第15期試題與參考解答

中學生通訊解題第十五期題目及評析

台北市立建國高級中學 數學科

問題編號 901501

有若干個大小不同的正立方體積木， 由下而上堆成如右所示之塔形， 使上面正方體底部的四個頂點， 恰是下面正方體頂部各邊之中點。 已知最下面正方體的體積為 1， 且從四周或上面能看到的表面積超過 8.9， 試求這些正方體之個數至少有幾個？ 參考解答： 假設有 k 個正方體，得其側面積的和為 4(1+++….+) 又由上方向下所看得面積恆為 1，由題意知 4(1+++….+)+1>8.9  > 1.975 1 > 0.9875 0.0125 > 2k _{> 80} 故 k 之最小值為 7，即上述正方體最少有 7 個。 評析： 1.本題之關鍵在於”俯視面積=1”，再加上四方側表面積，即可得一個不等式， 解此不等式即得”至少 7 個”。 2.來函同學共 34 位。其中以台北縣福和國中 217 吳霽庭,台北市民生國中 202 張 哲瑞,基隆市銘傳國中 210 呂敏中,台南市建興國中 215 黃信溢,之解答最完整詳 盡。 問題編號 901502

設 a=1+2+…..+10，b=12₊₂2_+…..+102_，c=13₊₂3_+…..+103_{及 d=1}4₊₂4_+…..+104 自 1~10 中任選 2 個相異的數相乘，S 代表所有可能情形的和；自 1~10 中任選 4 個相異的數相乘，T 代表所有可能情形的和。 即 S=1



2+1



3+1



4+…..+8



10+9



10， T=1



2



3



4+1



2



3



5+1



2



3



6+…..+6



8



9



10+7



8



9



10， 試以 a,b,c,d 的式子表示 S、T。 參考解答： ＜解法一＞

S=(a2_b)，T=[a4_6a2_b+8ac+3b2_6d]

1.將 1,2,…..,9,10 任選二數 x 與 y 填入□



□中，亦即 (1+2+…..+10)(1+2+…..+10)的任一項，而當 x=y 時即為 12₊₂2_+…..+102_的任一 項，注意 xy 或 xy，故可得 S={(1+2+…..+10)(1+2+…..+10)( 12₊₂2_+…..+102_{)= (a}2_b) 2.將 1,2,…..,9,10 任選 4 數 x,y,z,與 u 填入□



□



□



□中，亦即 (1+2+…..+10)(1+2+…..+10)(1+2+…..+10)(1+2+…..+10)的任一項，而當 (1)x=y=z=u 時，表 14₊₂4₊₃4_…..+104_的任一項 (2)x=y=zu 時，表(13₊₂3_+…..+103_{)(1+2+…..+10) (1}4₊₂4_+…..+104_)任一項 (3)(x=y)(z=u)時，表(12₊₂2_+…..+102₎₍₁2₊₂2_+…..+102_{) (1}4₊₂4_+…..+104_{)的任一項} (4)x=y 且 x,z,u 兩兩不同時，表 [(12₊₂2_+…+102_{) (1+2+…+10)}2_(12₊₂2_+…+102₎2_2(13₊₂3_+…+103_{)(1+2+…+10)+} 2(14₊₂4_+…+104_{)的任一項} (即扣除 x



x



y



y，x



x



x



u 與 x



x



z



x，x



x



x



x) 由上知： T={(1+2+…+10)4_(14₊₂4_+…+104_)4[(13₊₂3_+…+103_{)(1+2+…+10)(1}4₊₂4_+…+104_)] 3[(12₊₂2_+…..+102₎2_(14₊₂4_+…..+104_)]6[(12₊₂2_+…..+102_{)(1+2+…..+10)}2_(12₊₂2₊ …..+102₎2_2(13₊₂3_+…..+103_{)(1+2+…..+10)+2(1}4₊₂4_+…..+104_)]}

= {a4_{d4[acd]3[b}2_d]6[ba2_b2_2ca+2d]}

= {a4_{d4ac+4d3b}2_+3d6ba2_+6b2_+12ac12d}

= {a4_6a2_b+8ac+3b2_6d} 【註：n=10，T=(n3)(n2)(n1)n(n+1)(15n3_+15n2_{10n8)=157773】} ＜解法二＞ 1.由題意 a2_{=(1+2+3+…..+10)}2₌₍₁2₊₂2₊₃2_+….+102₎₊₂



