國中數學2 2 2二元一次方程式的圖形

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2−2 二元一次方程式的圖形

一、二元一次方程式解的圖形: ◎描點法:把二元一次方程式的解描在坐標平面上,所形成的圖形就稱為此二元一次方程式的圖形。 【說明】(1)已知一個二元一次方程式的解有無限多組,可以將這些解用數對(x , y)的形式來表示。 例如:x=2、y=1 是 3x-5y=1 的一組解,可以用數對(2 , 1)來表示。 (2)用數對(x , y)的形式來表示二元一次方程式的解時,可以把這個數對當成一個坐標,然後 在坐標平面上標出這坐標所對應的點。按照這種方式,每個二元一次方程式的解都可以 在坐標平面上找到一個點與它對應。 ◎二元一次方程式解的圖形: (1)每個二元一次方程式的圖形都是一條直線,直線上的每個點都是此方程式的一組解。 (2)找出二元一次方程式的兩組解,把它們描在坐標平面上,通過這兩點的直線就是這個二元一次 方程式的圖形。 二、二元一次方程式圖形的畫法: ◎畫出二元一次方程式的圖形:先在坐標平面上描出方程式的兩組解,再把這兩點用直線連接起來。 練習1:在坐標平面上畫出方程式 x-2y=-2 的圖形。 練習2:在坐標平面上畫出方程式 2x+y=-4 的圖形。 【觀念釐清】要求方程式的圖形與兩軸的交點時,可用 x=0、y=0 分別代入。 練習3:求方程式 2x+5y=10 的圖形與 x 軸、y 軸的交點坐標,並畫出此方程式的圖形。 練習4:求方程式 3x+4y-12=0 的圖形與 x 軸、y 軸的交點坐標,並畫出此方程式的圖形。

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練習5:方程式 5x-4y=-10 的圖形不通過哪一象限?(Hint:作圖或利用象限的正負符號規則判斷) 練習6:方程式 x+2y=-3 的圖形不通過哪一象限? ◎畫出 x=m 或 y=n 的圖形: (1)方程式 x=m 的圖形是一條垂直 x 軸的直線,且 x=m 的圖形上任一點的 x 坐標皆為 m。(鉛垂線) (2)方程式 y=n 的圖形是一條垂直 y 軸的直線,且 y=n 的圖形上任一點的 y 坐標皆為 n。(水平線) (3) 方程式 x=0 的圖形就是 y 軸;方程式 y=0 的圖形就是 x 軸。 練習7:在坐標平面上畫出 x=-2 與 y=-3 的圖形。 練習8:在坐標平面上畫出 x= 73 與 y=- 52 的圖形。 ◎由圖形求二元一次方程式:(過已知點求二元一次方程式) 二元一次方程式的解必在其圖形上;二元一次方程式圖形上的任一點必為其解。 練習9:如果方程式 2x+by=-1 的直線通過點 P(2 , -1),則 b 的值是多少? 練習10:如果 Q(-1 ,-2)在方程式 ax-3y=8 的圖形上,則 a 的值是多少?

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【觀念釐清】(1)若方程式 ax+by=c 的圖形通過原點,則 c 的值一定是 0。(常數項為 0)

(2)因為(0 , 0)是方程式 ax+by=0 的解,所以 ax+by=0 的圖形是一條通過原點的直線。

練習11:檢驗下列哪些方程式的圖形會通過原點。

(1) y=3x+1 (2) y=4x (3) x=- 13 y+1 (4) x=-3y (5) 2x+y=0

練習12:下圖為歐洲各主要城市的坐標,如果某架飛機的飛行路線為 y=ax+b,已知此飛機會從 倫敦(-2 , 1)和巴黎(-1 , 0)兩個城市的上空經過,則 (1)此飛機的飛行路線方程式為何? (2)若羅馬(1 , n)也在此飛機的飛行路線上,則 n=? (4 , -1) (1 , n) (0 , 0) (-1 , 0) (-2 , 1) 練習13:鹿港小鎮是臺灣歷史悠久的文化古鎮。如果鹿港八景中的三景「曲巷冬晴」九曲巷(0 , 3)、 「寶殿篆煙」天后宮(-3 , 12)及「書院懷古」文開書院(2 , t)都在同一條直線道路 y=ax+b 上,則 a、b、t 的值分別為多少?

