車輛行駛軌跡及抑止車輛翻覆之差動式輪胎力矩控制系統

國 立 交 通 大 學

機械工程學系

碩 士 論 文

車輛行駛軌跡及抑止車輛翻覆之差動式輪胎力矩控制系統

Vehicle Trajectory Following and Rollover Prevention Control

Systems Using Differential Wheel Torques

研 究 生: 翁肇鴻

指導教授: 陳宗麟 博士

車輛行駛軌跡及抑止車輛翻覆之差動式輪胎力矩控制系統

Vehicle Trajectory Following and Rollover Prevention Control Systems

Using Differential Wheel Torques

研 究 生 : 翁肇鴻 Student: Chao-Hung Weng

指導教授 : 陳宗麟 博士 Advisor:Dr. Tsung-Lin Chen

國 立 交 通 大 學

機 械 工 程 學 系

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Mechanical Engineering College of Engineering

National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master of Science

in

Mechanical Engineering September 2008

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

車輛行駛軌跡及抑止車輛翻覆之差動式輪胎力矩控制系統

學生: 翁肇鴻 指導教授: 陳宗麟 博士

國立交通大學機械工程學系 碩士班

摘要

在本篇論文中，我們提出了一套車輛運動控制系統，此系統是藉由控制車輛不同的 輪胎力矩，進而產生轉動力矩與降低車速，希望達到維持車輛行駛路徑與抑制車輛翻覆 的目的，以確保駕駛者行駛安全。此外，我們提出一種新的參考路徑規劃，此參考路徑 乃是根據駕駛者當時的駕駛行為所制定，因此，本論文所提出的軌跡控制將控制車輛至 接近駕駛者心中預設的路徑。 為了探討車輛行駛的動態行為，我們建立了一個具有 20 個系統階數的“完整車輛 模型＂(full car model)，用來模擬實際車輛動態。但如此複雜的數學模型並不容易為其設 計控制器，因此我們以簡化的模型為基礎進行控制器設計，接著利用順滑模態控制 (sliding mode control)方法，使控制器具有穩健性(robustness)。

最後利用電腦軟體 MATLAB 來驗證本論文所提出的車輛運動控制系統，並且依據 模擬結果作詳細的分析與討論。模擬結果顯示：在一個車輛翻覆的例子中，所提出的控 制法則可以成功的使車輛免於翻覆，並且控制車輛軌跡。但是當車身側滑角(body side slip angle)太大時（車輛打滑），所提出的控制法則將無法有效的控制車輛軌跡。

Vehicle Trajectory Following and Rollover Prevention Control

Systems Using Differential Wheel Torques

Student: Chao-Hung Weng Advisor: Dr. Tsung-Lin Chen

Department of Mechanical Engineering National Chiao-Tung University

Abstract

In this thesis, we present a vehicle trajectory following and rollover prevention systems using different wheel torques only. Moreover, we propose a novel reference trajectory design from drivers’ maneuverings. Therefore, the trajectory following controls would try to regulate the vehicle to a trajectory close to drivers’ intentions.

In order to simulate the vehicle dynamics under various driving conditions, a “full-car model” with 20 system states is constructed. However, a full-car model is too complicate for a controller design. A simplified vehicle model, which neglects pitch motions from the full-car model, is used for controller design. The controller is developed from the “sliding mode control” techniques so that it has the robustness to cope with unmodelled dynamics.

Simulation results indicate that, in a vehicle rollover case, the proposed control systems can achieve both trajectory followings and rollover preventions simultaneously. However, the trajectory followings would fail when the vehicle starts to skid.

誌 謝

本論文得以順利完成，首先要感謝我的指導教授 陳宗麟老師這二年來的細心指 導，並且在與老師討論過程中，令我學習到了如何分析每一件事物其背後的物理現象， 所以每當研究遭遇到瓶頸時，都能運用此細膩的思維來找出問題所在，接著依據個人的 想法與老師所建議的方向，最後都能將問題一一突破。除了研究上的指導外，每當學生 遇到挫折時，老師常以自身經驗來給予適時的鼓勵與肯定，在此衷心銘感。 此外特別感謝博士班紀建宇、蔡俊胤、許齡元學長在研究與課業上的指導，同學彭 彥斌與賴益璋在艱困的研究之路上相同扶持與打氣，並且感謝實驗室的學弟們，都能在 沉悶的氣氛中帶來許多歡樂，使我在研究之路上並不孤單，得以堅持到底。 最後要感謝父親、母親、哥哥所給予的支持，使我能專心順利地完成研究所學業， 並且也感謝大學同學們，在大家的互相鼓勵與幫助下，終能將此論文順利完成。

目錄

摘要...ii Abstract...iii 誌謝...iv 目錄...v 圖表目錄 ...viii 數學符號 ...x

第一章 緒論... 1

1.1 研究動機與目的 ...1 1.2 相關文獻 ...2 1.2.1 預防車輛翻覆控制系統...2 1.2.2 車輛側向控制系統 ...3 1.2.3 差動式煞車控制 ...4 1.3 車輛運動控制系統的架構...5 1.4 本論文架構...5

第二章 車輛模型... 6

2.1 完整車輛模型...6 2.1.1 車輛運動座標系 ...6 2.1.2 可壓縮質量系統 ...8 2.1.2.1 車輛旋轉運動 ...8 2.1.2.2 車輛線性運動 ...11

2.1.3 不可壓縮質量系統 ...12 2.1.3.1 轉向系統...12 2.1.3.2 懸吊系統...13 2.1.3.3 非線性輪胎模型 ...14 2.1.4 總結 ...17 2.2 簡化車輛模型...18 2.3 輔助車輛模型...20

第三章 車輛運動控制系統 ... 21

3.1 理想路徑的選取方式 ...21 3.2 維持路徑的方法 ...22 3.3 控制器設計...24 3.3.1 控制器Ⅰ：橫擺與側傾動態控制器...25 3.3.2 控制器Ⅱ：橫擺動態控制器 ...30 3.3.3 輪胎力矩得到的方式...34 3.4 控制器穩定性分析 ...35 3.4.1 橫擺與側傾動態控制器穩定性分析...35 3.4.2 橫擺動態控制器穩定性分析 ...38 3.4.3 兩控制器的切換 ...41 3.5 控制系統方塊圖 ...42

第四章 模擬結果與討論 ... 43

4.1 例 1(變換車道) ...43 4.2 例 2(維持理想路徑)...46

4.3 例 3(維持理想路徑，將參考路徑更改為時間函數來描述) ...50 4.4 例 4(維持理想路徑，將參考側向加速度省略) ...54 4.5 例 5(維持理想路徑，將控制輸入更改為輪胎縱向力) ...57 4.6 例 6(抑制車輛翻覆並維持理想路徑)...59 4.7 例 7(抑制車輛翻覆並維持給定路徑)...63

4.8 例 8(抑制車輛翻覆並維持給定路徑，有限制橫擺角速度大小)...66

第五章 討論... 69

第六章 結論與未來計劃 ... 71

6.1 結論...71 6.2 未來計劃 ...72

參考文獻... 76

圖表目錄

圖 2.1 由地表座標到車體座標間的尤拉轉換 ...7 圖 2.2 車輛自由體圖...8 圖 2.3 車輛轉向幾何關係圖 ...13 圖 2.4 被動式懸吊系統...14 圖 2.5 滑動角示意圖...16 圖 2.6 前車輪自由體圖...17 圖 3.1 決定理想路徑流程圖 ...22 圖 3.2 側向(y)路徑誤差示意圖...23 圖 3.3 車輛運動控制系統方塊圖...42 圖 4.1 受控制與未受控制車輛動態比較圖(例一) ...44 圖 4.2 受控制與未受控制車輛於地表座標上所行駛的路徑比較圖(例一)...45 圖 4.3 輪胎力矩控制輸入圖 (例一) ...45 圖 4.4 受控制與未受控制輪胎縱向力比較圖(例一) ...46 圖 4.5 受控制與未受控制車輛動態比較圖(例二) ...48 圖 4.6 受控制與未受控制車輛於地表座標上縱向與側向動態比較圖(例二) ...48 圖 4.7 受控制與未受控制車輛於地表座標上所行駛的路徑比較圖(例二)...49 圖 4.8 輪胎力矩控制輸入圖 (例二) ...49 圖 4.9 受控制與未受控制車輛輪胎縱向力比較圖(例二)...50 圖 4.10 受控制與未受控制車輛動態比較圖(例三) ...51 圖 4.11 受控制與未受控制車輛於地表座標上縱向與側向動態比較圖(例三) ...52 圖 4.12 受控制與未受控制車輛於地表座標上所行駛的路徑比較圖(例三)...52 圖 4.13 輪胎力矩控制輸入圖 (例三) ...53 圖 4.14 受控制與未受控制車輛輪胎縱向力比較圖(例三)...53

