等腰梯形與平行四邊形的邊上或形內一點到四頂點距離和的最大值

等腰梯形與平行四邊形的邊上或形內

一點到四頂點距離和的最大值

21 學系

堆中學

刀口級數

日 U 古同

東5

學

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豐且如白

玫臺

FR

立

-4τ 國 壹、前言 三角形三邊上或形內任一點，到其三頂點距離和的極值，是很熱門且眾所周知，具 高難度或技巧的初等幾何問題。(李政豐、朱敵台、陳昭地 (2014))' 這個極值的存在性， 在稍微高等的分析學中是保證有極值。但存在歸存在，真正求出來還是有些困難，尤其 想利用中學生數學能力範間內的方法找出來應屬難題。 同樣的，對凸四邊形邊上或形內一點到四頂點距離和的最大值或最小值也是被保證 存在的，惟其最小值相對容易求得，國中學生在二、三分鐘利用三角形兩邊之和大於第 三邊，即可知道其最小值是兩條對角線長之和，至於最大值問題一般人可能只敢猜測， 至今尚未看到真正的用初等數學加以詮釋，因其難度應比三角形的情況更難。 為此近半年來，我們花了很大的功夫，從前一篇文章，引進精圓的技術改進，得到 兩種特殊四邊形:等腰梯形、平行四邊形(含短形、菱形)的情況，是可以利用初等數學 的巧思得到簡潔的答案，這就是本文的主要目的。

貳、幾個基本性質

以上所指的四邊形.矩形、等腰梯形、平行四邊形。很自然地以矩形為最簡單，等 腰梯形次之，而平行四邊形難度最高，不過若能有效地解決矩形的困難，或許對平行四 邊形就減輕很大的負擔，後來發現依我們前一篇文章 (2014) 之情境略為改進，就可以解 決等腰梯形的情況，而平行四邊形的情況確實難度頗高，利用前一篇文章 (2014) ，再利 用精圓介入的技巧，底下我們先引進主要的引理: 引理1.設 ABCD 為等腰梯形如圖 (1) ，兩底 AB>CD

'

P 為其內的任一點，則在 AD 上存 在 K 、 M 且 A-K-M-D' 使得 PA+PB = κ4+κB

' PC+PD=MC+MD

' 且在 BC 上 存在 K' 、 M'且 B-K'-M'-C 使得 PA+PB

=K

'A

+K

'B '

PC+PD=M'C+M

'D

*為本文通訊作者

等且要梯形與平行四邊形的邊上或形內一點到四頂點距離和的最大位 國 (1

)

解說:若 P 在等腰梯形的內部 則以 A'B 為焦點且過 P 的精圓交 AD 於 K 交 ， BC 於 K' ，此時 P 比 K' K'略高 且 PA+PB = κA+KB

=K

'A

+K'B

則以 C'D 為焦點且過 P 的精固交 AD 於 M' 交 BC 於 M' ，此時 P 比 M' M'略低 且 PC+PD

=MC+MD=M'C+M

'D

引理 2 設 ABCD 為任意四邊形如圓 (2) ，則對角線長度的和會大於任意一組對邊長度的

和。亦即 AC+BD> BC+AD 且 AC+BD>

AB+CD

D

C

B

國 (2)

解說:因為 EA+ED>AD 且 EB+EC>

BC

( 由三角不等式)，故 EA+ED+EB

+EC> AD+BC

亦即 AC+BD>BC +五五， AC+BD> AB+CD 同理可證

引理 3. 設 ABCD 為平行四邊形 AC>BD ( 此時 L.B= L.

