# 應用數位數學教學模式於國中一年級一元一次方程式的教學成效

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## 國立交通大學

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### Abstract

The purpose of this study was to compare the learning effects in one-variable

linear equation for seventh grade students by using two different teaching methods：

the electronic mathematics instruction and the traditional teaching.

A quais-experimental approach was used in this research. There were 98 students

in the experimental group and 100 students in the control group. The teacher of the

experimental group was the researcher and the teacher of the control group was

another teacher whose teaching method was similar to the researcher’s method. The

teaching method of experimental group was Electronic Mathematical Instruction

which was based on the NAEP assessment framework as a theoretical foundation and

on the Multimedia Principle as electronic teaching materials . Control group used the

The final conclusions are as follows：

1.The experimental group performed better than the control group for the whole

students in the immediate effect and retained effect.

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students in the immediate effect and retained effect on the concept, procedures,

problem-solving knowledge.

3.The experimental group performed better than the control group for the whole

students in the immediate effects and retained effects on low, average, high

mathematical assessment complexity.

4.After using Electronic Mathematics Education, the ability of the experimental

group’s communication had been progressed.

5.The Electronic Mathematics Education have positive influence on the experimental

group’s learning attitude.

Keywords：Electronic Mathematics Instruction 、AMA、One-Variable Linear Equation、

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### 與背景

Herscovis&Kieran(1980)認為一元一次方程式是由國小算術思維進入國中代 數思維重要的階段，轉換過程的理解程度將會影響到往後數學學習成效。研究者 教學經驗中，發現多數學生開始放棄數學大多是因為無法有效將算術思維轉換成 代數思維，且在閱讀解題應用問題等題型，因為閱讀能力低落導致題目看不懂進 而無法有解處理應用問題等題型。國內也有多項探討一元一次方程式的研究，無 論是迷思概念或學習過程中學生所面臨的困難，多數學生學習代數的概念及技巧 是記憶性的，尤其是方程式的學習(Kieran , 1992)。九年一貫課程安排階段，早 在小學六年就已接觸未知數問題，以□、x….等依題意來列出算式和利用等量公 理進行基本題型的解方程式，直到國中才進入更進一步的學習複雜的題型。但也 造就一個問題就是國小與國中數學課程銜接的問題，太早接觸文字符號造成無法 有效轉換代數思維的學童，被迫提早放棄數學學習，偏偏對於國內數學教育國一 到國三課程內容來說，又常以解決文字符號作為問題解決能力的重要知識，如果 在國一的文字符號建構代數思維的關鍵時期，學生就遇到學習上的困難，若加上 老師無法適時的提供方法學習、指導，對於學童往後的學習會造成很大挫折。 教育部實施的資訊科技融入數學科教學實驗計畫中指出，數學科是所有學科 中最被學童討厭的科目，而電腦學科卻是深受學童喜愛，且大部分學童都表示因 為喜歡學習電腦，如果能上加利用此資源來學習，會覺得比以前還要快樂。學者 呂玉琴(1991)也指出身為一個數學教師應當省思該如何利用現代資訊科技(如網

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### 二、待答問題

1. 比較傳統教育與數位數學教學的兩種教學方法，對於國一「整體」與「不同 學業成就」學童於解一元一次方程式單元中的「學習成效」是否顯著差異？ 2. 比較傳統教育與數位數學教學的兩種教學方法，對於國一「整體」與「不同 學業成就」學童於解一元一次方程式單元中，NAEP 的「數學能力」的學習

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### 二、研究限制

1. 桃園縣某國中一年級學生實驗組 98 位、控制組 100 位，共 198 位學童，此 研究結果僅適宜推論至相同條件的國中生，其餘不宜過度推論。 2. 要培養學生的數學推理、溝通、連結的能力並不是短時間內就能培養出來， 需要長時間進行。本研究教學實驗時間共 3 週 15 節課，僅著重於溝通方面 的培養。 3. 實驗組與控制組施測教師不同，只能盡量控制其他會影響結果的變因。

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### 一、2003 年以前 NAEP 評量架構

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http://nces.ed.gov/nationsreportcard/mathematics/previousframework.asp

(一) 數學內容(Mathematical Content Strands)