圖 4.15 受控制與未受控制車輛動態比較圖(例四) ...55 圖 4.16 受控制與未受控制車輛於地表座標上所行駛的路徑比較圖(例四)...55 圖 4.17 輪胎力矩控制輸入圖 (例四) ...56 圖 4.18 受控制與未受控制車輛輪胎縱向力比較圖(例四)...56 圖 4.19 受控制與未受控制車輛動態比較圖(例五) ...58 圖 4.20 受控制與未受控制車輛於地表座標上所行駛的路徑比較圖(例五)...58 圖 4.21 受控制與未受控制車輛輪胎縱向力比較圖(例五)...59 圖 4.22 受控制與未受控制車輛動態比較圖(例六) ...61 圖 4.23 受控制與未受控制車輛於地表座標上所行駛的路徑比較圖(例六)...61 圖 4.24 受控制與未受控制車輛輪胎縱向力比較圖(例六)...62 圖 4.25 受控制與未受控制車輛輪胎角速度比較圖(例六)...62 圖 4.26 受控制與未受控制車輛動態比較圖(例七) ...64 圖 4.27 受控制與未受控制車輛於地表座標上所行駛的路徑比較圖(例七)...64 圖 4.28 受控制與未受控制車輛輪胎縱向力比較圖(例七)...65 圖 4.29 受控制與未受控制車輛輪胎角速度比較圖(例七)...65 圖 4.30 受控制與未受控制車輛動態比較圖(例八) ...67 圖 4.31 受控制與未受控制車輛於地表座標上所行駛的路徑比較圖(例八)...67 圖 4.32 受控制與未受控制車輛輪胎縱向力比較圖(例八)...68

圖 4.33 車身側滑角示意圖(body side slip angle) ...68

表 B.1 完整車輛模型的慣性與幾何參數...73

表 B.2 非線性懸吊系統模型係數 ...74

表 B.3.1 輪胎幾何參數 ...74

表 B.3.2 非線性輪胎縱向勁度係數 ...75

數學記號

變數符號

G E

:

地表座標 aux E

:

輔助座標 B E

:

車體座標 Q

:

尤拉轉換矩陣 , , ψ φ θ

:

車體座標上的三個尤拉角 x, ,y z

:

車體質心的縱向、側向與垂直方向位移 , , x y z w

:

車體座標上的車輛三軸角速度 i w

:

輔助座標上第 i 顆輪胎的角速度 M

:

作用在車體重心三軸上的轉動力矩 , , x y z F

:

作用在四顆輪胎上的三方向有效力 aux i Z

:

輔助座標上第 i 個懸吊系統長度的變化量 i H

:

第 i 顆輪胎上的彈簧變形量 ei r

:

第 i 顆輪胎轉動的等效半徑 i δ

:

第 i 顆輪胎的轉彎角度 i λ

:

第 i 顆輪胎的滑動率 i α

:

第 i 顆輪胎的滑動角

車輛參數符號

vehicle m

:

車輛的總質量 s m

:

車輛的可壓縮質量 ui m

:

車輛的不可壓縮質量 , , x y z I

:

車體重心上三軸的轉動慣量 1,2 sb

:

車體前∕後軸兩輪所夾的長度 1,2 l

:

車體重心到前∕後軸的長度 h

:

車體垂直方向的長度 Z

:

車體重心與地面間的距離 K

:

彈簧的彈性係數 m C

:

非線性彈簧常數 damper D

:

阻尼器的阻尼係數 , brake i T

:

第i顆輪胎上的煞車力矩 , motor i T

:

第i顆輪胎上的引擎力矩 g : 地表重力加速度

輪胎參數符號

i r : 第 i 顆輪胎轉動的真實半徑 ei r : 第 i 顆輪胎轉動的等效半徑 wheel I : 輪胎的轉動慣量 vertical K : 輪胎垂直方向的徑度 i κ : 第i顆輪胎的側傾轉向係數 , , , B C D E : 輪胎參數

第一章

緒論

本篇論文所提出的車輛運動控制系統是用來輔助駕駛者修正車輛行駛路徑，並且當 有翻覆危險時，也要抑制車輛翻覆，確保駕駛者安全。1.1 節介紹研究動機與目的，1.2 節介紹相關文獻，1.3 節、1.4 節說明本篇論文與控制系統的架構。

1.1 研究動機與目的

汽車雖然為人們帶來了許多便利，但至今全世界每年仍有一百二十萬人死於道路交 通事故，約五千萬人受傷。並且根據統計資料顯示[23]，有百分之七十的交通事故是因 為駕駛者不當行為所造成，例如：誤判路況使得路徑偏駛、過度操控造成車輛翻覆等。 然而在所有死亡交通事故中，有百分之三十三是發生於車輛翻覆，並且在所有 SUV 車 輛交通事故中，更高達百分之六十二是發生於車輛翻覆。 近年來已有許多主動式車輛安全系統特別針對人為的不當駕駛或突發狀況而設

計，例如：防鎖死煞車系統(Antilock Brake System)、循跡控制系統(Traction Control

System)、電子車身動態穩定系統(Electronic-Stability-Program)等，使車輛在主動式安全系 統控制下，能確保駕駛者行駛安全。另一方面，在龐大汽車市場競爭下，汽車的舒適性 與安全性也將是影響消費者購買意願的重要因素之一。 駕駛者行為常與駕駛者習性有關，在面對不同路況對車輛作操控時，主要可分為以 下兩個情況：倘若車輛行駛路徑並不如駕駛者心中所預期，就容易造成車輛偏離應有的 行進路徑而發生危險，例如：撞上前方車輛、行人、電線桿或是擦撞護欄等；倘若遇到 前方有障礙物、車輛逆向行駛等的突發狀況，駕駛者發現短暫反應時間內急踩煞車，仍

舊有撞上的危險，通常會作一個急轉彎動作來閃避障礙物，但車輛會受到離心力的作 用，使得車身向外傾斜翻轉，將可能導致行駛路徑偏移並且發生車輛翻覆，造成嚴重傷 亡。由於翻覆進行的很快，駕駛者必須在一秒內做反應，但大多數的駕駛者並不具備處 理此緊急情況的反射動作或技巧。所以本論文目的在於建立車輛運動控制系統，用來輔 助駕駛者作緊急應變，除了修正車輛行駛路徑至駕駛者所預期的路徑外，當有翻覆危險 時，也要能抑制車輛翻覆。

