《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（基础）
【巩固练习】 一、选择题 1．（2016•沈阳）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则 BC 的长是（ ） A． B．4 C．8 D．4 2．（2015•抚顺县四模）等腰三角形底边与底边上的高的比是 2： ，则顶角为（ ） A．60° B． 90° C． 120° D． 150° 3．如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝4
5
，BC＝10，则 AB 的值是( )． A．3 B．6 C．8 D．9 第 1 题图 第 3 题图 第 4 题图4．如图所示，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB，
cos
3
5
A
， tan∠DBE 的值是( )． A.1
2
B.2 C.5
2
D.5
5
5．如图所示，在四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，若 EF＝2，BC＝5，CD＝3，则 tan C 等于( )． A．
3
4
B．4
3
C．3
5
D．4
5
第 5 题图 第 7 题图 6．已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin
3
2
B
，则 cosA 的值为（ ）． A．1
2
B．2
2
C．3
2
D．3
3
7．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5 米，那么这两树 在坡面上的距离 AB 为( )． A．5cosα米 B．5
cos
米 C．5sin
米 D．5
sin
米8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是 1:2，则等腰三角形顶角的度数为（ ）． A．30° B．50° C．60°或 120° D．30°或 150° 二、填空题 9．计算： 1 0
1
| 2
3 tan 45 | ( 2 1.41)
3
°
________．10．如图所示，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高 AD＝4，
cos
4
5
B
，则 AC＝________． 11．如图所示，将以 A 为直角顶点的等腰直角三角形 ABC 沿直线 BC 平移得到△
A B C
，使点B
与 C 重合， 连接A B
，则 tan∠A BC
的值为________． 第 10 题图 第 11 题图 第 12 题图 12．如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离 AC＝3 米，cos
3
4
BAC
，则梯子 长 AB＝_______米． 13.如图所示，已知正方形 ABCD 的边长为 2，如果将线段 BD 绕着点 B 旋转后，点 D 落在 CB 的延长线上的D
处，那么 tan∠BAD′等于________． 第 13 题图 第 15 题图14．一次函数经过(tan 45°，tan 60°)和(-cos 60°，-6tan30°)，则此一次函数的解析式为________． 15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边的中线，AC＝6，CD＝5，则
sinA 等于________． 16．（2016•自贡）如图，在边长相同的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些 小正方形的顶点上，AB，CD 相交于点 P，则 的值= ，tan∠APD 的值= ． 三、解答题 17. （2015•沛县二模）如图是某市一座人行过街天桥，天桥高 CB=5 米，斜坡 AC 的坡度为 1：1，为了方 便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的傾斜角为 30°．若新坡脚前需留 3m 的人行道， 问离原坡脚 A 处 7m 的建筑物 M 是否需要拆除，请说明理由． （ ≈1.73）
18．如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接 AC． (1)求 tan∠ACB 的值； (2)若 M、N 分别是 AB、DC 的中点，连接 MN，求线段 MN 的长． 19．如图所示，点 E、C 在 BF 上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°． (1)求证：AB＝DE； (2)若 AC 交 DE 于 M，且 AB＝
3
，ME＝2
，将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转，使点 E 旋转到 AB 上的 G 处，求旋转角∠ECG 的度数．20. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，点 C 在 BA 的延长线上，直线 CD 与⊙O 相切于点 D，弦 DF⊥AB 于点 E， 线段 CD＝10，连接 BD．
(1)求证：∠CDE＝2∠B；
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】D.
