國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士論文
指導教授：林原宏 博士
濃度比例問題解題規則之網路測驗系統
研發及其實證研究
研 究 生 ： 高 堅 誌 撰
中 華 民 國 九 十 八 年 十 二 月
摘要
本研究根據Noelting (1980)所提出的問題解題規則(rule of problem-solving)， 探討學童於濃度比例問題上所使用之解題規則，發展線上測驗系統，偵測受試者 解題規則策略。本研究結合Bart and Krus (1973)提出的次序理論(ordering theory)， 呈現學童在濃度比例問題上的解題規則次序性，並分析使用不同解題規則的學童 的認知層次(cognition hierarchies)。本研究以國小高年級學童471 名為研究對象， 自編柳橙汁濃度測驗研究工具，分析每位受試者的比例問題解題規則階層和比較 解題規則結構圖。 學童解決柳橙汁濃度測驗問題時，會使用五種解題規則，此五種解題規則呈 現學童對濃度比例理解概念的不同認知層次。本研究結果發現受試者的答對總分 不同時，其解題規則結構圖頗有差異；而總分相同但反應組型不同的受試者，其 解題規則結構圖亦有不同；以年級和性別為自變項，專家相似性係數為依變項， 進行二因子變異數分析時，顯示不同年級學童在解題規則結構圖之專家相似性係 數達顯著差異，且六年級高於五年級。但不同性別學童的解題規則結構圖之專家 相似性係數並無顯著差異，且年級和性別並無交互作用。 本研究之網路測驗系統可即時且有效率的偵測受試者之解題規則策略，並了 解受試者的解題規則次序性，未來此網路化測驗系統可擴展至其他認知領域或不 同年齡層的研究對象。 關鍵字：次序理論、解題規則、濃度比例問題、網路測驗、柳橙汁濃度測驗
ABSTRACT
Based on the rules of problem-solving proposed by Noelting (1980) in proportional problems, the purpose of this research was to develop an online testing system to detect the strategy of problem-solving for task-takers. In this research, the ordering of rule usage in proportional problems based on the ordering theory was analyzed, and the cognition hierarchies of children using different rules of problem-solving were also investigated. There were 471 projects in this study. ‘The orange juice test’ is proportional problems designed by the author. In the data analysis, individualized rule hierarchies were discussed and the rule graphs were compared.
Five rules were used when task-taker solved orange juice test, and each rule showed different cognition hierarchies. Subjects of different total score exhibited different characteristics of rule hierarchies. Subjects of the same total score exhibit different rule hierarchies due to distinct response patterns. There was significant difference on similarity coefficient between grades. Sixth graders had higher similarity coefficient than fifth graders. However, there was no significant difference on similarity coefficient between gender.
The system can efficiently discover the rule usage of subjects. It was recommended that this system can be used to other cognitive fields or subjects of other ages.
Keywords: ordering theory, rule of problem-solving, ratio and proportional problems, online testing system, orange juice test
目錄
第一章 緒論………1 第一節 研究動機………..………1 第二節 研究目的………..3 第三節 名詞釋義………..…4 第二章 文獻探討………..……..…6 第一節 柳橙汁濃度測驗之解題規則………..6 第二節 精緻試題有向圖分析取向的方法………12 第三節 次序理論………14 第四節 網路施測系統………17 第三章 研究方法………..………24 第一節 研究架構………24 第二節 系統設計………25 第三節 系統建置………28 第四節 統計分析………..………..…41 第五節 研究工具……….…….………..42 第四章 結果與討論……….….……46 第一節 不同年級與性別在測驗之表現………..…..…46 第二節 柳橙汁濃度測驗之解題規則結構圖分析……....………48 第五章 結論與建議………..57 第一節 結論………57 第二節 研究限制………59 第三節 建議………60附錄……….……69
表目錄
表 2-1 柳橙汁濃度測驗的五個解題規則……….………...7 表 2-2 題目的反應與規則對應關係表……….13 表 2-3 試題i和試題 j的答題人數之列聯表( i j)……….…14 表 2-4 規則I 和規則J的反應次數之列聯表(I J)………..16 表 3-1 教師資料表格………..………28 表 3-2 學生資料表格………..29 表 3-3 .試題資料表格……….29 表 3-4 .試卷資料表格……….30 表 3-5 作答資料表………30 表 3-6 各題的組合及各規則下的答案………..………31 表 3-7 試題(8,4)vs.(7,5)的反應與規則的對應關係表………..32 表 3-8 各試題的反應解釋力與反應區別力……….33 表 3-9 編號 70 受試者試題作答情形及其計分……….…………..34 表 3-10 規則i和規則 j的答題人數之列聯表……….……….…35 表 3-11 n01/n係數矩陣……….……….…36 表 3-12 解題規則次序關係矩陣……….……….…..36 表 3-13 專家n01/n係數矩陣……….……….…38 表 3-14 專家解題規則次序關係矩陣……….……….…..38 表 3-15 專家和編號 70 受試者的規則次序關係矩陣之比較………..………....39 表 3-16 研究對象有效樣本人數統計……….…….…..40 表 3-17 試題題號 16 各規則之相對應的標準答案及計分……….….42 表 4-1 不同年級與性別之專家相似性係數敘述統計………..…...46圖目錄
圖 2-1 柳橙汁濃度測驗試題範例……….……….…….……...7 圖 2-2 規則 1 之解題規則………….……….………….……..8 圖 2-3 規則 2 之解題規則……….………….………..….…………9 圖 2-4 規則 3 之解題規則……….……….………….………10 圖 2-5 規則 4 之解題規則……….……….…….……10 圖 2-6 規則 5 之解題規則……….………..…………11 圖 2-7 反應與規則對應圖……….……….……….12 圖 3-1 研究架構……….……….….………....24 圖 3-2 系統架構……….……….….……....25 圖 3-3 (8,4)vs.(7,5)試題範例…………..……….……….…….….…….……….32 圖 3-4 編號 70 受試者之解題規則階層結構圖…….……….…….………..36 圖 3-5 專家解題規則階層結構圖……….……….……….38 圖 3-6 資料分析流程……….……….……….41 圖 4-1 不同性別與年級之相似性係數平均數折線圖………....………47 圖 4-2 不同總分之三位受試者的解題規則結構圖……….……….……….49 圖 4-3 總分相同但反應組型不同之三位受試者的解題規則結構圖(高分組)……51 圖 4-4 總分相同但反應組型不同之三位受試者的解題規則結構圖(中分組)…....53 圖 4-5 總分相同但反應組型不同之三位受試者的解題規則結構圖(低分組)…....55第一章 緒論