1.2 相關文獻

在這一節中，我們介紹三個主題的相關文獻，分別是：預防車輛翻覆控制系統、車 輛側向控制系統、差動式煞車控制。

1.2.1 預防車輛翻覆控制系統

車輛翻覆常發生於駕駛者過度操控或是不良道路狀況，並且重心高度愈高的車輛愈 容易發生翻覆。近年來，預防車輛翻覆已是被大家廣泛研究的議題，其中較具代表性的 控制策略有以下四種：差動式煞車系統控制[2]-[8]、轉向系統控制[9][10]、轉向系統配合 煞車系統控制[11][12]、懸吊系統控制[13][14]。Chen 等人[2]提出了藉由控制外側前輪煞 車力的方式，進而產生轉動力矩並且降低車輛行進速度與側向加速度，來減緩車輛翻覆 的趨勢。P.Gaspar 等人[8]利用車輛翻覆預側系統，用來預測未來時間內的車輛動態，一 旦車輛有翻覆危險，差動式煞車系統將提前介入翻覆控制，並且經過模擬結果指出，提 前介入控制可以減低抑制翻覆所需煞車力的大小。Selim Solmaz 等人[9]提出了利用致動 器改變駕駛者旋轉方向盤的角度，來影響車輛橫擺力矩，減低車輛翻覆趨勢。而 Dirk Odenthal 等人[11]提出了當車輛有翻覆危機時，除了利用致動器將方向盤往翻覆的反方向 旋轉，再加上煞車系統來減低車輛行進速度，以確保車輛可以更快脫離危險性。Hanlong Yang 等人[13]提出了在懸吊系統上加裝致動器，藉由致動器產生一力矩用來抵抗造成車

輛翻轉的力矩，避免車輛發生翻覆，此種裝置也稱為主動式懸吊系統，但需高成本與耗 費高能量，所以無法商業化生產。因此 Edwin Stone 等人[14]提出了半主動式防傾桿控制， 藉由適當調整前輪防傾桿的側傾剛性，進而降低車輛重心變化，維持車輛穩定，而此裝 置所需成本低廉並耗費能量低，能改善主動式懸吊系統的缺點，達到抑止車輛翻覆的目 的。 經由本小節文獻回顧得知，目前預防車輛翻覆相關研究，皆僅著重於車輛側傾動態 的穩定性控制，而沒有考慮控制後造成車輛偏離車道所面臨的危險。因此本論文的研究 除了著重於抑制車輛翻覆的議題外，還加入了控制車輛行駛路徑的議題，希望同時達到 預防車輛翻覆與避免車輛偏駛的目的。

1.2.2 車輛側向控制系統

車輛側向控制系統是用來協助駕駛者在操控車輛上更具安全性與穩定性，而此系統 主要包含車道保持(lane keeping)[15][16][17]和車道變換(lane change)[18][19]兩部分。

車道保持是針對車輛行駛過程，倘若受到風阻或路面傾斜等因素，而造成行駛路徑 偏離車道時，利用控制器輔助駕駛者修正行駛路徑至原車道上。Zhao 等人[15]針對直行 的車輛受到風阻影響，而造成車輛產生側向位移誤差與橫擺動態不穩定時，利用差動式 煞車改變車輛的橫擺角速度，使得車輛的側向位移、橫擺角、橫擺角速度皆回到穩定狀 態，保持車輛直線行駛。 車道變換是事先規畫好一條參考路徑，利用控制器使得車輛可自行隨著參考路徑行 駛，並不需要駕駛者旋轉方向盤角度來修正車輛在道路上的相對位置。Pongsathorn Raksincharoensak[17]等人利用直接橫擺力矩控制(direct yaw moment control)，對個別的驅動 輪進行驅動力矩或煞車力矩控制，使車身產生轉向力矩，來控制車輛側向位置到某個定

點，缺點是不能確保控制過程中車輛行駛路徑的軌跡。而 Matthias Schorn[18]等人除了控 制車輛側向位置到某個定點外，也規劃好整個行駛路徑的軌跡，使車輛在控制過程中會 依尋事先設計好的參考路徑行駛到某個定點。 經由本小節文獻回顧得知，目前車輛側向控制系統的相關研究，在修正行駛路徑方 面，僅著重於受到風阻的偏駛與事先規畫好的參考路徑。本論文參考路徑的規劃，將以 不同的方法來設計，是由駕駛者本身的駕駛行為來決定車輛行駛所應依循的路徑軌跡。

1.2.3 差動式煞車控制

西元 1999 年，Wielenga 就已經提出了利用差動式煞車控制取代傳統的全煞車控制來 預防車輛翻覆。而差動式煞車控制的優點在於電子機構裝置簡單、所需成本低廉、可改 變車輛轉動力矩、降低車輛行進速度與減低側向加速度，所以已是車輛安全控制系統 中，被廣泛研究的方法。在差動式煞車控制方面，主要有以下幾種做法:Chen 等人[2]是 利用單獨對左側前輪或右側前輪施與煞車力的方式；P.Gaspar 等人[6][8]則是利用單獨對 左側後輪或右側後輪施與煞車力的方式；Chenming Zhao 等人[15]利用分別對左側車輪與 右側車輪施與煞車力的方式；Christopher R 等人[12] 利用對四顆車輪皆施與不同煞車力 的式。而以上的做法都可以產生轉動力矩並且降低車速來影響車輛動態，達到控制目的。 但在研究車輛翻覆的主題中，常會發生輪胎抬起的情況，但此時對已抬起的輪胎煞 車，是無法影響車輛實際動態。因此本論文在差動式輪胎力矩控制方面，將有別於上述 文獻的做法，我們會先考慮輪胎實際的狀況，適當調整控制輪胎力矩的個數，再分別施 與不同的驅動力矩或煞車力矩，達到控制目的。

1.3 車輛運動控制系統的架構

本論文的車輛運動控制系統主要是針對維持車輛行駛路徑與抑制車輛翻覆兩個目 的所設計，因此我們採用差動式輪胎力矩控制系統，分別對輪胎施與不同的驅動力矩或 煞車力矩，並且考慮輪胎會發生抬起的情況，適當調整控制輪胎力矩的個數，以達到控 制目的。而控制器可以分為兩部份：控制器Ⅰ(橫擺與側傾動態控制器)和控制器Ⅱ(橫擺 動態控制器)。橫擺與側傾動態控制器是當車輛有翻覆危險時，除了控制車輛橫擺動態 來修正行駛路徑外，還要加入車輛側傾動態控制，來抑制車輛翻覆；橫擺動態控制器是 車輛在正常行駛下，只控制車輛橫擺動態達到修正行駛路徑的目的。控制器的設計皆建 立於簡化車輛模型，之後再應用到完整車輛模型，而我們是以車輛側傾角角度的大小作 為車輛是否有翻覆危險的指標，並當作兩控制器的切換時機。

1.4 本論文架構

本論文共分為五個章節，第一章介紹研究動機以及先前研究和文獻的回顧。第二章 先對車輛的可壓縮質量系統與不可壓縮質量系統作力學分析後，建立出完整車輛模型， 並依據不同的目的作簡化，分別選取簡化車輛模型與輔助車輛模型。第三章介紹本論文 使用的車輛運動控制系統，包含了設計方法、穩定性分析與控制方塊圖。第四章針對本 論文提出的控制方法作數值模擬與分析，並加以討論模擬結果。第五章把本論文歸納整 理後作出結論並且對目前的控制方法提出改良建議。

第二章

車輛模型

在這個章節中，我們將介紹三個車輛模型：“完整車輛模型＂、“簡化車輛模型＂、 “輔助車輛模型＂。完整車輛模型是用來模擬實際車體動態；簡化車輛模型是用來當作 控制器設計的基礎模型，輔助車輛模型是用來決定參考行駛路徑的基礎模型。2.1 節介 紹建立完整車輛模型的過程與方法，2.2 節介紹簡化車輛模型的選取方式，2.3 節介紹輔 助車輛模型的選取方式。

2.1 完整車輛模型

我們將會建立一個具有 20 個系統階數的完整車輛模型，用來模擬實際車輛動態。 而車輛主體可分為兩個部分：“可壓縮質量系統＂(sprung-mass system)與“不可壓縮質量 系統＂(unsprung-mass system)。其中可壓縮質量系統，即為車體，將假設成剛體運動(rigid body motion)，並且依照 Hingwe 的博士論文[25]來推導運動方程式；另一方面，不可壓縮 質量系統主要包含轉向系統、懸吊系統、煞車系統與輪胎動態，並且藉由子系統彼此間 的相關物理動態，最後整合在一起。