D

>

180

0

) ，將它分割成三個平行四 邊形 ABMN

' NMEF ' FECD

'連接四條對角線FC， AC， AE，

AM

' 如圖 (3 )。則有 不等關條 AC

+AB>CF+AM

。

-科學教育月刊 第 385 期 中華民國 104 年 12 月 D F N A 國 (3) B M C 解說:由 AE

>

AM

,

AB

=

EF

' 則有 AC

+AB=AC+EF>CF+AE>CF+AM

(由引理 2) 。 我們現在開始，就可利用引理來幫助解說下節的主要定理1 。

參、主要結果

定理(1) 如圖 (4) ，設等腰梯形 ABeD 之兩底 AB>CD點， p 為形內任一點，則連接P 與 四頂點的距離和PA+PB+PC+PD

<

AC

+AB+AD 。 圖 (4) 解說:由引理 l 知道當 P 是形內任一點，由精圓的性質在AD 上，存在兩點 K ， M 使得 PA+PB=KA+KB，

PC+PD

=MC刊的，且由下而上是A-K-M-D 過 M 作平行底邊 AB 的平行線交 BC 於 E ，則 PA+PB+PC+PD=

KA +KB +MC+MD

則 AC+

AB+AD

=

AC+AB

+(μ +KM+MD)

=EE+巫 +(μ +KM+MD) (因為天=五百)

等腰梯形與平行四 i是彤的邊上或形內一點到四頂點距離和的最大值 >DE+MB+(似 +KM+MD) ( 由引理 2)

= MC+MB+(KA+KM +MD)

( 因為 DE=MC)

= MC+(MB+KM)+(

“

+MD»

MC+K.B+(創刊m) (三角不等式) =MC+MD+(創 +KB)

=PC+PD+PA+PB

亦即 AC+AB+AD

>

PC+PD+PA+PB

在圖 (4) 中，若 P 的位置在四個頂點，由AB>CD易知

PA+PB+PC+PD

~三 AC+AB+AD 且等號成立之充要條件為P 在 A 或 B 若 P 在等腰梯形邊上但非頂點時PA

+

PB+PC+PD<AC+AB+AD 仍然成立， 如下引; 引理 4. 設等腰梯形 ABCD 之兩底巫〉苔，點 P 為兩腰上任一點，但非頂點，則連接 P 與四頂點的距離和 PA+PB+PC+PD<AC+AB+AD ' 仍然成立 D C A

P

圓 (5) E B 解說:如圖 (5) 設 P 在 AD 上，過 P 作 PE 平行 AB ' 交 BC 於 E 則 PC+PB=PC+AE<AC+PE<AC+AB ( 由引理 2) 故 PC+PB+PA+PD

<

AC+AB+AD

設 P 在 BC 上 ，

PC+PB+PA+PD<AC+AB+AD

' 同理可證 引理 5. 設等腰梯形 ABCD 之兩底 AB>CD' 點 P 在下底 AB 或上底 CD ' 但非頂點，則 連接 P 與四頂點的距離和PC+PB+PA+PD

<

AC+AB+AD 仍成立 證明方法 1 :當點 P 在下底 AB 上 (廠謝審稿教授提供簡潔的邊角關條方法來證明) -

19-科學教育月刊 第 385 期 中華民國 104 年 12 月 D

P

E

M 圖 (6)

c

A D M 圖(7)

P

C

B

(I) 如圖 (6) ，作 CM 平行於 AD ' 若 Pε AM ' 由 P 作 PE 平行於 AD 則 AD+AC

=PE+AC >AE+PC

(由引理 2)

由 APED 是平行四邊形 ， AE 是長對角線 (LA

<

90°)

，可得 PD< 丘， 故 PC+PD

<AE+PC <PE+AC=AD+AC

亦即 PA

+PB+PC+PD

<

AC+ AB+ AD

(2) 如圖 (7) ，當 Pε BM

'

6. CMB 中 ，

PC<max{CM

,

CB}

， 但是 AD=CB=CM ~P

PC

<

AD ' PD

<

BD

=

AC '

故 PC+PD<AD+AC' 亦即 PA+PB+PC+PD

<

AC+AB+ AD

A E B

圖 (8)

當點 P 在上底 CD 上，但非頂點如圖 (8) ，過 P 做 AD 的平行線 PE 交 AB 於 E' 則 PE=AD

'

PEBC 仍然是等腰梯形，故對角線等長 ，

CE=PB '