本研究主題在於建置網路測驗系統，應用次序理論(ordering theory)，分析國 小五、六年級學童在解決「柳橙汁濃度測驗」(orange juice test, OJT)問題時，所 使用解題規則(rules of problem-solving)之階層結構。研究者以網路測驗系統圖繪 受試學童在解決柳橙汁濃度測驗問題的解題規則結構圖，並探討解題規則結構圖 之異同。本章旨在闡述本研究之動機、目的及對本研究所提及之相關名詞作釋義。
第一節 研究動機
學習是一個連續的過程，受到許多因素的影響與干擾，為確保學生學習的成 效，因此教育情境中常於階段性的學習之後安排測驗的進行，藉以瞭解學生的學 習結果。在傳統的教學情境中，常見的作法是以測驗的分數來代表一個學生的能 力，分數較高者代表其在該階段的學習成效較佳，意即代表經過該階段的學習 後，該名學生具有之能力也較高。然而若只是從測驗總分的高低來衡量學生能力 之多寡，則會因為忽略學生解題時所使用的策略，僅觀察得到其解題之結果而失 去許多更深入的訊息，因此無從了解受試者的解題思維，也無從得知學生精熟哪 些概念、技能或解題規則(涂金堂，2003)。 根據心理學的觀點，問題解決規則是受試者解決問題的方法或策略(林原宏， 2006)。在面對問題時，解題者會依照自己的知識、概念與經驗，決定採何種方法 或策略來解題。當受試者在面對問題時，會依照自己以往的知識與經驗，發展出 適當的方法和策略來解決問題；受試者會運用各種辦法以達到目標或求得解答， 而且同一個問題，每個人所採用的解題策略並不一定相同，甚至一個人處理不同 類型的問題可能使用的方法也不同(林香，2003)。就評量而言，答對情形代表受結構圖，可以進一步了解學生不同的能力特徵。由於每個人的知識與邏輯架構不 同，其解題時所使用的規則並不相同，而且同一個人也不會只使用單獨一種規則 來解題。相關研究指出，在面對問題時，每個人所使用的解題規則之間存有次序 性的階層關係。 比例理解(proportional reasoning)概念在解題策略中佔有相當重要的地位， Noelting (1980)所提出的「柳橙汁濃度測驗」之相關研究，主要係分析受試者的 比例理解概念。其研究發現解題者有五個解題規則，但其研究主要是分析不同背 景受試者的規則使用差異性之描述，甚少探討解題規則次序性。 林原宏、游森期(2006)的研究中，探討應用次序理論分析解題規則階層結構， 以「柳橙汁濃度測驗」為實證研究分析資料，分析受試者在解決此種比例理解問 題時，其五種解題規則的階層結構。林瑋詩(2007)亦使用比例問題來探討解題規 則使用之次序性，該研究指出，比例問題若僅探討全體受試者解題時所使用規則 類型和使用次數，將無法從學生的作答反應顯示其內在認知結構，因此，還需要 分析個別受試者在解比例問題時，使用解題規則的次序性，從解題規則次序結構 圖得知其既有之經驗與內在思維架構。
相關的研究顯示，性別的因素，會影響解題規則的使用(Jansen & Van der Maas, 1997)，且不同能力值的學生，所傾向使用的規則並不一致(樊雪春，1999)，而林 福來、郭汾派、林光賢(1985)的研究結果顯示，年級越高則比例推理能力也隨之 成長；Karplus, Pulos, and Stage (1983)的研究結果也顯示，在數值型態為整數之比 例問題上，男、女生之比例推理能力無差異，在數值型態為分數之問題上，則男 生表現較優。Goldsmith, Johnson, and Action (1991)指出徑路搜尋分析法(pathfinder) 中的相似係數 C 值(closeness index)，可用來表示不同的知識結構圖之相似度 (similarity)，林原宏、游森期(2006)將徑路搜尋法應用在解題規則結構圖上的比 較，以了解生手和專家在解題規則結構上的差異程度。因此本研究的實證分析
一般傳統測驗之計分，只能從測驗分數反映出受試者的總分、答對和答錯題 數，或受試者的能力在團體中的相對位置(林瑋詩，1997)；國內外比例問題的相 關研究中，大多只有探討全體受試者所使用解題規則的類型和規則使用次數多寡 的情形(何意中，1988；林福來、郭汾派、林光賢，1985；楊錦連，1999；魏金財， 1987；Hart, 1981)；卻無法從學生的作答反應中顯示出學生的認知結構。因此本 研究欲探討不同總分之受試者的解題規則結構特徵，以及相同總分但反應組型不 同之受試者的解題規則結構。 在診斷受試者解題規則策略上，以往多是以紙筆測驗來進行，其施測資料分 析工作須以人工作業處理，不但對教師教學上增加負擔，而且也無法對受試者做 立即性的回饋及分析 (何榮桂、郭再興、蘇建誠、陳麗如，1999)。電腦技術快速 的發展，帶來許多的便利，在測驗上的應用，也使得測驗方式更加多元化；網路 技術的進步，在測驗上亦有許多優點。何榮桂(1997)指出網路測驗可以提供超越 時空、隨選隨測、更彈性的施測環境。吳信義(1996)認為網路測驗系統主要功能 是在於使考試環境標準化、學生的評分更具客觀性、公正性，更容易收集到學生 答題訊息以進行教學評量。周朝宜(1999)亦指出網路測驗可省去教師印製試卷、 批改及登記成績的麻煩；老師也可以建立自己的題庫系統，減少紙張的使用量， 達成環境保護的教育功能。因此，結合電腦網路科技，應用在測驗上的作法，不 但能節省大量的人力、物力與時間，更能協助施測者獲得所需的測驗訊息。 基於上述，如能使用網路測驗收集施測資料，並且即時進行柳橙汁濃度測驗 的解題規則分析，則能達到省時、省力的優點，另一方面亦可經由系統繪出之解 題規則階層結構圖，了解受試者在柳橙汁濃度測驗的認知結構。
第二節 研究目的
一、建置柳橙汁濃度網路測驗系統，並進行實證資料分析。 二、不同年級與性別因子下之專家相似係數的描述與比較。 三、不同總分之受試者的解題規則結構特徵。 四、總分相同且反應組型不同之受試者的解題規則結構圖之特徵描述。
第三節 名詞釋義
一、解題規則 解題規則係指受試者解決問題時會依循某種方法或策略的心理歷程(Jansen & Van der Maas, 2002)。當解題者面對問題時，會基於既有的知識架構或經驗，採 用適當的方法或策略來解題，因此解題規則可代表解題者的潛在知識狀態(林原 宏、游森期，2006)。二、次序理論
次序理論為Bart and Krus (1973)所提出，主要應用於衡量兩試題之間的先備 關係(precondition)之次序情形。先計算出試題之間的次序性係數，並以閾值 (threshold)來決定試題之間是否有次序關係，有次序關係則以箭頭表示，若無次序 關係則沒有箭頭，林原宏(2005a)利用次序理論分析試題，呈現試題階層(item hierarchy)。在本研究中，則使用次序理論來分析解題規則。 三、比例理解 本研究提及之比例理解係指在 Noelting (1980)所設計的柳橙汁濃度測驗中， 以純果汁與純水混合調配，由受試者判斷比較其濃度，以並以此工具測量比例理 解概念。 四、柳橙汁濃度測驗 柳橙汁濃度測驗為實證分析資料，Noelting (1980)首先設計柳橙汁濃度測 驗。測驗中，以純果汁與純水混合調配，由受試者判斷比較其濃度。
五、網路測驗
利用電腦網路的傳送，使受試者可以透過瀏覽器進行測驗，再將試題及結果 儲存於資料庫中，可做進一步的資料分析。本研究中所提及的網路測驗，係指網 路解題規則測驗。而測驗的試題類型，僅限於包含三個選目的單一選擇題。
第二章 文獻探討
本章將就本研究相關文獻進行探討，共分為四節說明：第一節是柳橙汁濃度 測驗之解題規則，本節主要探討柳橙汁濃度測驗的規則類型與分析方法；第二節 是精緻試題有向圖分析取向的方法，用以增進試題品質與分析診斷的能力；第三 節是次序理論，探討次序理論的理論基礎與相關應用；第四節是網路施測系統， 各節的內容分述如下。第一節 柳橙汁濃度測驗之解題規則