【觀念釐清】二元一次方程式 ax+by=c 的圖形:已知方程式 ax+by=c 中,a、b 皆不為 0,則 (1)若 c≠0,則圖形為不通過原點的直線。(斜直線) (2)若 c=0,則圖形為通過原點的直線。 三、二元一次聯立方程式的圖形:(探討二元一次聯立方程式在坐標平面上的圖形與其解的關係) (1)兩條直線交於一點:兩直線的聯立方程式恰有一組解,此交點坐標即為此聯立方程式的解。 例如: ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧y=-2x x+3y=10的圖形為兩條相交於一點的直線,如下圖左。 (2)兩條直線重合:兩直線的聯立方程式有無限多組解。 例如: ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x-y=3 2x-2y=6的圖形為兩重合的直線,如下圖中。 (3)兩條直線平行:兩直線的聯立方程式無解。 例如: ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x-y=3 2x-2y=4的圖形為兩平行的直線,如下圖右。

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O y x (-2 , 4) (0 , 0) (1 , 3) L M (1 ,-2) 1 1 (4 , 2) 1 1 O y x (3 , 0) (0 ,-3) L M O 1 y x (3 , 0) L M (0 ,-3) (2 , 0) (0 ,-2) 1 【觀念釐清】二元一次聯立方程式的解=兩個二元一次方程式的圖形的交點坐標。 練習14:在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧4x=3y x+3y=10的圖形,並求出其交點坐標。 練習15:在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧y=-x+6 x+2y=8 的圖形,並求出其交點坐標。 練習16:在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧3x+y=6 3x-y=-6的圖形,並回答下列問題: (1)求出其交點坐標。 (2)求出這兩個二元一次方程式的圖形與 x 軸所圍成區域的面積。

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練習17:在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 2 0 2 12 x y x y + = ⎧ ⎨ + = ⎩ 的圖形,並回答下列問題: (1)求出其交點坐標。 (2)求出這兩個二元一次方程式的圖形與 y 軸所圍成區域的面積。 練習18:在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x-y=3 2x-2y=6的圖形。 練習19:在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧2x+3y=-1 6x+9y=-3的圖形。 練習20:在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x-y=3 2x-2y=4的圖形。

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練習21:在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧-x+3y=7 2x-6y=-10的圖形。 ◎補充:二元一次聯立方程式解的幾何意義: 二元一次聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2 中,各種解的圖形之判斷方法: (1)若 a1 a2≠ b1 b2,則此聯立方程式恰有一組解,即兩條直線交於一點。 (2)若 a1 a2= b1 b2= c1 c2,則此聯立方程式有無限多組解,即兩條直線必重合。 (3)若 a1 a2= b1 b2≠ c1 c2,則此聯立方程式無解,即兩條直線必不相交(互相平行)。 【觀念釐清】只考慮係數比,即可判斷(1)二元一次聯立方程式解的情形,(2)兩直線的相交情形。 自我評量 1. 在坐標平面上畫出下列各方程式的圖形:(1) x+2y=0;(2) y=- 13 x+1。 2. 在坐標平面上畫出下列各聯立方程式的圖形:(1) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧2y+6=0 x-y=4 ;(2) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧3x+2y=6 1 2 x=1- 1 3 y3. 方程式 y=ax+b 的直線通過(-1 , 10)及(-7 , 4),則 a、b 的值分別為何?

