國中數學2 3 1比例式

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3−1 比例式

一、比與比值:(比與比值表示法不同;比值沒有單位。) 兩個數 a、b(b≠0)的比記為 a:b, 其中 a 稱為比的前項,b 稱為比的後項,a:b 的比值為 a b。 練習1:右圖是製作12個粽子的食譜,根據右圖回答下列問題: (1)製作 12 個粽子所需的沙拉油重量:醬油重量 為 : ,比值為 。 (2)沙拉油重量是醬油重量的 倍。 (3)醬油重量是沙拉油重量的 倍。 練習2:小妍常去的歐風麵包坊裡有可頌和菠蘿兩種招牌麵包,已知一個可頌的價錢是一個菠蘿價錢 的 27 倍,則每個可頌和菠蘿價錢的比為何? 【觀念釐清】若甲與乙的比為 a:b,則甲是乙的 a b倍;若甲為乙的 a b倍,則甲與乙的比為 a:b。 練習3:棒球比賽中,選手的安打數與總打擊數的比值,以百分率表示稱為「打擊率」。某職棒選手 在最近上場打擊30次中,共揮出12支安打,則 (1)該選手的打擊率為多少? (2)後來該選手又多出場打擊10次,如果要維持原有的打擊率,他必須在這10次打擊中擊出 幾支安打? 練習4:一場籃球比賽中,選手的投進球數和總投球數的比值,以百分率表示稱為「命中率」。 在某次投籃比賽中,小翊共投進21球,命中率為7成,則他的總投球數為多少? 【觀念釐清】「打擊率」和「命中率」都是將兩個數比的比值乘以100%後換算而來的。

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練習5:寫出下列各比的比值(以最簡分數表示)。(1) 2:3 (2) 23 :(- 34 ) (3) 0.7:1.3 練習6:寫出下列各比的比值(以最簡分數表示)。(1) 24:(-12) (2) (- 12 ): 23 (3) (-0.3):2.4 ◎繁分數:當一個分數的分子或分母也是分數時,就稱為繁分數。繁分數的值就是將分子除以分母後 所得到的值。例如: 2 3 - 34 是繁分數, 2 3 - 34 = 23 ÷(- 34 )= 23 ×(- 43 )=- 89 。 練習7:將下列各數化簡成最簡分數。(1) 1 34 (2) 4 16 58 (3) 2 103 6.9 練習8:將下列各數化簡成最簡分數。(1) 1 53 (2) 4 2 67 (3) 2.46.4 ◎相等的比:當幾個比的比值相等時,就稱這幾個比是相等的比,例如:1:4=2:8。 ◎比的運算性質:(1) a:b=(a×m):(b×m)。(m≠0) (2) a:b=(a÷m):(b÷m)。(m≠0) 【說明】可以利用比值的分數進行約分或擴分的運算,得到比的運算性質,

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練習9:在下列各 內填入適當的數值。 (1) 4:18=2: (2) 2:(-7)=(-12): (3) (-2):9= :4 ◎最簡整數比:當a、b都是整數,且它們的最大公因數是1時,稱a:b是最簡整數比,此時比值 a b會 是最簡分數。 練習10:將下列各比以最簡整數比表示。(1) (-15):20 (2) (-6):(-14) (3) 36:(-28) 二、比例式: 如果兩個比 a:b 和 c:d 的比值相同,即 a bc d,則稱 a:b 和 c:d 相等,寫成 a:b=c:d, 這種等式稱為比例式;其中 b 和 c 稱為這個比例式的內項,a 和 d 稱為這個比例式的外項。 例如:比例式 2:3=6:9 中,3 和 6 為此比例式的內項,2 和 9 為此比例式的外項。 ◎比例式的運算性質: (1)比例式的外項乘積等於內項乘積。若 a:b=c:d,則 ad=bc。

