中心对称图形——平行四边形全章复习与巩固（提高）

中心对称图形——平行四边形全章复习与巩固（提高）

1. 掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成 的角. 2. 理解中心对称图形的定义和性质. 3. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系. 4. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法 , 并能运用这些知识进行有关 的证明和计算. 5. 掌握三角形中位线定理. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、旋转的概念和性质 将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转. 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连 线所成的角相等. 要点二、中心对称与中心对称图形 一个图形绕着某一点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称， 也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心． 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫 做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 要点三、平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：

S

平行四边形



底



高

4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等； （2）等底等高的平行四边形面积相等. 要点四、矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：

S

矩形

＝长



宽

４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点五、菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 菱形

＝底

高＝

对角线

₂

对角线





S

4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 要点六、正方形 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

S

正方形

=

边长×边长＝

1

2

×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、旋转与中心对称图形

1、如图，在△ABC 中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC 绕点 A 旋转到△AB′C′的位置，使 得 CC′∥AB，则∠BAB′=（　　） A．30° B．35° C．40° D．50° 【思路点拨】根据旋转的性质可得 AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′，再根据两直线平行，内错角相等求出 ∠ACC′=∠CAB，然后利用等腰三角形两底角相等求出∠CAC′，再求出∠BAB′=∠CAC′，从而得解． 【答案】A； 【解析】 解：∵△ABC 绕点 A 旋转到△AB′C′的位置， ∴AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′， ∵CC′∥AB，∠CAB=75°， ∴∠ACC′=∠CAB=75°， ∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×75°=30°， ∵∠BAB′=∠BAC-∠B′AC， ∠CAC′=∠B′AC′-∠B′AC， ∴∠BAB′=∠CAC′=30°． 故选 A． 【总结升华】本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的 性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质． 类型二、平行四边形

2、（2016•菏泽）如图，点 O 是△ABC 内一点，连结 OB、OC，并将 AB、OB、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连结，得到四边形 DEFG．

（2）若 M 为 EF 的中点，OM=3，∠OBC 和∠OCB 互余，求 DG 的长度． 【思路点拨】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 EF∥BC 且 EF= BC，DG∥BC 且 DG= BC，从而得到 DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形证明即可； （2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出 EF 即可． 【答案与解析】 解：（1）∵D、G 分别是 AB、AC 的中点， ∴DG∥BC，DG= BC， ∵E、F 分别是 OB、OC 的中点， ∴EF∥BC，EF= BC， ∴DG=EF，DG∥EF， ∴四边形 DEFG 是平行四边形； （2）∵∠OBC 和∠OCB 互余， ∴∠OBC+∠OCB=90°， ∴∠BOC=90°， ∵M为 EF 的中点，OM=3， ∴EF=2OM=6． 由（1）有四边形 DEFG 是平行四边形， ∴DG=EF=6． 【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的 关键是判定四边形 DEFG 是平行四边形．

举一反三：

【变式】已知△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以 AB、AC、BC 为一边在 BC 边同侧作正 △ABD、正△ACE 和正△BCF，求以 A、E、F、D 四点为顶点围成的四边形的面积． 【答案】 证明：∵ AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴∠BAC＝90° ∵△ABD、△ACE 和△BCF 为正三角形， ∴AB＝BD＝AD，AC＝AE＝CE，BC＝BF＝FC , ∠1＋∠FBA＝∠2＋∠FBA＝60° ∴∠1＝∠2 易证△BAC≌△BDF（SAS）， ∴DF＝AC＝AE＝4，∠BDF＝90° 同理可证△BAC≌△FEC ∴AB＝AD＝EF＝3 ∴四边形 AEFD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∵DF∥AE，DF⊥BD 延长 EA 交 BD 于 H 点，AH⊥BD，则 H 为 BD 中点 ∴平行四边形 AEFD 的面积＝DF×DH＝4×

3

₂

＝6. 类型三、矩形

3、如图，O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 上的点，且 AE＝BF＝CG＝DH．

（1）求证：四边形 EFGH 是矩形；

（2）若 E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点，且 DG⊥AC，OF＝2

cm

，求矩形 ABCD 的面积． 【答案与解析】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OA＝0B＝OC＝OD， ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，