【解析】∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，cosB= ，即cos30°= ， ∴BC=8× =4 ；故选：D． 2．【答案】A； 【解析】如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥CB 于 D， 依题意得 CD：AD=1： = ：3， 而 tan∠DAC=CD：AD， ∴tan∠DAC= ：3， ∴∠DAC=30°， ∴顶角∠BAC=60°． 3.【答案】B；
【解析】因为 AD＝DC，所以∠DAC＝∠DCA，又∵ AD∥BC，∴ ∠DAC＝∠ACB， 所以∠DCA＝∠ACB．在 Rt△ACB 中，AC＝BC·cos∠BCA＝
10
4
8
5
，则AB
BC
2
AC
2
6
． 4.【答案】B；【解析】∵DE⊥AB，∴在 Rt△ADE 中，cosA＝
3
5
．∴设 AD＝5k，则 AE＝3k，DE＝4k，又 AD＝AB， ∴BE＝2k， ∴tan∠DBE＝
4
2
2
DE
k
BE
k
． 5.【答案】B； 【解析】如图所示，连结 BD，由三角形中位线定理得 BD＝2EF＝2×2＝4，又 BC＝5，CD＝3， ∴ CD2 +BD2 ＝BC2 ．∴ △BDC 是直角三角形．且∠BDC＝90°，∴tan
4
3
BD
C
CD
． 6.【答案】C； 【解析】∵sin
3
2
B
，∴ ∠B＝60°，∠A＝90°－60°＝30°， ∴cos
3
2
A
． 7．【答案】B；【解析】由上图知
ABC
，在 Rt△ABC 中，BC
cos
AB
．∴5
cos
AB
． 8．【答案】D；【解析】有两种情况：当∠A 为锐角时，如图(1)，sin A＝
1
2
，∠A＝30°； 当∠A 为钝角时，如图(2)，sin(180°－∠BAC)＝1
2
，180°－∠BAC＝30°，∠BAC＝150°． 二、填空题 9．【答案】2
3
； 【解析】原式＝3 | 2
3 | 1 4 2
3 2
3
． 10．【答案】5； 【解析】在 Rt△ABC 中，．AD⊥BC，所以∠CAD＝∠B． ∴AD
cos
CAD
cos
B
AC
，∴4
5
AD
AC
， 又∵ AD＝4，∴AC＝5．． 11．【答案】1
3
； 【解析】过A
作A D BC
于点 D，在 Rt△A B D
中，设A D x
，则B D x
，BC=2x,BD=3x. 12．【答案】4 ； 【解析】由cos
3
4
AC
BAC
AB
，知3
3
4
AB
，AB＝4 米． 13．【答案】2
； 【解析】由题意知BD BD
2 2
．在 Rt△ABD′中，tan
2 2
2
2
BD
BAD
AB
． 14．【答案】y
2 3
x
3
；【解析】tan 45°＝1, tan60°＝
3
，-cos60°＝1
2
，-6tan30°＝
2 3
． 设 y＝kx+b 经过点(1, 3)
、1 , 2 3
2
，则用待定系数法可求出k
2 3
，b
3
． 15．【答案】4
5
； 【解析】∵CD 是 Rt△ABC 斜边上的中线，∴AB＝2CD＝2×5＝10，BC＝
AB
2
AC
2
10 6
2
2
8
， ∴sin
8
4
10 5
BC
A
AB
． 16.【答案】3，2． 【解析】解：∵四边形BCED 是正方形， ∴DB∥AC， ∴△DBP∽△CAP， ∴ = =3， 连接BE， ∵四边形BCED 是正方形， ∴DF=CF= CD，BF= BE，CD=BE，BE⊥CD， ∴BF=CF， 根据题意得：AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP， ∴DP：CP=BD：AC=1：3， ∴DP：DF=1：2， ∴DP=PF= CF= BF， 在Rt△PBF 中，tan∠BPF= =2， ∵∠APD=∠BPF， ∴tan∠APD=2， 三、解答题 17.【答案与解析】 解：在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BC=5， ∵i=1：1，∴AB=5， 在 Rt△DBC 中，∠DBC=90°，∠CDB=30°，BC=5， tan30°= ， ∴ = ， 解得 DB= =5×1.73≈8.65， ∵BM=7+5=12，BD≈8.65， ∴12﹣8.65＞3， 所以，离原坡脚 7m 的建筑物无需拆除． 18.【答案与解析】 (1)如图所示，作 AE⊥BC 于 E， 则 BE＝AB·cos B＝8cos 60°＝8
1
4
2
．AE＝AB·sin B＝8sin 60°＝
8
3
4 3
2
． ∴EC＝BC－BE＝12—4＝8． ∴在 Rt△ACE 中，tan∠ACB＝4 3
3
8
2
AE
EC
(2)作 DF⊥BC 于 F，则 AE∥DF，∵ AD∥EF，∴ 四边形 AEFD 是矩形．AD＝EF． ∵ AB＝DC，∴ ∠B＝∠DCF． 又∵∠AEB＝∠DFC＝90°，∴△ABE△≌△DCF(AAS)． ∴FC＝BE＝4，∴EF＝BC－BE—FC＝4．∴AD＝4． ∴MN＝
1
2
(AD+BC)＝1
2
×(4+12)＝8． 19.【答案与解析】 (1)证明：∵BE＝FC，∴BC＝EF． 又∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D， ∴△ABC≌△DEF．∴AB＝DE． (2)解：∵∠DEF＝∠B＝45°，∴DE∥AB． ∴∠CME＝∠A＝90°．∴AC＝AB＝
3
，MC＝ME＝2
．∴CG＝CE＝2．在 Rt△CAG 中，
cos
3
2
AC
ACG
CG
，∴∠ACG＝30°． ∴∠ECG＝∠ACB－∠ACB＝45°－30°＝15°． 20.【答案与解析】 (1)连接 OD，∵直线 CD 与⊙O 相切于点 D， ∴OD⊥CD，∴∠CD0＝90°，∴∠CDE+∠ODE＝90°． 又∵DF⊥AB，∴∠DEO＝∠DEC＝90°，∴∠EOD+∠ODE＝90°． ∴∠CDE＝∠EOD．又∵∠EOD＝2∠B； ∴∠CDE＝2∠B．(2)连接 AD．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°． ∵BD:AB＝
