《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（提高）
【巩固练习】一、选择题
1. 计算 tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )．
A．2 B．
3
C．2
D．12．如图所示，△ABC 中，AC＝5，
cos
2
2
B
，sin
3
5
C
，则△ABC 的面积是( ) A．21
2
B．12 C．14 D．21 3．如图所示，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点 A 逆时针旋转得到△AC B
， 则 tanB
的值为( ) A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．2
4
第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 4．如图所示，小明要测量河内小岛 B 到河边公路l
的距离，在 A 点测得∠BAD＝30°，在 C 点测 得∠BCD＝60°，又测得 AC＝50 米，那么小岛 B 到公路l
的距离为( )． A．25 米 B．25 3
米 C．100 3
3
米 D．25 25 3
米 5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为 40 cm，高为 55 cm 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线 的夹角为 45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )． A．10 cm B．20 cm C．30 cm D．35 cm 6．如图所示，已知坡面的坡度i :
1 3
，则坡角
为( )． A．15° B．20° C．30° D．45° 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 7．如图所示，在高为 2 m，坡角为 30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )． A．4 m B．6 m C．4 2
m D．(2 2 3)m
8．（2016•绵阳）如图，△ABC 中 AB=AC=4，∠C=72°，D 是 AB 中点，点 E 在 AC 上，DE⊥AB，则 cosA 的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，若 AC、BD 的延长线交于点 E，
5
11
CD
AB
，则cos CEB
= ；tan CEB
= ．10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则 AD 的长为 ；CD 的长为 .
第 9 题图 第 10 题图 第 11 题图
11．如图所示，已知直线
l
1∥l
2∥l
3∥l
4，相邻两条平行直线间的距离都是 1，如果正方形 ABCD 的四个顶 点分别在四条直线上，则sin
________．12．如果方程
x
2
4
x
3 0
的两个根分别是 Rt△ABC 的两条边，△ABC 最小的角为 A，那么 tanA 的值 为__ ______． 13.（2015•荆州）如图，小明在一块平地上测山高，先在 B 处测得山顶 A 的 仰角为 30°，然后向山脚直行 100 米到达 C 处，再测得山顶 A 的仰角为 45°， 那么山高 AD 为 米（结果保留整数，测角仪忽略不计， ≈1.414， ，1.732） 14. 在△ABC 中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，则 BC＝____ ____． 15. 如图，直径为 10 的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 . 16. （2016•临沂）一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与 sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得： sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如 sin90°=sin（60°+30°） =sin60°•cos30°+cos60°•sin30°= × + × =1．类似地，可以求得 sin15°的值是 ． 三、解答题17．如图所示，以线段 AB 为直径的⊙O 交线段 AC 于点 E，点 M 是
AE
的中点，OM 交 AC 于点 D， ∠BOE＝60°，cos C＝1
2
，BC＝2 3