2.1.1 車輛運動座標系

為了完整描述車輛在空間中的運動形態，所以我們將分別建立出三個座標系：地表 座標(位於固定地表上)、輔助座標(位於車輪上)、車體座標(位於車輛質心上)，其之間的 關係是以尤拉角(Euler angles，ψ 、θ、φ )來定義，如圖 2.1 所示。由地表座標開始，首 先繞著 z 軸的逆時針方向旋轉橫擺角(yaw angle，ψ )，對準輔助座標，接著繞著 y 軸的

angle，φ )，使旋轉後的座標與車體座標對準，所得到的三個角度即為尤拉角。 G z e G y e G x e (地表座標) aux y e ezaux aux x e (輔助座標) ψ (車體座標) B x e =ξ B y e B z e ξ ζ θ φ w y e η= 圖 2.1 由地表座標到車體座標間的尤拉轉換 而由地表座標到車體座標之間的轉換矩陣如下： (2.1) B G G x y z E Q E Q Q Q E = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ 其中 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos x Q φ φ φ φ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos y Q θ θ θ θ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ cos sin 0 sin cos 0 0 0 z Q ψ ψ ψ ψ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = −_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎣ 1⎦

因此透過尤拉轉換矩陣，我們可以個別使用地表座標、輔助座標、車體座標來描述車輛 在空間中的運動形態。

2.1.2 可壓縮質量系統

由於車體假設為剛體運動，並且在空間中共有六個自由度，分別為三軸旋轉運動與 三軸線性運動，因此利用尤拉運動方程式(Euler equations of motion)與牛頓第二定律 (Newton second law)，即可簡單表示車體相對於地表座標的位置與角度，其車輛自由體圖 如圖 2.2。 2 sb B x e B y e eBz G x e G y e G z e (地表座標) (車體座標) (輔助座標) aux x e aux y e aux z e 1 sb h 2 l 1 l 1 σ 11 σ 12 σ 可壓縮質量 不可壓縮質量 圖 2.2 車輛自由體圖

2.1.2.1 車輛旋轉運動

車輛旋轉運動可先由車體座標觀察得到動態，之後再透過尤拉角(ψ θ φ )轉換到地, , 表座標，因此車體旋轉運動可以用三個尤拉角來表示：

sin

cos cos sin

sin cos cos

x y z w w w φ ψ θ θ φ ψ θ φ θ φ ψ θ φ = − = + = − +  _  _  _ (2.2) sin cos

cos cos sin sin sin sin cos cos

sin cos cos cos sin cos cos sin

x y z w w w φ ψ θ ψθ θ θ φ ψ θ φ θφ φ ψφ θ φ ψφ θ φ θ φ ψ θ φ θφ φ ψθ θ φ ψφ θ φ = − − = + − − + = − + − − −  _{ }   _   _ _   _   _ _  (2.3) 其中w 、_x w 表示車體座標上的側傾角速度與側傾角加速度；_x w_y、wy表示車體座標上的 俯仰角速度與俯仰角加速度；w_z、w_z表示車體座標上的橫擺角速度與橫擺角加速度。 車輛旋轉運動方程式可用尤拉運動公式得到，並可表示如下： ( ) ( ) ( ) x x x y z y z y y y z x z z z z x y x x y M I w I I w w M I w I I w w M I w I I w w = − − = − − = − −    (2.4) 其中M_{x y z, ,} 是作用在車體重心各軸上的轉動力矩；I_{x y z, ,} 表示車體重心上各軸的轉動慣量。 再由(2.2)、(2.3) 、(2.4)式，車輛旋轉運動方程式可整理成下式：

(

)(

)

(

)(

)

sin cos

cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin sin cos cos

sin sin cos cos sin cos cos cos sin

z y x x x y x z y y I I M I I M I I I I φ ψ θ ψθ θ θ φ ψ θ φ θ φ ψ θ φ θ φ ψ θ φ θφ φ ψθ θ φ ψφ θ φ φ ψ θ θ φ ψ θ φ θ φ ψ θ φ θφ φ ψθ θ − = − + − + − + + = + − − + − − − + − + = +  _{ }  _  _  _   _ _  _  _  _   _

(

)(

)

cos cos sin

sin cos cos sin y x z z z I I M I I φ ψφ θ φ φ ψ θ θ φ ψ θ φ + − + − − +    _  _ (2.5)

而車體質心各軸上的轉動力矩M_{x y z, ,} 可表示成：

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 _{sin cos sin cos cos}

1 1 1

2

1 _{sin cos sin cos cos}

2 2 2

2

2 _{sin cos sin cos cos}

3 3 3

2

2 _{sin cos sin cos cos}

4 4 4

2

sin sin cos cos sin

1 1 1 2 sin sin co 2 2 2 sb M_x F_x F_y F_z sb F_x F_y F_z sb F_x F_y F_z sb F_x F_y F_z h F_x F_y F_z h F_x F_y θ φ φ θ φ θ φ φ θ φ θ φ φ θ φ θ φ φ θ φ θ φ φ θ φ θ φ = − + − − + − − + + − + + + + +

(

+

)

(

)

(

)

s ₂cos sin sin sin cos cos sin

3 3 3

2

sin sin cos cos sin

4 4 4

2

1

sin cos sin cos cos ( ) cos

1 _{2 2} 1

1

sin cos sin cos cos ( ) cos

1 _{2 2} 2 2 sin 2 ₂ F_z h F_x F_y F_z h F_x F_y F_z sb _h l Z _y sb _h l Z _y sb l φ θ φ θ φ φ θ φ θ φ φ θ φ z F z F θ θ φ θ φ θ θ θ φ θ φ θ + + + + + + + ⎛ ⎞ + −⎜_⎜ + − − − ⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + −⎜_⎜ − − − − ⎟_⎟ ⎝ ⎠ + − θ

cos sin cos cos ( ) ₃cos 2

2

sin cos sin cos cos ( ) cos

2 _{2 2} 4 h Z z F_y sb _h l Z z F_y θ φ θ φ θ θ θ φ θ φ θ ⎛ ⎞ − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ +⎜_⎜ + − − − ⎟_⎟ ⎝ ⎠ (2.6)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

sin cos sin cos cos

1 1 1 1

sin cos sin cos cos

1 2 2 2

sin cos sin cos cos

2 3 3 3

sin cos sin cos cos

2 4 4 4

cos sin cos sin

1 1 2 2 2 2 cos sin c 3 3 4 2 2 M_y l F F F x y z l F_x F_y F_z l F_x F_y F_z l F_x F_y F_z h h F F F F x z x z h h F_x F_z F_x θ φ φ θ φ θ φ φ θ φ θ φ φ θ φ θ φ φ θ φ θ θ θ θ θ θ = − − + − − + + − + + − + − − − − − − −

(

)

(

)

(

)

os ₄sin 1

sin cos sin cos cos ( ) cos sin sin

1 _{2 2} 1

1

sin cos sin cos cos ( ) cos sin sin

1 _{2 2} 2

2

sin cos sin cos cos ( ) cos si

2 _{2 2} 3 F_z sb _h l Z z F_{x y} sb _h l Z z F_{x y} sb _h l Z z F_{x y} θ θ 1 2 3 F F F θ θ φ θ φ φ θ φ θ θ φ θ φ φ θ φ θ θ φ θ φ φ − ⎛ ⎞ − −⎜_⎜ + − − − ⎟_⎟ − ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − −⎜_⎜ − − − − ⎟_⎟ − ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − −⎜_⎜ + − − − ⎟_⎟ − ⎝ ⎠

(

)

(

)

n sin 2

sin cos sin cos cos ( ) cos sin sin

2 _{2 2} 4 sb _h l Z z F_x F_y4 θ φ θ θ φ θ φ φ θ φ ⎛ ⎞ − −⎜_⎜ + − − − ⎟_⎟ − ⎝ ⎠ (2.7)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

sin sin cos cos sin

1 1 1 1

sin sin cos cos sin

1 2 2 2

sin sin cos cos sin

2 3 3 3

sin sin cos cos sin

2 4 4 4

1 _{cos sin} 1 _{cos sin}

1 1 2 2 2 2 2 _{cos sin} 3 3 2 M_z l F F F x y z l F_x F_y F_z l F_x F_y F_z l F_x F_y F_z sb sb F_x F_z F_x F_z sb s F F x z θ φ φ θ φ θ φ φ θ φ θ φ φ θ φ θ φ φ θ φ θ θ θ θ θ θ = + + + + + − + + − + + − − + − + − −