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4. 判斷下列哪些二元一次方程式的圖形會通過原點。

(A) 3x+5y=7 (B) x-2y=0 (C) x=-5y+5 (D) y= 13 x (E) x+3=0 (F) -x+3y=11。

5. 在坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧5x+2y=10 4x+y=8 的圖形,並回答下列問題: (1)求出其交點坐標。 (2)求出這兩個二元一次方程式的圖形與 y 軸所圍成區域的面積。 習作 1. 在坐標平面上畫出下列各二元一次方程式的圖形。

(1) x+2y=0 (2) 2x=3y (3) 2x-3y+6=0 (4) 2 +x 3 =1 (5) 3x=-9 (6) 2y=5。 y

2. 下列哪些點在直線 y=-4 上? 哪些點在直線 x=1 上?

(-1 , -4) (1 , 2) (-4 , 0) (1 , -4) (12 , -4) (1 , -0.2) (1 , 13 ) (0 , 1)

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4. 小文班上 36 位同學依座號排成 6 列的隊伍,班長的座號為 20 號, 以班長為原點;小文的座號為35 號,坐標用(3 , -2)表示。 (1)小正的座號是 4 號,他的坐標為何? (2)若座號 1 到 6 號這六位同學手拉手連成一條直線,則這條直線 方程式為何? 5. 如右圖,長方形 ABCD 的長為 6 單位、寬為 4 單位,已知 A 點坐標為(-2 , 3),且 AB 與 x 軸垂直, (1)分別寫出 B、C、D 三點的坐標。 (2)寫出通過 A、B 兩點的直線方程式。 (3)若過 B、D 兩點的直線為 y=ax+b,求出直線 BD 的方程式。 (4)檢驗直線 BD 有沒有通過原點。 6. 畫出下列各二元一次聯立方程式的圖形,並求出其交點坐標。 (1)

{

4x+3y=20 3x-2y=-2 (2)

{

2x-y=5 y=2x 7. 坐標平面上有三點 A(2 , 0)、B(4 , -6)、C(k , 1-2k),若 A、B、C 三點共線,則 k=? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 A D O B C x (-2 , 3) y

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x y O L1 L2 A(0 , 4) B C 8. 右圖是二元一次聯立方程式

{

4x+3y=a 4x-by=-12 的圖形,兩直線的交點為 A(0 , 4)。 (1)求出 a、b 之值。 (2)若 L1、L2與 x 軸分別交於 B、C 兩點,則三角形 ABC 的面積為多少? 類題補充 1. 已知兩直線 L1:2x-y=5、L2:x+3y=6,則 (1) L1、L2的交點坐標 A 為 。 (2) L1與 x 軸的交點坐標 B 為 ;L2與 x 軸的交點坐標 C 為 。 (3)三角形 ABC 的面積為 。 2. 設方程式為 y=ax+b 的直線通過(2 , 3)及(-4 , -6),則 (1)寫出直線 L 的方程式。 (2)直線 L 是否會通過原點? 3. 下列哪一個直線方程式的圖形不通過第四象限?

(A) 2x+3y=0 (B) x+y=-2 (C) x-5y=-5 (D) x=2。

4. 關於聯立方程式 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧kx+y=k-1 x+ky=k 在直角坐標平面上表示的圖形,下列選項何者正確? (A)當 k=-1 時,兩條直線重合 (B)當 k=1 時,兩條直線相交於一點 (C)當 k=0 時,兩條直線相交於一點 (D)當 k=0 時,兩條直線互相平行

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5. 若直線 L 上任一點的坐標為(3a+1 , 2a-1),則 L 的方程式為何?

6. 已知 P 點在第二象限且落在直線 3x-y=-5 上,若 P 至 x 軸的距離是至 y 軸距離的兩倍,則 P 點 坐標為 。

7. 如下圖,直線 3y-2x=9 與 y 軸的交點為 A,點 C、E 在直線 3y-2x=9 上,¯ AB 、 ¯ CD 平行 x 軸, ¯ BC 、¯ DE 平行 y 軸,且¯ AB =3、¯ DE =3,則¯ BC 與 ¯ CD 長度之和為 。 3 3 E D B C A O x y 3y-2x=9

8. 若坐標平面上的相異三條直線 L1:y=2x-4、L2:x=3、L3:ax+2y=16 相交於一點,則 a=?

