3-3-1圓與球面方程式-圓的方程式

全文

(1)第三冊 3-1 圓與球面方程式-圓的方程式【定義】 1. 圓的定義： y P ( x, y ). r O ( x0 , y 0 ). x. 2.. 平面上與一個定點 O 的距離是一定值 r 的所有點所形成的圖形為圓。定點 O 稱為圓的圓心，距離的定值 r 稱為圓的半徑。註：圓上任一點與圓心的連接線段也稱為半徑。圓的方程式—標準式：給定圓心 O( x0 , y0 ) ，半徑 r > 0 ，設 P ( x, y ) 在圓上. ⇔ PO = r ⇔ ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r ⇔ ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2. 3.. 4.. 稱為圓的標準式。註： (1)當圓心在原點 O (0,0) 且半徑為 r 時，圓方程式為 x 2 + y 2 = r 2 。 (2)圓的方程式重點就是在求圓心與半徑。圓的方程式—一般式：將圓化成形如 x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0 ，稱為圓的一般式。註： x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0 此種形式並不一定為圓。圓具有平方項係數相等，不含 xy 項的特性。形如 x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0 的方程式， d 2 e 2 d 2 + e2 − 4 f 可以用配方法將方程式化為 ( x + ) + ( y + ) = 的形式， 2 2 4 (1)若 d 2 + e 2 − 4 f > 0 ，則圖形為一圓，圓心為 (−. d 2 + e2 − 4 f d e ,− ) ，半徑為。 2 2 2. d e ,− ) 。 2 2 (3)若 d 2 + e 2 − 4 f < 0 ，則沒有圖形(或稱圖形中沒有點)。 (2)若 d 2 + e 2 − 4 f = 0 ，則圖形為一點，即點 (−.

(2) 5.. 圓的方程式—參數式： y. P ( x, y ) = (r cos θ , r sin θ ). θ x. O. (r ,0). ⎧ x = x0 + r cosθ ,0 ≤ θ < 2π 。圓 ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2 的參數式為 ⎨ ⎩ y = y0 + r sin θ 註： θ 為點與圓心連線與 x 軸正向的夾角。可用參數式表示某一段弧。 6. 圓的方程式—直徑式：以 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 為直徑之圓方程式為 ( x − x1 )( x − x2 ) + ( y − y1 )( y − y 2 ) = 0 。註：利用直徑所對應的圓周角為直角，配合兩向量內積為零證明。 7. 圓的方程式—圓系：過兩圓 C1 : x 2 + y 2 + d1 x + e1 y + f1 = 0, C2 : x 2 + y 2 + d 2 x + e2 y + f 2 = 0 交點之所有圓的方程式可以表為 m( x 2 + y 2 + d1 x + e1 y + f1 ) + n( x 2 + y 2 + d 2 x + e2 y + f 2 ) = 0 ，即 m(C1 ) + n(C 2 ) = 0 。【方法】不共線的三點可決定一個圓，求法有如下數種： 1. (方法一) 設為標準式 ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2 ，將三點代入求 x0 , y0 , r 。 2. (方法二) 設為一般式 x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0 ，將三點代入求 d , e, f 。 3. (方法三) 求兩中垂線交點為圓心，再求圓心至頂點距離為半徑。【討論】 ⎧ (x − x )2 − r 2 上半圓圖形 0 ⎪ 。 1. y − y0 = ⎨ 下半圓圖形 ⎪⎩− ( x − x0 ) 2 − r 2 ⎧ ( y − y )2 − r 2 右半圓圖形 0 ⎪ 2. x − x0 = ⎨ 。左半圓圖形 ⎪⎩− ( y − y 0 ) 2 − r 2. 1.

(3) 【問題】 1. 過不共線三點如何求出圓方程式？ 2. 給定三角形的三個頂點，如何作出三角形的外接圓？ 3. 給定圓的兩個弦，如何找出圓心位置？ 4. 過圓內一點 A 的所有弦的中點所成集合的圖形為何？ 5. 給定圓外兩相異點 A, B ，圓上的動點 P ，試問 ∆PAB 的最小面積為何？最大面積為何？幾何意義為何？. 2.

(4) 【定義】根軸(公共弦)： P. P. E. E D. D A. A. B. C. B. C. 設兩個不同心圓 C1 : x 2 + y 2 + d1 x + e1 y + f1 = 0 及 C 2 : x 2 + y 2 + d 2 x + e2 y + f 2 = 0 ，則直線 L : (d1 − d 2 ) x + (e1 − e2 ) y + ( f1 − f 2 ) = 0 就叫做圓 C1 與圓 C2 的根軸(radical axis)。根軸另一種定義：己知兩個圓，這兩個圓的根軸是滿足向兩圓所作的切線其長相等的點所成的軌跡。【定理】 1. 圓冪定理：設 P 為圓上或圓外一點，過 P 作圓的割線交圓於 A, B 兩點， O 為圓心， 2. 2.. 則 PA × PB = PO − r 2 為一定數，我們稱此定數為 P 對圓之冪。兩圓的根軸為一直線。證明：設 A, B 為己知兩圓的圓心， P 為根軸上的任意一點。以點 P 分別向兩圓作切線 PD, PE ，由於 P 在根軸上，所以 PD = PE 。連結各點，設 C 是 P 到直線 AB 的垂足，則 ∠PDA, ∠PEB , ∠PCA, ∠PCB 皆為直角。由勾股定理， 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 有 PC + CB − BE = PB − BE = PE = PD = PA − DA = PC + CA − DA ， 2. 2. 2. 2. 即 BE − DA = CB − CA = (CB − CA)(CB + CA) = (CB − CA) AB ， 2. 3.. 2. BE − DA 因此有 BC − CA = ，所以點 C 在線段 AB 上是固定的。 AB 由於 P 到直線 AB 上的垂足 C 是固定(只依賴於圓心距離、及兩圓的半徑)，所以 P 位於過點 C 且垂直 AB 的直線 L 上。即這兩個圓的根軸位於一條直線上。反過來，可由以上的方程式，得知直線 L 上的每一點到這兩個圓的距離是相同的。設點 P( x 0 , y 0 ) 作兩個不同心圓 C1 : x 2 + y 2 + d1 x + e1 y + f1 = 0 及 C 2 : x 2 + y 2 + d 2 x + e2 y + f 2 = 0 的切線段等長，則點 P 在直線 L : (d1 − d 2 ) x + (e1 − e2 ) y + ( f1 − f 2 ) = 0 上。證明：點 P( x 0 , y 0 ) 對兩圓的切線段等長 3.

