1-3-6多項式-多項式不等式

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(1)1-3-6 多項式-多項式不等式【定義】多項不等式：若 f (x ) 是一個實係數多項式，則 f ( x ) > 0, f ( x) < 0, f ( x ) ≥ 0, f ( x) ≤ 0 都稱為多項不等式。【公式】一元一次不等式：若 a, b 為實數， a ≠ 0 ，則 ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0 等都是一元一次不等式。對於 ax + b > 0 而言 + − b x (1)若 a > 0 ，則 x > − 。 a b − b a (2)若 a < 0 ，則 x < − 。 a 一元二次不等式：設 ax 2 + bx + c = 0, a, b, c ∈ R, a > 0 ，若 b 2 − 4ac > 0 時，則 1. ax 2 + bx + c > 0 之解為 x < 2. ax 2 + bx + c < 0 之解為. − b − b 2 − 4ac 或 − b + b 2 − 4ac 。 x> 2a 2a. − b − b 2 − 4ac − b + b 2 − 4ac 。 <x< 2a 2a. 若 b 2 − 4ac = 0 時，則 1. ax 2 + bx + c > 0 之解為 x ∈ R, x ≠ −. b 。 2a. 2. ax 2 + bx + c < 0 之解為無解。若 b 2 − 4ac < 0 時，則 1. ax 2 + bx + c > 0 之解為 x ∈ R 。 2. ax 2 + bx + c < 0 之解為無解。 + + − 特別的，設 α , β 為實數且 α < β ，則： x (1) ( x − α )( x − β ) < 0 之解為 α < x < β 。 α β (2) ( x − α )( x − β ) > 0 之解為 x < α 或 x > β 。【公式】一元三次不等式： 1. 設 a > 0, α < β < γ ，則 a ( x − α )( x − β )( x − γ ) > 0 之解為 α < x < β 或 x > γ 。 2. 設 a > 0, α < β < γ ，則 a ( x − α )( x − β )( x − γ ) < 0 之解為 x < α 或 β < x < γ 。【注意】 1. 首項係數是否為正。 + + − − 2. 是否有恆正的項或者恆非負的項(利用判別式)。 x 3. 完全平方項。 γ α β 4. 可能等於零的 x 值。 5. 分母不能為零，根號內大於或等於零。 6. 計算過程中不等式是否要變號。 7. 注意等號。.

(2) 一元 n 次不等式：設 x1 , x 2 ,L , x n 皆為實數且 x1 < x 2 < L < x n ，若 f ( x) = ( x − x1 )( x − x 2 )L ( x − x n ) ，則判別 f ( x ) 的正負時，先將 x1 , x 2 ,L , x n 標在數線上，由最右邊 f ( x ) 取正，並由最右往左 f ( x ) 依序取一正一負相間，如圖： ....... x1. x2. x3. +. −. x n− 2 x n −1. x4. +. xn. 【公式】二次函數恆正或恆負的判別：函數 f ( x) = ax 2 + bx + c ，其中 a, b, c 為實數且 a ≠ 0 ， (1) a > 0 且 b 2 − 4ac < 0 ，則開口向上且與 x 軸無交點，即 f ( x) 恆正。 (2) a < 0 且 b 2 − 4ac < 0 ，則開口向下且與 x 軸無交點，即 f ( x) 恆負。 (3) a > 0 且 b 2 − 4ac = 0 ，則開口向上且與 x 軸交一點，即 f ( x) 恆非負。 (4) a < 0 且 b 2 − 4ac = 0 ，則開口向下且與 x 軸交一點，即 f ( x) 恆非正。【公式】 1. 根式不等式： ⎧ f ( x) ≥ 0 ⎧ f ( x) ≥ 0 ⎪ (1) f ( x) ≥ g ( x) ⇒ ⎨ 或 ⎨ g ( x) ≥ 0 。 ⎩ g ( x) < 0 ⎪ 2 ⎩ f ( x) ≥ ( g ( x)) ⎧ f ( x) ≥ 0 ⎪ 。 (2) f ( x) ≤ g ( x) ⇒ ⎨ g ( x) ≥ 0 ⎪ f ( x) ≤ ( g ( x)) 2 ⎩ 2. 分式不等式：設 a < b ，則 x−a (1) ≤ 0 ⇔ ( x − a )( x − b) ≤ 0 且 x ≠ b ⇔ a ≤ x < b 。 x−b x−a (2) < 0 ⇔ ( x − a )( x − b) < 0 ⇔ a < x < b 。 x−b 3. 絕對值不等式：設 f ( x) =| x − a1 | + | x − a 2 | + L + | x − a n | ，其中 a1 < a 2 < L < a n 其圖形是由 n − 1 條線段及兩射線連成的折線，而折點為 (a k , f (a k )), k = 1,2,L , n ， (1)若 n 為奇數，則當 x = a n +1 時， f ( x ) 有最小值。 2. (2)若 n 為偶數，則當 a n ≤ x ≤ a n 時， f ( x ) 有最小值。 2. 2. +1.

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