在傳統評量的作法裡面是用總分來代表一個學習者的能力，總分較高即代表 能力較佳，但是卻很少分析受試者在解決問題時所使用的解題規則。解題規則有 正確與不正確之分，正確的解題規則會產生對的答案，而不正確的解題規則會產 生錯的答案，也可能產生對的答案(林原宏、游森期，2006)。就評量而言，固然 答對的情形可以代表受試者的學習能力，但是不同的解題規則代表不同的認知結 構，認知結構於學習歷程中皆扮演著重要的角色，那麼該如何瞭解及評估認知結 構的內容便成了許多學者研究的重心。因此，若分析受試者在解決問題時所採用 的解題規則結構圖，可以更進一步了解學生不同的能力結構。 解題規則係指受試者解決問題時會依循某種方法或策略的心理歷程 (Jansen & Van der Maas, 2002)。Siegler (1976)認為解題者受到本身已存在的知識結構的影 響，在解題過程中會依循某種方法或規則進行解題。所以，解題規則可象徵解題 者的潛在知識狀態。因此，如何分析解題者的解題規則，以了解其內在思維，是 一值得探討的主題。柳橙汁濃度測驗最先由 Noelting (1980)所發展，目的是測量受試者的比例理 解概念。根據 Noelting (1980)的研究顯示，學童解決柳橙汁濃度測驗問題時，會
使用五種解題規則來解決問題，此五種解題規則呈現學童對濃度測驗問題理解概 念的不同認知層次，柳橙汁濃度測驗問題的五個解題規則意義及判斷方法整理如 表 2-1 所示。 表 2-1 柳橙汁濃度測驗的五個解題規則 規則名稱 規則意義 規則 1：單一專注 (Isolated Centration) 根據有無純果汁來判斷濃度 規則 2：單向度比較 (Unidimensional Comparison) 根據何者有較多純果汁來判斷濃度 規則 3：雙向度比較 (Bidimensional Comparison) 根據何者「純果汁比純水多」來判斷濃度 規則 4：定量雙向度比較
(Bidimensional Comparison with Quantifications) 根據何者「純果汁與純水的差值大」來判斷濃度 規則 5：正確的規則 (Correct Rule) 根據何者「純果汁與純水的比值大」來判斷濃度 圖 2-1 柳橙汁濃度測驗試題範例
的是果汁，淺色杯裝的是純水，分別將兩邊的果汁與純水混合，請受試者比較， 哪一邊的果汁濃度比較濃。作答選項為包含三個選目的單一選擇題，選項各為「左 邊」、「右邊」、「相等」。受試者經由自己的思考方式選擇答案作答。此題可用(8,4) vs. (3,5)的組合表示(Noelting, 1980)。 為簡化問題。以 ( , )a b vs.( , )c d 來表示左邊有 a 杯果汁和 b 杯純水，右邊有 c 杯果汁和 d 杯純水，各規則與判斷方式分述如下(Noelting, 1980)： 規則 1:單一專注( isolated centration) 根據有無純果汁來判斷濃度。圖 2-2 為規則 1 之解題規則。 在圖 2-2 中，若a≠0且c≠0，則可能選擇左邊或右邊，否則若a=0且c=0， 則選擇相等，否則若a=0且c≠0，則選擇右邊，否則選擇左邊。因此，試題(8,4) vs. (3,5)在規則 1 下所選擇之答案為左邊或右邊。 否 是 否 是 否 是 0 0 a≠ and c≠ 0 0 a= and c= 左 or 右 0 0 a= and c≠ 相等 右 左
規則 2:單向度比較(unidimensional comparison) 根據何者有較多純果汁來判斷濃度。圖 2-3 為規則 2 之解題規則。 圖 2-3 規則 2 之解題規則 在圖 2-3 中，若 a c> ，則選擇左邊，否則若 c a> ，則選擇右邊，既不是 a c> 也不是 c a> 則選擇相等。因此，試題(8,4) vs. (3,5)在規則 2 下所選擇之答案為左 邊。 規則 3:雙向度比較(bidimensional comparison) 根據何者「純果汁比純水多」來判斷濃度。圖 2-4 為規則 3 之解題規則。 在圖 2-4 中，若 a b≥ 情形下，且 c d≥ 則選擇相等，否則選擇左邊；若 a b< 情 形下，且 c d≥ 則選擇右邊，否則選擇相等。因此，試題(8,4) vs. (3,5)在規則 3 下 所選擇之答案為左邊。 是 否 否 是 a>c c>a 左 右 相等
圖 2-4 規則 3 之解題規則
規則 4:定量雙向度比較(bidimensional comparison with quantifications) 根據何者「純果汁與純水的差值大」來判斷濃度。 圖 2-5 規則 4 之解題規則 否 是 是 否 a≥b c≥d c≥d 右 左 相等 相等 是 否 是 否 是 否 (a b− > −) (c d) (a b− < −) (c d) 左 右 相等
在圖 2-5 中，若 ( - ) ( - )a b > c d ，則選擇左邊，否則若 ( - ) ( - )a b < c d ，則選擇右 邊，其餘則選擇相等。因此，試題(8,4) vs. (3,5)在規則 4 下所選擇之答案為左邊。 規則 5: 正確的規則(correct rule) 根據何者「純果汁與純水的比值大」來判斷濃度。 在圖 2-6 中， b≠0且d≠0的情況下，若 ( / ) ( / )a b > c d 則選擇左邊，否則若 ( / )c d <( / )a b ，則選擇右邊，其餘則選擇相等；而當不是b≠0且d≠0的情況下， 則考慮若b=0且d =0，則選擇相等，否則若b=0且d ≠0，則選擇左邊，否則選 擇右邊。因此，試題(8,4) vs. (3,5)在規則 5 下所選擇之答案為左邊。 圖 2-6 規則 5 之解題規則 0 0 b= and d ≠ ( / )a b >(c / d) b=0and d =0 左 (c / d)>( / )a b 相等 b=0and d≠0 右 相等 左 右 是 是 是 是 是 否 否 否 否 否
第二節 精緻試題有向圖分析取向的方法
問題解決規則是受試者解決問題的方法或策略，就認知診斷方法而言，如何 呈現或分析受試者的問題解決規則，是一個重要的研究主題(林原宏，2005b)。在 解題規則測驗方面，試題能否有效的「區辨」和「解釋」規則，是影響能否分析 規則次序性的重要關鍵。換言之，試題若無法區辨或解釋受試者的規則，則無法 提供規則次序性分析所需要的訊息(information)。Bart and Williams-Morris (1990) 提 出 兩 個 指 標 ： 反 應 解 釋 力 (response interpretability)和反應區別力(response discrimination)，用來提高試題品質，以提 供較多的診斷訊息。此種試題分析方法稱為精緻試題有向圖分析(refined item digraph analysis, RIDA)。
以圖 2-7 為例，假設(3,4) vs. (2,5)的三種作答選項反應，可由規則 1 至規則 5 等五種規則對應表示。 圖 2-7 反應與規則對應圖 規則 5 規則 4 規則 3 規則 2 規則 1 對應規則 反應 1 (左邊) 反應 2 (相等) 反應 3 (右邊) 作答反應 (3,4) vs. (2,5)
圖 2-7 的反應與規則對應關係可整理成表 2-2，其中，以 1 來表示反應能被 規則所解釋，以 0 表示反應不能被規則所解釋。 表 2-2 題目的反應與規則對應關係表 規則 列總和 i dis 規則 1 規則 2 規則 3 規則 4 規則 5 反 應 左邊(反應 1) 1 1 0 1 1 4 相等(反應 2) 0 0 1 0 0 1 右邊(反應 3) 1 0 0 0 0 1 反應解釋力是指試題的每一個反應都可以被一個以上的規則所解釋之程 度。例如，(3,4) vs. (2,5)的作答反應為「左邊」，可以被規則 1、規則 2、規則 4、 規則 5 所解釋。作答反應與規則的對應關係以 0 或 1 表示，0 表示試題的反應不 能被該規則解釋，1 表示試題的反應能被規則解釋，所以值越高，表示試題的反 應能被規則所解釋的程度也越高。反應解釋力的值介於[0,1] 之間，其計算公式 為 I int I i i
∑
=1 ，其中 I 是反應的項目總和，當反應 i 對應的列總和 i dis 大於 0 時，則 inti 記為 1；當反應 i 對應的列總和disi等於 0 時，則inti記為 0。因此表 2-2 中該題的 反應解釋力為 1 3 1 1 1+ + =(林原宏，2005b； Bart & Williams-Morris, 1990)。 反應區別力用以判斷每道試題中的每個反應項目，是否只有一個規則可對 應，即反應項目能被不同規則所區辨的能力。試題的反應區別力最小值為 0，顯 示該道試題的每個項目，都沒有任何規則可對應之，試題的反應區別力最大值為 1，則表示該道試題的每個項目，都只包含一個規則可對應之。反應區別力的計