9. 通過(4 , 17)之直線(a-3)x-y=-1 與另一直線(b+9)x+(c-2)y+2=0 重合,則 2ab+c=?

10. 如下圖,直線 L1、L2、L3分別為方程式 y=x+a、y=-x+b、y=c 的圖形,下列有關 a、b、c 大小

關係的敘述何者正確? (A) a>b>c (B) b>a>c (C) b>c>a (D) a>c>b。

O x y L 1:y=x+a L3:y=c L2:y=-x+b

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11. 若(2a , 1)、(1 , b)、(c , 3)三點都在直線-x+2y=5 上,則 a+b+c 之值為 。

12. 已知 A(2a+8b-1 ,-3)與 B(2b-1 , a+b)在坐標平面上為相異兩點,且兩點均在直線 x=-2 上, 則 A、B 兩點的距離為 個單位長。

13. 直角坐標平面上,直線 x+2=0 與 y=ax+6 的交點在 x 軸上,則 a= 。

14. 若四直線 L1:y=ax、L2:y=bx、L3:y=cx、L4:y=dx 中,x 的一次項係數

分別為 a、b、c、d,如下圖,則 a、b、c、d 的大小關係為 。 (Hint:作直線 x=1 判斷)

15. 設 A(-3 , 5)、C(2 , 2),若 B(x , y)介於 A、C 之間且在¯ AC 上,

則∣y-6∣+∣x+5∣+∣y+2∣+∣x-3∣= 。(Hint:x 與 y 分開考慮) 16. 坐標平面上,有 A(2 , 0)、B(-1 ,-6)、C(k , k+2)三點。 (1)若 A、B、C 三點共線,則 k= 。 (2)直線 L 過點(-3 , 1)且與¯ AB 平行,則直線 L 的方程式為 。 L1 L4 L2 L3 x y

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17. 如右圖,直線 L 的方程式為 x-3y=-5,已知長方形 ABCD 中,¯ AB 為¯ BC 的 2 倍,且 A 在直線 L 上,若 B 點坐標為(4 , 0),則 D 點坐標為何?

18. (1)設直線 x-ay+2b=0 平行於 y 軸,且通過(4 , 0),則 a-b= 。 (2)通過(3 , 4)且和 x 軸平行的直線方程式為 。

(3)兩直線 5x-ay=5 與 2ax+3y=6 的交點在 x 軸上,則 a= 。

19. 在坐標平面上,將直線 y=-4-2x 向下平移 3 個單位長,再向右平移 2 個單位長後,所得新的直線 方程式為 。(Hint:平移後的直線與原來的直線平行) 20. 坐標平面上,若直線 6x+ky=24 與兩軸所圍成的三角形面積為 8,則 k= 。 21. 如右圖,坐標平面上有兩直線 L1:-2x+y=6、L2:4x+y=12, 若兩直線交於 A 點,且兩直線分別交 x 軸於 B、C 兩點,則三角形 ABC 的面積為 。 22. 右圖為坐標平面上兩直線 L1:3x-y=10 和 L2:kx+y=10 的圖形, M 為兩直線交點,¯ MN 垂直 x 軸,且¯ MN 的長度為 5,則 (1) M 點的坐標為何? (2) k=? (3)兩直線與 y 軸所圍出的三角形面積為何? x y O B C D A (4 , 0) L y x O B C A L1:-2x+y=6 L2:4x+y=12 y x O M N L1:3x-y=10 L2:kx+y=10

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加強練習 1. 關於方程式 x=-2 的圖形直線 L,下列哪一個選項錯誤? (A)點(-2 , 3)在 L 上 (B)L 與 x 軸的交點為(-2 , 0) (C)L 與 y=3 的交點為(3 , -2) (D)L 平行 y 軸 2. 已知 ab>0,下列哪一個選項可能為方程式 x+ay=b 的圖形? (A) O x y (B) O x y (C) O x y (D) O x y 3. 關於直線方程式 ax+by=c,下列敘述何者正確?