(2) x、y 為兩個不為 0 的數,若 x:y=a:b,則 x:a=y:b,即 axy

b,可設 x=am、y=bm (m≠0)。

【說明】(1)如果 a:b=c:d,則 a

bc

d,得 ad=bc。例如:由 2:3=6:9,可得 2×9=3×6。

(2)如果 a:b=2:3,則 3a=2b,等號兩邊同除以 6,得 a2 = b3 ,也就是 a:2=b:3。

若設它們的比值為 m (m≠0),則 a2 =m、 b3 =m,可以得到 a=2m、b=3m。

【觀念釐清】「a:b=c:d」⇔ 「ad=bc」。

練習11:求下列各比例式中的x值。(1) 8:9=14:x (2) (x-2):6=(x+8):8

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練習13:有兩數 x、y,已知 x:y=3:2,且 x+y=20,則 x、y 的值分別為多少?

練習14:有兩數 x、y,已知 x:y=5:7,且 x-y=30,則 x、y 的值分別為多少?

練習15:設 x、y 皆不為 0,且 7x=4y,求下列各比的比值。(1) 2x:3y (2) (2x+3y):(4x-y)

練習16:設 x、y 皆不為 0,且 3x= 25 y,則 (1) x:y= : 。 (2) 7x:3y= : 。 (3) (x+y):(y-2x)= : 。 練習17:設(a+b):(a-b)=3:(-2),計算下列各式。 (1) a:b= : 。 (2) b:(a-b)的比值。 練習18:設(a+b):(a-b)=(-5):4,計算 a+3b a-3b的值。 練習19:設x:y=7:3,且y≠1,說說看,(x-1):(y-1)的比值是否為定值?

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三、應用問題:比與比值、比例式在生活中的應用非常廣泛。 練習20:小翊和小靖各有一些零用錢,且小翊零用錢的 2 倍和小靖零用錢的 3 倍一樣多,則 (1)小翊的零用錢:小靖的零用錢= : 。 (2)承(1),若小翊的零用錢和小靖的零用錢共有 500 元,則小翊和小靖的零用錢各有多少元? 練習21:籃子裡有一些蘋果和梨子,若蘋果個數的 5 倍等於梨子個數的 4 倍,且蘋果比梨子少 21 個, 則蘋果和梨子各有多少個? 練習22:小妍和小翊兩人原有唱片的張數比為 6:5,後來兩人分別又買了 5 張和 3 張唱片,結果 張數比變為 5:4。則兩人原本各有幾張唱片? 練習23:教室內原有男生、女生人數比為 8:7,下課後有 3 位男生和 6 位女生走出教室,剩下的 男生、女生人數比變為 5:4。則教室內原有男生、女生各多少人? 【觀念釐清】對於每一個圓,它的周長與直徑的比值是固定的,約為3.14,稱這個比值為圓周率。 事實上,圓周率無法以有限小數來表示,數學上以符號「π」(讀作「ㄆㄞ」)來表示它。 例如:一個半徑為 r 的圓,則 (1)周長=直徑×圓周率=2×r×π=2πr,因此以 2πr 表示半徑為 r 的圓周長。 (2)面積=半徑×半徑×圓周率=r×r×π=πr2,因此以πr2表示半徑為 r 的圓面積。 練習24:如右圖,兩圓的圓心相同,且大圓的半徑為 R,小圓的半徑為 r, 已知 R:r=9:7,則 (1)兩圓面積的比值為多少? (2)大圓面積是小圓面積的幾倍? R r

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【觀念釐清】兩圓面積的比等於它們的半徑平方比。 練習25:將一條 80 公分的繩子以 3:5 的比例剪成兩段,分別圍出兩個正方形,則這兩個正方形面積 的比值為多少? 練習26:食鹽水中,食鹽重量和食鹽水重量的比值,以百分率表示稱為食鹽水的「重量百分濃度」 (簡稱濃度)。在 195 公克的水中,加入 5 公克的食鹽,溶解後得到食鹽水溶液,則這杯食鹽水 溶液的濃度是多少? 練習27:市面上常見的檸檬茶粉,用開水沖泡攪拌均勻即可飲用。已知媽媽在 480 公克的開水中 加入 20 公克的檸檬茶粉,則這杯檸檬茶的濃度是多少? 自我評量 1. 求下列各比例式中的 x 值。(1) 6:x=(-5):3 (2) (x-1):5=(2x+1):3 2. 設 x:3=y:4,且 x、y 皆不為 0,則 (1) (x+2y):(x-2y)的比值是多少? (2)若 3x+y=26,則(x+2):(y-2)的比值是多少? 3. 已知某校上學期男學生與女學生的人數比為 3:2,下學期男生人數不變,女生減少了 50 人,男學生 與女學生的人數比變成2:1。則上學期全校學生共有多少人?