算公式為 I dis I i i
∑
= 1 1 ，其中 I 是反應的項目總和，而disi是反應 i 的列總和；如果 i dis =0，則令 1 i dis 為 0，因此表 2-2 中該題的反應區別力為 1 1 1 3 4 1 1 3 4 + + = (林原 宏，2005b；Bart & Williams-Morris, 1990)。反應解釋力和反應區別力在實證研究上，除了可提供施測者作為選題之參 考，亦可藉由受試者的作答反應，推論受試者的心理運作歷程或解題策略(涂金 堂，2003)。
第三節 次序理論
次序理論是針對二元計分(dichotomous)試題，根據列聯表資料，計算其先備 條件(precondition)或次序性關係(Krus, & Bart, 1974)。在心理計量的相關研究中， 次序理論主要應用於衡量兩個試題之間的先備條件(precondition)之次序關係 (Airasian, Bart, & Greaney, 1975; Bart & Read, 1984)。
以二元計分的試題i和試題 j(i≠ j)為例，其答對(以1表示)和答錯(以0表示) 的人數可用列聯表呈現，如表2-3所示(林原宏，2005a)。 表 2-3 試題i和試題 j的答題人數之列聯表( i≠ ) j 試題 j 總和 試題i 1 0 1 n11 n10 n1• 0 n01 n00 n0• 總和 n•1 n•0 n n= + + +11 n10 n01 n00
(1,0) (0,1) (0,0)四種，其中(0,1)的反應不滿足「試題i為試題 j的先備條件」之情
形(Bart, 1976; Bart and Krus, 1973)。因此，根據表 2-3 資料，定義n01 n 來代表試
題i為試題 j的先備條件，其範圍為0≤(n01 n) 1≤ ，若n01 n 愈小，表示試題i愈可
能為試題 j的先備條件。Airasian and Bart (1973) 以容忍水準(tolerance level ) ε
(0< <ε 1) 決定試題i與試題 j的次序關係如下：
(一)若(n01 n)< ，表示試題ε i為試題 j的先備條件，以線段連結試題i和試題 j。
(二)若(n01 n)≥ ，表示試題ε i不是試題 j的先備條件，沒有線段連結試題i和試題 j。
至於ε的選定，Bart and Krus (1973)建議容忍水準ε 可取為ε =.2。但在實證
研究中，ε 值可由研究者來決定。
根據 Bart, Frey, and Baxter (1979)指出次序理論所做出的階層關係能提供較 多的訊息，並非只限於試題之難易關係。Airasian, Bart, and Greaney (1975)以次序 理論分析形式操作期學生的命題邏輯(propositional logic)之階層結構。Bart and Airasian (1974)以次序理論分析具體操作期(concrete operative period)和形式操作 期的次序性關係，研究結果支持具體操作期為形式操作期先備條件之論點。 林原宏、陳紹銘(2006)以次序理論進行等量公理的概念結構階層分析，結果 顯示其六個階層的等量公理概念結構以及概念之間的次序性，除了符合由易而難 的往上階層發展之意義以外，也呈現出各階層概念之間的次序關係，根據次序理 論所呈現的訊息，可提供概念診斷的依據。在學校的教育現場中，教師可依據該 班級學生的概念次序結構階層，來設計補充教材和教學。
林原宏(2006)應用 Bart and Krus (1973)的次序性定義，針對某一受試者在K
則)的次數列聯表如表 2-4 所示。 根據表 2-4 的列聯表資料，則「規則I 指向規則J」的衡量係數為k01 K，k01 K 的範圍是0≤k01 K ≤1，k01 K若很小，表示規則I 可能為規則J的先備條件。 表 2-4 規則I 和規則J的反應次數之列聯表(I ≠ J) 規則J 總和 規則I 1 0 1 k11 k10 k1• 0 k01 k00 k0• 總和 k•1 k•0 K=k11+ + + k10 k01 k00 以閾值ε (0<ε <1)決定規則I 與規則J 是否有次序關係如下： (1)若(k01 K)<ε，表示規則I 為規則J的先備條件，即規則I 與規則J有次 序關係，此時以Rij =1表示，以圖繪I →J 表示。 (2)若(k01 K)≥ε，表示規則I 不是規則J的先備條件，即規則I 與規則J沒 有次序關係，此時以Rij =0表示，圖繪中I 沒有指向J。 在林原宏、游森期(2005)將次序理論應用於柳橙汁濃度測驗之解題規則次序 性的分析，透過次序理論找出解題規則次序關係矩陣，再利用精緻試題有向圖分 析方法，繪製解題規則關係結構圖。
除此之外，次序理論應用在許多其他領域之研究，例如，Bart and Mertens (1979)將 J. Piaget的形式運思期所提的六種基模及十個任務利用次序理論分析其 階層結構性；余民寧和陳嘉成(1998)將次序理論應用在概念結構評量上；陳惠萍 (2007)分析國小高年級學生在相關性問題之解題規則階層次序結構，發現在相關 性測驗的解題規則表現，六年級優於五年級，性別則無顯著差異，而解題規則結
構圖顯示總分無法確實代表受試者的認知結構；黃莉雯(2007)分析國小高年級學 童解決邏輯問題的表現之階層次序結構，使用多元次序理論分析數字及圖形情境 命題邏輯測驗，結果顯示不同性別在數字情境與圖形情境達顯著差異；黃雅婷 (2007)在國小六年級學童平衡槓桿問題之解題規則階層次序結構，結果發現總分 不同的受試者，以及總分相同但反應組型不同的受試者其在平衡槓桿問題所使用 的解題規則次序性及階層有明顯不同；林瑋詩(2007)分析國小高年級學童解決比 例問題的解題規則階層次序分析結構，顯示次序理論在解題規則分析上，能清楚 地繪製出解題規則階層結構圖，有效地呈現個別受試者在比例問題解題規則之次 序階層結構特徵。 綜觀以上，有關解題規則的次序性之測驗工具均採用紙筆測驗，運用電腦科 技於測驗，發展成電腦化解題規則測驗上卻較少見。張惟翔(2007)在平衡槓桿問 題解題規則之網路施測系統與實證分析上是採用次序理論，繪製平衡槓桿問題之 解題規則階層結構圖，胡啟有(2008)則以次序理論來決定規則之間的次序性，並 利用有圖形理論基礎的詮釋結構模式來繪製階層結構圖，這些研究均獲致相當不 錯成效。因此，本研究以網路施測系統工具，探討學童在比例理解之解題規則結 構。
第四節 網路施測系統
測驗與評量一直是教學過程中不可或缺的一環。它們可以反應出學生了解學 習內容的程度，以供教師掌握學生的學習狀況。傳統的測驗型態，一直是以文字、 圖形的靜態紙筆測驗為主，隨著電腦技術快速的發展，在多媒體電腦上，已經可 以讓試題以互動式的方式出現。電腦科技進入測驗的領域已有二、三十年的時 間，早期以單機作業，電腦可應用在很多有關測驗的活動，如題目編擬、建立題釋等（吳裕益，1995)。Bugbee (1992)亦指出電腦測驗具有可以減少施測時間、增 加測驗的安全性、立即呈現考試結果等優點。
Ferraris（1991)認為電腦使用在教育上的施測大約可以分為以下三大類： 一、電腦管理測驗(Computer Managed Testing，CMT)：檢查學生的答案、計分並
計算有關的統計數。
二、電腦實施測驗(Computer Administered Testing，CAT)：電腦與學生直接對話以 測驗學生所具備的知識；電腦不僅自動進行施測，並分析測驗的結果，且可 根據學生的答題反應自行選擇試題，組織測驗的題目。 三、組織測驗(Test Synthesis，TS)：只要給予測驗的特徵（如水準、主題)，電腦 就會自動從資料庫中提取所需要的試題，自行組織試題。 綜合以上說明，電腦化測驗主要是以電腦代替紙筆測驗，協助測驗能以更 快、更有效率的方式處理、統計資料，並作其他的功能性延展。 隨著資訊科技進步，電腦化測驗依據不同的測驗理論及電腦技術的發展，而 發展出不同類型的電腦化測驗。主要分類方式，陳述如下(胡啟有，2008)： 一、 計分電腦化 考試作答劃在答案卡上，再將答案卡送到讀卡機閱卷，答案卡上的資料藉由 讀卡機，傳到電腦進行批改及各項成績統計，此作答方式仍保留在紙筆測驗型 態。此方式可以減少人工批改時間及各項成績統計時間。目前在我國國中的模擬 考、段考、國小升國中的智力測驗及基本學力測驗考試均採用此方式測驗 (余民 寧，2002；何榮桂，1990、1997；陳新豐，2007) 。 二、 紙筆測驗電腦化 考試時試題內容由電腦螢幕呈現，並透過電腦作答，再由電腦立即回饋批改 的結果及各項成績統計；此外，施測者可透過電腦進行試題相關設定或建立題 庫，但測驗內容與傳統紙筆測驗無異，其根據的測驗理論是古典真分數理論，因