2003 Mathematics Framework”by National Center for

Education Statistics, National Assessment of Educational Progress（NAEP

http://nces.ed.gov/nationsreportcard/mathematics/previousframework.asp

(Mathematical Content Strands)

(Measurement)

(Geometry)

(Mathematical Power) 現今數學教育的理念是要培養學童的數學威力(Mathematical Power) 在我國九年一貫數學領域課程綱要(教育部， 2003，2008)中也可以看到 學童有全面性的能力能結合和使用數學知識去進行探究 解決非例行性的問題；能進行數學的溝通；以及能在數學脈絡之內 或其他的學科脈絡進行連結。美國 NAEP 認為數學威力是由推理(Reasonin (Communication)三個因子組成。 推理是指學童能認知數學的基本內容，學童能進行探究與數學臆測 2003 Mathematics Framework”by National Center for

NAEP）, from http://nces.ed.gov/nationsreportcard/mathematics/previousframework.asp (Mathematical Power)。此向度 中也可以看到。 學童有全面性的能力能結合和使用數學知識去進行探究、臆測、 以及能在數學脈絡之內， (Reasoning)、連 學童能進行探究與數學臆測，學童能

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3. 解題性知識 (1). 在新的情境中能使用數學知識。 (2). 能確認及明確地陳述問題。 (3). 能運用策略數據、模型及相關的數學。 (4). 能創造與使用程序並予以發展和修正。 (5). 能判斷解答的正確性與合理性。

### 二、2005 年後 NAEP 的評量架構

2005 年後評量架構主要分為框架，其中五個數學內容的標準是數學能力評 量架構中的第一個框架，另一個接續框架是評量中的複雜性程度，區分為低階複 雜性、中階複雜性、高階複雜性的題型。 (一) 低階複雜性(Low complexity) 這個類別非常需要學生去記憶與辨別先前學習過的觀念與原理原則，此種試 題的典型例子是會具體指示出學生需要做到什麼，它常常是要學生去完成有關機 械式操作的程序，不會提供學生原本的數學方法和解決之道。適合低結構性的出 題類型舉例如下： 1. 記憶或辨別一個事實、專有名詞或特性。 2. 能理解一個觀念的例子。 3. 計算出和、差、積或商。

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(二) 中階複雜性(Moderate complexity) 中度結構性的試題種類比起低結構性，包含了更多思考上的彈性與選擇性， 它們通常需要一個慣用的、不是具體說明的、不只一個步驟的回答。學生們被期 望去決定該做什麼，使用推理與問題解決等非正式的方法，以得到各領域解題的 技能與知識。以下說明適合中度結構性的出題類型 1. 能以一種以上的方式描述數學的狀況。 2. 依照情況與目的，選擇和使用不同的表現方法 3. 解決需要多個步驟的應用問題。 4. 比較圖形或陳述 5. 在一個解題過程中提供步驟的解釋。 6. 能說明視覺性的表現方法 7. 能延伸數學模式 8. 能從繪圖、表格或圖形中得到訊息，並利用他們來解決需要多重步驟的問 題。 9. 用公式表現一個常見的問題，給予的資料與狀況 10. 能說明簡單的討論主題 (三) 高階複雜性(High complexity) 高度結構性的問題會加諸沉重的要求在學生上，這些學生必須致力於更多抽 象的推理、計畫、分析、判斷與富創造力的思考。對於這類試題而言，令人滿意 的回答是需要透過一個抽象和精熟的方法才能得到。在這個等級的試題或許會問 學生下列的例子： 1. 描述如何針對不同的數學狀況，以不同的表現方法呈現 2. 能展現一個具有多重步驟與結論的過程 3. 分析過程與觀念之間的相似點與不同點 4. 能歸納數學公式

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6. 能解決新穎的問題 7. 用一個以上的方法解決問題。 8. 對問題能解釋和證明其解法 9. 能描述、比較和對照解題的方法 10. 對一個複雜的狀況的數學模式能用公式表示 11. 分析在一個數學模式中構成的假設 12. 分析或產生一個推論式的討論主題

