等腰三角形性质及判定(提高）巩固练习

(1)

等腰三角形性质及判定

(提高）巩固练习

【巩固练习】一.选择题 1．如图，在△ABC 中，若 AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A 等于( )． A．30° B．36° C．45° D．54° 2. 等腰三角形两边

a

、

b

满足｜

a b

 

2

｜＋



2 a



3 11

b





2＝0，则此三角形的周长是（） A．7 B．5 C．8 D．7 或 5

3.（2015 春•宜阳县期末）如图，△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，EF∥BC，EF 经过点 O，若 AB=10，

AC=15，则△AEF 的周长是（）

A．10 B． 15 C． 20 D． 25

4. （2015 秋_{•西城区期末）如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，与 AC 交于点 D，DE⊥AB 于点 E，若 BC=5，}

△BCD 的面积为 5，则 ED 的长为（）．

A． B．1 C．2 D．5

5．如图所示，在长方形 ABCD 的对称轴

l

上找点 P，使得△PAB、△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点 P

有（）

(2)

6. 如图所示，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝

4 3

，点 E 是折线段 A-D-C 上的一个动点（点 E 与点 A 不重合），点 P 是点 A 关于 BE 的对称点、在点 E 运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点 E 的位置共有（） A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个二.填空题 7．已知一个等腰三角形的顶角为

x

度,则其一腰上的高线与底边的夹角___________度（用含

x

的式子表示）. 8. 已知等腰三角形的两边长分别为 2 和 3，则其周长为________. 9.（2016 春•淄博期中）等腰三角形的周长为 14，其中一边长为 4，则另外两边长为．

10. 如图，在ΔABC 中，高 AD、BE 交于 H 点，若 BH＝AC，则∠ABC＝______°．

11．如图，钝角三角形纸片 ABC 中，∠BAC＝110°，D 为 AC 边的中点．现将纸片沿过点 D 的直线折叠，折痕与 BC 交于点 E，点 C 的落点记为 F．若点 F 恰好在 BA 的延长线上，则∠ADF ＝_________°．

12.（2015•黄岛区校级模拟）如图，已知 AB=A1B，在 AA1的延长线上依次取 A2、A3、A4、…、An，并依次在三

角形的外部作等腰三角形，使 A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，…，An﹣1Cn﹣1=An﹣1An，若∠B=30°，则∠

An= °．

三.解答题

13.（2014 秋•海陵区期末）如图，点 A 的坐标为（5，0），试在第一象限内网格的格点（网格线的交点）上找一点 B，使其与点 O、A 构成等腰三角形，请写出图中所有满足条件的点 B 的坐标．

(3)

14．已知，如图，△ABC 中，D 是 BC 中点，DE⊥DF,试判断 BE＋CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论.

F

E

D

C

B

A

15.在

△

ABC

中，AB AC ，点

D

是直线

BC

上一点（不与

B C

、

重合），以 AD 为一边在 AD 的右侧作 ADE △ ，使

AD AE



，



DAE

 

BAC

，连接CE．（1）如图 1，当点

D

在线段

BC

上，如果



BAC

 °

90

，则



BCE



_________；（2）设



BAC





，



BCE





． ①如图 2，当点

D

在线段

BC

上移动，则

 

，

之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点

D

在直线

BC

上移动，则

 

，

之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

(4)

【答案与解析】

一.选择题 1. 【答案】C；

【解析】设∠A＝

x

，则由题意∠ADE＝180°－2

x

，∠EDB＝

2 x

_{，∠BDC＝∠BCD＝90°－}

2 x

_{，因为∠ADE} ＋∠EDB＋∠BDC＝180°，所以

x

＝45°. 2. 【答案】A；【解析】

a

－

b

＋2=0 且 2

a

＋3

b

－11=0，解得

a

＝1，

b

＝3，选 A；B 选项不满足两边之和大于第三边，构不成三角形. 3. 【答案】D；【解析】解：∵BO 平分∠CBA， ∴∠EBO=∠OBC， ∵CO 平分∠ACB， ∴∠FCO=∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB， ∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO， ∴BE=OE，CF=OF， ∴△AEF 的周长 AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC， ∵AB=10，AC=15， ∴C△AEF=25．故选 D． 4. 【答案】_C；【解析】作_{DF⊥BC 交 BC 的延长线于 F，BC=5，△BCD 的面积为 5，得出 DF=2，} 又_{BD 平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，得 DE=DF=2。故选 C} 5. 【答案】C；【解析】如图所示：A、B 中垂线与

l

的交点为 P 点；分别以 A、B 为圆心，AB 长为半径画弧，与

l

交于 4 个 P 点； 6. 【答案】C；【解析】P 点在以 B 为圆心，AB 为半径的圆上，作 BC 的中垂线（绿色），与



B 交于两点为

P

₁，

P

₂点，以 C 为圆心，BC 为半径画圆，与



B 交于两点为

P

，

P

点.有 4 个 P 点，则能找到 4 个 E 点.

(5)

二.填空题 7. 【答案】

2 x

；【解析】无论等腰三角形的顶角是锐角还是钝角，一腰上的高线与底边的夹角都是

2 x

. 8. 【答案】7 或 8；【解析】2 或 3 都可能是腰，要分情况讨论. 9. 【答案】_{5，5 或 6，4；} 【解析】①当 4 为底边时，另外两边为 5，5，因为 4+5＞5，所以能构成三角形； ②当 4 是腰长时，另外两边为 6，4，因为 4+4＞6，所以能构成三角形；故答案为：5，5 或 6，4． 10.【答案】45；【解析】△ADC≌△BDH，AD＝BD，所以∠ABC＝45°. 11.【答案】40；【解析】AD＝FD，∠FAD＝∠AFD＝70°，所以∠ADF＝40°. 12.【答案】；【解析】解：∵在△ABA1中，∠B=30°，AB=A1B， ∴∠BA1A= = =75°，

∵A1A2=A1C，∠BA1A 是△A1A2C 的外角，

∴∠CA2A1= = =37.5°；

∴∠C1A3A2=18，75°，∠C2A4A3=9.375°，…，

∴∠An= ，

(6)

三.解答题 13.【解析】解：如图，OA 是腰长时，以 O 点为圆心，以 OA 的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点有 2 个点（红色的点）分别为：（3，4）、（4，3）、可以作为点 B，以 A 点为圆心，以 OA 的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点有 4 个点（蓝色的点）分别为：（5， 5）、（2，4）、（1，3）、（8，4）可以作为点 B， OA 是底边时，OA 垂直平分线上的点均不在格点上，所以，此时不存在满足条件的点 B．所以，满足条件的 B 的个数是 2+4=6，分别为：（5，5）、（3，4）、（4，3）、（2，4）、（1，3）、（8，4）． 14.【解析】BE＋CF＞EF 证明：延长 FD 到 G，使 DG＝DF,连结 BG、EG ∵D 是 BC 中点 ∴BD＝CD 又∵DE⊥DF ∴EG＝EF 在△FDC 与△GDB 中





















DG

DF

BD

CD

2

1

∴△FDC≌△GDB(SAS) ∴BG＝CF ∵BG＋BE＞EG ∴BE＋CF＞EF. 15．【解析】（1）90°；（2）①α＋β＝180°. 证明：①∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD 与△ACE 中，

(7)

AB AC

BAD

CAE

AD AE







 





_



∴△ABD≌△ACE， ∴∠B＝∠ACE． ∴∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB． ∴∠B＋∠ACB＝β， ∵α＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴α＋β＝180°； ②如图：当点 D 在射线 BC 上时，α＋β＝180°；当点 D 在射线 BC 的反向延长线上时，α＝β．