少試務工作等好處。目前在各縣市所推行的資訊能力檢定、醫事人員考試及教育 部設置的國民中學學習資源網，均採用此方式測驗 (陳志信，1993；陳柏熹，2006； 葉千綺，1998) 。
三、 電腦化適性測驗(computerized adaptive tests, CAT)
作答方式和試題呈現方式如同紙筆測驗電腦化，其差異在於試題出題方式， 電腦測驗系統會從題庫中取一試題供受試者作答，作答完成之後，電腦測驗系統 會依受試者作答之結果，評估受試者的能力值，再挑選適當試題，供受試者作答， 一直到估算到受試者的能力值，才會停止出題，等到停止出題時，得到的能力值 即為受試者本身真正的能力值，其採用之測驗理論為試題反應理論(item respose theory, IRT)(余民寧，2002)，除了具有電腦化輔助測驗的優點外，可以針對不同 學生給予不同試題，達到個別化的測驗方式，亦能有效縮短施測時間(周倩， 1998)，目前像著名的英文能力檢定TOEFL、GRE，均屬本測驗方式(陳柏熹， 2006)。 網際網路的發展及普及，舉凡政治、經濟、社會文化教育商業娛樂等各種訊 息皆可以在網路上迅速的傳送。Harasim (1990)指出自從網路的便利讓使用者在獲 取資訊不再受限於時間地點因素，而是可以隨時隨地透過網路獲取，因此在時間 與空間上的運用有更大的彈性，而網路的技術進步使得資訊可以文字、圖形及多 媒體互相搭配的方式來呈現。 許多學者常將網路、多媒體結合電腦化輔助測驗或電腦化適性測驗，發展出 網路化的線上評量系統。例如，何孝儒(2004)以自行研發出的『Math-Edit』程式 的基本原理架構，伺服器端使用PHP and MySQL，結合JAVA程式語言與Flash呈 現多媒體及將之應用在國中數學網路試題介面；張昌文(2007)採用PHP程式語言 為基礎，結合MySQL資料庫，在國小自然與生活科技領域發展電腦輔助教學系
電腦化測驗配合上網路已成為目前電腦化測驗研究發展的趨勢，可分為如下 兩類(簡瑞華，2002)：
一、網路化適性測驗
網路化適性測驗是由電腦化適性測驗演進而來，利用網路科技的特性，可以 發展標準化、即時回饋、大量施測及累積資訊的適性測驗系統(何榮桂、郭再興， 1997）。此方式旨在運用試題反應理論(item response theory)、電腦化適性測驗原 理與網路技術，建置在網路上之系統，提供題庫管理、線上測驗等功能。 二、網路化傳統測驗系統 結合了電腦輔助測驗的功能與網路的特性是網路化傳統測驗系統的特點，如 網路考題銀行、線上測驗服務中心等。 網路測驗經過許多專家學者的分析之後擁有許多的優點，將之歸納如下： 一、 減輕教學者的負擔，提升工作效率 將測驗電腦化後，將可減少許多傳統測驗所需要的工作，節省人力與時間而 提高工作效率(陳柏熹，2006；劉亞平，1997)。例如：減少施測時間、測驗試題 的管理、測驗試題及答案紙的印刷、存放、發放和回收，實際施測、批改試卷、 登記分數、編排名次等複雜的工作流程，都可以交由電腦來處理完成，有效的減 少工作負擔。 二、 受試者透過電腦設備觀看試題及作答，減少紙張浪費響應環保 測驗電腦化後，測驗題目的呈現與作答都在電腦螢幕上完成，所以不必將試 題印製在紙張上的試卷，可以省下使用紙張的數量，而且間接的還有傳達環保的 教育意義(何榮桂，1990)。 三、 可提供適性化測驗，達到因材施考的評量環境 結合試題反應理論、電腦化適性測驗原理與網路技術，可使測驗時間的長度 縮短，卻不會犧牲測量精確性。因此，不僅可以做到因材施測的精確估計受試者
四、 可提供會考式遠距測驗 電腦化測驗提供了超越時空、隨選隨測、更彈性的施測環境，所以學生及教 師可以選擇較合適的時間以及較合適的地點進行測驗(何榮桂、郭再興、蘇建誠、 陳麗如，1997)。自從網際網路的便利，可以隨時隨地的透過網際網路獲取我們想 要的資訊，讓使用者在時間與空間上的運用有更大的彈性(Harasim, 1990)。 五、 運用電腦程式，搜集測量時的資訊 電腦的施測系統不但可以將作答情形詳細記錄，還可以記錄測驗過程的訊 息，其中包括學生作答的反應時間、曾經修改過的答案選項，這樣將有助於測驗 結束後的資料分析，並進一步瞭解學生的學習情況(何榮桂，1990；林裕集，2001； 劉亞平，1997)。 六、 可呈現多媒體動畫，更真實反應試題描述，易引起學習動機 運用電腦多媒體的功能，電腦不再侷限於文字的方式呈現題目，使得試題可 以圖片、聲音、影像、動畫相結合，運用各種視覺和聽覺媒介，將試題的呈現更 加的真實，所以比傳統的紙筆測驗更加具有多樣性、動態性及完整性，營造出一 個更生動活潑的學習環境，測驗結束後，立即給予學生回饋，讓學生可在極短的 時間內取得測驗分數並得到解釋，也更能提昇學生學習的動機(何榮桂，1990；林 裕集，2001；黃朝恭，2000)。 七、 可以建立題庫系統 經由電腦擁有超大的記憶容量，可將試題建立完整的資料庫，提供教師更多 的試題選擇，所以能讓教師能有效率的地在短時間內編撰一份符合需要的試卷(何 榮桂，1990)。 八、 提供教師更多回饋資訊 教師透過電腦化測驗所蒐集及分析的資料，可以更精確的掌握學生學習的狀
九、 施測情境的控制 電腦化測驗不以人擔任施測者，故能精確控制實施和計分的程序，避免人為 情境的干擾，使受試者在相同的情境下接受測驗。 雖然網路測驗擁有許多的優點，但也存有一些缺點，歸納如下： 一、 測驗的題型多限於選擇題、填充題 電腦化測驗的題型多限於選擇題、填充題，因為電腦較難判斷開放式問題的 答案(李連順，2000；吳裕益，1997；林裕集，2001；黃朝恭，2000)。 二、 設備需求較高 在測驗實施方面，施測者必須準備足夠的電腦供受試者使用，且必須考慮電 腦當機等問題，而結合多媒體測驗的實施，則需要更高階軟硬體支援(李連順， 2000；黃朝恭，2000)。 三、 不利閱讀 電腦測驗較不適合呈現必須閱讀文字章節的題型，因為螢幕的解析度可能增 加閱讀的困難性(林敏芳，2005；Mazzeo & Harvey, 1988)。
四、 不便書寫計算過程 類似數學、理化等必須計算的試題，學生因為必須在草稿紙上抄下題目再計 算，而可能影響答題的速度(林敏芳，2005；Ager, 1993)。 五、 難以判別真實身分 實施網路考試時，由於遠端冒用替身問題仍無法解決，因此考試作弊的問題 無法獲得有效的控管(林裕集，2001；林敏芳，2005)。 六、 記分方式有限制 電腦化測驗填充題題型只能以單一正確答案進行判斷，無法部分給分，對學 生學習成效的評判並不公平(陳志信，1993)。 七、 操作因素
為滑鼠或鍵盤操作不熟練而誤答(黃朝恭，2000)。 綜合以上觀點可知，紙筆測驗發展成電腦化測驗是不可避免的，而網路化的 線上測驗，也是未來測驗發展的趨勢。因此，本研究將以電腦化輔助測驗配合網 路、多媒體、PHP 及資料庫等技術，並以 Noelting (1980)的柳橙汁濃度測驗為研 究工具，發展具有認知診斷功能的柳橙汁濃度測驗施測系統，以了解受試者的解 題策略。
第三章 研究方法
本章旨在說明研究架構、系統設計、系統建置、統計分析、研究工具等，共 分為五節，說明如下：第一節 研究架構
依據研究目的，本研究分為兩大方向，在探討柳橙汁濃度測驗的內涵及解題 的規則後，首先設計相關的題目，同時做網路測驗平台的系統設計與建置。本研 究的研究架構，如圖 3-1： 圖 3-1 研究架構 測驗系統 分析、設計 柳橙汁濃度測驗文獻探討 柳橙汁濃度測驗題目設計 柳橙汁濃度測驗網路測驗系統建置 進行實測 解題規則分析 1.教師選題、出題、施測 2.學生依年級分組作答 1.解題規則 2.比例理解 3.次序性分析 4.各成績組別比較首先從柳橙汁濃度測驗文獻中探討柳橙汁濃度測驗的意義、解題的規則，進 而設計適當的題目，同時進行柳橙汁濃度測驗系統的分析，了解需要的功能，再 進行網路測驗平台的設計。柳橙汁濃度測驗的題目與網路測驗系統皆設計完成 後，將題目建置於測驗平臺中，即可進行網路的實測，並進一步分析出受試者的 解題規則之次序性。
第二節 系統設計
本節首先說明本研究中設計之柳橙汁濃度測驗系統的系統架構，並針對系 統功能與系統規格兩部份加以描述。壹、系統架構