### 三、2005 年與 1996~2003 的數學能力評量架構的異同處比較

2005 年 NAEP 修訂新架構為評量的複雜度程度，不同於 1996~2003 所使用 的架構：數學能力(概念性理解、程序性知識、解題)。為 2005 年與 1996~2003 年的架構異同處。 表2-1-1. 2005年與年與 1996~2003 年的架構異同處年與年與 年的架構異同處年的架構異同處年的架構異同處 評量架構向度 比較說明 評量內容 評量內容相同 認知部分 2005 年架構中，數學能力強調複雜性，指的是數學結 果的正確性取得的難易程度 成就結果呈現方式 仍採用基本層次、精熟層次、進階層次三等級 題目種類 有選擇題、簡答題、問答題、，各種類的回答時間比 例仍維持一樣。 計算過程 2005 年架構中，尤以導出結果的部分為主要評量關鍵 運算過程與工具 需求維持不變 計算機策略 維持不變。2005 年對於 12 年級學生允許測驗時攜帶 課堂上使用的計算機，沒帶者，將提供計算機 資料來源：(引自曾明義，2008)

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Assessment of Educational Progress（NAEP）,2005a, Retrieved October5, 2005, from http://nces.ed.gov/nationsreportcard/mathematics/frameworkcomparison.asp

### 四、對於本研究的幫助

NAEP 數學評量架構裡提到的數學能力之概念、程序、解題是學生數學知識 中所需具備的三個基本能力。數學教學中，教師在教學過程不也是先強調其數學 概念，進而利用其概念進行程序化的計算問題，最後才結合兩種能力進行解決應 用問題，合乎教師要教給學生很重要的三個能力。此評量架構在數學威力所提到 推理、溝通、連結，更是學生要利用本身既有的數學知識進行探究、臆測、邏輯 推理解決非例行性的問題，過程中利用本身知識與他人進行溝通討論強化其本身 的相關知識，最後利用相關數學脈絡進行其他學科或是生活的連結。NAEP 雖為 一個評量架構，但卻提出學生在追求數學知識中很重要的幾個元素做為數學教學 目標的標的，因此本研究將此評量架構做為數學教學的理論依據。

### 一、認知負荷理論

Sweller(1998)提出「認知負荷理論」 (Cognitive Loas Theorey，CLT)，指出

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2. 工作示例效應（worked example effect）

3. 完成問題效應（completion problem effect）

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6. 獨立互動元素效應 (Isolated-interacting elements effect) 當教材包含了很多高交互作用的元素，且同時在工作記憶中處理，會造成大 量的內在認知負荷，導致超出工作記憶容量，造成學習和理解受到極大的阻礙 (Sweller, 2004; Sweller, 2010) 。因此，要將一部份的互動元素分別獨立處理，當 學習者學習該獨立元素之後，原本高交互作用變為低交互作用，才不會造成工作 記憶處理的負荷，也能使基模自動化學習更為深入。

7. 元素交互作用效應 (Element interactivity effect)

### 二、多媒體學習理論

(一) 多媒體學習認知理論

Clark 和 Mayer(2003)將多媒體學習(Multimedia Learning)定義為利用文字與

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(二) 多媒體教材設計原則(Multimedia Principle)

Mayer(2003)歸納出多媒體教材設計的教學原則，包含有多媒體原則

(Multimedia Principle)、空間接近原則(Spatial Contiguity Principle)、信號原則

(Signaling Principle)、分割原則 (Segmentation Principle)、時間接近原則(Temporal

Contiguity Principle)、形式原則(Modality Principle)、重複原則(Redundancy

Principle)、連慣性原則(Coherence Principle)、個人化原則(Personalization Principle)、

2. 空間接近原則(Spatial Contiguity Principle)

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### 一、課程綱要

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(三) 解方程式 解決應用問題是數學教育的重要目標，而解方程式則是解題活動中，既重要 又較有系統的一環。整個國中的代數教學，應養成學生解題的習慣：觀察題意、 以符號將問題中的數量關係列成方程式，最後在解出方程式，並觀察解是否符合 題意。其中最根本的解方程式原理為等量公理，另外，學生應有機會針對同一問 題(例如：雞兔問題類)，觀察以國小方法解題、以一元一次方程式解題，讓學生 思考這些方法的差異。

