微分幾何
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二
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課程學習單
活動
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單元介紹與學習目標
認識保距映射 (isometry) 與保角映射 (conformal map)。2
預備知識
討論 1 (第228–229 頁). 試討論以下問題:
(A) 考慮線性變換 T : V → V , 何謂 保距映射(orthogonal transformation)?
(B) 考慮線性變換 T : V → V , 何謂 保角映射(conformal map)?
解.
討論 2. 何謂懸鏈線 (catenary)? 這條曲線可以用什麼函數表示? 生活中有哪些地方可以看到?
解.
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曲面之間的保距變換
定義 3 (第221 頁). 考慮兩個正則曲面之間的 可微同胚 (diffeomorphism) ϕ : S → S, 如果對所有 p∈ S 以及所有 v1,v2 ∈ TpS 都滿足 hv1,v2ip = hdϕp(v1), dϕp(v2)iϕ(p), 則稱 ϕ 是 保距映射(isometry), 也稱曲面 S 與S 彼此是 保距的 (isometric)。 將保距這個條件轉成換對於第一基本式的形式, 則它等價於: ,因為 定義 4 (第221 頁). (a) 給定 p∈ S 與包含 p 的一個鄰域 V 以及映射 ϕ : V → S, 如果存在 V 為 ϕ(p) ∈ S 的鄰域 使得 ϕ : V → V 是保距映射, 我們稱 ϕ 在 p點是一個 局部保距映射 (local isometry)。 (b) 若在 S 上的每一點 p 都存在 S 到 S 的局部保距映射, 則稱曲面 S 局部保距於 S。 兩曲面 S 與 S 稱為 局部保距 (local isometry) 的意思是 S 局部保距於 S 而且 S 局部保距於 S。 命題 5 (第 223 頁). 若存在兩個參數化 x : U → S 與 x : U → S 使得在 U 上的每一點都有 E = E, F = F , G = G, 那麼映射 ϕ: x ◦ x−1 : x(U) → S 是局部保距映射。 證明: 令p∈ x(U), w ∈ TpS 並且由x(α(t)) = x(u(t), v(t))在t = 0處表達,即w = xuu′+ xvv′, 則 dϕp(w)代表曲線x ◦ x−1◦ x(α(t)) 在t= 0 的切向量,也就是說, dϕp(w) = xuu′+ xvv′, 因為 Ip(w) = E(u′)2+ 2F u′v′+ G(v′)2, Iϕ(p)(dϕp(w)) = E(u′)2+ 2F u′v′+ G(v′)2, 所以對所有 p∈ x(U) 與所有w ∈ Tp(S)都滿足Ip(w) = Iϕ(p)(dϕp(w)), 因此映射 ϕ 是局部保距。 例題 6. 圓柱 x2 + y2= 1 與平面z = 0 是局部保距的, 但兩者並非保距的。 解. 2例題 7 (第 224 頁). 懸鏈曲面 (catenoid) 指的是以 懸鏈線 (catenary) 做為生成曲線的旋轉曲面,
該曲面的一種參數表示如下:
x(u, v) = (a cosh v cos u, a cosh v sin u, av), 0 < u < 2π, v ∈ R,
若與旋轉曲面一般式(f (v) cos u, f (v) sin u, g(v))對照,則f(v) = , g(v) = ,但
是注意到這裡的生成曲線 (f (v), g(v))對 v 而言並非弧長參數。 在此先計算懸鏈曲面的第一基本式:
另一方面, 螺旋面(helicoid) 的參數式為:
x(u, v) = (v cos u, v sin u, au), 0 < u < 2π, v ∈ R,
考慮以下參數變換: u = u, v = a sinh v, 其中 0 < u < 2π, −∞ < v < ∞, 因為 ∂(u,v)
∂(u,v) = , 所
以它是一對一 (one-to-one)的變換。 於是我們得到對於螺旋面的另一種參數表示法:
x(u, v) = (a sinh v cos u, a sinh v sin u, au), 0 < u < 2π, v ∈ R,