本研究之系統架構如圖3-2所示。 登入系統 系統管理者 教師 學生 帳號管理 新增試題 修改 試題 編製測驗卷 查看測驗結果 管理受試者帳號 設定測驗 查看測驗分析 登錄受試者帳號 進行測驗 登入處理 試題處理 試卷處理 登錄教師帳號系統架構圖內容簡述如下： 一、使用者功能選單方面 (一)系統管理者功能 可分為新增試題、修改試題、管理全體帳號、編製測驗卷、查看測驗結果等。 (二)教師功能選單 可分為登錄帳號、管理受試者帳號、設定測驗、觀看測驗分析等。 (三)學生功能選單 可分為登錄帳號資料、進行測驗等。 二、系統功能模組方面 (一)登入系統模組 使用者輸入帳號及密碼，比對資料庫內已登錄的資料進行權限判定，可進入 該帳號權限之功能選單。 (二)登錄帳號模組 使用者可在此登錄帳號資料，包含使用者名稱、密碼、姓名、性別、年級、 縣市、學校等。 (三)試卷呈現模組 使資料庫中取出的試卷各試題資料，在網頁中以圖形化呈現，教師依據建置 好的測驗卷設定考試日期與受試者帳號，進而進行學生測驗。 (四)試卷判斷模組 將使用者作答結果與從資料庫取出之試卷各試題正確答案作比較，記錄作答 情形。 (五)測驗結果顯示模組 將使用者資料及測驗結果轉化為表格顯示，並做出分析。 (六)試卷或試題編輯模組
試題資料，再選擇試題建立試卷。 三、資料庫內資料表方面 (一)教師資料表 記錄教師個人資料，如帳號、密碼、姓名、學校、班級等。 (二)學生資料表 記錄學生個人資料，包含姓名、學號、帳號群組、學校、年級、班級、性別、 作答試卷編號、作答資料等。 (三)試題資料表 記錄試題編號、試題題目內容、各規則下所對應之答案、試題反應力、試題 區別力等。 (四)試卷資料表 記錄試卷編號、試卷時間、試卷內各試題之編號等。
貳、系統功能
本系統預期達成的功能有以下幾點： 一、系統管理 系統管理者具有最大權限，能線上管理所有帳號資料，包含建立及修改帳號 資料。 二、帳號管理 教師可建立與管理自己所屬之受試者帳號，包含新增及修改學生帳號，以 提供受試者進行參與測驗。 三、測驗管理 系統管理者與教師可線上進行新增試題、修改試題、新增試卷、設定測驗時 間、受試者進行測驗，考試時產生圖形化試題介面，以及考試後做試卷分析、作第三節 系統建置
本節就建置時擬採用的開發工具、網頁技術、資料庫格式、試卷編製等部 份加以說明。壹、開發工具
研究者在評估本研究所需達成的功能之後，擬採用PHP程式語法為系統網 頁開發之程式語言，並以Macromedia公司的Dreamweaver 8為系統開發建置之工 具。貳、資料庫格式
經過系統處理過程，擬定MySQL資料庫的內容，整個系統為同一個資料 庫，再區分為五個資料表(table)，各個資料表之功能及欄位所記載的資料內容 說明如下： 一、教師資料表 包含教師帳號、密碼、教師姓名、任教縣市、學校、班級等欄位，詳細如表 3-1 所示。 表 3-1 教師資料表格 欄位名稱 型態 欄寬 說明 member_id 字元 20 帳號 password 字元 20 密碼 name 字元 15 姓名 sex 字元 2 性別 city 數字 3 縣市代號 school 字元 40 學校名稱 classroom 字元 15 班級包含學生帳號、密碼、教師姓名、性別、縣市、學校、班級等欄位，詳細如 表3-2所示。 表 3-2 學生資料表格 三、試題資料表 包括試題內容、各規則對應之答案、試題解釋力、試題區別力，詳細如表 3-3 所示。 表 3-3 試題資料表格 欄位名稱 型態 欄寬 說明 item_id 數字 10 系統自動編號(主要鍵) left_o 數字 1 左邊純果汁杯數 left_w 數字 1 左邊純水杯數 right_o 數字 1 右邊純果汁杯數 right_w 數字 1 右邊純水杯數 rule1 字元 3 規則 1 解答 rule2 數字 1 規則 2 解答 rule3 數字 1 規則 3 解答 rule4 數字 1 規則 4 解答 rule5 數字 1 規則 5 解答 inter 浮點數 試題解釋力 欄位名稱 型態 欄寬 說明 s_id 字元 26 帳號 student_num 數字 5 學號 stu_name 字元 15 姓名 stu_sex 字元 2 性別 stu_city 數字 3 縣市代號 stu_school 字元 40 學校名稱 stu_grade 數字 1 年級 stu_class 字元 15 班級
四、試卷資料表 包括系統編號、試題編號、出題者編號、受試者帳號，詳細如表 3-4 所示。 表 3-4 試卷資料表格 欄位名稱 型態 欄寬 說明 exam_id 數字 5 系統自動編號(主要鍵) test_id 數字 5 試題編號 id teacher_id 字元 20 出卷者帳號 student_id 字元 20 受試者帳號 end_time 日期 測驗期限 五、作答資料表 包括系統編號、填寫者帳號、選項。 表 3-5 作答資料表 欄位名稱 型態 欄寬 說明 id 數字 系統自動編號(主要鍵) exam_id 數字 5 測驗編號 test_id 數字 5 試卷編號 teacher_id 字元 20 所屬教師帳號 student_id 字元 20 受試者帳號 stu_num 數字 5 學生學號 ans-time 日期 作答日期 answer 數字 1 作答
參、試卷編製格式
一、題目設計 本系統所採用的柳橙汁濃度測驗使用五種解題規則，分別是規則 1 至規則 5，以及三種答題反應，分別是左邊、右邊、相等，來建立題目，一份試卷共計25 題。 試卷使用題目如表 3-6 所示，其中圖 3-3 為題號 3 組合(8,4) vs. (7,5)之網頁 圖示。 表 3-6 各題的組合及各規則下的答案 題號 組合 規則 1 規則 2 規則 3 規則 4 規則 5 1 (9,4)vs.(3,1) 1,2 1 3 1 2 2 (5,7)vs.(6,8) 1,2 2 3 3 2 3 (8,4)vs.(7,5) 1,2 1 3 1 1 4 (1,2)vs.(1,5) 1,2 3 3 1 1 5 (2,5)vs.(6,7) 1,2 2 3 2 2 6 (3,1)vs.(5,2) 1,2 2 3 2 1 7 (1,1)vs.(2,2) 1,2 2 3 3 3 8 (2,3)vs.(4,5) 1,2 2 3 3 2 9 (1,3)vs.(4,5) 1,2 2 3 2 2 10 (2,5)vs.(0,1) 1 1 3 2 1 11 (9,9)vs.(9,9) 1,2 3 3 3 3 12 (1,1)vs.(1,2) 1,2 3 1 1 1 13 (2,3)vs.(1,2) 1,2 1 3 3 1 14 (2,4)vs.(3,5) 1,2 2 3 3 2 15 (4,6)vs.(4,4) 1,2 3 2 2 2 16 (1,0)vs.(4,2) 1 1 3 2 1 17 (4,1)vs.(6,4) 1,2 2 3 1 1 18 (6,6)vs.(8,7) 1,2 2 3 2 2 19 (5,0)vs.(2,0) 1,2 1 3 1 3 20 (2,2)vs.(2,4) 1,2 3 1 1 1 21 (1,3)vs.(1,1) 1,2 3 2 2 2 22 (3,4)vs.(2,5) 1,2 1 3 1 1 23 (3,1)vs.(1,0) 1,2 1 3 1 2 24 (1,1)vs.(1,0) 1,2 3 3 2 2 25 (8,2)vs.(7,3) 1,2 1 3 1 1 註：各規則下之數字 1 代表選擇「左邊」，2 代表選擇「右邊」，3 代表選擇「相等」
圖 3-3 (8,4)vs.(7,5)試題範例 如圖 3-3 所示，試題為左邊有 8 杯果汁、4 杯純水，右邊則有 7 杯果汁、5 杯純水，由受試者選擇答案，在此試題下，使用規則 1，將選擇「左邊」或「右 邊」為答案；使用規則 2，將選擇「左邊」為答案；使用規則 3，將選擇「相等」 為答案；使用規則 4，將選擇「左邊」為答案；使用規則 5，將選擇「左邊」為 答案。 依據精緻試題有向圖分析方法所計算出的反應解釋力與反應區別力數值，反 應解釋力的值域介於
[ ]
0,1 之間，其值愈高，表示該題的反應愈能被規則所解釋(林 原宏，2005b)。反應區別力的值域亦介於[ ]
0,1 之間，其值愈高，表示該題的反應 愈能被不同規則所區別出來(林原宏，2005b)。表 3-7 為第 3 題作答選項反應與規 則之對應關係表。表 3-7 中，如果反應能被該規則所對應解釋，則以 1 表示；反 之則以 0 表示。 表 3-7 試題(8,4)vs.(7,5)的反應與規則的對應關係表 規則 列總和 i dis 規則 1 規則 2 規則 3 規則 4 規則 5 反 應 左邊(反應 1) 1 1 0 1 1 4 相等(反應 2) 1 0 0 0 0 1 右邊(反應 3) 0 0 1 0 0 1表3-8 各試題的反應解釋力與反應區別力 題號 組合 反應解釋力 反應區別力 1 (9,4)vs.(3,1) 1 0.61 2 (5,7)vs.(6,8) 1 0.61 3 (8,4)vs.(7,5) 1 0.75 4 (1,2)vs.(1,5) 1 0.61 5 (2,5)vs.(6,7) 1 0.75 6 (3,1)vs.(5,2) 1 0.61 7 (1,1)vs.(2,2) 1 0.61 8 (2,3)vs.(4,5) 1 0.61 9 (1,3)vs.(4,5) 1 0.75 10 (2,5)vs.(0,1) 1 0.78 11 (9,9)vs.(9,9) 1 0.75 12 (1,1)vs.(1,2) 1 0.75 13 (2,3)vs.(1,2) 1 0.61 14 (2,4)vs.(3,5) 1 0.61 15 (4,6)vs.(4,4) 1 0.75 16 (1,0)vs.(4,2) 1 0.78 17 (4,1)vs.(6,4) 1 0.61 18 (6,6)vs.(8,7) 1 0.75 19 (5,0)vs.(2,0) 1 0.61 20 (2,2)vs.(2,4) 1 0.75 21 (1,3)vs.(1,1) 1 0.75 22 (3,4)vs.(2,5) 1 0.75 23 (3,1)vs.(1,0) 1 0.61 24 (1,1)vs.(1,0) 1 0.61 25 (8,2)vs.(7,3) 1 0.75 依據反應解釋力公式 I int I i i