則 PA+PB=PA+CE<PE+AC=AD+AC (由引理 2) 故 PA+PB+PC+PD

<

AD+ AC+CD

<

AD+ AC+

AB 成立

我們也可由 P 在上底 CD 上的結果，來證明﹒當點P 在下底 AB 上的情形

如圖 (9-1) ，由 O[句 AB~故垂線童足為 X ，由 C 向 AB 做重線童足為 y ，當 P 在 AX 上 ，

PD<AD ' PC<AC

' 故 PA+PB+PC+PD<AD+AC+AB.P 在 BY 上同理可證

等腰梯形與平行四邊形的邊上或形內一點至'1 四頂點距離和的最大值 當 P 在 XY 如圖 (9-2) ，由 P 向 CD 做垂線重足為 Q' 則 PD+PC

=

QX +QY

QX +QY<QA+QB

<

AD+AC

(用到圖(8)

,

P 在上底 CD 上的結果) 故 PA

+PB+PC+PD

<

AD+ AC+ AB

A

D

p

X

圈。一 I)

C Y B

_A

D

X

_P

圖 (9-2)

C

Y

B 證明方法 2

:

(這是以精圓方法一致性的證明) ，如圓 (10-) )設 P 在 AB 上，且在 AB 中垂 線上或左方，兩焦點連線 CD 下方的 CDP 精圓 (C' D 為焦點且過 P 的精圓)是凹口 向上的圓形， p 在精圓上， A 在 P 的左邊，則 A 在精圓外 'D 是精圓的焦點在精 圓內，故 AD 與 CDP 精圓會交在一點 K ，

PC+PD=KC+KD<AK+AC+KD=AC+

AD

( 三角不等式) ，亦即 PC+PB+PA+PD<AC+AB+AD' 若 AB 上的點 p ，在 AB 中垂線上或右方，會用到 BC 與 CDP 楠圓的交點 K' ，同理可證。 A

P

圖 (10-[

)

B 圖([

0-2)

如圖 (10一月，當 P 在 CD 上，且在 CD 中垂線右方，焦點連線AB 上方的 ABP 精圓

(A'

B 為焦點且過 P 的精圓)是凹口向下的闡形，p 在 ABP 橋圓上， C 在 P 點的右 方，故 C 在 ABP 精圓之外 'B 在精圓內，故 CB 與 ABP 楠圓一定會交在一點M'

PA+PB

=

M

'B

+M

'B <

AC+CB

' 故 P

A

+

PB+ PC

+

PD

<

A

C

+

CB

+

CD

<

A

C

+

AD

+

AB

21

-科學教育月刊 第 385 期 中華民國 104 年 12 月 若 CD 上的點 p ，在 CD 中重線左方，會用到 AD 與 ABPi懦圓的交點 M ，同理可證。 綜合以上我們得到定理 (2) 定理 (2) 設等腰梯形 ABCD 之兩底 AB>CD ， 點 P 為四邊或形內任一點，則連接 P 與四 頂點的距離和 PA+PB+PC+PD 的最大值為 AC+AB+AD ' 且有最大值時 P 在 A 點或 B 點。 接著我們來討論平行四邊形:平行四邊形的圓形有兩類 :ζA 是銳角，或 LA 是鈍角， 如下圖: A

D

CI

I D

B

I

I

A

C

B

不失一般性，我們只討論 LA 是銳角的情形，因此貫穿本文的平行四邊形都是對角線 AC>BD 的情形。 底下在討論平行四邊形之前，我們先介紹引理 6. 引理 7 。 引理 6. 設平行四邊形 ABCD 之兩對角線 AC>BD' 點 P 在 AD ， 或 P 在 AB 上，但非頂點， 則連接 P 與四頂點的臣離和 PA

+

PB+PC

+

PD<AC

+

AB

+

AD

解說:如圖 (11) ，設 P 在 AD 上則 PC+PB

<

PC+ AE

<

AC+PE

=

AC+ AB

( 由 AC>BD 可得 PB<AE ， 由引理 2. PC+AE<AC+PE) ， 故 PC+PB+PC+PD

<

AC+AB+AD

設在 P AB 上 ， PC+PB+PC+PD<AC+AB+AD同理可證 C A 圖 (I

1)

B 引理 7. 設平行四邊形 ABeD 之兩對角線 AC>BD ' 如圖 (12) 點 P 是平行四邊形的頂點

(1) 當 P=A 或 C 時 PC+PB+PA+PD

=

AC+AB+AD

等腰梯形與平行四邊形的邊上或形內一點到四頂點距離和的最大值

A

D

國(

12)