這時的第一基本式如下:
故由 命題 5得知兩者局部保距。
例題8 (第226頁). 寫出 去尖點的半錐(one-sheeted cone minus the vertex) z = kpx2+ y2,(x, y) 6=
(0, 0) 與平面上的一扇形之間的映射。 解. 記 α 為 z-軸到錐面之間的夾角, 得到 k = √ z x2+y2 = cot α, 如此可將扇形區域 {(ρ, θ)| ρ ∈ R, 0 < θ < 2π sin α} 對應到去尖點的半錐, 映射關係為 x(ρ, θ) = ρsin α cos θ sin α , ρsin α sin θ sin α , ρcos α xρ(ρ, θ) = sin α cos θ sin α ,sin α sin θ sin α ,cos α xθ(ρ, θ) = −ρ sin θ sin α , ρcos θ sin α ,0 所以 E= hxρ,xρi = 1, F = hxρ,xθi = 0, G = hxθ,xθi = ρ2。 3
例題 9 (第 226 頁). 證明 去尖點的半錐 z = kpx2 + y2,(x, y) 6= (0, 0)扣除一條 生成線
(genera-tor) 與平面上的一扇形之間為局部保距。
解. 將扇形區域以極坐標方式表達:
x(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, 0), 0 < ρ < ∞, 0 < θ < 2π sin α
則 xρ(ρ, θ) = (cos θ, sin θ, 0) 與 xθ(ρ, θ) = (−ρ sin θ, ρ cos θ, 0), 所以 E = hxρ,xρi = 1, F =
hxρ,xθi = 0, G = hxθ,xθi = ρ2。 因此去尖點的半錐扣除一條生成線與平面上的一扇形之間為局部 保距。
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曲面之間的保角變換
定義 10 (第 229 頁). 考慮兩個正則曲面之間的 可微同胚 (diffeomorphism) ϕ : S → S, 如果對所 有p∈ S 以及所有 v1,v2 ∈ TpS 都滿足 hv1,v2ip = λ2(p)hdϕp(v1), dϕp(v2)iϕ(p), (1) 其中 λ2 是在 S 上的一個處處非零的可微分函數。 則稱 ϕ 是 保角映射 (conformal map), 也稱曲面 S 與 S 彼此 保角的 (conformal)。 討論 11. 為何滿足關係式(1) 的映射會稱為保角映射? 解. 對於 TpS 上的兩個切向量 v1,v2, 分別用曲線 α(t), β(t) 實現它, 即 α(0) = p, α′(0) = v1 與 β(0) = p, β′(0) = v 2, 將曲線 α(t), β(t) 透過 ϕ 送到 S 上的兩曲線 ϕ ◦ α(t), ϕ ◦ β(t), 則 d dtϕ◦ α(0) = dϕp(α′(0)) 與 d dtϕ◦ β(0) = dϕp(β′(0)), 並且 cos ˜θ = hdϕp(α′(0)), dϕp(β′(0))i kdϕp(α′(0))kkdϕp(β′(0))k = λ 2hα′(0), β′(0)i λ2kα′(0)kkβ′(0)k = cos θ 定義 12 (第229 頁). (A) 給定 p∈ S 與包含 p 的一個鄰域 V 以及映射 ϕ : V → S, 如果存在 V 為 ϕ(p) ∈ S 的鄰域使得 ϕ : V → V 是保角映射, 我們稱 ϕ 在 p點為 局部保角映射 (local conformal map)。
(B) 若在 S 上的每一點 p 都存在 S 到 S 的局部保角映射, 則稱曲面 S 局部保角於 S。 兩曲面 S 與 S 稱為 局部保角 (locally conformal)的意思是 S 局部角距於 S 而且 S 局部角距於 S。 命題 13 (第 223 頁). 若存在兩個參數化 x : U → S 與 x : U → S 使得在 U 上的每一點都 有 E = λ2E, F = λ2F , G = λ2G, 其中 λ2 是在 U 上的一個處處非零的可微分函數。 那麼映射 ϕ: x ◦ x−1 : x(U) → S 是局部保角映射。 定理 14 (第230頁). 任兩個正則曲面必局部保角。(等溫曲面(isothermal coordinates) 的存在性。) 4