． (1)求∠A 的度数；(2)求证：BC 是⊙O 的切线；(3)求 MD 的长度． 18. （2015•湖州模拟）如图，坡面 CD 的坡比为 ，坡顶的平地 BC 上有一棵小树 AB，当太阳光线与 水平线夹角成 60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影 BC=3 米，斜坡上的树影 CD= 米，则小树 AB 的 高是多少米？ 19．如图所示，圆 O 的直径为 5，在圆 O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P，已知 BC:CA＝4:3，点 P 在半圆弧 AB 上运动(不与 A、B 重合)，过 C 作 CP 的垂线 CD 交 PB 的延长线于 D 点． (1)求证：AC·CD＝PC·BC； (2)当点 P 运动到 AB 弧中点时，求 CD 的长； (3)当点 P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求这个最大面积 S．20. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，点 P 从点 D 出 发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQ⊥BC 于 Q，过点 Q 作 QR∥BA 交 AC 于 R，当点 Q 与点 C 重合时，点 P 停止运动．设 BQ＝x，QR＝y． (1)求点 D 到 BC 的距离 DH 的长； (2)求 y 关于 x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (3)是否存在点 P，使△PQR 为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说 明理由．
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】C；
【解析】tan 60°+2sin 45°－2cos 30°＝
3 2
2
2
3
3
2
3
2
2
2
． 2.【答案】A； 【解析】过 A 作 AD⊥BC 于 D，因为cos
2
2
B
，所以∠B＝45°，所以 AD＝BD，因为sin
3
5
AD
C
AC
， 所以3 5 3
5
AD
，∴ BD＝AD＝3，所以DC
5 3
2
2
4
，所以 BC＝BD+DC＝7，1
1
7 3
21
2
2
2
ABCS
△
BC AD
. 3.【答案】B； 【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B′＝∠B，然后将∠B 放在以 BC 为斜边，直角边在网格 线上的直角三角形中，∠B 的对边为 1，邻边为 3，tan B′＝tanB＝1
3
． 4.【答案】B； 【解析】依题意知 BC＝AC＝50 米，小岛 B 到公路l
的距离，就是过 B 作l
的垂线，即是 BE 的长， 在 Rt△BCE 中，BE
sin 60
BC
°
，BE＝BC·sin 60°＝50×2
3 25 3
(米)，因此选 B． 5.【答案】D；【解析】如图，△ABD 是等腰直角三角形，过 A 点作 AC⊥BD 于 C，则∠ABC＝45°，AC＝BC＝
1 40 20
2
， 则所求深度为 55－20＝35(cm)． 6.【答案】C； 【解析】tan
1
3
3
3
BC
AC
，∴
°
30
．7．【答案】D； 【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为 2 m，宽为
2
2 3
tan 30
°
(m)， 则地毯的总长至少为(2 2 3)
m． 8.【答案】C． 【解析】∵△ABC 中，AB=AC=4，∠C=72°， ∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°， ∵D 是 AB 中点，DE⊥AB， ∴AE=BE， ∴∠ABE=∠A=36°， ∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°， ∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°， ∴∠BEC=∠C=72°， ∴BE=BC， ∴AE=BE=BC． 设AE=x，则 BE=BC=x，EC=4﹣x． 在△BCE 与△ABC 中， ， ∴△BCE∽△ABC， ∴ = ，即 = ， 解得x=﹣2±2 （负值舍去）， ∴AE=﹣2+2 ． 在△ADE 中，∵∠ADE=90°， ∴cosA= = = ． 故选C． 二、填空题 9．【答案】cos∠CEB=5
11
；tan∠CEB=4 6 .
5
【解析】如图，连结 BC，则∠ACB=90°，易证△ECD∽△EBA，∴CE CD
=
5
EB AB 11
， cos∠CEB=5 .
11
CE
=
EB
tan∠CEB=4 6 .
5
BC
=
CE
第 9 题答案图 第 10 题答案图 10．【答案】5 +10；10 +5.
【解析】过 B 点分别作 BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为 E、F，则得 BF=ED，BE=DF. ∵在 Rt△AEB 中，∠A=30°，AB=10， ∴AE=AB·cos30°=10× =5 ， BE=AB·sin30°=10× =5. 又∵在 Rt△BFC 中，∠C=30°，BC=20， ∴BF= BC= ×20=10， CF=BC·cos30°=20× =10 . ∴AD=AE+ED=5 +10， CD=CF+FD=10 +5. 11．【答案】
5
5
； 【解析】设 AB 边与直线l