B

C

解說: (I) 當 P=A 時 ，

PC+PB+PA+PD=AC+AB+AD

同理當 P=C 時 ，

PC+PB+PA+PD=AC+AB+AD

(2) 當 P=B 時 ，

PC+PB+PA+PD=AB+BC+BD

<

AB+AD+AC

同理當 P=D 時不等式也成立 符號說明(如圓 13-1)

:

CDB 精圓:以 C ， D 為兩焦點且通過 B 點的精圓。 ABD 橋圓:以 A'B 為兩焦點且通過 D 點的精圓。 平行四邊形 ABCD: 當 AC>BD 不成立，則讓圖形左右翻轉，以滿足上面情形。

C

圖 (13-1

)

我們按照 P 點在平行四邊形 ABCD 內部的位置，分成三類: 第一類:如闆(1 3-1)

,

P 點在平行四邊形 ABCD' CDB 精圓， ABD 橋圓的交集內部， 不論 P 點移動到這三者交集內的任一點， ABP 橋圓、 CDP 精圓都會與左邊 AD 交在人 M 點，與右邊 BC 交在 K'， M' 點。

解說: (I) 以 C ， D 為焦點的精圓 COB 與 CDA 相比較， CDB 的長軸(定常和)較短

-科學教育月刊 第 385 期 中攀民國 104 年 12 月

(2) 以 A'B 為焦點的精圓 ABC 與 ABO 相比較， ABO 的長軸(定常和)較短 (3) 當 P 在平行四邊形 ABCD' 精圓 COB ，精圓 ABO ，三者的內部

(4) 精圓 COP 包含在精圓 COB 裡面，精圓 ABP 包含在精圓 ABO 裡面

(5) 由 (2) ， C 在精圓 ABO 外面，由 (4) ， C 在精圓 ABP 外面，而 B 在精圓 ABP 裡 面，故 BC 會與精圓 ABP 交在 K' ，由(4) ，精圓 ABP 包含在精圓 ABO 裡面，

AD 與精圓 ABP 會交在一點 K

(6) 由 (I)

,

A 在精圓 COB 外面，由 (4)

,

A 在精圓 COP 外面而 D 在精圓 COP 裡面，故 AD 會與精圓 CDP 交在 M' 由 (4) 精圓 CDP 包含在楠圓 COB 裡 面 ， BC 與精圓 COP 會交在一點 M' (7) 因此 ABP 精圓、 CDP 精圓都會與左邊 AD 交在 K'M 點，與右邊 BC 交在 K'， M' 點。 第二類:但是當 P 點移動到平行四邊形 ABCD 內且在 ABO 精圓之外時，如圖 (13-2)

,

ABP 精圓、 COP 精圓只會與左邊 AD 交在 M 點，與右邊 BC 交在 K'， M' 點。 解說:

(I)

P 在 ABD 楠圓之外，ABO 精圓包在 ABP 精圓中，因此 AD 與 ABP 精圓沒交

點，但 C 在 ABPi慵圓外面 'B 在 ABP 橋圓裡面，故 ABP 楠圓與 BC 會交 在一點 K'

(2)

COP 精圓包在 COB 精圓之內 'A 在 COB 楠圍之外，則必然在 COP 精圓之 外，故 CDP 楠圓會與 BC 交在 M' ，與 AD 交在 M

(3) 故 ABP 精圓、 COP 精圓只會與左邊 AD 交在 M 點，與右邊 BC 交在 K'， M' 點。

C

等且要梯形與平行四邊彤的邊上或形內一點到四頂點距離和的最大值

第三類:而當 P 點移動到平行四邊形 ABCD 內且在 CDBi時圓之外時，如圖 (J3-3)'

ABP

精圓、 CDP 精圓會與左邊 AD 交在 K ， M 點，與右邊 BC 只交在 K' 點。

解說:

(J)

P 在 CDB 精圓之外， CDB 精圓包在 COP 精圓中，因此 BC 與 COP 楠圓沒 交點，但 A 在 CDP 精圈外面， 0 在 CDP 楠圓裡面，故 COP 楷圓與 AD 會 交在一點 Mo

(2)