即：OE＝OF＝OG＝OH， ∴四边形 EFGH 是矩形； （2）解：∵G 是 OC 的中点， ∴GO＝GC， ∵DG⊥AC， ∴∠DGO＝∠DGC＝90°， 又∵DG＝DG， ∴△DGC≌△DGO， ∴CD＝OD， ∵F是 BO 中点，OF＝2

cm

， ∴BO＝4

cm

， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴DO＝BO＝4

cm

， ∴DC＝4

cm

，DB＝8

cm

， ∴CB＝

DB

2



DC

2



4 3

， ∴矩形 ABCD 的面积＝4×

4 3 16 3cm



2． 【总结升华】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等． 举一反三：

【变式】（2015 秋 太康县期中）如图，• M是△ABC 的边 BC 的中点，AN 平分∠BAC，且 BN⊥AN，垂 足为 N，且 AB=6，BC=10，MN=1.5，求△ABC 的周长． 【答案】 解：延长线段 BN 交 AC 于 E． ∵AN平分∠BAC， 在△ABN 和△AEN 中， ∴△ABN≌△AEN（SAS）， ∴AE=AB=6，BN=NE， 又∵M 是△ABC 的边 BC 的中点， ∴CE=2MN=2×1.5=3， ∴△ABC的周长是 AB+BC+AC=6+10+6+3=25．

4、在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=4．过点 A 作 AE⊥AB 且 AB=AE，过点 E 分别作 EF⊥AC，ED⊥BC，分别交 AC 和 BC 的延长线与点 F，D．若 FC=5，求四边形 ABDE 的周长．

【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF，即可得出 BC=AF，AC=EF，再利用勾股定理得出 AB 的长，进而 得出四边形 EFCD 是矩形，求出四边形 ABDE 的周长即可． 【答案与解析】 解：∵∠ACB=90°，AE⊥AB， ∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°． ∴∠B=∠2． ∵EF⊥AC， ∴∠4=∠5=90°． ∴∠3=∠4． 在△ABC 和△EAF 中， ∵

3

4

2

B

AB

AE

  



  





_



，， ∴△ABC≌△EAF（AAS）． ∴BC=AF，AC=EF． ∵BC=4， ∴AF=4． ∵FC=5， ∴AC=EF=9． 在 Rt△ABC 中，AB=

CB

2



AC

2



4

2



9

2



97

. ∴AE=

97

． ∵ED⊥BC， ∴∠7=∠6=∠5=90°． ∴四边形 EFCD 是矩形．

∴CD=EF=9，ED=FC=5．

∴四边形 ABDE 的周长=AB+BD+DE+EA=

97

+4+9+5+

97

=18+2

97

．

【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出 AC=EF=9是解题关键．

类型四、菱形

5、如图，平行四边形 ABCD 中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝

₅

．对角线 AC，BD 相交于点 O，将直 线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC，AD 于点 E，F.

（1）证明：当旋转角为 90°时，四边形 ABEF 是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段 AF 与 EC 总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并 求出此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数．

【思路点拨】（1）当旋转角为 90°时，∠AOF=90°，由 AB⊥AC，可得 AB∥EF，即可证明四边形 ABEF 为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE 即可；（3）当 EF⊥BD 时，四边形 BEDF 为菱形，又由 AB⊥AC，AB=1，BC=

5

，易求得 OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，则可得此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的最小度数为 45°． 【答案与解析】 （1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF， 又 AF∥BE， ∴四边形 ABEF 为平行四边形． （2）证明：



四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE. ∴△AOF≌△COE ∴AF＝CE （3）四边形 BEDF 可以是菱形． 理由：如图，连接 BF，DE， 由（2）知△AOF≌△COE，得 OE＝OF， ∴EF与 BD 互相平分． ∴当 EF⊥BD 时，四边形 BEDF 为菱形． 在 Rt△ABC 中，

AC



5 1 2

 

，

∴∠AOF＝45°，

∴AC绕点 O 顺时针旋转 45°时，四边形 BEDF 为菱形．

【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明 该平行四边形是菱形.

举一反三：

【变式】已知:如图所示，BD 是△ABC 的角平分线，EF 是 BD 的垂直平分线，且交 AB 于 E，交 BC 于点 F.求证:四边形 BFDE 是菱形. 　 【答案】 证明：∵EF 是 BD 的垂直平分线， ∴EB=ED，∠EBD=∠EDB. 　　　又∵∠EBD= ∠FBD，

∴∠FBD=∠EDB，ED∥BF. 同理，DF∥BE， 　　∴四边形 BFDE 是平行四边形.

