1-3-3多項式-最高公因式與最低公倍式

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(1)1-3-3 多項式-最高公因式與最低公倍式【定義】 1. 公因式(common factor)：若多項式 d (x ) 是的 f (x ) 因式，也是 g (x ) 的因式，則稱 d (x ) 是 f (x ) 與 g (x ) 的一個公因式。當 k ≠ 0 時， kd (x) 也是 f (x ) 與 g (x ) 的一個公因式。 2. 最高公因式(highest common factor)：多項式 f (x ) 與 g (x ) 的公因式中，次數最高的稱為 f (x ) 與 g (x ) 的最高公因式，記為 ( f ( x), g ( x)) 或 H.C.F.。 H.C.F.不唯一，最高公因式的每一個非零常數倍，也都是最高公因式。 3. 輾轉相除法原理(The Euclidean Algorithm)：若多項式 f (x ) 除以 g (x ) 得商式 q (x) ，餘式 r (x ) ，則 f (x ) 與 g (x ) 的H.C.F.與 g (x ) 與 r (x ) 的H.C.F.相同，即 ( f ( x), g ( x)) = ( g ( x ), r ( x )) 。註：輾轉相除法中國古代叫作"更相減損求等"，西洋稱"歐幾里德除法原理"。 4. 公倍式(common multiple)：若多項式 m(x ) 是 f (x ) 的倍式，也是 g (x ) 的倍式，則稱 m(x ) 是 f (x ) 與 g (x ) 的一個公倍式。當 k ≠ 0 時， km (x ) 也是 f (x ) 與 g (x ) 的一個公倍式。 5. 最低公倍式(least common multiple 或 lowest common multiple)：多項式 f (x ) 與 g (x ) 的公倍式中，次數最低的稱為 f (x ) 與 g (x ) 的最低公倍式，記為 [ f ( x ), g ( x )] 或 L.C.M.。最低公倍式的每一個非零常數倍，也是一個最低公倍式，常要求首項係數為 1。 L.C.M.不唯一，最低公倍式的每一個非零常數倍，也都是最低公倍式。 6. 互質：若 ( f ( x ), g ( x )) = c, c ≠ 0 ，則稱 f (x ) 與 g (x ) 互質。【性質】設 f ( x ), g ( x ), d ( x ) 均為多項式，則 1. 遞移律：若 d ( x ) | f ( x ), f ( x) | g ( x) ，則 d ( x ) | g ( x ) 。 2. 線性組合性質：若 d (x ) 是 f (x ) 與 g (x ) 的一個公因式，則 d (x ) 是 m ( x ) f ( x ) + n( x ) g ( x ) 的因式，對任意多項式 m( x), n( x ) 均成立。 3. 若 d ( x ) | f ( x ) g ( x ) ，且 d (x ) 與 g (x ) 互質，則 d ( x) | f ( x ) 。 4. f ( x ) × g ( x) = c ( f ( x), g ( x)) × [ f ( x ), g ( x )], c ≠ 0.

(2) 【原理】 1. 輾轉相除法原理：設 f (x ) 與 g (x ) 是兩個非零多項式且 deg f ( x ) ≥ deg g ( x ) ，若 f (x ) 除以 g (x ) 之商為 q (x) ，餘式為 r (x ) ，即 f ( x) = g ( x)q ( x) + r ( x) ，則 ( f ( x ), g ( x )) = ( g ( x ), r ( x)) 。 2. 最高公因式的表現定理：設 ( f ( x ), g ( x )) = d ( x ) ，則可以找到兩個多項式 m( x), n( x) ，使得 d ( x ) = m( x ) f ( x ) + n( x ) g ( x) 。【方法】 1. 求最高公因式時，有以下幾種常用方法： (1)因式分解法：適用於次方較低，易於分解者。 (2)利用線性組合性質：適用於次方較高，或含有未知數者。設 f ( x ), g ( x ) 都是多項式，若 d ( x ) | f ( x ) 且 d ( x) | g ( x ) ，則對於任意兩多項式 m( x), n( x) ， d ( x) | f ( x ) m( x) + g ( x) n( x) 。註：經過線性組合得到多項式 f ( x ) m( x ) + g ( x ) n( x ) ，看似更複雜，但當消去最高次項或最低次項或未知數時，實際上已經把問題簡化。 (3)利用輾轉相除法原理：適用於不易分解，且次方較高者。設 f ( x), g ( x ), q ( x ), r ( x) 都是多項式，且 f ( x ) = g ( x )q ( x ) + r ( x ) ，其中 r ( x) = 0 或 deg r ( x) < deg g ( x ) ，則 ( f ( x), g ( x )) = ( g ( x ), r ( x)) 註：此原理把求 ( f ( x ), g ( x)) 的問題，變為求 ( g ( x), r ( x )) 的問題，也就是最高公因式在餘式 r (x ) 內找即可，此時次數已經降低了。又使用輾轉相除法的過程中可把任一多項式的係數同乘或除以一個非零常數。 2. 求最低公倍式的方法： f ( x) g ( x) (k ≠ 0) 求最低公倍先求出最高公因式，然後再利用 [ f ( x), g ( x)] = k ( f ( x), g ( x)) 式。 3. 通常求多項式中的未知數時，有以下幾種方法可混合使用： (1)消去最高次項。 (2)消去最低次項。 (3)消去未知數。.

(3) 【問題】 1. 設 f (x ) 為一個整係數 n 次多項式， a, b 為兩個相異的整數，試證明： a − b | f ( a ) − f (b ) 。 (證) 設 f ( x ) = c n x n + c n −1 x n−1 + L + c1 x + c 0 ⎧⎪ f (a ) = c n a n + c n −1 a n −1 + L + c1 a + c0 ⇒⎨ ⎪⎩ f (b) = c n b n + c n −1b n −1 + L + c1b + c0 ⇒ f ( a ) − f (b) = c n ( a n − b n ) + c n −1 ( a n −1 − b n −1 ) + L + c1 ( a − b) = (a − b) g ( x ) ∴ ( a − b) | f ( a ) − f (b) 。 2. 設 f (x ) 為整係數多項式，求證：不存在三個相異的整數 a, b, c ，使得 f (a ) = b, f (b) = c, f (c) = a 。 (證) 設 f (x ) 為整係數多項式，且存在三個相異的整數 a, b, c ，使得 f (a ) = b, f (b) = c, f (c) = a ，不妨設 a > b > c ， ⎧a − b | f (a) − f (b) = b − c ⎪ 則 ⎨b − c | f (b) − f (c) = c − a ， ⎪c − a | f (c) − f (a) = a − b ⎩. ⎧a − b | c − a ⇒⎨ ⇒ a −b = c−a ， ⎩c − a | a − b 同理 ⇒ b − a = c − a, b − c = a − b ，得 a = b = c →← ∴不存在三個相異的整數 a, b, c ，使得 f (a ) = b, f (b) = c, f (c) = a 。【性質】整數系與多項式的比較：整係數的加法、乘法與多項式的加法、乘法都具有封閉性，但整係數的除法與多項式的除法則不具有封閉性。面對除法失去封閉性所產生的問題，可用兩種方法來解決，第一個是求餘式，第二個就是討論整除的情形。.

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