₍₁



₂₊₁



₃₊₁



_4+…..+8



10+9



10) =b+2s 所以 s= 2.s2₌₍₁



₂₊₁



₃₊₁



_4+…..+8



₁₀₊₉



₁₀₎2 =(12



₂2₊₁2



₃2₊₁2



₄2_+…+92



₁₀2₎₊₂₍₁2



₂



₃₊₁2



₂



_4+…+102



₇



₉₊₁₀2



8



9) +6(1



2



3



4+1



2



3



5+…..+6



8



9



10+7



8



9



10) (1)b2₌₍₁2₊₂2₊₃2_+…..+102₎2₌₍₁4₊₂4₊₃4_+…..+104₎₊₂₍₁2



₂2₊₁2



₃2_+…..+92



₁₀2₎

(2)b



s=(12₊₂2₊₃2_+….+102_{) (1}



₂₊₁



₃₊₁



_4+…..+8



₁₀₊₉



₁₀₎ =(12



₂



₃₊₁2



₂



_4+….+8



₉



₁₀2₎₊₍₁3



₂₊₁3



_3+…..+8



₁₀3₊₁₀3



₉₎ =(12



₂



₃₊₁2



₂



_4+….+8



₉



₁₀2_)+ac(14₊₂4_+…..+104₎ 所以 12



₂



₃₊₁2



₂



_4+….+8



₉



₁₀2_=bsac+d 故由(1)(2)知 s2_{=+2(bsac+d)+6T} ()2_=+2(b



_{ac+d)+6T T=} 評析： 1.本題中“T 值”難度高，但仍有七位同學不畏懼困難來挑戰，並獲得成功。 2.本題共收到 17 位同學的解答，每位同學都花費不少心力！尤其令人敬佩高雄市 立志國中郭志言同學，才升上國一，表現出非常強“解題毅力”的與十分出色 的技能，真令人刮目相看。上述解法二由台南市建興國中黃信溢同學提供，其 解答簡明扼要，力道十足！ 3.本題平均得分為 4.06 分，得分率為 58%。 問題編號 901503

下表是一個4 的方格，在每個小方格的四個角落都寫上一個數字，其規則是：4 以4 方格的四個端點為起點，然後按照4     6 5 4 3 2 1 的排列方 式，寫滿整個4 方格。4 1 7 10 16 3 4 13 14 6 2 15 11 10 1 16 7 2 11 6 15 5 8 9 12 9 5 12 8 13 3 14 4 4 14 3 13 8 125 9 12 98 5 15 611 2 7 16 1 10 11 152 6 14 134 3 16 107 1

第 8 列 第 7 行 (1)若把表格改成

n



n

的方格。試證：每一個小方格內的四個數字的和皆相等。 (2)若把表格改成1515的方格，且每個小方格內右下角的數字都寫不出來。 試求：第 8 列第 7 行的小方格內的三個數字的和是多少？ 參考解答： (1) 設 n



n 表格中，每一小格內左上角的數字所成的數列為<an> 而每一小格內右下角的數字所成的數列為<bn> 則 <an>由左上寫至右下依序為：1,2,3,….,n22,n21,n2 <bn>由右下寫至左上依序為：1,2,3,….,n22,n21,n2 反之<bn>由左上寫至右下依序為：n2,n21,n22,….3,2,1 所以每一小格內左上角的數字與左下角的數字 和=1+n2_=2+(n2_1)=3+(n2_{2)=…..=(n}2_2)+3=(n2_1)+2=n2₊₁ 在 n



