單元三 基礎三角函數

單元三 基礎三角函數 _3-1

單元三 基礎三角函數

重點一、三角恒等式 1. 平方關係：

(1)sin2θ+cos2θ=1 (2)tan2θ+1=sec2θ (3)1+cot2θ=csc2θ 2. 倒數關係：

(1)sinθ⋅cscθ=1 (2)cosθ⋅secθ=1 (3)tanθ⋅cotθ=1 3. 商數關係： (1) θ θ = θ cos sin tan (2) θ θ = θ sin cos

cot (3)tanθcotθ 1 sinθcosθ + =

重點二、sinn

θ±cosn

θ之求值問題 1. (sinθ ± cosθ)2 =1± 2sinθ ⋅cosθ

2. sin3θ±cos3θ=(sinθ±cosθ)3 3sinθ⋅cosθ(sinθ±cosθ)

3. 4 4 2 2 2 ) cos (sin 2 1 cos sin 2 1 cos sin θ+ θ= − θ⋅ θ= − θ⋅ θ 4. 6 6 2 2 2 ) cos (sin 3 1 cos sin 3 1 cos sin θ+ θ= − θ⋅ θ= − θ⋅ θ 重點三、特別角的三角函數值 θ 0° 30° 45° 60° 90° sin θ 0 2 1 2 2 2 3 ₁ cos θ 1 2 3 2 2 2 1 0 tan θ 0 3 1 1 3 無意義 重點四、三角函數的正、負 1. sin θ、csc θ ：第一、二象限為正值。 2. cos θ、sec θ ：第一、四象限為正值。 3. tan θ、cot θ ：第一、三象限為正值。 重點五、三角函數值的求法 三角函數值含有正負、數據，正負由角度所在象限決定， 而數據由下列求之： 1. 已知角度且可化為特別角： 利用同界角，參考角(與水平線所夾的銳角)求數據

單元三 基礎三角函數 _3-2 2. 不知角度或已知角度但不可化為特別角： 利用三角函數的定義求數據。 重點六、三角函數的定義域、值域與週期 1. sin x、cos x：定義域 ⇒ xÎ R，值域 ⇒ | y | ≤ 1 2. 三角函數的週期：若 f (p + x ) = f (x)，則 f (n

×

tan x、cot x 基本週期為 π (2) a F ( k x + b ) + c 之週期 | k | =基本週期 重點七、三角函數的極值 1. 單一函數的一次式： 利用值域、不等式的性質求解 2. 單一函數的二次式： 利用值域、二次函數極值的觀念求解 3. 兩個函數： 2 2 2 2 a b θbcosθcc a sin a b c − + + ≤ + + ≤ + +

單元三 基礎三角函數 _3-3

精選歷屆試題

1. ABC∆ 中，∠ =A 60，AC= ，4 AB= ，求 BC 的長？ 5 (A) 3 2 (B) 19 (C) 2 5 (D) 21 。

2. sin cos tan sin5 6 3 4 4 π π π π − 之值為 (A)2 2 1 4 + (B) 2 2 1 4 − − (C)2 2 1 4 − (D) 2 2 1 4 − + 。

3.下列各式何者正確？ (A) cos sin 2 x x π  ₊ ₌     (B) 3 sin cos 2 x x π  ₋ ₌     (C) sin cos 2 x x π  ₊ ₌     (D) 3 cos sin 2 x x π  ₋ ₌     (E) 3 cos sin 2 x π x  ₋ ₌     。 4.下列各式何者正確？ (A)sin5 3 6 2 π ₌ (B)cos3 2 4 2 π ₌ (C)tan4 1 3 3 π ₌ (D) cot 1 4 π ₋ ₌     (E) 2 sec 2 3 π = − 。

5.若 (tan ,sec )θ θ 在第三象限內，則θ 在 (A)第一象限內 (B)第二象限內 (C)第三 象限內 (D)第四象限內。

6. sin 330+tan 225+cos( 660 )−  的值等於 (A) 1− (B) 0 (C)1 (D) 2 。 7.設tan 3

4

θ = − 且 cosθ < ，則5sin0 θ+4 secθ 之值等於 (A) 8 (B) 2 (C) 2− (D) 8− 。

8.設 0≤ <x 2π ，則函數 2

( ) cos 3sin 2

f x = x− x+ 之最大值為

(A) 4 (B) 5 (C)10 (D)12 。

9.設函數 ( ) 3sinf x = x+4 cosx之最大值為 L ，最小值為 M ，則 (A)L= ，3 3 M = − (B)L= ，4 M = − (C)4 L= ，5 M = − (D)5 L= ，7 M = − (E)7 L= ，1 1 M = − 。 10. 設已知 ABC∆ 三邊長分別為 4 ， 5 ， 7 ，則 ABC∆ 的面積為 (A) 4 6 (B) 6 6 (C) 8 6 (D)10 6 。

單元三 基礎三角函數 _3-4

試題解析

2. sin cos tan sin5 1 1 1 ( 2) 2 2 1 6 3 4 4 2 2 2 4

π π π π +

− = × − × − =

3. cos sin ;sin 3 cos ;sin cos 2 x x 2 x x 2 x x π π π  ₊ _{= −}  ₋ _{= −}  ₊ ₌             3 3

cos cos sin 2 x x 2 x

π π

 ₋ ₌  ₋ _{= −}        

4. sin5 sin 1; cos3 cos 2; tan4 tan 3

6 6 2 4 4 2 3 3

π π π π π π

= = = − = − = =

2

cot cot 1;sec sec 2

4 4 3 3

π π π π

₋ _{= −}  _{= − = − = −}    

   

5. (tan ,sec )θ θ ∈Ⅲ⇒tanθ <0, secθ < ⇒ ∈Ⅱ 0 θ

6. sin 330 tan 225 cos( 660 ) ( sin 30 ) (tan 45 ) (cos 60 ) ( 1) 1 1 1

2 2 + + − = − + + = − + + =       7. tan 3 0 4 θ = − < 且 cosθ < ⇒ 為第二象限角，0 θ sin 3 5 θ ∴ = 且sec 5 4 θ = − 3 5 5sin 4 sec 5 4 ( ) 3 ( 5) 2 5 4 θ θ ∴ + = × + × − = + − = − 8. 2 2 2 3 2 21

( ) cos 3sin 2 (1 sin ) 3sin 2 sin 3sin 3 (sin )

2 4

f x = x− x+ = − x − x+ = − x− x+ = − x+ +

又 0≤ <x 2π⇒ − ≤1 sinx≤ ，1 ∴當 sin= − 時， ( )1 f x 有最大值

( 1) 1 3 ( 1) 3 5

f − = − − × − + =

9. ( ) 5( sin3 4cos ) 5sin( ) 5 5 f x = x+ x = x+θ 其中sin 4 5 θ = ，cos 3 5 θ = 5 f x( ) 5 L 5 ∴− ≤ ≤ ⇒ = ，M = − 5 10. 1( ) 1(4 5 7) 8 2 2 s= a b c+ + = + + = ， ( )( )( ) 8(8 4)(8 5)(8 7) 8 4 3 1 96 4 6 ABC s s a s b s c ∆ = − − − = − − − = ⋅ ⋅ ⋅ = =