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4. 有甲、乙兩張色紙,其長寬比皆為 5:3,則 (1)若將甲色紙沿長邊剪去 12 公分後,如圖(一),可使色紙 變成正方形,則原來的長、寬分別為多少公分? (2)若將乙色紙沿寬邊剪去 2 公分後,如圖(二),色紙的 長寬比變為 2:1,則原來的長、寬分別為多少公分? 5. 已知有大、小兩種紙杯與甲、乙兩桶果汁,其中小紙杯與大紙杯的容量比為 2:3,甲桶果汁與乙桶 果汁的體積比為 4:5。若甲桶內的果汁剛好裝滿小紙杯 120 個,則乙桶內的果汁最多可裝滿幾個大 紙杯? 習作 1. 小翊騎單車 2 小時共騎了 30 公里,小靖騎單車 3 小時共騎了 40 公里,則小翊與小靖騎單車的平均 速率比值為何?(以最簡分數表示) 2. 媽媽想要烤 20 個可頌麵包,她依據右圖的食譜內容到市場 選購材料,則 (1)麵粉至少需要買 公克。 (2)糖至少需要買 公克。 12 公分 甲 圖(一) 2 公分 乙 圖(二) 發酵麵團材料: 麵粉 240 公克 牛奶 125cc 新鮮酵母 20 公克 糖 10 公克 鹽 1 小撮 全蛋 1 顆 奶油 25 公克 8

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3. 根據右圖回答下列問題: (1)甲三角形與乙三角形面積比的比值為 。 (2)甲三角形面積是乙三角形面積的 倍。 4. 寫出下列各比的比值(以最簡分數表示)。 (1) 39:(-3) (2) (-3.5):20 (3) (-32 ):(-23 ) (4) 0.8:(-65 ) 5. 求下列各比例式中的 x 值。 (1) (-53 ):(-57 )=x:14 1 (2) 7:(x+1)=11:4 (3) (-x+5):(3x-2)=3:4 (4) (x+1):4=(1-2x):(-10) 6. 設 x、y 均不為 0,且 5x-2y=3x+y,則 (1) x:y=? (2) (x+3y):(x-y)的比值為何? 7. 小妍體重的 9 倍與媽媽體重的 4 倍相同,兩人合起來共重 65 公斤,則 (1)小妍與媽媽體重的比為多少? (2)小妍、媽媽的體重各為多少公斤? 10 5 H B C A 甲 乙 10 7 G E F D

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8. 小佑與小諒兩人原有零用錢的比為 3:2,後來小佑花了 150 元買玩具,而小諒在抽屜的角落又另外 發現了275 元,結果兩人的零用錢數比變為 2:3,則兩人原來分別有多少零用錢? 9. 同一個錶面上,分針與秒針各轉一圈所需時間的比值為多少? 10. 有 A、B 兩個完全相同的杯子,各裝不同量的水。若將 B 杯中17 的水倒入 A 杯,則兩杯的水位等高。 設 A 杯原來的水量為 a,B 杯原來的水量為 b,則a b =? 11. 甲、乙兩個罐子裝有相同重量的酒精溶液,其中水與酒精的重量比分別為 3:1 和 1:1,若將這 兩罐溶液全倒入一個較大的容器中且沒有溢出,則後來所得的混合溶液中,重量百分濃度為多少? 類題補充 1. 小孟用 2 大匙抹茶粉和 460 毫升鮮奶,加水沖泡成 2 杯抹茶拿鐵,若他想要重新沖泡 36 杯相同口味 的抹茶拿鐵,至少需要準備幾瓶1 公升的鮮奶? 2. 下圖的直線都是水平線與鉛直線,其中水平線間的距離均相等,則灰色部分的面積占全部面積的 比值為何? 3. 若(3x-2y):(x-2y+8)=3:2,則 x、y 的正整數解有幾組?