(A) a=0,b≠0,其圖形為垂直 y 軸的直線 (B) a=0,b≠0,c=0,其圖形為 y 軸 (C) a≠0,b=0,c≠0,其圖形為垂直 y 軸的直線 (D) a≠0,b=0,c=0,其圖形為 x 軸 4. 直線 34x-43y=0 與 89x+98y=0 在同一坐標平面上的圖形為何?

(A)重合的兩直線 (B)平行的兩直線 (C)交於(-1 , -1)的兩直線 (D)相交於原點的兩直線。 5. 下列哪一條直線與方程式 2x-y=0 的圖形不平行?

(A) 2x-y=3 (B) y-2x=-3 (C) y=2x-2 (D) y=-2x+1。

6. 若 A(-8 , 5)、B(-8 , 56 )、C(-9-3k , 9-3k)三點在同一直線上,則 C 點坐標為 。 7. 若一直線上任一點的坐標為(3-t , t+2),則此直線方程式為下列何者?

(A) 3x-y=2 (B) x+y=5 (C) x-y=1 (D) 2x+y=3。

8. 直線 L 在坐標平面上只通過第一、三象限,且經過(1 , 2),則直線 L 的方程式為下列何者? (A) x+y=3 (B) 2x-y=0 (C) x=1 (D) y=2。

9. 設 k<0,則直線 3x-5y-k=0 的圖形不通過第幾象限?

10. 如右圖,直線 L 是 ax+by=1 的圖形,下列敘述何者一定正確? (A) a>0 (B) b<0 (C) a+b>0 (D) a-b<0。

11. 關於 y=ax+b 的圖形,下列敘述正確的有幾項? (甲)若 a=0,b=0,圖形為 x 軸 (乙)若 a=0,b≠0,圖形為平行 x 軸的直線 (丙)若 a≠0,b=0,圖形為經過原點的斜直線 (丁)若 a≠0,b≠0,圖形為不經過原點的斜直線 12. (1)在坐標平面上,下列何者的圖形為相交於一點的兩條直線? (A) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ 3x-y=4 3x-y=5 (B) ⎩⎪⎨ ⎪⎧ 3x+4y=5 2x-7y=1 (C) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ 5x+2y=6 52 x+y=3 (D) ⎩⎪⎨ ⎪⎧ x+2y=27 2x+4y=14 。 (2)下列哪一個聯立方程式的圖形為兩條平行的直線? (A) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ 3x+y=2 x+3y=2 (B) ⎩⎪⎨ ⎪⎧ x-5=3y 2x-6y=10 (C)

-2x+ 23 y=1 32 x+ 34 = 12 y (D)

23 x-y=3+ 13 y y- 12 x=413. 坐標平面上,若方程式 y=ax+b 的圖形通過第一、三、四象限,則方程式 y=ax-b 的圖形不會通過 第幾象限? (A)一 (B)二 (C)三 (D)四。 14. 坐標平面上,直線 3x-4y=-6 上有一點 P。已知 P 點在第三象限,且 P 點與 x 軸的距離為 6 單位, 則 P 點坐標為 。

15. 已知 a>0,b<0,則下列何者最有可能為 ax-by=0 與 bx+ay+1=0 的圖形? (A) y x O (B) y x O (C) y x O (D) y x O L O x y

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Ans:1.(C);2.(D);3.(A);4.(C);5.(D);6.( 8,10)− ;7.(B);8.(B);9.第四象限;10.(D);11. 4 項; 12.(1)(B),(2)(D);13.(D);14. ( 10, 6)− − ;15.(D)。

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