ABP 椅圓包在 ABD 精圓之內 'C 在 ABD 楠固之外，則必然在 ABP 楠圓 之外，故 ABP 楠圓會與 BC 交在 K' ，與 AD 交在 K 。 (3) 故 ABP 橋圓、 CDP 楷圓會與左邊 AD 交在 K ， M 點，與右邊 BC 只交在 K' 點。 圖 (13-3) 觀察以上三個間，圖 (13-1 )、圖 (13-2) 、圖 (13-3) ，我們知道，當 P 點在平行四邊形 ABCD 內或邊上移動， ABP 精圓、 CDP 楠圓一定會與左邊 AD 在兩點 K 、 M' 或與右邊 BC 交在 兩點 K'， M' ，兩者至少有一成立。於是在此前提下，遂有定理 (3) 的產生。 定理 (3) 設平行四邊形 ABCD 之兩對角線 AC>BD ， 點 P 是平行四邊形形內或四邊上一 點，則有下列不等式成立 PC+PB+PA+PD 三 AB+AD+AC 解說:第一種情形 :ABP 橋圓、 CDP 精圓與左邊 AD 交在兩點 K ， M

如圖 (14-1) ，經由 Grogebra 的動態模擬，知道 ABP 精圓會與 AD 交在 K 點， COP 棺圓會與 AD 交在 M 點。此時 PC+PD

=

MC+MD

,

PA+ PB

=

KA+KB

如圖 (14-2) ，過 K ， M 分別作 AB 的平行線分別交BC 於 S ， T 0 連 AC， AT， AS

則有 AT>

AS> KB ...

...(甲)

-科學教育月刊 第 385 期 中華民國 104 年 12 月

圓 (14-1 )圖(

14-2)

AB+AC+ AD

=

(MT+AC)+AD

>

(MC+AT)+ AD

( 引理 2) =(MC+AT)+(MD+μ +MK) >(MC+KB)+(MD+叫 +MK) 由(甲) =(MC+MD)+(μ+ 血 )+MK

=PC+PD+PA+PB+MK

>PC+PD+PA+PB

也可直接利用引理3. 如圖 (14-2)

(AB+AC)+AD =(MC+AS)+AD

>

(MC+KB)+ AD

=(MC+KB)+仰的+創刊在)

=PC+PD+PA+PB+MK

>PC+PD+PA+PB

第二種情形 :ABP 橋圓、 COP 精圓與右邊 BC 交在兩點 K'， M' 如圓 (15-1) ，經由 Grogebra 的動態模擬，知道 ABP 楠圓會與 BC 交在 K' 點 'CDP 精團會與 BC 交在 M' 點。此時 PC+PD=M'C+M'D

'

PA+PB

=K

'A

+K

'B

如圖(1 5-2) ，過 K'， M' 分別做 AB 的平行線分別交 AD 於 X ， Y 。連 AC， AM' ， YC 。 則有 YC> M 'D 且 M治>K河 (乙)

AB+AC+AD

=

(YM' +AC)+AD

>

(YC+M

'A

)+BC

( 引理 2) >(M'D +K注)

+

(K'B

+

K'M'

+

M e) 由(乙)

=(M

'D

+

M'C)

+

(K

'A

+

K~的 +K'M' >(M'D +M亡)

+

(K

'A

+

K'B)

=PC+PD+PA+PB

等且要梯形與平行四邊形的邊上或形內一點到四頂點距離和的最大值

圈 (15-1

)

或直接由引理 3

圖 (15-2)

(AB+AC)+AD =(YC+K' A)+AD

>

(YC+K' A)+BC

>(M

'D

+

K

'A)

+

(K'B

+

K'M'

+

M'C)

=(M'D+M'C)+(K'A+K'B+K'M')

> (M'D+M'C)+(K' A+K'B)

