3-2-3空間中的直線與平面-空間向量的坐標表示法

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(1)第三冊 2-3 空間中的直線與平面-空間向量的坐標表示法【定義】加法、減法與係數積：設空間中任意兩向量 u = (a1 , a 2 , a3 ), v = (b1 , b2 , b3 ) ，以及任意實數 r ，恆有 1. u + v = (a1 + b1 , a 2 + b2 , a3 + b3 ) 。 2. u − v = (a1 − b1 , a 2 − b2 , a3 − b3 ) 。 3. r u = (ra1 , ra2 , ra3 ) 。【性質】 1. 對於空間中任意向量 u 及任意實數 r ，恆有 | r u |= r | u | 。 2. 設空間中任意兩向量 u = (a1 , a 2 , a3 ), v = (b1 , b2 , b3 ) ，則 u ⋅ v = a1b1 + a2 b2 + a3b3 。【定義】單位向量：. a 方向上的單位向量為. a. 。. |a| 正射影向量：. b 在 a 方向上的投影向量稱為 b 在 a 方向上的正射影且等於 (. b⋅a | a |2. )a 。. a. b. 正射影長：. b 在 a 方向上的投影向量長稱為 b 在 a 方向上的正射影長且長度等於. |b⋅a | |a|. 【公式】 1. 三維分點公式：設 A( x1 , y1 , z1 ), B( x 2 , y 2 , z 2 ) 為相異兩點，若 P ( x, y, z ) 為線段 AB 上一點，且滿足 AP : PB = m : n ， n m 則 OP = OA + OB ， m+n m+n nx + mx 2 ny1 + my 2 nz1 + mz 2 , , )。即 ( x, y , z ) = ( 1 m+n m+n m+n 2. 設空間中任意兩向量 u = (a1 , a 2 , a3 ), v = (b1 , b2 , b3 ) 且其夾角為 θ ，則 cosθ =. u ⋅v |u |⋅| v |. =. a1b1 + a 2 b2 + a3b3 a1 + a2 + a3 2. 2. 2. b1 + b2 + b3 2. 18. 2. 2. 。.

(2) 3.. 科西不等式：設空間中任意兩向量 u = (a1 , a 2 , a3 ), v = (b1 , b2 , b3 ) ，可得 | u ⋅ v |≤| u | ⋅ | v | 即 | a1b1 + a2 b2 + a3b3 |≤ a1 + a2 + a3 2. 2. 2. b1 + b2 + b3 2. 2. 2. 且等號成立的條件為兩向量 u, v 互相平行。【討論】 1. 試求與兩不平行向量 u = (a1 , a 2 , a3 ), v = (b1 , b2 , b3 ) 同時垂直的向量 w 為何？解：. w v. u. 設 w = ( x, y , z ) 則 u ⋅ w = 0, v ⋅ w = 0 ⎧a1 x + a 2 y + a3 z = 0 得⎨ ⎩b1 x + b2 y + b3 z = 0 因兩向量不平行故 a1b2 − a 2 b1 ≠ 0, a 2 b3 − a3 b2 ≠ 0, a1b3 − a3 b1 ≠ 0 至少有一個成立設 a1b2 − a 2 b1 ≠ 0 ⎧a1 x + a 2 y = − a3 z 解⎨ ⎩b1 x + b2 y = −b3 z a 3 a1 a 2 a3 b b1 b b3 z 得x = 2 z, y = 3 a1 a 2 a1 a 2 b1 b2 b1 b2 (定義. a b = ad − bc ) c d. 故x: y:z =. a2 b2. a3 a3 : b3 b3. a1 a1 : b1 b1. a2 b2. 【定義】外積：令 w = (a 2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1b3 , a1b2 − a 2 b1 ) = (|. a2 b2. a3 a3 |, | b3 b3. 則 w 稱為 u , v 的外積(cross)，以符號 w = u × v 表示。 19. a1 a1 |, | b1 b1. a2 |) b2.

(3) 【性質】 1.. 外積定成空間中與兩向量 u = (a1 , a 2 , a3 ), v = (b1 , b2 , b3 ) 同時垂直的向量 w ，則由 u , v 所決定的平行四邊形的面積為 | w |=| u × v |=| u | × | v | × sin θ ，其中 θ 為 u, v 的夾角。且可知 u ⋅ w = 0, v ⋅ w = 0 (即 w ⊥ u , w ⊥ v ) 證明：由 u, v 所決定的平行四邊形的面積為所決定的平行四邊形的面積 | u | × | v | × sin θ. =| u | × | v | × 1 − cos 2 θ =| u | × | v | × 1 − (. u ⋅v |u |×|v |. )2. = | u | 2 × | v | 2 −(u ⋅ v) 2 = (a1 + a 2 + a3 ) 2 (b1 + b2 + b3 ) 2 − (a1b1 + a 2 b2 + a3b3 ) 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. = (a 2 b3 − a3b2 ) 2 + (a3 b1 − a1b3 ) 2 + (a1b2 − a 2 b1 ) 2. = (. a2. a3. b2. b3. )2 + (. a3. a1. b3. b1. )2 + (. a1. a2. b1. b2. )2. =| u × v | =| w | 2. 外積是有方向性的，適用右手系法則。【問題】. 1.. 試檢驗 | w |=| u × v |=| u | × | v | × sin θ ，其中 θ 為 u, v 的夾角。. 2. 試檢驗 u × v 與 v × u 是否相等？【性質】設 a, b, c 為空間中的三個向量： 1.. a × b = −(b × a ) 。. 2.. (r a ) × b = r (a × b) ， r 為任意實數。. 3.. (a + b) × c = (a × b) + (b × c). 4.. 若 a 與 b 是非零且不共線的向量，則 | a × b | 等於由 a 與 b 所展成的平行四邊形的面積。. 5.. 若 a // b ，則 a × b = 0 。. 20.

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