n 表格中，每一小格內的 4 個數字和=2(n2₊₁₎ (2)在 15



15 的表格中，由(1)知 其每一小格內的 4 個數字總和=2(152_+1)=452 而每一小方格內兩對角的數字和=152₊₁₌₂₂₆ 今觀察 15



15 表格中，每一小方格內左上角的數字列 設其為<aij>，如圖：

1

3 6 10 15 a

16

a

17

2

5 9 14

4

8 13

7 12

11

a

61

a

71

a

81

a

82

a

87 n2 n2_1 n2_2 n2 n2_1 n2_2 1 3 2 1 2 3 n 個 n 個

則 a11=1,a21=2,a31=4,a41=7,a51=11 … 所以 a81=1+(1+2+3+….+7)=1+ =29

而 a12a11=2,a22a21=3,a32a31=4….. 所以 a82a81=9

又 a81=29,a82=38,a83=48….. 所以 a87=29+(9+10+11+12+13+14)=98 因為第 8 列第 7 行的小方格內的左上角數字為 98，所以右下角數字為 22698=128 即去掉右下角的數字後，其他三個數字之和=452128=324 Ans：324 評析： 1.本題要能仔細觀察才規律後，方能經由規律而得出答案。 2.在所有參與徵答的同學中，以台北縣江翠國中莊凱壹、海山國中張源平、新莊國 中潘柏諺，台南市建興國中黃信溢等同學，解答最為清楚詳盡。 3.本題參與答題人數共有 11 人，平均得分為 5.01 分，得分率為 71.57%。 問題編號 901504 (1)試說明 4 個連續正整數的乘積必為 4!之倍數。 (2)試說明 n 個連續正整數的乘積必為 n!之倍數。 n!=1



2



3



……



n (3)設 k,r 為互質的兩個自然數，且 k>r>1， 試證：自 k+1 開始連續 r－1 個正整數的乘積必為 r!的倍數。 參考解答： (1)將自然數分為{4k+1,4k+2,4k+3,4k+4}等四類 k=0,1,2,……… 則上述 4 個分類連續取 4 個有以下 4 種方法， (4k+4,4k+1,4k+2,4k+3)(4k+1,4k+2,4k+3,4k+4)(4k+2,4k+3,4k+4,4k+1) (4k+3,4k+4,4k+1,4k+2) 乘積都是 4!之倍數。 (2)同理可證。 (3)因為(k+1)(k+2)….(k+r－1)為連續(r－1)個正整數乘積 由(2)可知(k+1)(k+2)….(k+r－1)=(r－1)!m ,其中 m 是整數 又 k(k+1)(k+2)….(k+r－1)為連續 r 個正整數乘積 所以 k(k+1)(k+2)…..(k+r－1)=r!



n,其中 n 是整數 k



(r－1)!



m = r!



n k



m=r



n 又因為(k,r)=1 m 是 r 的倍數 所以 自 k+1 開始連續 r－1 個數的乘積必為 r!的倍數。 評析： 1.本題大部分同學僅指出 n 個連續自然數的乘積含有 1、2、3….、n 等因數,但卻忽 略說明其互斥性，如含因數 2 的數，因數 4 的數可能為同一個數，以致証明不 完整，其實只要考慮 n!與 n 個連續自然數的標準質因數分解情況，比較每一個 質因數的次數即可。 2.本題答題人數 32 人，第一小題 2 分，第二小題 2 分，第三小題為 3 分， 平均得分為 1 分，答對率 14.28%. 3.答題品質佳者僅台南市建興國中黃信溢同學，另外高雄市立志中學蔡政江同學 在 第三小題部分提供另一解法。

如右圖，平面上有四個點，測量各點間的距離時，只有兩個不同的值， 這樣的圖形不只一種，請儘量的找出這樣的圖形(相似的圖形算成同一種)， 並簡單說明你的做法。 參考解答： 本題是一個開放的問題，除了右上圖之外，另外尚有以下五種圖。 評析： 1.本題是一個開放性的問題，凡能找出合乎題目設定之條件的答案皆合乎所求。 2.參與徵答的同學共有 33 人，答題優良的有台北市民生國中康軒偉、謝玉恆、 張哲瑞、劉冠暐、劉冠筠、黃彥豪，敦化國中許斯淵，明德國中王琨傑，弘道 國中魏群樹，大直國中陳俊曄，台北縣海山國中張源平、江翠國中黃明山、侯 天崎，新竹市光華國中賴俊儒，彰化縣明倫國中羅雲灝，台南市建興國中黃信 溢，高雄市立志中學蔡政江。 3.本題共有 33 為同學參與徵答，平均得分為 5.18 分，得分率為 74%。