2的交点为 E，∵l
1∥l
2∥l
3∥l
4，且相邻两条平行直线间的距离都是 1， 则 E 为 AB 的中点，在 Rt△AED 中，∠ADE＝α，AD＝2AE．设 AE＝k，则 AD＝2k，DE
5
k
．∴
sin
sin
5
5
5
AE
k
ADE
ED
k
． 12．【答案】1
3
或2
4
； 【解析】由x
2
4
x
3 0
得 x1＝1，x2＝3．①当 1，3 为直角边时，则 tan A＝1
3
；②当 3 为斜边时，则另一直角边为
3 1
2
22 2
．∴tan
1
2
4
2 2
A
． 13．【答案】137 ； 【解析】如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m， 设 AD=xm， 在 Rt△ACD 中，∵tan∠ACD= ， ∴CD=AD=x， ∴BD=BC+CD=x+100， 在 Rt△ABD 中，∵tan∠ABD= ， ∴x= （x+100）， ∴x=50（ +1）≈137， 即山高 AD 为 137 米． 14．【答案】4 3 3
或4 3 3
；【解析】因△ABC 的形状不是唯一的，当△ABC 是锐角三角形时，如图所示，作 AH⊥BC 于 H， 在 Rt△ABH 中．AH＝AB·sin∠ABC＝8×sin30°＝4，BH＝
8 4
2
2
4 3
， 在 Rt△AHC 中，HC＝AC
2
AH
2
5 4
2
2
3
．∴ BC＝4 3 3
． 当△ABC 是钝角三角形时，如图所示，同上可求得 BC＝4 3 3
． 15．【答案】3
2
； 【解析】连接 CA 并延长到圆上一点 D， ∵CD 为直径，∴∠COD=∠yOx=90°， ∵直径为 10 的⊙A 经过点 C（0，5）和点 O（0，0）， ∴CD=10，CO=5， ∴DO=5 3
， ∵∠B=∠CDO， ∴∠OBC 的余弦值为∠CDO 的余弦值，∴cos∠OBC=cos∠CDO=
5 3
=
3
10
2
． 16.【答案】 ． 【解析】sin15°=sin（60°﹣45°）=sin60°•cos45°﹣cos60°•sin45°= • ﹣ • = ． 故答案为 ． 三、解答题 17.【答案与解析】 (1)∵∠BOE＝60°，∴∠A＝1
2
∠BOE＝30°． (2)在△ABC 中，∵cos C＝1
2
，∴∠C＝60°， 又∵∠A＝30°，∴∠ABC＝90°，∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC，∴ BC 是⊙O 的切线． (3)∵点 M 是
AE
的中点，∴OM⊥AE，在 Rt△ABC 中，∵BC＝
2 3
，∴AB＝BC tan 60°＝2 3
3 6
，∴OA＝3
2
AB
， ∴OD＝1
2
OA＝3
2
，∴MD＝3
2
． 18． 【解析】 解：由已知得 Rt△AFD，Rt△CED，如图，且得：∠ADF=60°，FE=BC，BF=CE， 在 Rt△CED 中，设 CE=x，由坡面 CD 的坡比为 ，得： DE= x，则根据勾股定理得： x2+ = ， 得 x= ，（﹣ 不合题意舍去）， 所以，CE= 米，则，ED= 米， 那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+ = 米，在 Rt△AFD 中，由三角函数得： =tan∠ADF， ∴AF=FD•tan60°= × = 米， ∴AB=AF﹣BF=AF﹣CE= ﹣ =4 米， 答：小树 AB 的高是 4 米． 19.【答案与解析】 (1)∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°． 又∵ PC⊥CD，∴ ∠PCD＝90°． 而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PDC．∴
AC BC
CP CD
． ∴AC·CD＝PC·BC． (2)当点 P 运动到 AB 弧中点时，过点 B 作 BE⊥PC 于点 E． ∵P 是
AB
中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝2
2 2
2
BC
． 又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝4
3
． ∴3
2
3 2
tan
4 2
2
BE
PE
BC
CPB
． 从而 PC＝PE+EC＝7 2
2
．由(1)得 CD＝4
14 2
3
PC
3
． (3)当点 P 在
AB
上运动时，1
2
PCDS
△
PC CD
． 由(1)可知，CD＝4
3
PC
． ∴2
23
PCDS
△
PC
．故 PC 最大时，S
△PCD取得最大值； 而 PC 为直径时最大，∴S
△PCD的最大； ∴S
△PCD的最大值2
5
250
3
3
S
． 20.【答案与解析】 (1)∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10． ∵点 D 为 AB 中点，∴BD＝1
2
AB＝3．∵∠DHB＝∠A＝90°，∠B＝∠B． ∴△BHD∽△BAC，∴DH BD
AC
BC
，∴3
8
12
10
5
BD
DH
AC
BC
． (2)∵QR∥AB，∴△RQC∽△ABC，∴