∑
=1 及反應區別力公式 I dis I i i∑
= 1 1 ，可計算出表 3-7 的 反應解釋力為1 1 1 1 3 + + = ，反應區別力為 14 11 11 3 3 4 + +=
=0.75。各試題所計算 出的反應解釋力與反應區別力數值如表 3-8 所示。為了說明方便，將以本次施測中某一受試者為例，並依其作答答案，進行該 試題各規則計分。依據此受試者的所有試題作答答案，進行各試題之規則計分， 計分整理如表 3-9 所示。 表 3-9 編號 70 受試者試題作答情形及其計分 題號 作答 各規則計分 規則 1 規則 2 規則 3 規則 4 規則 5 1 2 1 0 0 0 1 2 3 0 0 1 1 0 3 3 0 0 1 0 0 4 1 1 0 0 1 1 5 2 1 1 0 1 1 6 1 1 0 0 0 1 7 3 0 0 1 1 1 8 3 0 0 1 1 0 9 2 1 1 0 1 1 10 1 0 0 1 0 1 11 3 0 1 0 0 1 12 1 0 1 1 1 1 13 1 1 0 1 1 1 14 2 1 1 0 0 1 15 2 1 0 1 1 1 16 3 0 0 1 0 0 17 1 1 0 0 1 1 18 2 1 1 0 1 1 19 3 0 0 1 0 1 20 1 1 0 1 1 1 21 2 1 0 1 1 1 22 1 1 1 0 1 1 23 2 1 0 0 0 1 24 2 1 0 0 1 1 25 1 1 1 0 1 1 將林原宏(2005a)的「試題 i 和試題 j 的答題人數列聯表」修改成「規則 i 和 規則 j 的使用次數列聯表」，如表 3-10 所示。
表 3-10 規則 i 和規則 j 的答題人數之列聯表 規則 j 總和 規 則 i 1 0 1 n11 n10 n1• 0 n01 n00 n0• 總合 n•1 n•0 n=n11+n10+n01+n00 在表 3-10 中規則 i 和規則 j 的組合反應共有(1,1)、(1,0)、(0,1)、(0,0)四種， 其中(0,1)的組合反應不滿足「規則 i 優先使用於規則 j」之情形，在受試者的所有 施測試題之各規則中有(0,1)的組合反應，並統計其使用次數以n01表示，而該受試 者之全部施測試題以n表示，則n01/n 可代表(0,1)的組合反應使用次數佔該受試 者之全部施測試題的比值，其值的範圍為 0≤n01/n≤ 。 1 若n01/n愈小，表示規則 i 愈可能優先使用於規則 j。閾值ε決定試題 i 與試題 j 是否有次序關係，其關係如下： (一)若(n01/ )n < ，表示規則 i 優先使用於規則 j，即規則 i 為規則 j 的前置關係，ε 在解題規則次序關係矩陣中的元素以 1 代表。 (二)若(n01/ )n ≥ ，表示規則 i 不是規則 j 的前置關係，在解題規則次序關係矩陣ε 中的元素以 0 代表。
至於ε的選定，Bart and Krus (1973)建議容忍水準可取為ε =.2。但在實證研
究中，ε 值可由研究者來決定。
表 3-11 n01/n係數矩陣 規則 j 規 則 i 規則 1 規則 2 規則 3 規則 4 規則 5 規則 1 - .08 .12 .08 .16 規則 2 .44 - .28 .36 .48 規則 3 .64 .44 - .40 .60 規則 4 .24 .16 .04 - .28 規則 5 .08 .04 0 .04 - 表 3-12 解題規則次序關係矩陣 規則 j 規 則 i 規則 1 規則 2 規則 3 規則 4 規則 5 規則 1 1 1 1 1 1 規則 2 0 1 0 0 0 規則 3 0 0 1 0 0 規則 4 0 1 1 1 0 規則 5 1 1 1 1 1 根據解題規則次序關係矩陣可繪製解題規則階層結構圖，如圖 3-4 所示。 圖 3-4 編號 70 受試者之解題規則階層結構圖 三、生手與專家之解題規則結構圖的比較方法 為了能夠瞭解專家與生手在解題規則上的差異性，可藉由比較其解題規則結
構圖來得知。林原宏(2005a)比較解題規則結構圖，是根據規則次序關係矩陣。根 據表 3-9 的計算方法，某受試者的規則次序關係矩陣為R=( )rij M M× 。若已知 ( )ij M M R= r × ，則以 ( )Gνi 表示規則 i 為其先備條件的所有規則之集合，定義公式為 ( ij) { j| ij 1} Gν = ν r = 。例如，在R=( )rij M M× 中，若只存在rii = 、1 ril = 、1 rik = ，且i l1 ≠ 、 i≠ ，則 ( ) { , , }k Gνi = ν ν νi l k 。 假 設 有 兩 位 受 試 者 A 和 B ， 其 規 則 關 係 矩 陣 分 別 為 RA =( )rij M M× 和 ( ) B ij M M R = r × ；且其規則 i 為其先備條件的所有規則之集合分別為GA( )νi 和GB( )νi 。
依據 Goldsmith, Johnson, and Acton (1990)以及林原宏、游森期(2006)的集合交集 與聯集之比值計算方法，則受試者 A 和 B 的解題規則結構圖相似性係數為 1 #( ( ) ( )) 1 ( ) #( ( ) ( )) M A m B m AB m A m B m G G S M G G ν ν ν ν = ∩ = ∑ ∪ ， 其 中GA(νm)∩GB(νm)表 示 兩 個 集 合 之 交 集 ， ( ) ( ) A m B m G ν ∪G ν 表 示 兩 個 集 合 之 聯 集 ， #表 示 集 合 的 元 素 個 數 。 相 似 性 係 數 0≤SAB≤ ，1 S 越大，表示受試者 A 和 B 的解題規則結構圖越相似，其認知結構AB 也越相似，反之則否。 本研究定義「所有題目均答對」為專家的反應資料，將受試者的解題規則結 構圖與專家的解題規則結構圖比較。若相似性係數S 越大，表示該受試者解題AB 規則結構圖與專家越近似，其認知結構為較高層次。本研究中，專家係數矩陣和 規則次序關係矩陣分別為表 3-13 與表 3-14。
表 3-13 專家n01/n係數矩陣 規則 j 規 則 i 規則 1 規則 2 規則 3 規則 4 規則 5 規則 1 - .12 .12 .08 .20 規則 2 .40 - .24 .32 .48 規則 3 .64 .48 - .36 .72 規則 4 .28 .24 .04 - .40 規則 5 0 0 0 0 - 表 3-14 專家解題規則次序關係矩陣 規則 j 規 則 i 規則 1 規則 2 規則 3 規則 4 規則 5 規則 1 1 1 1 1 1 規則 2 0 1 0 0 0 規則 3 0 0 1 0 0 規則 4 0 0 1 1 0 規則 5 1 1 1 1 1 根據規則次序關係矩陣，專家的解題規則結構圖如圖 3-5 所示。 圖 3-5 專家解題規則階層結構圖 根據解題規則結構圖相似性係數公式，將專家和編號 70 受試者的解題規則
