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國中數學4 3 1三角形的內角與外角

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Academic year: 2021

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3−1 三角形的內角與外角

本節課程學習重點: ◎能知道三角形的內角和、外角和與外角定理。 ◎能知道四角形的內角和與外角和。 ◎能計算多邊形的內角和與外角和。 ◎能計算正多邊形每一個內角與外角度數。 一、三角形的內角與外角: ◎三角形的內角和定理:任意三角形的內角和為180°。如下圖,∠A+∠B+∠C=180°。 C B A 【說明】透過摺紙可知道任意三角形的內角和為180 度,即一個三角形的三個內角可以拼成一個平角。 A B C B A C B C A 【觀念釐清】如果△ABC 為直角三角形或鈍角三角形,仿照上述的方法,也可將此三角形的三內角 折成一個平角。 練習1:有一個三角形,它的三個內角度數比為 1︰3︰5,則此三角形的最大角為多少度? 練習2:若△ABC 三內角分別為(2x-10)°、x°、(3x+10)°,則 x=? ◎外角:在三角形中,一內角的一邊和另一邊的延長線所成的角,稱為這個內角的外角。 如下圖,∠1、∠4 都是∠A 的外角,∠2、∠5 都是∠B 的外角,∠3、∠6 都是∠C 的外角。 A B C 3 6 2 5 1 4

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◎三角形的外角和定理:任意三角形的一組外角和為360°。如下圖,∠1+∠2+∠3=360°。 C B A 1 3 2 【說明】以左下圖的△ABC 表示小木偶繞公園所走的路徑,當它從出發點走到 A 點後轉了一個角∠1。 小木偶繼續走到 B 點轉了一個角∠2,再走到 C 點又轉了一個角∠3,最後往前走回出發點, 方向和原來的一樣,如右下圖。這時小木偶共轉了一圈 360°,因此∠1+∠2+∠3=360°。 出發點 C B A P 1 C B A 出發點 2 3 1 P 其中,∠1、∠2、∠3 分別是△ABC 三內角∠A、∠B、∠C 的一個外角,稱∠1、∠2、∠3 是△ABC 的一組外角。小木偶走一圈所轉過的角度和與在固定一點轉一圈的度數是一樣的, 都是 360°,因此∠1+∠2+∠3=360°。如果三角形漸漸縮小,則可以觀察到三角形的一組 外角拼成一個周角 360°,如下圖。 1 2 3 C B A 1 1 2 2 3 3 C B A 如果小木偶反向繞公園一圈,可知另一組外角的角度和也是 360°,即∠4+∠5+∠6=360°。 C B A 6 5 4 出發點 P 【觀念釐清】也可以利用三角形的內角和定理來推出這個結果。 因為∠4=180°-∠C,∠5=180°-∠B,∠6=180°-∠A, 得∠4+∠5+∠6=(180°-∠C)+(180°-∠B)+(180°-∠A)=180°×3-(∠A+∠B+∠C) =540°-180°=360°,所以△ABC 的一組外角和是 360°。 練習3:如下圖,△DEF 為澀水社區內的一處三角形公園,其中∠EDF=70°,外圍是自行車道,文文 騎著自行車從 P 點出發,逆時針方向繞著外圍車道騎了一圈回到 P 點,並和出發時面對相同 方向,請問: (1)文文從 P 點出發,經過 D 點後,到達 Q 點,則他轉了幾度? (2)若文文再從 Q 點出發,經過 E、F 點後回到 P 點,他轉了兩次彎,共轉了幾度? Q E F P D

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練習4:有一個三角形,它的一組外角度數比為 2︰3︰3,請求出這個三角形的三個內角度數。 練習5:若△ABC 為等腰三角形,頂角∠A=70°,請問底角∠B 的一個外角是幾度? 練習6:請問是否有三角形,它的一組外角的度數比為 1︰2︰3? ◎三角形的外角定理:三角形的任一外角等於不相鄰兩內角的和。 如下圖,∠1=∠B+∠C,∠2=∠A+∠C,∠3=∠A+∠B。 C B A 1 3 2 【說明】因為∠1+∠A=180°,且∠A+∠B+∠C=180°,得∠1+∠A =∠A+∠B+∠C, 所以∠1=∠B+∠C。同理可知∠2=∠A+∠C,∠3=∠A+∠B。 練習7:在△ABC 中,如果∠B 的外角是 110°,且 3∠C=2∠A,試求∠A=? 練習8:如下圖,∠1、∠2 分別為甲、乙兩木板與地面的夾角,∠3、∠4 為甲、乙兩木板間的夾角。 若∠3=100°,則(1)∠4=? (2)∠2-∠1=? 甲 乙 1 2 3 4 地面