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4. 某校一年級與二年級的學生人數比為 3:2,其中一年級的學生中男生占 65%,二年級的學生中女生 占40%,則一、二年級所有學生中女生所占的比例為何? 5. 有一路程,甲需 212 小時才走完,乙需 313 小時才走完,則甲、乙兩人的速度比為何? 6. 若兩個正方形的面積比為 45:80,則其周長比為多少? 7. 下圖中 ABCD 為一矩形,若 ¯ AB =11、 ¯ BC =6,且除了圖中的斜線區域外,空白的區域皆為正方形, 則 ¯ EF : ¯ EG 的比值為 。 AE G F B D C

8. 若 a、b 均為正整數且 a:b=7:13,若(a , b)+[a , b]=1104,則 a+b= 。

9. 若甲、乙二個長方形的周長相等,且甲長方形長與寬的比為 5:2,乙長方形長與寬的比為 9:5,則 甲、乙面積的比為 。

10. 甲、乙兩杯食鹽水,甲重量為 60 公克,乙重量為 110 公克,已知兩杯水量比甲:乙=1:2,含鹽量 的比甲:乙=3:5,則甲杯食鹽水濃度為多少?

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11. 設 y≠4b,若 x ya b=3,則 x-4a y-4b=? 12. 合金中依純金的含量分成 24 個等級,18K 金表示含純金 1824 ,21K 金表示含純金 2124 ,那麼 1 公克的 18K 金與 1 公克的 21K 金,含金量之比為多少? 13. 某商品三年內價格變動如下,第二年比第一年漲了四成,第三年比第二年跌了四成,那麼第一年與 第三年的價格比為多少? 14. 阿雄與小祥去年的月薪比為 5:6,今年依其表現各調薪 8%和 5%,則調薪後兩人的月薪比為何? 15. 一正方形與圓的周長相等,則正方形面積與圓面積的比值為何? 16. 已知甲、乙兩家公司的員工總人數一樣,且甲公司男員工與女員工的人數比為 2:1,乙公司男員工與 女員工的人數比為2:3。若甲、乙兩家公司合併成一家後(員工並沒有裁減),則新公司男員工與女員 工的人數比為 。

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18. 康軒國中去年的國一新生中,男、女生的比例是 10:9,若今年入學的新生中,男生人數比去年的 人數減少了 15 ,女生人數比去年的人數減少了 16 ,則今年的國一新生中,男、女生人數的比為何? (化成最簡整數比) 19. 某次段考班上數學成績及格學生平均 80 分,不及格學生平均 45 分,全班平均剛好 60 分。則 (1)及格學生與不及格學生的人數比為何? (2)若發現及格人數與不及格人數弄反了,則全班平均應該為多少分? 20. 已知一年 21 班第一次段考數學科及格人數與不及格人數比為 5:4,第二次段考數學科及格人數與不 及格人數比為11:7,且第二次及格人數比第一次及格人數多 2 人,則全班共有多少人? 21. 將一條 12 公尺長的繩子,按照 7:3 的比例剪成兩段,再分別圍出大小兩個正方形,則大、小兩個 正方形的面積比為何? 22. 一船在河流中航行,若順流時和逆流時的速度比為 5:3,則此船的速度:水流的速度=? 23. 小翊用 10 公克的咖啡粉加水 90 公克泡了一杯香濃的咖啡,若小靖也想泡一杯 450 公克相同濃度的 咖啡,則他應該用 公克的咖啡粉。

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加強練習

1. 若 a:b=7:5,則下列敘述何者正確?

(A) a:5=b:7 (B) (a¯b):a=35:7 (C) b:a=5:7 (D) (a+1):(b+1)=8:6。

2. 已知 ab≠0,若 9a+4b=0,則 a:b=? (A) 4:9 (B) 9:4 (C) (-4):9 (D) (-9 ):4。 3. 有兩個正數 a、b,若 4a:5b=8:15,則下列何者錯誤?