(

)

(

)

(

)

2 _{cos sin} 4 4 2 1

sin cos sin cos cos ( ) sin sin cos

1 _{2 2} 1

1

sin cos sin cos cos ( ) sin sin cos

1 _{2 2} 2

2

sin cos sin cos cos ( ) sin

2 _{2 2} 3 b F F x z sb _h l Z z F_{x y} sb _h l Z z F_{x y} sb _h l Z z F_x θ θ 1 2 F F θ θ φ θ φ φ θ φ θ θ φ θ φ φ θ φ θ θ φ θ φ φ − ⎛ ⎞ + −⎜_⎜ + − − − ⎟_⎟ + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + −⎜_⎜ − − − − ⎟_⎟ + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ +⎜_⎜ − − − − ⎟_⎟ ⎝ ⎠

(

)

(

)

sin cos 3 2

sin cos sin cos cos ( ) sin sin cos

2 _{2 2} 4 F_y sb _h l Z z F_x F_y4 θ φ θ θ φ θ φ φ θ φ + ⎛ ⎞ +⎜_⎜ + − − − ⎟_⎟ + ⎝ ⎠ (2.8) 其中sb_1,2表示車體前∕後軸兩輪所夾的長度；l_1,2表示車體重心到前∕後軸的長度； ( , , )x y z i F 表示作用在四顆輪胎上的有效力； 表示車體垂直方向的長度；h Z表示初始的車 體重心高度； 表示車體重心高度的變化量，並如圖 2.2 所示。 z

2.1.2.2 車輛線性運動

車輛線性運動方程式可利用牛頓第二定律推導得到，並可表示如下： ( ) ( ) ( ) aux aux vehicle x vehicle xi aux aux vehicle y vehicle yi vehicle z vehicle zi m a m x y F m a m y x F m a m z F g ψ ψ = − = = + = = = −

∑

∑

∑

       (2.9) 其中 x，y，z 表示車體質心的縱向、側向與垂直方向；a ，_x a_y， 表示輔助座標上的車 體三方向加速度； 表示車輛的總質量；g 表示地表重力加速度。 z a vehicle m

2.1.3 不可壓縮質量系統

不可壓縮質量系統包含轉向系統、懸吊系統、煞車系統與輪胎動態，所以我們將分 別介紹各個子系統的物理動態，之後再把這些子系統與可壓縮質量系統整合在一起。

2.1.3.1 轉向系統

一般為了確保車輛在轉彎過程可以較為平順，都利用亞克曼轉向原理(Ackerman steering principle)來修正前車輪的轉向角度，如圖 2.3 所示。而前內側車輪與前外側車輪 的轉向角度在經過亞克曼轉向原理修正後，其之間得幾何關係可表示如下: 1 1 2

cot _outer cot _inner sb

l l δ − δ = + (2.10) 其中δ_outer表示前外側輪胎在轉彎時所轉動的角度；其中δ_inner表示前內側輪胎在轉彎時所 轉動的角度。 當確定每顆輪胎角度時，由地面所產生的輪胎黏著力 [20] [21]就可轉換至輔助座標，並 當成(2.9)式的作用力來源，其方程式可表示如下： cos sin sin cos xi ai i bi yi ai i bi i F F F F F F i δ δ δ δ = − = + (2.11) 其 中δ_i 表 示 第 i 顆 輪 胎 的 轉 向 角 度 。 在 此 假 設 完 整 車 輛 模 型 為 二 輪 轉 向 系 統 (δ₃ =δ₄ = )，並且配合亞克曼轉向原理來調整0 δ₁與δ₂的角度。 最後可將(2.11)式由輔助座標轉換到車體座標，並當成(2.5)式作用力來源。

inner δ δ_outer 1 b s 1 2 l +l IC aux x e aux y e (輔助座標) 圖 2.3 車輛轉向幾何關係圖

2.1.3.2 懸吊系統

懸吊系統的特性在車輛運動力學分析上佔有重要角色，為了不失一般性，我們將考 慮懸吊系統為車輛模型中的一部份，而此系統包含了彈簧及阻尼等傳統元件，並無任何 外在能量直接提供至此型式的懸吊系統。另一方面，大部份的研究往往使用線性的彈簧 係數，但在模擬車輛翻覆的狀況中，此線性彈簧係數的設計並不適用，因為車輛在逐漸 翻覆的過程，會有一側輪胎抬起的情況，而這側的彈簧將會伸長以平衡輪胎的重量，並 沒有產生作用力於車體上；另一側被壓縮的彈簧，其長度將會達到壓縮極限，使得彈簧 力與變形量不再成正比關係。所以我們將設計非線性的彈性係數，用來模擬車輛翻覆的 狀況，其方程式可表示如下： 1 4 zi i damper i ui i F KH D H m g z H = + + =

∑



(2.12) 2( 1 3) 1 , / / , / c H C i i i ui i ui K C e H for H m g H m g K for H m g K − = ≥ − ⎧ = ⎨_{− ≤} ⎩ ui K − 其中 K 表示彈簧的彈性係數， 表示設計的非線性常數， 為阻尼器的阻尼係 數， 表示第 i 顆輪胎上的彈簧變形量， 表示為車輛的不可壓縮質量，可視為其中 一邊的懸吊系統與輪胎的重量。 1,2,3 m C ₌ Ddamper i H m_ui

K

d D w z e w x e (輔助座標) 圖 2.4 被動式懸吊系統

2.1.3.3 非線性輪胎模型

輪胎是一個複雜又難以量化的非線性系統，必須藉由實驗數據再對其量化，才可以 得到非線性的輪胎模型，因此我們採用 “Magic formula tire model＂ [20] [21]來獲得輪胎 黏著力，並且其相關係數是參考方凱田的博士論文[17]。根據這個非線性輪胎模型，輪 胎的縱向力與側向力是以滑動率(slip ratio)、滑動角(slip angle)與會隨著垂直負載變化的輪 胎參數來獲得，其方程式可表示如下：

{

}

{

}

1 1

1 1

sin tan ( tan ( )

sin tan ( tan ( )

a x x x x x x b y y y y y y F D C B E B B F D C B E B B λ λ λ α α α − − − − ⎡ ⎤ = _⎣ − − _⎦ ⎡ ⎤ = _⎣ − − _⎦ (2.13) 其中F_a表示輪胎縱向力；F_b表示輪胎側向力；λ表示滑動率；α表示滑動角；B C D E, , , 表示輪胎參數。 但垂直方向的力會受到懸吊系統的變化而改變，將會影響輪胎等效半徑的大小，並可表 示如下： zi ei i vertical F r r K = − (2.14) 其中 表示第 i 顆輪胎轉動的等效半徑； 表示第 i 顆輪胎轉動的真實半徑； 表示 輪胎垂直方向的徑度。 ei r r_i K_vertical 而滑動率λ是用來分析車速與輪速之間的關係，其方程式可表示如下：