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◎解題工具:(1)如下圖, AD 與BC交於 O 點,則∠A+∠B=∠C+∠D。 (Hint:可利用三角形內角和定理或外角定理來說明) O B A D C (2)如下圖,則∠BCD=∠B+∠A+∠D。(Hint:連接直線 AC,再利用外角定理來說明) C B A D 【觀念釐清】為了幫助說明,在原圖形上所增添的直線或線段,就稱為這個圖形的輔助線。 練習9:如右圖,則 x=? (2x-5)° 45° 30° 練習10:請分別根據下圖中所畫出的輔助線,說明∠BCD=∠ABC+∠A+∠ADC。 C B A D C E B A D 練習11:如下圖, AE 與 BD 交於 C 點,已知∠A=50°、∠B=60°、∠D=20°、∠E=30°, 則∠DFE=? B A D E C 50° 60° 30° 20° F

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二、n 邊形的內角和定理與外角和定理: ◎ n邊形的內角和定理:任一 n邊形的內角和為(n-2)×180°。 【說明】在下列各多邊形中,由其中一個頂點向其他頂點畫對角線,可以將它們分割成數個三角形, 再利用三角形的內角和定理可以算出這個多邊形的內角和。 觀察下表中過一頂點的對角線數、分割後的三角形個數及各 n 邊形的內角和: n 邊形 四邊形 五邊形 六邊形 七邊形 圖形 過一頂點的對角線數 1 條 2 條 3 條 4 條 三角形個數 2 個 3 個 4 個 5 個 n 邊形內角和 360° 540° 720° 900° 結論:(1)過 n 邊形(n 個邊的多邊形)的一個頂點和其他頂點可以作出(n-3)條對角線, 且這些對角線可以將此 n 邊形分割成(n-2)個三角形。 (2) n 邊形的內角和等於(n-2)個三角形內角和。 練習12:如圖,將四邊形 ABCD 分割成四個三角形,則四邊形 ABCD 的內角和是否為 4×180°=720°? 為什麼? D C O 1 9 10 11 12 2 3 4 5 6 7 8 B A 【觀念釐清】每一個邊都相等且每一個角都相等的多邊形,稱為正多邊形。 ◎正 n 邊形的內角:正 n 邊形的每一個內角為(n-2)×180° n 。 練習13:如果有一正 n 邊形,每一個內角為 156°,請問 n 是多少? 練習14:(1)十二邊形的內角和是多少度? (2)正十二邊形的每一個內角是多少度? 練習15:在五邊形ABCDE中,若∠A=100°,且其餘四個內角度數相等,則∠C=?

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◎多邊形的外角和定理:任意多邊形的一組外角和為360°。如下圖,多邊形的外角和都是360°。 四邊形 五邊形 六邊形 七邊形 【說明】下圖中,∠1、∠2、∠3、∠4 是四邊形 ABCD 的一組外角,若仿照小木偶繞行三角形公園的 方法,當小木偶以逆時針方向繞行四邊形公園一周時,小木偶共轉了一圈 360°,而它的鼻子 所掃過的角度剛好就是∠1、∠2、∠3、∠4 的和,所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°,也就是 四邊形的一組外角和是 360°。同理,以上的作法可推廣到其他的多邊形,當小木偶從出發點 開始繞行 n 邊形一圈回到原出發點時,所轉的角度和是 n 邊形的一組外角和,且這組外角和 與在固定點轉一圈的度數是一樣的。 D C B A 4 1 3 2 出發點 【觀念釐清】也可利用「內角與它的一個外角互補」及「n 邊形內角和為(n-2)×180°」性質來推導。 以五邊形為例,如下圖︰ 因為(∠1+∠6)+(∠2+∠7)+(∠3+∠8)+(∠4+∠9)+(∠5+∠10)=180°×5=900°, 得(∠1+∠2+∠3+∠4+∠5)+(5-2)×180°=900°,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°。 1 7 2 8 3 9 4 10 5 6 練習16:如下圖,五邊形ABCDE中,若∠AED=130°,∠EDC=120°,則∠1+∠2+∠3=? 1 2 3 A B C D E 130° 120° ◎正 n 邊形的外角與內角︰正 n 邊形的每一個外角為 360° n ;正 n 邊形的每一個內角為 180°- 360° n 。 練習17:如果一個正 n 邊形的每一個外角均為 45°,請問 n 是多少? 4 3 1 2

