數學 C ( Ⅱ ) 第一章 1-3 多項方程式

1-3

多項方程式

===

2

求方程式

3

x

+ − + =

(5

x

) 1 6(

x

− +

1)

4

的解。

3

(5

) 1 6(

1) 4

3

5

1 6

6 4

2

6 6

2

x

x

x

x

x

x

x

x

+ − + =

− +

⇒ + − + = − + ⇒ + = −

6 2 6

x

2

x

8 4

x

x

2

⇒ + = − ⇒ = ⇒ = ，故方程式的解為

x

= 。

2

1

3

求方程式

2(

x

+ −

2) 3(2

x

− =

1)

4(1

+ −

x

) 2

x

−

9

的解。

2

4 6

3 4 4

2

9

4

7

2

5

12 6

2

x

x

x

x

x

x

x

x

+ −

+ = +

−

−

⇒ − + =

− ⇒ =

⇒ = 。

2

4

求方程式

2

2

x

−

5

x

+ =

2

0

的解。

1

(2

1)(

2) 0

2

2

x

x

x

⇒

−

− = ⇒ = 或

，

故方程式的解為

1

2

x

=

或

2。

2x

1

x

−

2

2

2

x

( 4

x x

) 2

−

+ − − +

3

5

求下列方程式的解： (1)

2

2

x

+ − = (2)

x

3

0

x

2

−

3

x

−

10

= 。

0

(1)

2

2

3

0

(2

3)(

1)

0

3

1

2

x

+ − = ⇒

x

x

+

x

− = ⇒ = − 或 。

x

(2)

x

2

−

3

x

−

10

= ⇒

0

(

x

−

5)(

x

+

2)

= ⇒ =

0

x

5

或

−

2

。

4

6

7

求方程式

2

1

0

x

+ − =

x

的解。

2

1

1

4 1 ( 1)

1

5

2 1

2

x

=

− ±

− × × −

=

− ±

×

，故方程式的解為

1

5

2

x

=

− ±

。

5

8

求下列方程式的解：(1)

2

2

x

− − = (2)

3

x

1 0

− + + = 。

x

2

2

x

1 0

2

2

2

3

9 8

3

17

(1) 2

3

1 0

4

4

2

4 4

(2)

2

1 0

2

1 0

1

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

±

+

±

− − = ⇒ =

=

±

+

− + + = ⇒ − − = ⇒ =

= ±

。

。

6

9

設

a

為實數，且

x

=

1

為方程式

(3

1)(

2 ) 3

2

6

4

1

x

a

x

x

a

a

−

+

₌

+

+

的解，求

a

的值。

因為

6 a

及

4

a

+

1

為分母，所以

a

≠

0

且

1

4

a

≠ − ，

1

x

=

代入原方程式，可得

2(

2)

5

2

5

(

2)(4

1) 15

6

4

1

3

4

1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

+

₌

_⇒

+

₌

_{⇒ +}

_{+ =}

+

+

2

2

2

4

a

9

a

2 15

a

4

a

6

a

2

0

2

a

3

a

1 0

⇒

+

+ =

⇒

−

+ = ⇒

−

+ =

1

(2

1)(

1)

0

1

2

a

a

a

⇒

−

− = ⇒ = 或 。

7

10

設

a

為實數，且

1

3

x

=

為方程式

(2

a

+

3)(6

x

+

5

a

+

3)

2 (6

a a

1)(3

x

4)

=

−

+

的解，求

a

的值。

將

1

3

x

= 代入，

(2

a

+

3)(2 5

+ + =

a

3) 2 (6

a a

−

1)(1 4)

+

(2

a

3)(5

a

5) 10 (6

a a

1)

⇒

+

+ =

−

2

2

10

a

25

a

15 60

a

10

a

⇒

+

+ =

−

2

50

a

35

a

15 0

⇒

−

− =

2

10

a

7

a

3 0

⇒

− − =

3

(10

3)(

1) 0

1

10

a

a

a

⇒

+

− = ⇒ =−

或 。

8

11

1-3.3

一元二次方程式之根與係數的關係

12

9

設

α

,

β

為方程式

x

2

+ − =

x

3

0

之兩根，試求出下列各值：

(1)

α

2

+

β

2

(2)

1

1

α β

+ (3)

3

3

α

+ (4)

β

α β

−

。

由根與係數的關係可得

α β

+ = −

1

,

αβ

= −

3

(1)

α

2

+

β

2

=

(

α β

+

)

