微分幾何
(
一
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課程學習單
活動
6
學號: 姓名: 你的伙伴:1
單元介紹與學習目標
介紹平面曲線理論 —有向曲率 (signed curvature)。 介紹平面曲線的整體性質 (global geometry)。2
預備知識
討論 1. 複習微積分課程中所學的積分與面積的關係: (a) 理解連續函數 f(x) 在[a, b] 的定積分 Rb a f(x) dx 對應的幾何意義。 (b) 給定封閉平面曲線的參數式 α(t) = (x(t), y(t)), 如何用積分式描述曲線所圍出的區域面積? 解.3
平面曲線與有向曲率
(
第
22
頁
)
對於空間曲線, 我們必須假設曲率是處處非零, 也就是κ(s) > 0 時才有一套較為完整的理論。 然而在
平面曲線的情況, 我們可以採用不同於空間曲線的理論去處理曲線有“反曲點”的情況。
記 {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} 是 R2 上的一組有序基底 (ordered basis), 然後對於 平面曲線 (plane curve) α(s) : I → R2, 其中 s 為弧長參數, 首先定義單位切向量 t(s) = α′(s), 然後定義單
位法向量n(s) 使得 {t(s), n(s)} 與{e1,e2}具有 同樣的定向 (the same orientation), 也就是去看
基底依序寫下時行列式的正負號是否一致。 然後定義 有向曲率 (signed curvature) 為: dt ds def. = κ(s)n(s)。 這麼一來, 平面曲線的曲率 κ(s) 可正可負。 t t n n e1 e2 κ > 0 κ < 0 圖1: 平面曲線論與空間曲線論稍微不同, 可以定義有向曲率以描述更多現象。
平面曲線可利用 t(s) 逆時針轉 π 2 先定義 n(s), 再定義有符號的曲率。 平面曲線論與空間曲線論之間在以下意義下是 相容的 (compatible): 平面曲線論所定義出的有 向曲率, 加上絕對值 |κ(s)|之後與利用空間曲線的理論定義出的曲率一致。 例題 2. 試討論平面曲線, 因為定向不同時所有幾何量 (單位切向量、 單位法向量、 有向曲率、 曲線長 度) 的異同。 解. 對於封閉曲線,我們通常會選取曲線的定向使得法向量指向內部, 稱為 「正的定向」。4
平面曲線的整體性質
定義 3 (第32–33 頁).
(a) 一條正則的光滑參數曲線 α: [a, b] → R2 若在端點 α(a) 與 α(b) 的各階求導 (向量) 都一致;
也就是說,對所有n = 0, 1, 2, . . .都有α(n) + (a) = α (n) − (b),則稱它為 封閉的光滑曲線 (closed)。 (b) 若一條曲線不自交, 換言之, 對所有 t1, t2 ∈ [a, b), t1 6= t2 都滿足 α(t1) 6= α(t2), 則稱曲線是 簡單的 (simple)。 (c) 對於簡單封閉曲線, 若選取的參數化 α所定義出的法向量完全指向曲線的內部, 稱這條曲線賦 予 正的定向 (positively oriented)。 圖2: 左圖: 簡單封閉曲線; 右圖: 不是簡單的封閉曲線。
4.1
等周不等式
(The Isoperimetric Inequality),
第
33
頁
問題. 給定一條長度為l 的繩子, 如何圍出一個單簡封閉的區域使得面積最大? 定理 4 (等周不等式). 令 C 是一條長度為 l 的簡單封閉曲線, 記 A 為由 C 包圍住的區域面積, 則 A≤ l 2 4π, 等式成立時若且唯若 C 是一個圓。 證明. 如圖 3 所示, 首先找兩條與曲線 C 相切的平行線 L 與 L′ 使得曲線 C 完全落在 L 與 L′ 之 間。 另取一圓 S1 與L和L′ 相切, 並且不與曲線C 相交。記O 為圓心, 並取坐標系使坐標原點為O 並且 x-軸與L 和 L′ 垂直。 將曲線C 以弧長為參數表示,記成α(s) = (x(s), y(s)),此處要求曲線C 所選的參數化為正的定 向, 並且當s = 0 時對應於曲線C 與L 的切點。 由此, 我們可以得到對於 S1 的一種參數化方式為: α(s) = (x(s), y(s))定義= (x(s), y(s)), s ∈ [0, l], 注意到這個 s 對於 S1 來說不是弧長參數。 記A 與 A 分別表示曲線 C 與S1 所圍之面積, 則 A= Z l 0 x(s)y′(s)ds 與 A= − Z l 0 y(s)x′(s) ds = l 2 4π,