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練習18:(1)有一個正 n 邊形的一個內角是 144°,請問 n 是多少?(Hint:利用外角來思考) (2)請問正十邊形的每一個外角度數是正五邊形的每一個外角度數的幾倍? 練習19:有一個五邊形,它的內角度數比為 3︰4︰4︰4︰5,請問這個五邊形的最大內角與最大外角 各為幾度? 練習20:(1)若某個 n 邊形的內角和恰好是外角和的 5 倍,請問 n 是多少? (2)若某個正 m 邊形的一個內角度數恰好是它外角度數的 5 倍,請問 m 是多少? 練習21:已知一個八邊形,其八個內角由小到大排列恰好成等差數列,若其中最小的內角為 100°, 則最大的內角為多少度? 練習22:已知某 n 邊形,它的內角恰好成等差數列,若其中最小的內角為 50°,最大的內角為 166°, 則 n 是多少? 自我評量 1. 在△ABC中,∠A=85°,∠B=(2x+15)°,∠C=(x-10)°,則∠C= 度。

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2. 在等腰三角形 ABC 中,∠A=80°時,∠B 可能是多少度? 3. 下圖是一個玩具車軌道圖,將玩具車自P點沿著箭頭方向前進,途中經由A點轉向B點,再經由B點 轉向Q點。若∠BAP=130°、∠QBA=95°,則此玩具車抵達Q點至少共要轉多少度? A P Q 130° 95° B 4. 如右圖,A、B、C、D、E 為平面上相異 5 點,連接 AB 、 BE 、 EC 、 CD 、 DA ,則 (1)∠A+∠B=∠1+ 。 (2)∠C+∠D=∠2+ 。 (3)∠A+∠B+∠C+∠D-∠E= 度。 5. 四邊形 ABCD 中,若∠A=∠B=3∠C=3∠D,則 (1)∠A 與∠C 的度數。 (2)∠B 的外角與∠D 的外角的度數和。 6. 如下圖,試求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=? B C D E A 7. 如下圖,已知正五邊形與正六邊形的一邊在同一直線上,且有一個頂點重合,則∠1=? 1 B A C E D 2 1

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習作 1. (1)△ABC 中,若三個內角的度數比為 3:4:5,請寫出△ABC 三個內角的度數。 (2)△DEF 中,若一組外角的度數比為 3:4:5,請寫出△DEF 一組外角的度數。 2. 如右圖,若∠A 的外角是(3x+5)°,∠B 的外角是(2x-10)°, ∠C 的外角是(4x+5)°,則∠BAC 為多少度? 3. 如右圖,ABCDEF 為正六邊形,CGHID 為正五邊形,則∠BCG=? 4. 如右圖,有一個五邊形 ABCDE 的步道,若小美從 P 點出發, 沿著步道散步,經過 D、E、A 後到達 Q,則小美共轉了幾度? 5. 已知正 n 邊形的內角和為 1800°,則此正 n 邊形的每一個外角度數為多少度? 6. 已知一個 n 邊形,其一組外角的度數由小到大排列恰好成等差數列,若其中最大及最小外角分別 為 55°及 5°,則 n=? A (2x-10)° (3x+5)° (4x+5)° B C 98° 123° A Q P B C D E A F G H I B C D E

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7. 如下圖,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=? B A C F D E 類題補充 1. 如右圖,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=80°,請問: (1)小君從 P 點經 B、C,最後到達 A 點,則小君共轉了 度。 (2)小君從 A 點沿 ¯ AP 走向 P 點,再沿 ¯ PC 走到 C 點,最後沿 ¯ CA 走回 A 點,則小君共轉了 度。 2. 三角形的三外角分別為(2x+10)°、(5x-5)°、(3x+15)°,則此三角形中最大的內角為 度。 3. 如右圖,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 度。

4. 如圖,在△ABC 中, ¯ AD 為∠BAC 的角平分線,若∠C=20°,∠CDA 度數是∠DAB 度數的 3 倍, 請問∠ABC 的外角是多少度? A B E D C 5. △ABC 中,若∠B=∠A+∠C,則∠B= 度。 A B P C A B C D E F G H

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6. 如圖,在△ABC 中,∠ABC=70°,∠ACB=60°,若 ¯ BE 、 ¯ CD 分別是∠ABC 和∠ACB 的角平分線, 且交於 D 點,試求∠BEC、∠BDC 的度數。 B A C E D 7. 試求右圖中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=? 8. 若一正 m 邊形的一外角等於一正 n 邊形的一內角,則 m + 1 n = 。1 9. 如下圖,∠1+∠2=200°,∠B=40°,∠C=54°,求∠A= 度。 B C E A 1 2 10. 如下圖,一個正方形被四個正五邊形包圍,則∠1= 度。 1 11. 如下圖,求 1∠ +∠ +2 ∠ = 度。3 1 2 3 160