(A) 3a=2b (B) (a+4):(b+6)=2:3 (C) (a+6):(b+4)=8:7 (D) 3a:2=3b:3。 4. 父子兩人五年前年齡之比為 3:1,若今年父子兩人年齡之比為 a:b,則下列何者正確? (A) ab>31 (B) a b= 3 1 (C) a b< 3 1 (D)條件不足,無法判定 a b 與 3 1 的大小。 5. 撲滿裡有 10 元硬幣 200 元,50 元硬幣 400 元,則 10 元與全部硬幣的個數比為何? 6. 花花每 10 分鐘走 630 公尺,崗崗每 2.5 小時走 9 公里,則花花的速率與崗崗的速率比值為何? 7. 王建民參加原民盃棒球比賽,已知他共投了 5(x-1)個好球,(2x+5)個壞球,且此次比賽中好壞球數 比為2:1,則王建民共投了幾球? 8. 若 711:51 47 之比值為 q p,其中 p、q 均為正整數且互質,則下列敘述何者錯誤? (A) q 為 7 的倍數 (B) p+q 為 5 的倍數 (C) p-q=3 (D) p¯q=154。

9. 設 x:y=5:3,則下列何者不正確? (A) 3x=5y (B) x+y

y = 8 3 (C) x-y x+y= 1 4 (D) x+1 y+4= 6 7。

10. 若 a:b 是有意義的,則 a:b 之值與下列何者相等? (A) a2:b2 (B) b:a (C) a2:ab (D) ab:b2

11. 若(x-2y):(x-y-2)=3:2,則 x、y 之正整數解有 組。

12. 設 a、b 都是正整數,若 a:b=4:3,且 a、b 的最大公因數為 5,則 a+b 之值為 。 13. 若一矩形的長寬比為 2:1,另一正方形與此矩形的周長相等,則矩形與正方形面積的比值為何? 14. 兩個罐子裝有相同重量的酒水混合液,其中水與酒的重量比分別為 3:2 與 2:1,若將這兩罐溶液 全倒入一個較大的容器中且沒有溢出,則最後所得的混合液中,水與酒的重量比為何? 15. 小明和小華要將牆壁重新粉刷,若小明用 9 罐白漆和 6 罐藍漆調色,而小華用 12 罐白漆和 9 罐藍漆 調色,則下列何者正確? (A)甲、乙 (B)甲、丙 (C)乙、丙 (D)甲、乙、丙。 甲:小華調的顏色較深 乙:小明再買1 罐白漆,顏色就和小華一樣了 丙:小華少買1 罐藍漆,顏色就和小明一樣了 16. 小妍、祐祐、小吉三個人各用去 100 元後,剩下的錢數比為 5:6:9,已知原本小妍和小吉的 錢數比為3:5,則原本祐祐有多少元? 17. 某次段考後統計分數發現:七年 A 班有 40%的學生數學及格,七年 B 班有 30%的學生數學及格。 已知 A、B 兩班的人數比為 3:2,若將兩班的全部學生合併統計,則這兩班學生的數學及格率為何? (及格率= 及格人數全部人數 ) 18. 已知父子兩人五年前的年齡比為 8:3,設五年後的年齡比為 a:b,則 a:b 的比值可能為下列何者? (A) 2 (B) 3 (C) 27 (D) 1813 。 19. 若 5:7= 10 a : 14 5 = b 24 : 7 15 ,則 2a-b= 。 20. 甲、乙兩人將各自所有錢的 13 交換,結果甲的 4 倍等於乙的 5 倍,則甲、乙原有錢的比為 。

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Ans:1.(C);2.(C);3.(C);4.(C);5. 5:7;6. 2120;7.105 球;8.(C);9.(D);10.(D);11. 5;12. 35; 13.8

9;14. 19:11;15.(B);16. 700 元;17. 36%;18.(A);19. 2;20. 2:1。

數據

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參考文獻

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