(5) ⇔. x0 + y 0 + d 1 x0 + e1 y 0 + f 1 = x0 + y 0 + d 2 x0 + e2 y 0 + f 2 2. 2. 2. 2. ⇔ (d1 − d 2 ) x0 + (e1 − e2 ) y 0 + ( f1 − f 2 ) = 0 可知點 P( x 0 , y 0 ) 在直線 L : (d1 − d 2 ) x + (e1 − e2 ) y + ( f1 − f 2 ) = 0 上。特別地：如果兩圓 C1 , C2 相交於兩點 A, B 切線與兩圓交點分別為 T1,T2 ， 2. 2. 則 PT1 = PA ⋅ PB = PT2 。 4. 蒙日定理(根心定理)：設有三個圓心不共線的圓，它們兩兩的根軸互相平行或交於一點(此點稱為根心)。【性質】根軸的特性： 1. 兩圓的根軸垂直於兩圓的連心線。 2. 過兩圓交點的直線就是兩圓的根軸。(如果兩圓相交兩點，把兩圓方程式相減後的直線方程式為過此兩點的直線方程式) 說明：兩圓不相交，則可設兩圓交於兩虛點，則根軸也過此兩虛點。例如求兩不相交圓 ( x + 3) 2 + y 2 = 1 與 ( x − 3) 2 + y 2 = 1 的根軸，將兩式相減得 x = 0 ，相加得 y 2 = −8 ，兩圓交於 (0, 8i ), (0,− 8i ) 為兩虛點(在實數坐標平面上，這兩點並不存在)，如何連這兩點？若以廣義角度來看，並認為此兩點是對稱於 x 軸的，那麼它們的連線便可看成是 x = 0 。 3. 若兩圓相切，則根軸即為過切點的公切線。 (如果兩圓相切(外切,內切)一點，把兩圓方程式相減後的直線方程式為過此點的直線方程式) 4. 若兩圓相離，則根軸即為公切線中點的連線。 (也就是對兩圓的冪相等，是公切線段中點的連線) 5. 到兩圓的切線長相等的點，一定在根軸上。【問題】 1. 已知兩個相離的圓，如何利用尺規做出根軸？ 2. 圓 O 外一點 P 作兩切線，切點分別為 A, B ，則直線 AB 稱為 P 點關於圓 O 的根軸，尺規作圖很容易找出根軸，但是若只限用直尺作圖，應該如何作圖？ 3. 過不共線的三點恰有一圓，利用尺規坐圖很容易作出這個圖，若只利用圓規作圖，能不能作出這個圓？【定義】阿波羅尼斯圓(Apollonius 圓)：平面上與兩定數的距離為一定數，此定數不等於 1的點所形成的圖形為一個圓。早在古希臘時期，希臘的幾何學家阿波羅尼斯就提出這個問題，所以這個圓我們就稱它為阿波羅尼斯圓。【定理】設 A, B 為平面上的兩相異點， k 為不等於 1 的正實數，則平面上滿足 PA = k PB 的所有點 P 的圖形為一圓。. 4.

(6) 【性質】 1. 圓的伸縮：. 2.. v v. 在一平面上，設 O 為原點，且 Q 是圓上的動點。若 O P = k O Q ，則所有動點 P 所形成的圖形仍然為一圓。註：利用伸縮的概念說明。至兩定點距離比為定值：在一平面上，設 A, B 是兩個相異的定點， P 為此平面上的動點。. 若 PA = k PB ( k > 0 )，則所有動點 P 所形成的圖形討論如下： (1)若 k = 1 ，則圖形為一直線，就是 AB 的垂直平分線。 (2)若 0 < k < 1 ，則圖形為一圓，且圓包含 A 點於其內部。註： A 點不是圓心。 (3)若 k > 1 ，則圖形為一圓，且圓包含 B 點於其內部。註： B 點不是圓心。【問題】 1. 設給定圓 C ，若 A 為圓外一定點， B 為圓上一動點，則所有 A, B 中點所成集合的圖形為何？ 2. 3.. 設給定圓 C ，若 A 為圓外一定點， B 為圓上一動點，則所有滿足 PA = k PB 的點所成集合的圖形為何？試分成 k > 1, k = 1,0 < k < 1 討論之？給定一圓，此圓之任意兩條互相垂直切線的交點，所形成的圖形為何？. 5.

(7)