{

cos

}

max , cos ei i i i i ei i i i r w V r w V α λ α − = 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 ( ) ( 2 ( ) ( 2 ( ) ( 2 ( ) ( 2 w w ) ) ) ) x y w w x y w w x y w w x y sb V x e y l e sb V x e y l e sb V x e y l e sb V x e y l e ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = − + + = + + + = + + − = − + −                 (2.15) 其中w_i表示第 i 顆輪胎的角速度；V_i表示第 i 側的車速；α_i表示第 i 顆輪胎的輪胎朝向 與運動方向之間的夾角，為滑動角；如圖 2.5 所示，並且其方程式可表示如下:

i i i ki α δ β= − − φ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 3 2 1 2 1 4 2 tan ( )( ) 2 tan ( )( ) 2 tan ( )( ) 2 tan ( )( ) 2 sb y l x sb y l x sb y l x sb y l x β ψ β ψ β ψ β ψ − − − − − − − − ⎛ ⎞ = _⎜ + − _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = _⎜ + + _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = _⎜ − + _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = _⎜ − − _⎟ ⎝ ⎠                 ψ ψ ψ ψ (2.16) 其中β_i表示第 i 顆輪胎上的側滑角，k_i表示輪胎側傾轉向的係數。 2 β 2 α 2 δ 輪胎朝向 運動方向 圖 2.5 滑動角示意圖 另一方面，輪胎轉速主要受到引擎力矩而加速、受到煞車力矩和上述之輪胎縱向力而減 速，因此對於輪胎動態我們可簡單的以下列方程式表式： (2.17) , ,

wheel i ei ai brake i motor i

I w = −r F −T +T 其中I_wheel表示車輪質量慣量矩； 表示煞車產生的力矩； 表示引擎產生的力 矩，其自由體圖如圖 2.6 所示。 , brake i T Tmotor i,

w x e w z e 1 b

T

1 m T 1 a F (輔助座標) 1 r 圖 2.6 前車輪自由體圖 利用這個簡單的物理關係，我們即可將動力傳動系統、煞車控制系統與非線性輪胎模型 連結至輪胎轉速上。

2.1.4 總結

本節我們整理出完整車輛模型主要的運動方程式。利用(2.9)式與(2.17)式，我們可以 得到車輛線性運動方程式和相關的物理動態，並且可表示如下: (2.18) , , ( ) ( ) ( ) aux aux vehicle xi aux aux vehicle yi aux vehicle zi

wheel i i ai brake i motor i

m x y F m y x F m z F g I w r F T T ψ ψ − = + = = − = − − +

∑

∑

∑

        之後利用(2.11)式、(2.12)式、(2.13)式當作輔助，就可簡單地表示車輛線性運動方程式。

接著，利用(2.2)式、(2.3)式、(2.4)式，我們可以得到車輛旋轉運動方程式，並且可表示 如下:

(

)(

)

(

)(

)

sin cos

cos cos sin sin cos cos

cos cos sin sin sin sin cos cos

sin sin cos cos

sin cos cos cos sin

z y x x x y x z y y I I M I I M I I I I φ ψ θ ψθ θ θ φ ψ θ φ θ φ ψ θ φ θ φ ψ θ φ θφ φ ψθ θ φ ψφ θ φ φ ψ θ θ φ ψ θ φ θ φ ψ θ φ θφ φ ψθ θ − = − + − + − + + = + − − + − − − + − + = +  _{ }  _  _  _   _ _  _  _  _   _

(

)(

)

cos cos sin

sin cos cos sin

y x z z z I I M I I φ ψφ θ φ φ ψ θ θ φ ψ θ φ + − + − − +    _  _ (2.19) 之後利用(2.6)式、(2.7)式、(2.8)式當作輔助，就可簡單地表示車輛旋轉運動方程式。

2.2 簡化車輛模型

由於完整車輛模型過於複雜，對於控制器的設計並不容易，因此我們省略車輛俯仰 動態，來當作控制器設計的基礎。在經過上述簡化的動作後並且根據(2.5)式、(2.6)式、 (2.7)式、(2.8)式、(2.9)式，可整理成下列動態方程式：

(

sin

)(

cos

)

( cos ) sin ( sin ) cos

( ) ( ) ( ) z y x x x y x z z y y y z z aux aux vehicle xi aux aux vehicle yi aux vehicle zi I I M I I M I I M I I I I I I m x y F m y x F m z F g φ ψ φ ψ φ x ψ φψ φ φ φψ φ φ ψ ψ − = − ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ =⎜_⎜ − ⎟_⎟ +⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − = + = = −

∑

∑

∑

 _{ }             (2.20)

其中

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 1

sin cos sin cos

2 2

sin cos sin cos

2 2

cos sin cos sin

2 2

cos sin cos sin

2 2

sin cos ( ) sin

2 2 2 x y z y z y z y z y z y z y z y z y sb sb M F F F F sb sb F F F F h h F F F F h h F F F F sb h sb Z z F φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ = − + − − + − − + + − + + + + + + + + + ⎛ ⎞ +_⎜ − − − _⎟ + − − ⎝ ⎠ 2 2 2 3 4 cos ( ) 2

sin cos ( ) sin cos ( )

2 2 2 2 y y y h Z z F sb h sb h Z z F Z z F φ φ φ φ φ ⎛ _{− −} ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ + −_⎜ − − − _⎟ +_⎜ − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 2 2 2 3 3 2 4 4 1 2 3 4 1 1 1 2 2 3

sin cos sin cos

sin cos sin cos

2

sin cos ( ) cos

2 2

sin cos ( ) cos

2 2 sin cos ( ) c 2 2 y y z y z y z y z x x x x x x x M l F F l F F l F F l F F h F F F F sb h Z z F sb h Z z F sb h Z z F φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ = − − + − − + + − + + − + − + + + ⎛ ⎞ −_⎜ − − − _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − −_⎜ − − − _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ −_⎜ − − − _⎟ ⎝ ⎠

(

)

φ

(

)

2 4 os

sin cos ( ) cos

2 2 x sb h Z z F φ φ φ φ ⎛ ⎞ −_⎜ − − − _⎟ ⎝ ⎠

(

) (

)

(

) (

)

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

cos sin cos sin

1 1 1 1 2 2

cos sin cos sin

2 3 3 2 4 4

1 1 2 2

1 2 3 4

2 2 2 2

1 sin cos ( ) ₁sin

2 2

1 sin cos ( ) ₂sin

2 2 2 sin cos ( ) 2 2 M_z l F_y F_z l F_y F_z l F_y F_z l F_y F_z sb sb sb sb F_x F_x F_x F_x sb _h Z z F_x sb _h Z z F_x sb _h Z z φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ = + + + − + − + − + + − + − − − + − − − − + − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

(

)

(

)

sin 3

2 sin cos ( ) ₄sin

2 2 F_x sb _h Z z F_x φ φ φ φ + − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

2.3 輔助車輛模型

駕駛者轉彎通常都在低速的情況下進行，因此車輛在低速行駛時的方向盤角度與車 輛軌跡間的關係，會深化成一種駕駛習性。但隨著車速的增加，側傾與俯仰動態變化也 會愈大，使得行駛路徑偏離駕駛者的預期。因此我們由完整車輛模型省略側傾動態與俯 仰動態，得到決定參考行駛路徑的車輛模型。在經過上述的簡化動作後並且根據(2.5) 式、(2.6)式、(2.7)式、(2.8)式、(2.9)式，可整理成下列動態方程式： ( ) ( ) ( ) z z aux aux vehicle xi aux aux vehicle yi aux vehicle zi M I m x y F m y x F m z F g ψ ψ ψ = − = + = = −

∑

∑

∑

        (2.21) 其中 1 1 1 2 2 3 2 4 1 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 z y y y y 4 x x x M l F l F l F l F sb sb sb sb x F F F = + − − − + + − F

第三章

車輛運動控制系統

本章所介紹的車輛運動控制系統是用來維持車輛行駛路徑並且抑制車輛翻覆，而車 輛所依循的行駛路徑是以當時的車輛動態和方向盤角度輸入至參考車輛模型中預測得 到。在經過分析車輛動態後，發現與上述兩個目的最為相關的車輛動態就是橫擺與側傾 動態，因此我們將採用差動式輪胎力矩控制系統，控制橫擺動態來修正行駛路徑，控制 側傾動態來抑制翻覆。所以我們事先會設定一個指標來判斷車輛是否有翻覆危險，一旦 超過這個指標時，控制器將同時控制橫擺與側傾動態；沒有超過這個指標時，控制器將 只控制橫擺動態。

3.1 理想路徑的選取方式

當駕駛者轉動方向盤時，系統將會自動把此時的車輛動態和方向盤角度輸入至輔助 車輛模型，之後透過輔助車輛模型本身的動態計算，來預測出一段駕駛者預期的行駛路 徑；如果駕駛者中途改變方向盤角度，系統重新輸入新的車輛動態和方向盤角度至輔助 車輛模型，再次預測出一段新的預期行駛路徑。而其整個預期(參考)路徑選取的流程圖 如圖 3.1 所示：

