6-1-2極限的概念-函數的極限

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(1)6-1-2 極限的概念-函數的極限【定義】 1. 函數：由一集合到另一集合的對應關係，稱起始集合為定義域，相對應的集合為對映域。函數必須將定義域裡的每一個元素對應到對映域裡唯一的元素，也就是說函數必須在定義域裡都有定義，而且定義域裡的每一個元素的函數值存在且只有一個，我們常用 f : A → B 來表示 f 是由 A 到 B 的一個函數，即 A 為定義域(domain)，B 為對映域(codomain)。若 x ∈ A，則以 f (x ) 表 B 中與 x 相對應之元素，稱應變數 f (x ) 為自變數 x 的函數值。 2. 3. 4.. 實函數：變數為實數且函數值亦為實數的函數稱為實變數實數值函數，簡稱實函數。有理函數：函數的定義為分式型態，且分子、分母都是多項式。函數的表示法：常用的有 (1)數學式： y = f (x ) 。. (2)文字敘述。 (3)集合圖形表式。 5. 一對一函數：若一函數將定義域中相異的元素對應到對映域中相異的元素，則稱此函數為一對一函數(one-one function)，或稱嵌射(injection function)。 6. 映成函數：若對映域中的每一個元素均可在定義域中找到一元素與之相對應，則稱此函數為映成函數(onto function)，或稱蓋射(surjection function，也有人稱為滿射)。 7. 一對一且映成函數：若函數是一對一且映成時，則稱為對射(bijection function)。【例題】對於嵌射、蓋射、映成等函數各舉一個例子？【討論】 1. 嵌射函數一定是映成函數？ 2. 蓋射函數一定是映成函數？ 3. 映成函數一定是嵌射函數？ 4. 映成函數一定是蓋射函數？【討論】兩個函數相同的條件是什麼？【定義】.

(2) 函數圖形：實函數 f : D → R 在坐標平面上所有坐標 ( x, f ( x )) 的點所成的圖形稱為函數 f (x ) 的圖形。【定義】函數值的極限：當 x 趨近 a 時(從 a 的左右兩邊趨近，且 x ≠ a )，對應的函數值 f (x ) 若趨近某一個定值 L ，此時我們說 x 趨近 c 時， f ( x ) 的極限為 L ，記作 lim f ( x ) = L 。 x→a. lim f ( x ) = L 意指當 | x − a | 足夠小時(但 x ≠ a )， | f ( x ) − L | 可以任意的小。 x→a. 註： (1)此時左極限等於右極限。 (2)不討論 x = a 之情形。【問題】對於 lim f ( x ) = L 之意義，何者正確? x→a. 1. 當 x 趨近 a 時，但 x ≠ a ，則 f ( x ) 足夠靠近 L 。 2. 當 | x − a | 足夠小時(但 x ≠ a )，則 | f ( x ) − L | 足夠小。 3. 對當 | x − a |→ 0 時，則 | f ( x ) − L |→ 0 。 4. lim( f ( x) − L) = 0 。 x→a. 5.. lim | f ( x ) − L |= 0 。 x→a. 6. an 足夠靠近 α ，則 x 足夠大。 7. ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∋ 0 < | x − a | < δ ⇒ | f ( x ) − L | < ε 。【問題】 1. 若 lim f ( x ) 存在，則必 f ( a ) 存在？ x→ a. 2.. 若 lim f ( x ) 存在，且 f ( a ) 存在，必會與 f ( a ) 相等？. 3.. 若 lim f ( x) = lim g ( x ) ，對任意 a 點都成立，則 f ( x ) = g ( x ) ？. 4.. 若 f ( a ) 存在，則 lim f ( x ) 存在？. x→ a. x→a. x→a. x→ a.

(3) 【討論】函數值的極限依照圖形討論如下： 1. x 趨近 a 時， f ( x ) 的極限存在 (1)函數 f ( x ) 的圖形在 x = a 附近連續不斷。 (2)函數 f ( x ) 的圖形在 x = a 附近中斷。. a 2.. a. x 趨近 a 時， f (x) 的極限不存在. (1)函數 f (x) 的圖形在 x = a 處跳躍。. a. a. a. a. (2)函數 f (x) 的圖形在 x = a 處有鉛直漸近線。. a (3)函數 f (x) 在 x 趨近 a 時的左極限或右極限不存在。. 1 ⎧ ⎪1, x = , n ∈ N f x ( ) = ，則 lim f ( x) 的右極限不存在。例如： n ⎨ x→0 ⎪⎩ x, 其它.