### 二、迷思概念

(一) 文字符號 文字符號於國小六年級開始接觸，到國中一年級更是廣加運用，因此數學學 習過程中，學童文字符號的概念是否有建構成功顯得特別重要，Kuchemann(1981) 認為「學生對文字符合是否能有意義的了解，在代數學習時是影響學生非常重要 的因素。」根據研究者教學經驗，國一學童在文字符號的課程內容中和往後學習 課程內容成就是息息相關，如果文字符號無法成為學童於問題解決的工具時，會 間接造成學童不當使用文字符號，也因此影響學習代數課程內容的時機(王如敏， 2004)。 許多學者在研究中提出，當學生在進入代數單元學習時，會遭遇許多問題， 是因為小學過度注重四則運算和算術技巧，到國中階段才突然大量引進代數符號， 讓學童產生適應上的困難，導致產生一些迷思概念。過去三十幾年有許多不同學 者企圖探討學生在文字符號概念加以分類，其中較為完整分類為 Collis(1975)從 學生觀點出發，將問字符號的概念分乘六類不同的使用層次。 1.文字符號代表著一個可以算出的值，如：n＋5＝8 中的n，n＝3。 2.文字符號在數學計算裡是可以忽略而不用，如a＋b＝43，a＋b＋2＝？在求出 答案的過程裡並不需要考慮到文字符號所代表的意義。

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3.把文字符號當作物體，例如將h 代表為正方形的一邊，所以只是代表其中的一 邊，而不是邊長是多少，這是不一樣的。 4.把文字符號當做特定的未知數，如一多邊形有n 個邊，而且每個邊長為2，知 道此多邊形周長為2n，這是可以直接用來運算。 5.把文字符號當作一般化的數字，如c＋d＝10，且c＜d，則c 代表小於5 的數， 則此文字符號代表的是一組數字而非單一數值。 6.把文字符號當作變數來使用，亦即該文字符號代表著一個可隨條件變動的未定 數值，如比較n 和2n 的大小，n 可以是任何數，兩者也一定可以做比較。 由上述的 Collins 的分類，前三者的描述，文字符號的使用停留在具體的層 面，而後三者的分類則過渡到抽象的思考模式，在一元一次方程式概念學習，若 學生對文字符號的認知只是停留在具體階段，固然可以解決一些簡單的問題，不 過若遇到結構較為複雜問題時，則往往沒有辦法適當的使用文字符號，因此形成 了解題的困難與概念的迷失。Wagner（1981）在其探究學生是否了解當改變文字 符號的名稱時並不會影響方程式與函數的意義的研究中發現：許多學生仍固著於 所命名之文字符號的刻板性用法，當原有之文字符號一被改變時，則沒有辦法適 應也無法正確地的解題，甚至還會認為整個題意已經改變，由此研究得知學生並 沒有完全瞭解文字符號在問題裡所代表的意義（袁媛，1993）。 郭汾派（1988）曾參考英國 CSMS（中學數學與科學概念）小組所設計的題 目對全國分區抽樣測試國中生在文字符號概念的主要錯誤型態，發現其常見的錯 誤有： 1. 帶分數模式：受到小學7 1 71 2 2 + = 的影響，而有 8+x=8x的迷思 2. 係數、文字分別處理：當學生對符號運算不完全了解時，會認為單項式才是 答案，因此強迫自己對不能進一步合併的多項式進行合併操作，其中最常見 的錯誤類型是係數、文字分別處理，將不同類項的係數先行運算，再將未知