輔助車輛模型 得到參考路徑 方向盤角度 是否改變 是 否 車輛動態 圖 3.1 決定理想路徑流程圖

3.2 維持路徑的方法

車輛行駛路徑是地表座標上縱向(x)與側向(y)的二維平面變化，所以要描述一條路徑 的軌跡，可分成縱向位置對時間的變化(x= f t₁( ))與側向位置對時間的變化(y = f t₂( ))。 因此要準確控制車輛行駛路徑到某個參考路徑上，表示地表座標上車輛的縱向動態變化 與側向動態變化都要與這個參考路徑相同。但行駛過程常會有加速與減速的情形發生， 我們並不要求車輛行駛路徑對時間點的變化都要與參考路徑相同，只需要維持車輛行駛 路徑在參考路徑的軌跡上。因此我們利用了以下的方法將時間的因素消除。 由輔助車輛模型得到參考路徑的縱向位置對時間的變化與側向位置對時間的變化後，先 利用 curve fitting 的技巧，來獲得參考路徑側向座標對縱向座標的數學關係，並且可表示 如下： (3.1) 3( ) ref ref y = f x

接著以某個特定時間點下車輛行駛路徑的縱向座標為基準，然後代入(3.1)式中就可以得 到相對應的側向座標，並且比較車輛行駛路徑的側向座標與參考路徑的側向座標後，所 得到的差值，我們稱為路徑誤差，如圖 3.2 所示。所以只要藉由控制車輛側向動態來減 低這個路徑誤差，車輛的行駛路徑就會與參考路徑相同。 global X global Y y yref aux X aux Y 參考路徑 ψ 圖 3.2 側向(y)路徑誤差示意圖 在考慮車輛實際的物理運動情形後，我們希望透過車頭轉向以漸進的方式到某個軌跡 上，而不是直接產生側滑到某個軌跡上。由(2.9)式可以得到輔助座標上的車輛線性運動 方程式，但路徑誤差是以地表座標上側向位移所定義，所以先要得到地表座標上的車輛 側向運動方程式，才能透過控制的方式來減低路徑誤差。因此先將輔助座標上的車輛側 向線性速度利用座標轉換到地表座標上的車輛側向線性速度，在此忽略位置所造成的速 度變化量，所以地表座標上的車輛側向線性速度可表示如下[1]：

sinyglobal =xaux ψ + yauxcosψ (3.2)

( sin cos ) ( cos sin

global aux aux aux aux

y = x ψ +y ψ +ψ x ψ −y ψ)      (3.3) 我 們 將 aux x  、 aux y  省 略 並 且 視 為 系 統 的 不 確 定 項 ， 而 輔 助 座 標 上 的 速 度 分 量

(xauxcosψ −yauxsinψ)經過座標轉換後會等於地表座標上的縱向速度( global

x )，所以(3.3) 式可改寫成如下： global global y = ψx   (3.4) 在得到(3.4)式後，原本可以選用對抗雜訊優良的順滑模態控制法則，簡單地推導出以橫 擺角速度(ψ)為控制輸入，來影響地表座標上車輛側向運動的控制器。但橫擺角速度的 變化必須透過車輛的其它機構裝置來改變橫擺轉向動量，因此我們將在下節介紹如何控 制橫擺角速度到我們所設定的參考值，進而降低路徑誤差。

3.3 控制器設計

在這個章節中我們將介紹控制器的推導過程，而控制器可依車輛是否處於翻覆危險 分為兩部分：控制器Ⅰ(橫擺與側傾動態控制器)、控制器Ⅱ(橫擺動態控制器)，而兩控制 器的差別在於是否有車輛側傾動態的控制。 控制器的設計是建立在簡化車輛模型上，之後應用在完整車輛模型，所以我們選用 對抗雜訊優良的順滑模態控制法則。並且在控制車輛橫擺動態到參考值的同時，路徑誤 差也要能減低，簡單的以數學式子來說，雖然只控制x₂ →x_2d ，同時也要x₁ →x_1d，所

雖然已經對完整車輛模型作了簡化動作，但複雜的非線性輪胎模型依然使控制器難 於設計，因此我們先利用輪胎縱向力當成控制輸入去設計控制器，之後再利用相關物理 動態得到輪胎力矩，並且當成系統的控制輸入至完整車輛模型中。

3.3.1 控制器Ⅰ：橫擺與側傾動態控制器

在車輛有翻覆危險下，我們利用四輪不同的驅動力矩或煞車力矩，同時控制車輛橫 擺和側傾動態，所以根據(2.19)式和(3.4)式，可以將地表座標上車輛側向動態方程式和車 輛橫擺與側傾動態方程式改寫成下列式子： global global y = Δ + y ψx    (3.5) (3.6) L JU ψ φ ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦   其中 1 1 2 2 1 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L L L L L L L J J J J J J J ⎡ + Δ ⎤ ⎡ ⎤ =_⎣ + Δ _⎦= ⎢ ⎥ + Δ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ + Δ ⎤ ⎡ ⎤ =_⎣ + Δ _⎦= ⎢ ⎥ + Δ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 2 3 4 [ ]T a a a a U = F F F F U 表示系統控制輸入，為四輪輪胎縱向力；L、 表示車輛橫擺與側傾動態方程式中的 參數； J ˆ L、 表示車輛橫擺與側傾動態方程式經過簡化俯仰動態後的參數；Jˆ Δy、ΔL、 表示系統的不確定項。 J Δ

其中

1

( ) sin

ˆ _{( sin )( ) [ sin ( ) sin ( )}

1 1 2 2 3 4

cos sin cos sin cos sin cos sin

1 1 1 1 2 2 2 3 3 2 4 4

cos cos cos cos

1 1 1 2 2 3 2 4

sin ₁ sin ₂ sin ₃

1 2 3 2 2 2 I_x I_z L l F_z F_z l F_z F_z I_y I_y l F_b l F_b l F_b l F_b l F_z l F_z l F_z l F_z h h h h F_b F_b F_b φ ψ φ φ φ φ δ φ δ φ δ φ δ φ φ φ φ φ δ δ δ − = − + + − + + + − − − − + + + + + +   sin ₄ 4 2 1 1

( sin cos ( ))( ₁sin ₁cos ) ( sin cos ( ))( ₂sin ₂cos )

2 2 2 2

1 2

( sin cos ( ))( ₃sin ₃cos ) ( sin cos ( ))( ₄sin ₄cos )]

2 2 2 2 ( ) _cos ( )( sin ) [ sin₁ F_b sb _h sb _h Z z F_b Z z F_b sb _h sb _h Z z F_b Z z F_b I_y I_x l I_z I_z δ φ φ δ φ φ φ δ φ φ φ δ φ φ φ δ φ φ φ ε φ φ + − − − + − − − − + − − − − + − − − − −   + ( _{1 2}) ₂sin ( _{3 4})

cos cos cos cos cos cos cos cos

1 1 1 1 2 2 2 3 3 2 4 4

1 _sin 1 _sin 2 _sin 2 _sin

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 2 2

1 1

( sin cos ( ))( ₁sin ₁sin ) ( sin cos ( )

2 2 2 2 F_z F_z l F_z F_z l F_b l F_b l F_b l F_b sb sb sb sb F F F F b b b b sb _h sb _h Z z F_b Z z φ δ φ δ φ δ φ δ φ δ δ δ δ φ φ δ φ φ φ + − + + + − − + − − + + − − − − + − − − − )( ₂sin ₂sin ) 2 2

( sin cos ( ))( ₃sin ₃sin ) ( sin cos ( ))( ₄sin ₄sin )]

2 2 2 2 F_b sb _h sb _h Z z F_b Z z F_b δ φ φ φ δ φ φ φ − + − − − − − + − − − − δ φ

(

)