　　又∵EB=ED， ∴四边形 BFDE 是菱形.

6、在口ABCD中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=2AB，点 E、F 分别是 OA、BC 的中点．连 接 BE、EF．

（1）求证：EF=BF；

（2）在上述条件下，若 AC=BD，G 是 BD 上一点，且 BG：GD=3：1，连接 EG、FG，试判断四边形 EBFG的形状，并证明你的结论．

【思路点拨】

（1）根据平行四边形性质推出 BD=2BO，推出 AB=BO，根据三线合一定理得出 BE⊥AC，在△BEC 中， 根据直角三角形斜边上中线性质求出 EF=BF=CF 即可； （2）根据矩形性质和已知求出 G 为 OD 中点，根据三角形中位线求出 EG∥AD，EG=

1

2

BC，求出 EG∥BC，EG=

1

2

BC，求出 BF=EG，BF∥EG，EG=GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可． 【答案与解析】

（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BD=2BO， ∵BD=2AB， ∴AB=BO， ∵E为 OA 中点， ∴BE⊥AC， ∴∠BEC=90°， ∵F为 BC 中点， ∴EF=BF=CF， 即 EF=BF； （2）四边形 EBFG 是菱形， 证明：连接 CG， ∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC=BD， ∴四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，BD=2BO=2OD， ∴BD=2AB=2CD， ∴OC=CD， ∵BG：GD=3：1，OB=OD， ∴G为 OD 中点， ∴CG⊥OD（三线合一定理）， 即∠CGB=90°， ∵F为 BC 中点， ∴GF=

1

2

BC=

1

2

AD， ∵E为 OA 中点，G 为 OD 中点， ∴EG∥AD，EG=

1

2

AD， ∴EG∥BC，EG=

1

2

BC， ∵F为 BC 中点， ∴BF=

1

2

BC，EG=GF， 即 EG∥BF，EG=BF， ∴四边形 EBFG 是平行四边形， ∵EG=GF， ∴平行四边形 EBFG 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形 斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角 三角形斜边上中线等于斜边的一半． 类型五、正方形

7、正方形 ABCD 的边长为 3，E、F 分别是 AB、BC 边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE 绕点 D 逆时针旋转 90°，得到△DCM． （1）求证：EF＝FM； （2）当 AE＝1 时，求 EF 的长． 【答案与解析】 解：（1）证明：∵△DAE 逆时针旋转 90°得到△DCM， ∴DE＝DM，∠EDM＝90°， ∴∠EDF＋∠FDM＝90°， ∵∠EDF＝45°， ∴∠FDM＝∠EDF＝45°， 在△DEF 和△DMF 中，

DE DM

EDF

MDF

DF

DF







 





_



， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF＝MF； （2）设 EF＝MF＝

x

， ∵AE＝CM＝1，且 BC＝3， ∴BM＝BC＋CM＝3＋1＝4， ∴BF＝BM－MF＝BM－EF＝4－

x

， ∵EB＝AB－AE＝3－1＝2， 在 Rt△EBF 中，由勾股定理得 EB2_＋BF2_＝EF2_， 即

2

2





4 x





2



x

2， 解得：

5

2

x



，则 EF＝

5

2

． 【总结升华】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了 转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 举一反三：

【变式】如图（1），正方形 ABCD 和正方形 CEFG 有一公共顶点 C，且 B、C、E 在一直线上，连接 BG、DE．

（1）请你猜测 BG、DE 的位置关系和数量关系？并说明理由．

（2）若正方形 CEFG 绕 C 点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG 和 DE 是否还存在上述 关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．

　 　　　　 【答案】 解：(1)BG＝DE，BG⊥DE； 　　　理由是：延长 BG 交 DE 于点 H， 　　　因为 BC＝DC，CG ＝CE，∠BCG＝∠DCE 所以△BCG≌△DCE， 所以 BG＝DE，∠GBC＝∠CDE． 由于∠CDE＋∠CED＝90°， 所以∠GBC＋∠DEC＝90°， 得∠BHE＝90°． 所以 BG⊥DE. (2)上述结论也存在． 理由：设 BG 交 DE 于 H，BG 交 DC 于 K， 同理可证△BCG≌△DCE， 得 BG＝ED，∠KBC＝∠KDH． 又因为∠KBC＋∠BKC＝90°， 可得∠DKH＋∠KDH＝90°，从而得∠KHD＝90°． 所以 BG⊥DE.