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。 5. 忽略數據資料：如假設c＋d＝10，且c＜d，求c 時，答案多為c＝10－d，而忽 略c＜d 的條件。 6. 文字符號只當不為負數的數字處理：如設c＋d＝10，且c＜d，求c 時，很高比 例的學生會回答為1，2，3，4 或0，1，2，3，4。 (二) 一元一次方程式迷思概念 許多學者研究中提出，當學生在進入代數單元學習時，會遭遇許多問題是因 為小學過度注重四則運算和算術技巧，到國中階段才突然大量引進代數符號，讓 學童產生適應上的困難，導致產生一些迷思概念。蕭宇欽(2006)歸納學生在一元 一次方程式迷思概念分析如下 1. 陳述性概念 (1) 學生對於乘法的基本概念不清楚，只會操作數學符號，不了解數學符號的 實質意義。 (2)「一元一次方程式」與「多項式」的概念混淆。不了解「元」、「次」所 代表的意義或是將多項式當作是方程式來作答。 (3) 學生未能完全理解等號的概念。常有學生採用「式子的化簡」的方式「解 一元一次方程式」，或是作「化簡」的題目，最後變成「解一元一次方程 式」。 (4)對於括號的概念一知半解。當題目需要使用括號時，不知道如何使用括號， 或認為有沒有括號並無差別。 2. 程序性概念 (1) 學生對於「文字符號簡記」的概念產生困擾。不知道如何簡記代數式或根 本不知道簡記代數式所表示的意義。

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(2) 數的四則運算概念不清楚。發現七年級學生雖然學過數的四則運算，但計 算的技巧並不夠熟練，因此只要在一元一次方程是單元需要「正負數的四 則運算」或「分數的四則運算」時，經常會發生錯誤。 (3) 在「求式子的值」的問題中，部分學生容易將加法或乘法的運算方式混淆， 甚至因為不了解文字符號的意義，代入數字運算之後仍保留文字符號的迷 思概念。 (4) 使用「分配律」時容易產生迷思概念。學生容易錯誤使用分配律，或不知 道括號內的算式要和括號外的哪一項作運算。 (5) 學生對於「移項法則」與「等量公理」的概念易產生迷思。 (6) 學生在「同類項合併」易有迷思概念。學生因不了解同類項的意義或是合 併的技巧，在式子化簡時會將全部相加，或文字符號與係數分開運算。 (7) 「幾何圖形的概念」對部分學生而言較為困難。當幾何圖形出現時，尤其 是求面積與周長，學生容易有迷思概念。 (8) 學生對文字敘述轉成數學符號的概念感到困煣，無法將題目中的條件用數 學的表徵組織成完整的方程式。 3. 構造性概念 (1)學生對於以「文字符號代表數」容易產生迷思概念。當題目出現兩個變量 時，多數學生無法從題目給定的文字符號推得令一個變量所代表的數學表 徵。 (2)學生在「假設」部分的概念不足。不了解「假設」是為了根據題意列式來 解決問題，甚至自己列出的式子與假設毫不相關。 (3)學生的解題策略的概念步構多元。在填充引導式應用問題中，發現部分學 生的解題策略只有一種，若題目設計的解題步驟與學生的解題策略不同時， 學生便感到困擾，甚至放棄作答。除上述的概念之外，經訪談發現學生的 閱讀能力、解題態度、解題耐性與持續的信念等情意的態度，都是影響答

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### 三、相關教學研究

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3. 由簡單到複雜的題型，學生大部分的作答 情形也是隨著題形漸複雜，概念愈複雜， 學生愈無法自由運用相關的一元一次方 程式概念，而使用到的解題概念，則是一 直重複使用精熟的較低階層概念。 王如敏 (2004) 國二學生解一元一 次方程式錯誤類型 分析研究 1. 在解應用問題時，多數的學生其解題層次 在了解題意並把相關未知數用文字符號 表達出來這一初始階段已經出現極大困 擾。 2. 不同程度等級的學生在應用問題的解題表 現上有顯著差異。本研究發現程度等級高 的學生，不管傳統組或引導組都有極高的 得分率，但程度等級中或低的學生在解應 用問題時，不管以傳統式或引導式呈現， 其得分率皆不高。 3. 引導式應用問題能適當地引導學生去思 考、幫助學生更了解題意，並從中發現學 生之解題困難點及錯誤的原因。 俞宗賢 (2007) 數學低成就學生一 元一次方程式補救 教學之研究 對於式子的化簡及解一元一次方程式這 兩個偏重計算及運算技巧的單元，本研究的 補救教學另外採取小組合作學習方式，提出 較難的類似題或是思考錯誤答案的作法等問 題讓各小組去進行討論，在小組成員彼此的 討論之中，學生可釐清自己的錯誤，每個單 (續下頁)

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