正多边形和圆—巩固练习（基础）

(1)

正多边形和圆—巩固练习（基础）

【巩固练习】一、选择题 1．一个正多边形的一个内角为 120°，则这个正多边形的边数为( ) A．9 B．8 C．7 D．6 2．如图所示，正六边形螺帽的边长是 2cm，这个扳手的开口 a 的值应是( ) A．

2 3

cm B．

3

cm C．

2 3

3

cm D．1 cm 第 2 题图第 5 题图 3．（2015•广州）已知圆的半径是 2 ，则该圆的内接正六边形的面积是（） A．3 B． 9 C． 18 D． 36 4．正三角形、正方形、圆三者的周长都等于

l

，它们的面积分别为 S1，S2、S3，则( )． A．S1＝S2＝S3 B．S3＜S1＜S2 C．S1＜S2＜S3 D．S2＜S1＜S3 5．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连接五个等分点而得到的(如图所示)．五角星的每一个角的度数是( )． A．30° B．35° C．36° D．37° 第 6 题图第 7 题图第 9 题图 6．如图所示，是由 5 把相同的折扇组成的“蝶恋花”（如图①）和梅花图案（如图②）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（） A．36° B．42° C．45° D．48° 二、填空题 7．如图所示，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠



等于________． 8．要用圆形铁片裁出边长为 4 的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小是________． 9．如图所示，等边△ABC 内接于⊙O，AB＝10cm，则⊙O 的半径是________． 10.（2015•铁岭）如图，点 O 是正五边形 ABCDE 的中心，则∠BAO 的度数为．

(2)

11．正六边形的半径是 5cm，则边长

a 

₆ ________，周长

P 

₆ ________ ，边心距

r 

₆ ________，面积

6

S 

________．

12. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 .

三、解答题

13．如图所示，正△ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 2，求△ABC 的边长 a，周长 P，边心距 r，面积 S．

14. 如图所示，半径为 R 的圆绕周长为 10πR 的正六边形外边作无滑动滚转，绕完正六边形后，圆一共转了多少圈？一位同学的解答过程：圆的周长为 2πR，所以它绕完正六边形后一共转了

10

2 R

R



圈，结果一共转了 5 圈．你认为这位同学的解答有无错误？如有错误，请更正． 15．（2014 秋•吴江市校级期中）如图，已知等边△ABC 内接于⊙O，BD 为内接正十二边形的一边，CD=5 cm，求⊙O 的半径 R．

(3)

【答案与解析】一、选择题 1.【答案】D；【解析】可求每个外角为 60°，∴ 360÷60＝6 或

(

n

2) 180 120

n



_

_

°

∴ n＝6． 2.【答案】A；【解析】较长对角线与较短对角线及一边长构成一直角三角形，用勾股定理求解． 3.【答案】C；【解析】连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是 2 ，高为 3，因而等边三角形的面积是 3 ， ∴正六边形的面积=18 ，故选 C． 4.【答案】C；【解析】当周长一定时，边数越多的正多边形其面积越大，当它成为圆时面积最大． 5.【答案】C；【解析】五角星的每一个角所对的弧为圆的

1

5

，∴ 弧的度数为 72°，因而每个角的度数为 36°，故选 C． 6.【答案】D. 【解析】如图③所示，正五边形 ABCDE 的中心角为 72°，各内角为 108°，故五角星五个锐角均为 48°．二、填空题 7．【答案】72°；【解析】



＝360°－90°－90°－108°＝72°． 8．【答案】

4 2

；【解析】如图所示，△ABC 为等腰 Rt△，

AC



2 AB



4 2

．

(4)

9．【答案】

10 3

3

cm；

【解析】过 O 作 OD⊥BC 于 D，连接 OB，在 Rt△BOD 中，BD＝

1

2

BC＝

1 10

2 

＝5(cm)． ∠BOD＝

180

60

3 

°

， ∴

3

2 BD

OB



． ∴ BO＝

5 10 3

3

2 

(cm)． 10．【答案】54°；【解析】连接 OB，则 OB=OA， ∴∠BAO=∠ABO， ∵点 O 是正五边形 ABCDE 的中心， ∴∠AOB= =72°， ∴∠BAO= （180°﹣72°）=54°；故答案为：54°． 11．【答案】

a 

₆ 5cm，

P

₆



6 a

₆



30cm， ₆

5 3

2 r 

cm， ₆

75 3cm

2

2 s 

； 12．【答案】2：．【解析】设正六边形的半径是 r，则外接圆的半径 r，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是，因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 2：．

(5)

作 AD⊥BC 于 D． ∵ △ABC 是正三角形， ∴ 点 O 在 AD 上，a＝BC＝2CD，∠OCD＝30°，在 Rt△COD 中，

1

2 r OD



OC



， 2 2

_{2 1}

2 2

₃

CD



OC



OD



 

， ∴

a BC



2 CD



2 3

，

P



3 a



6 3

．又∵ AD＝OA+OD＝2+1＝3， ∴

1 1 2 3 3 3 3

2

2 S



BC AD



 

 

， ∴

a 

2 3

，

P 

6 3

，

r 

1

，

S 

3 3

． 14.【答案与解析】有错误，由正六边形的每个顶点外圆要转 60°角，应转了

10 1 6

2 R

R



 

（圈）． 15.【答案与解析】解：连接 OB，OC，OD， ∵等边△ABC 内接于⊙O，BD 为内接正十二边形的一边， ∴∠BOC= ×360°=120°，∠BOD= ×360°=30°， ∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°， ∵OC=OD， ∴∠OCD=45°， ∴OC=5 × =5（cm）．即⊙O 的半径 R=5cm．