表 3-15 專家和編號 70 受試者的規則次序關係矩陣之比較 節點Vm A( m) B( m) G v ∩G v G vA( m)∪G vB( m) A B A B #( ( ) ( )) #( ( ) ( )) m m m m G v G v G v G v ∩ ∪ 1 V V2 V3 V4 V5 V1 V2 V3 V4 V5 1 V 專家 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 受試者 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 交集 V1V2V3V4V5 聯集 V1V2V3V4V5 2 V 專家 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 受試者 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 交集 V2 聯集 V2 3 V 專家 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 受試者 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 交集 V3 聯集 V3 4 V 專家 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 受試者 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 交集 V3V4 聯集 V2V3V4 5 V 專家 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 受試者 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 交集 V1V2V3V4V5 聯集 V1V2V3V4V5 根據表 3-15 之解題規則次序關係矩陣比較，其計算方式如下： 1 V節點鄰接的交集節點數為 5(V1、V2、V3、V4、V5)，聯集節點數為 5(V1、V2、
後將做五個節點交聯集之總平均，其值如下。 1 #( ( ) ( )) 1 ( ) #( ( ) ( )) 1 5 1 1 2 5 ( ) .93 5 5 1 1 3 5 M A m B m AB m A m B m G v G v M G v G v S = ∩ ∪ =
∑
= × + + + + = 本研究將此運算方式，利用 PHP 程式，直接計算出每位受試者的專家相似 性係數，並和該受試者的解題規則結構圖同時呈現。肆、施測步驟與樣本
一、樣本方面 本測驗擬於中部縣市國小施測，學生年級以國小五、六年級普通班學童為 主，共計16個班級471位學生，進行網路化解題規則測驗系統之實證研究，其樣 本統計如表3-16所示。 表3-16 研究對象有效樣本人數統計 年 級 男 生 女 生 合計 5 年級 69 54 123 6 年級 170 178 348 合計 239 232 471 二、施測流程 (一)學生方面 每次施測時以一個班級為單位，時間為一節課40分鐘，前5分鐘為施測說明 及施測過程，後35分鐘為作答時間。詳細施測過程如下： 1.受試者進入電腦教室後，採一人一機的方式施測。受試者首先坐於電腦前，由 教師說明柳橙汁濃度測驗系統的進入方式、測驗系統的實施流程等。 2.指導每位受試者登入系統並調整視窗位置，進入學生功能頁後，之後選擇試卷 名稱，按下「進行測驗」按鈕，等候主試者的命令，當所有學生都準備好之頁面，使受試者於同一時間開始測驗。 3.測驗結束後，系統會告知受試者登出頁面，待受試者顯示登出，測驗即完成。 (二)教師方面 利用約一個小時，做為研究者進行各項功能說明及指導教師實際操作。大 致實施過程如下： 1.教師進入電腦教室後，採一人一機的方式施測。教師首先坐於電腦前，由研究 者說明柳橙汁濃度測驗系統的進入方式、題庫系統的操作流程等。 2.由研究者示範柳橙汁濃度測驗系統各項功能及操作，再由教師實際動手操作一 次。操作功能包括：註冊教師帳號、系統登入、設定學生帳號、設定考試時 間、模擬測驗及觀看結果等六種功能為主。
第四節 統計分析
一、資料分析流程 本研究將次序理論(Bart ＆ Krus, 1973)應用於柳橙汁濃度測驗解題規則次 序性的分析，使原本探討次序性關係的元素由「試題」改成「規則」間的次序性 研究，透過次序理論可以找出解題規則次序關係矩陣，以繪製解題規則階層結構 圖，並將規則次序性關係的判斷邏輯概念利用 PHP 程式建置於本系統之中，以達 到快速分析之效益。 以下簡述資料之分析流程： 圖3-6 資料分析流程 次序理論 施測系統 資料庫 作答資料 (反應組型) 1.受試者得分 2.解題規則階層結構圖 3.專家相似性係數可以利用測驗分析功能，查詢使用者的答案、答對題數與反應組型，並透過程式 運算顯示出受試者的解題規則階層結構圖以及專家相似性係數等訊息。 二、資料分析方式 Noelting (1980)的柳橙汁濃度測驗規則有五個規則，而每個試題均有五個解 題規則相對應的標準答案，將受試者之作答答案與各規則下之對應答案做比 對，如果符合該規則，則計分為1，否則為0，可獲得受試者得分矩陣。舉例來 說，若某一受試者在題號16作答答案為3(相等)，則該試題之計分如表3-17所示。 表3-17 試題題號16各規則之相對應的標準答案及計分 規則 1 規則 2 規則 3 規則 4 規則 5 該規則下答案 1 1 3 2 1 反應 3 3 3 3 3 計分 0 0 1 0 0 本研究根據研究目的，記錄受試者總分(以規則 5 為正確答案)及反應組型， 並以各解題規則對應之計分，依照次序理論，將規則 i 和規則 j 的組合反應為(0,1) 者，紀錄如表 3-11 之 n01/n係數矩陣，並以閾值ε =0.2 換算成表 3-12 之規則次 序關係矩陣，則可繪製如圖 3-4 之解題規則結構圖。本研究定義「所有題目均答 對」為專家的反應資料，將專家和受試者的規則次序關係矩陣做比較，則可進一 步算出專家相似性係數。
第五節 研究工具
本節依軟體、硬體兩方面來綜合敘述本研究之各項研究工具。壹、軟體方面
1.系統發展平台 本系統發展的平台建置於以 Windows 2003 為作業系統的伺服器上，並配 合 Apache 2.2.4 版當作網頁伺服器。在資料庫伺服器部分使用 MySQL 5.0.45 版，而網頁程式實際以 PHP，JavaScript 等網頁語法來完成整個系統程式的撰 寫工作。 2.資料庫建立 本 系 統 是 以 MySQL 5.0.45 版 作 為 後 端 資 料 庫 ， 在 使 用 者 端 使 用 phpMyAdmin 2.10.2 的管理介面，透過網路，即可對資料庫結構做編修的工作。 或者使用資料庫語法，在網頁中以程式呼叫資料庫來使用。 3.網頁畫面編修 在全球資訊網上主要是由 HTML 的語法來撰寫，由於柳橙汁濃度測驗系 統 是 以 PHP 語 法 來 建 構 ， 可 以 內 嵌 在 HTML 碼 。 因 此 以 Macromedia Dreamweaver 8 文字編輯器做為編輯網頁的工具。以下為各軟體簡介。 一、伺服器端 (一)網路作業系統 Windows 2003，作為伺服器端的網路作業系統。 (二)資料庫管理系統 MySQL 5.0.45：SQL(結構化查詢語言)是標準化的資料庫語言。MySQL 資料庫管理系統則透過SQL語言，來處理使用者端與伺服器端之間的需求。 (三)Web Server Apache 2.2.4：架設在WWW架構下的伺服器端軟體，可提供本研究透過 使用網頁語法在其上操作。 二、使用者端
(一)作業系統
建議以Microsoft Windows XP以上為主，螢幕解析度設為1024x768。 (二)全球資訊網瀏覽器
建議使用Microsoft Internet Explorer 6.0中文版以上為主，或其相容瀏覽器亦 可。 三、系統開發工具 (一) Macromedia Dreamweaver 8 由於本系統是以PHP語法構成，因此以撰寫互動式網頁與資料庫網頁的 Macromedia Dreamweaver 8為主要工具。 (二) PHP 5.2.3 PHP是開放原始碼的通用腳本語言，特別適合用來開發網站程式，可以內嵌 在HTML碼。PHP程式的原始碼是純文字，所以可以用任何可處理純文字檔的文 字編輯器來撰寫PHP程式，主要用於伺服器端應用程序及動態網頁上
。
(三) phpMyAdmin 2.10.2 phpMyAdmin 是一種使用 php 語法來管理 MySQL 的網頁介面工具。透過此 工具可對資料庫做新增、修改、刪除、查詢等功能。貳、硬體方面
一、伺服器端(1)中央處理器 AMD Athlon(tm) 64 Processor 3000+(1.81GHz)。 (2)記憶體 1GB DDRII 667MHz ECC。
(3)SATAII 硬碟 160GB。
(4)G
igabit 網路介面，使用學術網路。
使用者端由於不確定其使用的硬體，因此所列為建議的最低硬體要求： (1)CPU 為 Intel Pentium 3 600 MHz 或其他相同等級以上之 CPU。
(2)隨機存取記憶體 128M Bytes 以上。 (3)硬碟容量為 250M Bytes 以上。 (4)螢幕為可顯示彩色之顯示器。
(5)顯示卡可顯示 256 色以上，以及解析度 800x600 以上。 (6)內含可上網設備之電腦。