2 1 1 2 2

ˆ _{cos cos cos cos sin}

1 2 3 4 1 2 3

2 2 2 2 2

1 _{cos sin} 1 _{cos sin} 2 _{cos sin} 2 _{cos sin}

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 2 2

cos ₁cos cos ₂cos cos ₃cos cos ₄cos

1 2 3 4 2 2 2 2 sb sb sb sb _h L F_z F_z F_z F_z F_z F_z F_z F sb sb sb sb F_b F_b F_b F_b h h h h F_b F_b F_b F_b φ φ φ φ φ δ φ δ φ δ φ δ φ δ φ δ φ δ φ δ = − − + + + + + − + + − + + + + 4 z 1 1

( sin cos ( ))( ₁cos ₁) ( sin cos ( ))( ₂cos ₂)

2 2 2 2

2 2

( sin cos ( ))( ₃cos ₃) ( sin cos ( ))( ₄cos ₄)

2 2 2 2 ( sin )( cos ) sb h sb h Z z F_b Z z F_b sb _h sb _h Z z F_b Z z F_b I_z I_y I x φ φ φ δ φ φ δ φ φ δ φ φ δ ψ φ ψ φ + − − − + − − − − + − − − − + − − − − −  

ˆ _{[ ]} 1

sin ₁

sin sin cos ( sin cos ( ) cos cos )

1 1 ₂ 1 _{2 2} 1

cos _{1 1}

sin cos cos ( sin cos ( )) cos sin

1 1 ₂ 1 _{2 2} 1

sin ₁

sin sin cos ( sin cos ( ) cos c

1 2 ₂ 2 _{2 2} 2 J a b c d sb h h a l Z z I y sb sb _h l Z I z sb h h b l Z z I y φ δ φ δ φ φ δ φ φ δ φ δ φ φ δ φ φ δ φ δ φ φ δ = = − − − − − + − + − − − = − − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ z ⎠ os ) cos _{1 1}

sin cos cos ( sin cos ( )) cos sin

1 2 ₂ 2 _{2 2} 2

sin ₂

sin sin cos ( sin cos ( ) cos cos )

2 3 ₂ 3 _{2 2} 3

cos _{2 2}

sin cos cos ( sin cos ( ))

2 3 ₂ 3 _{2 2} sb sb _h l Z I z sb h h c l Z z I y sb sb _h l Z I z φ φ δ φ δ φ φ δ φ φ δ φ δ φ φ δ φ φ δ φ δ φ φ + + + + − − − − = − − − − − − − − + + − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ z z cos ₃sin sin ₂

sin sin cos ( sin cos ( ) cos cos )

2 4 ₂ 4 _{2 2} 4

cos _{2 2}

sin cos cos ( sin cos ( )) cos sin

2 4 ₂ 4 _{2 2} 4 sb h h d l Z z I y sb sb _h l Z I z z δ φ φ δ φ δ φ φ δ φ φ δ φ δ φ φ δ + = − − − − − − − − + − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ φ⎠ 2 ˆ _{[ ]} 1 _{1 1}

sin ₁sin sin ₁cos ( sin cos ( )) sin

2 2 2 2

1 _{1 1}

sin ₂sin sin ₂cos ( sin cos ( )) sin

2 2 2 2

1 _{2 2}

sin ₃sin sin ₃cos ( sin cos ( )) sin

2 2 2 2 J e f g h sb _h sb _h e Z I x sb _h sb _h f Z I x sb _h sb _h g Z I x δ φ δ φ φ φ δ δ φ δ φ φ φ δ δ φ δ φ φ φ = = − + + − − − = + + − − − − = + + − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 z z z ₃ 1 _{2 2}

sin ₄sin sin ₄cos ( sin cos ( )) sin

2 2 2 2 sb _h sb _h h Z I x δ δ φ δ φ φ φ δ = − + + − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ z 4⎠ 接著依照順滑模態控制法則的步驟，再搭配多層模態控制的概念，我們就可以推導出控 制器的數學模式，其步驟如下:

首先選取適當的順滑函數，讓系統經由不斷切換，滑向目標點，並表示如下： (3.7) 1 1 21 2 2 22 ( ) ( ) ( ) ( ) global global ref ref ref ref ref s y y y y s S s τ ψ ψ φ φ τ φ φ = − + − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥= ⎢ ⎥} − + − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦       其中 表示控制地表座標上的車輛側向動態所選取的順滑函數； 表示控制橫擺與側傾 動態所選取的順滑函數； 表示參考路徑側向速度； 表示參考路徑側向位置； 1 s S₂ ref y y_ref ψ_ref 表示參考橫擺角速度；φ 表示參考側傾角度；_ref φ 表示參考側傾角速度；ref τ1、τ2為適當 控制係數。 並且對(3.7)式做一次微分後產生控制輸入，可表示如下： (3.8) 1 1 2 ( ) ( ˆ ( ) global global ref ref s y x y y y S L L G JU ψ τ = Δ + − + − = + Δ + +       )  其中 2( ) ref ref ref G ψ φ τ φ φ − ⎡ ⎤ = ⎢_{− + −} ⎥ ⎣ ⎦     ref y  表示參考路徑側向加速度；ψ_ref表示參考橫擺角加速度；φ 表示參考側傾角加速度。 _ref 接著將(3.1)式對時間 t 作微分，配合微積分的鍊鎖率，我們就可以得到上述方程式所需 要用到的參考路徑側向速度與加速度，並且表示如下：

, 2 2 2 2 2 , , ( ) ( ) ( ) global global

global global global

ref ref ref

ref _{xref x xref x}

ref ref ref ref ref

ref ref

xref x xref x xref x

df x dx y dx dt d f x dx df x d x y dt dx dx dt = = = = = = ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠         (3.9) 接著利用多樣順滑模態控制的概念，將(3.7)式移項後可以得到下式： 21 ref s ψ = +ψ (3.10) 然後將(3.10)式代入(3.8)式中，並可整理成下式： (3.11) 1 21 1 2 ( ) ˆ ( )

global global global

ref ref ref

s y s x x y y y S L L G JU ψ τ = Δ + + − + − = + Δ + +        (  ) 最後決定適當的控制輸入，來保證系統在有限時間內進入順滑模態，並且滑向控制目 標，可表示如下： 1 1 1 ( ( global )

ref global yref y yref s1) x ψ = − − +τ  −  +λ  (3.12)

(

1

)(

2 2 ˆT₍ˆ ˆT₎ ˆ ref U = − J JJ − L−ψ +λ S

)

其中λ₁、λ₂表示適當的控制係數，而λ₁、λ₂的選取依據是要符合迫近順滑條件，我們 將在之後小節詳細討論。 值得注意的是，當輪胎發生抬起的情況，此時對已抬起的輪胎驅動或煞車，是無法影響 車輛實際動態。而我們將此情形也列入推導控制器的考量因素，所以(3.6)式將修正為：

1 1 2 2 3 3 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 z a z a z a z a F F F F F F F F = → = = → = = → = = → = 表示原本系統有四個控制輸入，當一輪抬起後，系統將只剩下三個控制輸入；當二輪抬 起後，系統將只剩下二個控制輸入。

3.3.2 控制器Ⅱ：橫擺動態控制器

在車輛正常行駛下，我們僅需利用四輪不同的驅動力矩或煞車力矩，控制車輛橫擺 動態，所以根據(2.19)式和(3.4)式，我們可以將地表座標上車輛側向動態方程式和車輛橫 擺動態方程式改寫成下列式子： global global y = Δ + y ψx    (3.13) 1 1 L J U ψ= + (3.14) 其中 1 1 1 1 ˆ ˆ 1 1 L L L J J J = + Δ = + Δ 1 2 3 4 [ ]T a a a a U = F F F F U 表示系統控制輸入，為四輪輪胎縱向力； 、 表示車輛橫擺動態方程式中的參數； 、 表示車輛橫擺動態方程式經過簡化俯仰動態後的參數； 1 L J₁ 1 ˆ L Jˆ₁ Δy、 、 表示系統 的不確定項。 1 L Δ ΔJ₁