(4) 【問題】 1. 函數的極限討論的範圍是屬於小範圍還是大範圍？ 2. 函數 f ( x) 在 x = a 點有無定義是否或影響極限的存在？ 3.. 若極限趨近無限大 ∞ 時，則此時極限是否存在？. 4.. 設 f ( x) =. x , x ≠ 0 ，試求 f ( x) 在 x = 0 的極限？ |x|. 設 f ( x) =| x | ，試求 f ( x) 在 x = 0 的極限？ ⎧1, x ∈ Q 6. 設 f ( x) = ⎨ ，試求 f (x) 在 x = 0 的極限？ ⎩0, x ∉ Q. 5.. 【結論】當 lim f ( x) = L 時 x →a. 1. 2.. f (a) 不一定存在。 f (a) 存在時， L 與 f (a) 不一定相等。. 【問題】 1.. 何時 lim f ( x) 與 f (a) 相等？ x→ a. 【性質】極限四則運算的性質：設 c 是實數常數，如果 lim f ( x) = L, lim g ( x) = M ，則 x →a. x →a. 1.. lim(cf ( x)) = cL = c lim f ( x) 。. 2.. lim( f ( x) ± g ( x)) = L ± M = lim f ( x) ± lim g ( x) 。. 3.. lim( f ( x) × g ( x)) = L × M = (lim f ( x)) × (lim g ( x)) 。. 4.. lim. x →a. x →a. x →a. x→a. x →a. x→a. x →a. x →a. x →a. f ( x) f ( x) L lim = = x→a ，且 lim g ( x) ≠ 0 。 x →a g ( x) M lim g ( x) x→a. 【性質】極限性質： 1.. 常數函數： lim c = c 。. 2.. 一次函數： lim x = a 。. 3.. n 次函數： lim x n = a n , n ∈ N 。. x →a. x →a. x→a.

(5) 4.. 多項函數：設 p( x) = a n x n + " + a1 x + a0 , q( x) = bm x m + " + b1 x + b0 ，則 lim p( x) = p(a) ，且當 lim q ( x) = q (a) 時， lim x →a. 5.. x→a. x →a. p ( x) p (a ) = (分母不為零)。 q( x) q(a). 合成函數的極限：設 lim f ( x) = b, lim g ( y ) = g (b) ，則 lim g ( f ( x)) = g (b) = g (lim f ( x)) 。 x→a. y →b. x→a. x→a. 註： lim g ( y ) = g (b) 即表示 g ( y ) 在 y = b 要連續，否則可能 lim g ( f ( x)) 不存在或 y →b. x→ a. 者存在但不等於 g (lim f ( x)) 。 x →a. (證明) (方法一) 當 | x − a |→ 0 時， | f ( x) − b |→ 0 又當 | f ( x) − b |→ 0 時， | g ( f ( x)) − g (b) |→ 0 故當 | x − a |→ 0 時， | g ( f ( x)) − g (b) |→ 0 即 lim g ( f ( x)) = g (b) = g (lim f ( x)) x →a. x →a. (方法二) ∀ε > 0, ∃δ 1 > 0, ∋ 0 < | y − b | < δ 1 ⇒ | g ( y ) − g (b) | < ε ∀δ 1 > 0, ∃δ 2 > 0, ∋ 0 < | x − a | < δ 2 ⇒ | f ( x) − b | < δ 1 ⇒ 當 0 < | x − a | < δ 時， | f ( x) − b | < δ 1 (1)若 f ( x) = b ，則 g ( f ( x)) = g (b) ⇒ | g ( f ( x)) − g (b) |= 0 < ε (2)若 f ( x) ≠ b ，則 0 <| f ( x) − b | < δ 1 ⇒ | g ( f ( x)) − g (b) | < ε ⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∋ 0 < | x − a | < δ ⇒ | g ( f ( x)) − g (b) | < ε. ∴ lim g ( f ( x)) = g (b) = g (lim f ( x)) x→a. x →a. 【問題】 1.. lim( f ( x) ± g ( x)) 存在，則 lim f ( x), lim g ( x) 都存在？試證明或舉反例？. 2.. lim( f ( x) × g ( x)) 存在，則 lim f ( x), lim g ( x) 都存在？試證明或舉反例？. 3.. lim. x →a. x →a. x →a. x→ a. x →a. x→a. x →a. f ( x) ，且 lim g ( x) ≠ 0 存在，則 lim f ( x), lim g ( x) 都存在？試證明或舉反 n→a x →a x →a g ( x). 例？ 4.. ⎧1, x ≠ 0 設 f ( x) =| x |, ∀x ∈ R ， g ( x) = ⎨ 。 ⎩0, x = 0.