=PC+PD+PA+PB

綜合兩種情形，經由 Geogebra 軟體繪圖檢驗(見附錄)，平行四邊形 ABCD 之兩對角線 AC>BD ， 點 P 是形內或邊上一點，則不論是第一種情形或第二種情形都有下列 不等式成立 PC+PB+PA+PD三 AB+AD+AC 綜合引理 6. 引理 7. 及定理(3) .我們得到下面的定理(4) 定理 (4) 圖 (15-2)' 設平行四邊形 ABCD 之兩對角線 AC>BD· 點 P 是邊上或形內一點， 則 PC+PB+PA+PD的最大值是半周長加上較長的對角線長，且P 在 A 點或 C 點時產生最大值。 此外菱形是對角線互相重直平分(或四邊相等)的平行四邊形，而短形是對角線等長的平 行四邊形，為定理(4) 的直接推論。 定理 (5) 如圖 (16) ，菱形 ABCD ，對角線 AC>BD' 且 AC 垂直平分 BD • 點 P 是邊上或 形內一點，則 PC+PB+PA+PD的最大值是半周長加上較長的對角線長，且P 在 A 點或 C 點時產生最大值。 27

-科學教育月刊 第 385 期 中華民國 104 年 12 月

D

A

國(

16)

C

P

圖(

17)

定理 (6) 如圖 (17) ，矩形 ABeD ，對角線 AC=BD ' 點 P 是邊上或形內一點則 PC+PB+PA+PD 的最大值是半周長加上一條對角線長，且 P 在四個頂點時產 生最大值。 肆、結語 上述的解題技巧是融合綜合幾何與解析幾何中精圓的概念，也是本文延伸前文最特 別的解題技巧，引理 (5) 的證明方法 1 ，就是用綜合幾何的方法，證明方法 2 是用精圓概念 的證法，希望由精圓的引人，能大量增廣初等數學的解題方法。 至於不等腰梯形與萬形甚至於任意凸四邊形，是否有類似上述的結果?我們想籍由 相同或進一步的手法，呼朋引伴，招兵買馬，來加人後績的研究。

參考文獻

李政豐、朱敵台、陳昭地 (2014). 三角形的三個最大值定理的迴響科學教育月刊 367 期 (pp ， 24-34). 臺北市﹒國立臺灣師範大學科學教育中心

等且要梯形與平行四邊彤的邊上或形內一點至I) 四頂點距離和的最大值

附錄

(I) 等腰梯形的四種情形:依照 P 點所在的位置來區分 附錄圖 l 的兩個精固與 AD 交在 M ， K 兩點，與 BC 交在 M'， K' 兩點 附錄圈 3. 的兩個精圖與 AD 交在 M ， K 兩點，與 BC 交在 M'， K' 兩點 附錄圈 2. 的兩個精團與 AD 交在 M ， K 兩點，與 BC 交在 M'， K' 兩點 附錄國 4. 的兩個欄圖與 AD 交在 M ， K 兩點，與 BC 交在 M'， K' 兩點 (2) 平行四邊形的四種情形:依照 P 點所在的位置來區分

C

A 附錄圖 5. 的兩個欄圓與 AD 交在 M ， K 兩點，與 BC 交在 M'， K' 兩點 29 -附錄圈 6. 的兩個楠圓與 AD 交在 M ， K 兩點，與 BC 交在 K' 一點

科學教育月刊 第 385 期 中華民國 104 年 12 月 C A 附錄圖 7 的兩個精圖與 AD 交在 M 一 點，與 BC 交在 M'， K' 兩點 附錄圖 8 的兩個棉圓與 AD 交在 M ， K 兩點，與 BC 交在 M'， K' 兩點 (3) 菱形的四種情形﹒依照 P 點所在的位置來區分 A C 附錄國 9. 的兩個精圓與 AD 交在 M ， K 兩點，與 BC 交在 M'， K' 兩點 附錄國 10. 的兩個精圓與 AD 交在 M ， K 兩 點，與 BC 交在 K' 一點 M M' C 附錄圖 I\. 的兩個精圖與 AD 交在 M 一點，與 BC 交在 M'， K' 兩點 附錄圖 12 的兩個精團與 AD 交在 M ， K 兩 點，與 BC 交在 M'， K' 兩點

等腰梯形與平行四邊形的邊上或形內一點至IJ 四頂點距離和的最大值 (4) 短形的兩種情形:依照 P 點所在的位置來區分 附錄圓 13 的兩個欄圓與 AD 交在 M ， K 兩點，與 BC 交在 M'， K' 兩點

31

-附錄圈 14. 的兩個精圓與 AD 交在 M ， K 兩點，與 BC 交在 M'， K' 兩點