°

125

°

145

°

12. 以量角器測量凸五邊形的五個內角,試問最多可能量出幾個銳角? 2 1 3 4 5 6 7 8

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13. 如下圖,△ABC 中, ¯ AD 和 ¯ CE 分別為∠BAC 和∠ACB 的角平分線,若∠1=30°,∠2=40°, 則∠B= 度。 1 2 A D B C E 14. 若一正 n 邊形的一外角是一內角的 11 倍,則從該圖形的一個頂點,最多可做出 條對角線。1 15. 如下圖,∠A=75°,∠B=45°,∠D=32°,則∠AED= 度。 E A D C B 16. 如下圖,正五邊形 ABCDE,若△CDF 為正三角形,則∠BFE= 度。 A B F E C D 17. 如下圖,有兩個直角三角形△ABC、△BDE,三內角分別為 30°-60°-90°、45°-45°-90°, 已知 ¯ BD = ¯ BC =6,則∠DEC= 度;四邊形 BCED 的周長為 。 A B C E D 18. △ABC 中,∠B 的角平分線和∠C 的角平分線相交於 D 點,若∠A=40°,則∠BDC= 度。

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A D E F B C 加強練習 1. 過某 n 邊形的一頂點,任意畫兩條對角線,形成一個三角形,一個四邊形,一個五邊形,則 n=? 2. 下列有關正八邊形的相關敘述,哪一個選項是錯誤的? (A)每一內角皆為 120° (B)過一頂點可畫出 5 條對角線 (C)以一頂點畫對角線,可形成 6 個三角形 (D)每一個外角皆為 45°。 3. 若一正 n 邊形的一內角度數與一外角度數的比為 7:2,則 n=? 4. 若∠A 的補角與∠A 的餘角度數和為 120°,求∠A= 度。 5. 甲同學:三角形的外角和是 180° 乙同學:菱形的內角和與外角和恰好相等 丙同學:凸多邊形的外角和隨著邊數增多而變大 丁同學:凸多邊形的內角和隨著邊數增多而變大 上列四位同學說明多邊形的內角和與外角和的關係,哪些同學敘述正確? (A)乙丁 (B)甲乙 (C)丙丁 (D)甲乙丙。 6. 有一多邊形,已知從其中一個頂點最多可做出 10 條對角線,且此多邊形的內角和為 度。 7. 如右圖,小強從 A 點出發到 B 點,經過的路線為 A→P→Q→S→T→B,且已知∠APQ=92°, 則小強共轉了 度。 Q A P S T B 92° 8. △ABC 中,若∠C 的外角=140°,且∠A-∠B=10°,則∠B=? 9. 如右圖,△ABC 中,D 點在 ¯ BC 上,F 點在 ¯ AB 延長線上, ¯ DF 交 ¯ AC 於 E 點。 若∠B=43°,∠C=53°,∠AEF=50°,則∠F= 度。 10. 若某正 n 邊形之其中一內角為 12×180°13 ,則 n=? 11. 已知一等腰三角形 ABC 的兩底角相等,若∠B=70°,則∠A 不可能為下列哪個度數? (A) 40° (B) 50° (C) 55° (D) 70°。 12. 一個三角形中,若其中二個外角和是 280°,則此三角形一定是何種三角形? (A)銳角三角形 (B)直角三角形 (C)鈍角三角形 (D)正三角形。 13. 平面圖形中,下列哪一種情況不可能成立? (A)某三角形的三個內角度數比為 1:2:3 (B)某三角形的一組外角度數比為 1:2:3 (C)某四邊形的四個內角度數比為 1:2:3:4 (D)某四邊形的一組外角度數比為 1:2:3:4 14. 若一正多邊形的內角比外角的 7 倍少 12°,則此多邊形為正 邊形。 15. 四邊形 ABCD 中,若 6∠A=3∠B=4∠C=4∠D,則∠D= 度。 16. 如下圖,五邊形 ABCDE 中,∠A 與∠D 的角平分線相交於 O 點。若∠B=110°,∠C=125°, ∠E=115°,則∠1=? 1 A O E B

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Ans:1. 8;2.(A);3. 9;4. 75;5.(A);6. 1980;7. 356;8. 65°;9. 34;10. 26;11.(B);12.(C); 13.(B);14. 15;15. 90;16. 30°。

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