11- 空間向量與直線
【86】設 A、B、C 為空間中相異的三點，且不在同一直線上。在空間中另取一點 D，欲使 A、B、C、D 成為一平行四邊形的四個頂點，則這樣的 D 點一共有多少個？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E)無窮 【解答】(C) 【86】空間中有 A、B、C、D 四點。已知AB1，BC 2，CD 3，∠ABC ∠BCD 120， 而_____
\
AB
與_____
\
CD
之夾角為60，則AD之長 。 【解答】 5 【87】設 ( 2，2，0 )，( 2，2，0 )，( 2， 2，0 )，( 2 ， 2，0) 為一正立方體的 四個頂點，則下列的哪些點也為此正立方體的頂點？(A) ( 2，0，2 ) (B) (0，2， 2 ) (C) ( 2，2，4 ) (D) ( 2，2，2 2 ) (E) ( 2，0， 2 ) 【解答】(A)(E) 【87】空間中四平面 x 0，y 0，z 0，x y z 1 圍成一四面 體，則此四面體之內切圓球的半徑為 。（答案只有一個；寫出兩個的不予計分） 【解答】 6 3 3 【88-1】將連接 (1，0，0) 與 (0，0，1) 兩點的直線，繞 z 軸旋轉而得一直圓錐面，則此 直圓錐面與平面x 2 相交而得的圖形為一(A)直線 (B)圓 (C)橢圓 (D)拋物線 (E)雙曲線 【解答】(E) 【88-2】在空間中，x，y，z 坐標皆為整數，且與原點距離為 17的點，一共有 個。 【解答】48 【88-3】如下圖，有一邊長為 1 的正方體。今置頂點 A 於空間坐標系中之原點 (0，0，0)，置頂 點B 於正 z 軸上，則頂點 C 之 z 坐標為 。 【解答】 3 1 【89】已知從點 (1，2，2) 到球面 x2 y2 z2 1 所作所有切線的切點都會在同一平面上， 則此平面之方程式為 。
【解答】x 2y 2z 1 【90-1】假設地球為一球體。今以地球球心為原點，地球半徑為單位長，建立一直角坐標系。 設地球表面上有甲、乙、丙三地，甲、乙兩地的坐標分別為 (1，0，0 )，( 2 1 ， 2 1 ， 2 2 )， 而丙地正好是甲、乙兩地之間最短路徑的中點，則丙地的坐標為 。 【解答】( 2 3 ， 6 3 ， 6 6 ) 【90-2】如下圖，ABCD 為正立方體的一個面，P，Q 分別為BC，CD的中點，O 為正立方 體的中心，則cos (∠POQ) 。 【解答】 2 1 【90-3】E1：x y z 1 0 與 E2：x y z 1 0 兩平面之間的距離為 。
【解答】 3 3 2 【92】有一四面體 OABC，它的一個底面 ABC 是邊長為 4 的正三角形，且知OAOBOC a； 如果直線OA 與直線 BC 間的公垂線段長（亦即此兩直線間的距離）是 3， 則a （以最簡分數表示）。 【解答】 3 8 【93】正四面體的四個頂點落在以原點O(0,0,0)為球心、半徑為1 的球面上，已知一 頂點P的坐標為(0,0,1)，另一頂點Q的坐標為
(
a
,
b
,
c
)
。下列選項有哪些必定是 正確的？ (1)OP
與 OQ的夾角為120(2)a2b2c2(3)ab0 (4)c0。 【解答】(2)(4) 【96】設△ABC 的三頂點坐標分別為 A（－2 , 7 , 15）、B（1 , 16 , 3）、C（10 , 7 , 3）。 (1)（5 分）試求通過 A、B、C 三點的平面方程式。 (2)（5 分）試求△ABC 的外心坐標。 【解答】(1) x＋y＋z＝20；(2)（3 , 9 , 8,）【98】在坐標空間中﹐一正立方體的八個頂點分別為 (0,0,0) ﹑ (1,0,0) ﹑ (1,1,0) ﹑ (0,1,0) ﹑ (0,0,1) ﹑ (1,0,1) ﹑ (1,1,1) 與 (0,1,1) ﹒若 A ﹑ B 分別為此正立方體兩稜邊的中點﹐則向量 AB可能為下列哪些選 項？ (1) (1,0,0) (2)( ,0,0)1 2 (3) 1 ( ,0,1) 2 (4) 1 1 (0, , ) 2 2 ﹒ 【解答】(1)(4) 【98】設 a ﹐ b 為實數﹒如果空間中某一平面通過 ( ,0,0)a ﹐ (0, ,0)b ﹐ (0,0,3) ﹐ (1, 2,3) 這些點﹐則下列 哪些選項是正確的？(1) a﹐ b 有可能都是正數 (2) a ﹐ b 有可能是一個正數一個負數 (3) a ﹐ b 有可 能都是負數 (4) a﹐ b 有可能只有一個等於 0﹒ 【解答】(2) 【100】坐標空間中﹐若平面E ax by cz: 1滿足以下三條件： (1)平面E與平面F x y z: 1有一夾角為30﹐(2)點A(1, 1, 1)到平面E的距離等於3﹐ (3)a b c 0﹐則a b c 的值為﹒（化成最簡分數）
【解答】1 3 【100】在坐標空間中﹐有一邊長為2﹐中心在原點O的正立方體﹐且各稜邊都與三坐標平面平 行或垂直﹐如圖所示﹒已知A(1, 1, 0), B(0, 1, 1), C( 1, 0, 1) 這三點都是某平面E和正 立方體稜邊的交點﹒試問下列哪些點也是平面E和正立方體稜 邊的交點？(1)( ,1 1, 1) 2 2 (2)( 1, 1, 0) (3)(0, 1, 1)(4) ( 2, 1, 1) ﹒ 【解答】(2)
