為判斷運動快慢唯一

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依據的迷思概念。甚至有些學生到了中、高年級，仍然有此迷思想法，此迷思想 法確實具有相當嚴重的頑強性及普遍性。陳嘉慧（2007）研究指出，國小高年級 學生在速率相關概念發展上，對「時間與速率」二者的關係最難理解，以致在判 斷速率時，容易將「距離與速率」概念、或「時間與速率」概念互相混淆，造成 邏輯上思考或判斷上的錯誤。

另外鄭以仁（2006）之研究則發現，學生對速率概念的錯誤迷思主要原因有 1.對速率概念的定義不瞭解、2.忽略速率單位的時間變項、3.對速率單位化聚的 觀念不清楚及4.對於平均速率的意義不瞭解等。在速率學習的錯誤類型方面，王

另外鄭以仁（2006）之研究則發現，學生對速率概念的錯誤迷思主要原因有 1.對速率概念的定義不瞭解、2.忽略速率單位的時間變項、3.對速率單位化聚的 觀念不清楚及4.對於平均速率的意義不瞭解等。在速率學習的錯誤類型方面，王