s= 0 x y α α C O S1 L′ L 圖 3: 證明等周不等式。 其中 l 是S1 的周長, 所以 S1 的半徑為 l 2π. 利用 柯西不等式 (Cauchy inequality), 得到 A+ l 2 4π = A + A = Z l 0 (x(s)y′(s) − y(s)x′(s)) ds ≤ Z l 0 p((x(s))2+ (y(s))2)((x′(s))2+ (y′(s))2) ds = Z l 0 p(x(s))2+ (y(s))2ds = ll 2π, 因此 A≤ −l 2 4π + ll 2π = − 1 4π l2 − 2ll + l2+ l 2 4π = − 1 4π l− l 2 + l 2 4π ≤ l2 4π。 現證明等式成立的情況:因為上述的不等式都必須等號成立,所以我們得到兩個條件: (1) l = l (2) 向 量(x(s), −y(s)) 與 (y′(s), x′(s)) 平行,於是 x(x)x′(s) = −y(s)y′(s). (1) 令r= l 2π = l 2π 為S 1 的半徑,因為S1 的參數式為α(s) = (x(s), y(s)),所以(x(s))2+(y(s))2 = r2, 或寫成 y(s) = ±pr2− (x(s))2。 於是(1) 式可改寫成 y′(s) = ∓ x(s)x′(s) pr2− (x(s))2。 對此微分方程式積分後得到 y(s) = ∓ Z x(s)x′(s) pr2− (x(s))2 ds = ± 1 2 Z 1 pr2− (x(s))2 d(r 2− (x(s))2) = ±pr2 − (x(s))2+ C 0.
因為α(0) = (x(0), y(0)) = (r, 0),所以C0 = 0,於是(y(s))2 = r2−(x(s))2,或(x(s))2+(y(s))2 =
4.2
切向量旋轉定理
(The Theorem of Turning Tangents),
第
39
頁
記 α : [0, l] → R2 為封閉的平面曲線, 其中 α(s) = (x(s), y(s)), 而 s 為弧長參數。 那麼切向量 t(s) = (x′(s), y′(s)) 是單位長。 引進 切向量指標 (tangent indicatrix) t : [0, l] → R2 為 t(s) = (x′(s), y′(s))。這個切量向指標的概念, 就是將切向量的起點全部聚在一起, 所以切向量指標是一個光 滑的平面曲線, 而軌跡包含於單位圓中。 t(s) t(s) n(s) t′(s) = κ(s)n(s) θ x 圖4: 切向量指標(tangent indicatrix)。 記θ(s) 為t(s) 與x-軸之間的逆時針夾角, 則可寫成 t(s) = (x′(s), y′(s)) = (cos θ(s), sin θ(s)), 利用鏈鎖律 (chain rule) 得到 dt ds = dds(cos θ(s), sin θ(s)) = (− sin θ(s)θ
′(s), cos θ(s)θ′(s)) = θ′(s)n(s)。 因為 dt ds = κ(s)n(s), 所以 θ′(s) = κ(s),於是可以將 θ(s) : [0, l] → R 改寫成θ(s) = Rs 0 κ(s) ds。 直 觀而言, θ(s) 想要測量的是曲線 α從 0到 s 之間切向量的總旋轉量, 因為曲線α 是封閉的, 可得總 旋轉量是 2π 的整數倍; 換言之, Z l 0 κ(s) ds = θ(l) − θ(0) = 2πI. 其中 I ∈ Z稱為曲線α的 旋轉指標(rotation index)。 注意到旋轉指標會隨著曲線定向不同而變號。 圖 5: 旋轉指標I = 1 的封閉曲線。 若將圖5 的曲線給予相反的定向,則可得到旋轉指標 I = −1 的封閉曲線。
討論 5. 與伙伴討論以下問題。
(A1) 畫出一條旋轉指標 I = 2 的封閉曲線, 請伙伴幫你確認你所畫的曲線是否符合要求。
(A2) 畫出一條旋轉指標 I = 0 的封閉曲線, 請伙伴幫你確認你所畫的曲線是否符合要求。
解.
定理 6 (切向量旋轉定理, 第37頁). 簡單封閉曲線的旋轉指標為 ±1, 正負號與曲線的定向有關。
4.3
四頂點定理
(The Four-Vertex Theorem),
第
39
頁
定義 7 (第39頁). 一條正則平面曲線 α: [a, b] → R2 的 頂點(vertex)指的是滿足κ′(t) = 0的點。 定理 8 (第39 頁). 簡單封閉曲線至少有四個頂點。 討論 9. 與伙伴討論以下問題。 (B1) 畫出一條頂點正好為四個的簡單封閉曲線。 (B2) 什麼樣的平面曲線頂點只會有兩個? 解.