2

−

2

αβ

= −

( 1)

2

− × − = ，

2 ( 3)

7

(2)

1

1

1

1

3

3

β

α

α β

α β αβ βα

αβ

+

−

+

=

+

=

=

=

−

，

(3)

α

3

+

β

3

=

(

α β

+

)

3

−

3

αβ α β

(

+

)

= −

( 1)

3

− × − × −

3 ( 3) ( 1)

1 9

10

= − − = − ，

(4)

(

α β

−

)

2

=

(

α β

+

)

2

−

4

αβ

= −

( 1)

2

− × − =

4 ( 3)

13

13

α β

⇒ − = ±

。

13

14

設

α

,

β

為方程式

2

x

2

−

4

x

− =

3

0

之兩根，試求出下列各值：

(1)

α

2

+

β

2

(2)

1

1

α β

+ (3)

α

3

+

β

3

(4)

α β

−

。

( 4)

2

2

α β

+ = −

−

=

,

3

2

αβ

=

−

(1)

α β

2

+

2

= +

(

α β

)

2

−

2

αβ

= + = ，

4 3 7

(2)

1

1

2

4

3

₃

2

α β

α β

αβ

+

−

+ =

=

=

−

，

(3)

3

3

(

)

3

3

(

) 8 3 (

3

) 2 17

2

α β

+

= +

α β

−

αβ α β

+

= − ×

−

× = ，

(4)

(

)

2

(

)

2

4

4 4 (

3

) 10

2

α β

−

= +

α β

−

αβ

= − ×

−

=

⇒ − = ±

α β

10

。

10

15

求方程式

3

2

4

6

0

x

+

x

+ − =

x

的解。

設

x b

−

為

x

3

+

4

x

2

+ −

x

6

的一次因式，

則

b

為

−6

的因數，

b

= ± ±

1,

2 ,

±

3 ,

±

6

，

即

x b

−

可能為

x

±

1,

x

±

2 ,

x

±

3 ,

x

±

6

，

因為

f

(1) 1 4 1 6

= + + − =

0

，

所以由因式定理知

x

−

1

為

x

3

+

4

x

2

+ −

x

6

的因式，

分解得

3

2

2

4

6

(

1)(

5

6)

x

+

x

+ − =

x

x

−

x

+

x

+ ，

再利用十字交乘法，原式可分解得

(

x

−

1)(

x

+

2)(

x

+ = ⇒ =

3)

0

x

1

或

−

2

或

−

3

，

故方程式的解為

x

=

1

或

−

2

或

−

3

。

11

16

求方程式

3

2

2

x

−

x

−

5

x

− = 的解。

2

0

3

2

2

x

−

x

−

5

x

− =

2

0

(

x

1)(2

x

1)(

x

2)

0

⇒

+

+

−

=

1

1

2

2

x

⇒ = −

或

−

或

。

12

17

18

已知

3

2

2

3

1 0

x

−

x

+

x

− =

之三根為

α

,

β

,

γ

，求

(1)

1

1

1

α β γ

+ + (2)

2

2

2

α

+

β

+ 。

γ

由根與係數的關係可得

( 2)

2

1

α β γ

+ + = −

−

=

,

3

3

1

αβ αγ βγ

+

+

= =

,

( 1)

1

1

αβγ

= −

−

=

(1)

1

1

1

βγ

αγ

αβ

α β γ αβγ αβγ αβγ

+ + =

+

+

3

3

1

βγ αγ αβ

αβγ

+

+

=

= = ，

(2)

α

2

+

β γ

2

+

2

=

(

α β γ

+ +

)

2

−

2(

αβ αγ βγ

+

+

)

= − × = − 。

2

2

2 3

2

13

19

已知

3

2

2

x

−

x

−

4

x

+ =

3

0

之三根為

α β γ

,

,

，求

(1)

1

1

1

,

,

α β γ

(2)

2

2

2

α

+

β

+ 。

γ

1

1

(

)

2

2

α β γ

+ + = −

−

=

,

4

2

2

αβ αγ βγ

+

+

=

−

= −

,

3

2

αβγ

=

−

(1)

1

1

1

2

4

3

₃

2

αβ αγ βγ

α β γ

αβγ

+

+

−

+ + =

=

=

−

，

(2)

α

2

+

β

2

+

γ

2

=

(

α β γ

+ +

)

2

−

2(

αβ αγ βγ

+

+

)

1

17

2 2

4

4

= + × =

。

14