(6) 試證： lim g ( f ( x)) ≠ g (lim f ( x)) 。 x →0. x →0. 1 ⎧ ⎧1, x ≠ 0 ⎪ x sin , x ≠ 0 5. 設 f ( x) = ⎨ ， g ( x) = ⎨ 。 x ⎩0, x = 0 ⎪⎩0, x = 0 求 lim g ( x) ，並證明 lim g ( f ( x)) 不存在。 x →0. x →0. 【定理】夾擠定理：設 a 為定值， r > 0 ，且當 0 < x − a < r 時， f ( x) ≤ h( x) ≤ g ( x) ，則「若 lim f ( x) = lim g ( x) ，則 lim h( x) 也存在，且 lim h( x) = lim f ( x) 。」 x→a. x→a. x→ a. x→a. x→a. (證明) 設 lim f ( x) = lim g ( x) = l x→a. x→a. 又當 0 < x − a < δ 0 時， f ( x) − l ≤ h( x) − l ≤ g ( x) − l (1)若 h( x) − l ≥ 0 ，則 h( x) − l ≤ g ( x) − l (2)若 h( x) − l < 0 ，則 h( x) − l ≤ f ( x) − l ⇒| h( x) − l |≤ max{| f ( x) − l |, | g ( x) − l |} 對 ∀ε > 0 ⇒ ∃δ 1 > 0, ∋ 0 < x − a < δ 1 ⇒| f ( x) − l |< ε ∃δ 2 > 0, ∋ 0 < x − a < δ 2 ⇒| g ( x) − l |< ε. 取 δ = min{δ 0 , δ 1 , δ 2 } ⇒ 0 < x − a < δ 時， | h( x) − l |≤ max{| f ( x) − l |, | g ( x) − l |} < ε. ∴ lim h( x) = l x→a. 【例題】 1.. 1 =0 x. 試證： lim x sin x →0. (證明) 當 x ≠ 0 時， | sin. ⇒| x sin. 1 |≤ 1 x. 1 |≤| x | x. ∴ − | x |≤ x sin. 1 ≤| x | x. 又 lim(− | x |) = lim | x |= 0 | x →0. ∴ lim x sin x →0. x →0. 1 =0 x.

(7) 2.. 試證：對 ∀n ∈ N , lim x n = a n 。 x→a. (證明) ∀ε > 0 ，取 δ = min{1,. ε n(1+ | a |) n −1. }. 則當 0 < | x − a | < δ 時 | x | = | ( x − a) + a | ≤ | x − a | + | a | < | a | +1 且 | x n − a n | = | x − a || x n −1 + ax n − 2 + a 2 x n −3 + " + a n − 2 x + a n −1 | ≤ | x − a | (| x | n −1 + | a || x | n − 2 + | a | 2 | x | n −3 + " + | a | n − 2 | x | + | a | n −1 |) ≤ n (| a | +1) n −1 | x − a | < ε 故 ∀n ∈ N , lim x n = a n x→a. 3.. ⎧1, x ∈ Q 設 f ( x) = ⎨ ，試證：對任意實數 a ， lim f ( x) 不存在。 x→ a ⎩− 1, x ∉ Q (證明) 設 lim f ( x) = α x →a. 則 given ε = 1 > 0, ∃δ > 0, ∋ 0 < | x − a | < δ ⇒ | f ( x) − α | < ε = 1 又 ∃x1 ∈ Q, ∋ a − δ < x1 < a ，此時 0 < | x1 − a | < δ ⇒ | f ( x1 ) − α | = | 1 − α | < 1 同洋 ∃x 2 ∈ R − Q, ∋ a − δ < x 2 < a ，此時 0 < | x 2 − a | < δ ⇒ | f ( x 2 ) − α | = | −1 − α | = | 1 + α | < 1 ⇒ 2 = | (1 − α ) + (1 + α ) | ≤ | (1 − α ) | + | (1 + α ) | < 1 + 1 = 2 (矛盾) 故 lim f ( x) = α 是錯的。 x →a.

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