數學素養導向評量試題研發策略
吳正新
*助理研究員
國家教育研究院測驗及評量研究中心摘要
十二年國民基本教育課程綱要強調核心素養，重視學生在日常生活中展現知
識、技能、態度解決問題的能力。符應108課綱強調情境脈絡、學習歷程以及以
學生為本的教學方式蔚為風潮，並且逐步在改變教育現場。然而評量108課綱學
習成效工具的發展卻相對緩慢。本研究探討如何研發符合108課綱的數學素養導
向評量，有效的連結課程、教學與評量，以完備培養核心素養的教學，落實培養
學生核心素養的理念。本研究根據108課綱強調的四大要素：生活情境、學習內
容、學習表現、領域核心素養作為命題的元素，提出三種數學素養導向評量命題
策略，並且介紹題組題的發展與檢核方式。詳細的命題說明和步驟可作為教學現
場的教師或研究者作為試題研發的參考。
關鍵詞：數學素養導向評量、核心素養、學習表現、學習內容、生活情境
*本篇論文通訊作者：吳正新，通訊方式：jengshin@mail.naer.edu.tw。
The Approaches of Developing
Mathematical Literacy-Based Assessment
Jeng-Shin Wu
＊Assistant Researcher
Research Center for Testing and Assessment, National Academy for Education Research
Abstract
The 12-year basic education curriculum emphasizs core competencies which
includes students’ ability to demonstrate knowledge, skills and attitudes, and the
problem solving in their daily life. This new curriculum guides new teaching and
assessment methods. In line with the new curriculum, the context of the situation, the
learning process and the student-oriented teaching style have become a trend, and
gradually change the educational scene. However, the tools for assessing the learning
outcome of the new curriculum are developed slowly. As a result, this study explores
how to develop a mathematical literacy-based assessment that is in line with the new
curriculum. It is summarized four basic elements, which are contexts, learning
contents, learning performances and core competencies, to develop literacy-based
items. According to these elements, the study proposed three item development
strategies, as well as the method and a checklist of developing testlet, as a reference
for teachers and researchers.
keywords:
mathematical literacy-based assessment, core competency, learning
performance, learning content, contexts
壹、緒論
一、前言
十二年國民基本教育課程綱要（以下簡稱 108 課綱）以「核心素養」做為課程發展 之主軸，以「學習重點」以引導課程設計、教材發展、教科用書審查及學習評量等，作 為教學實踐的指引（教育部，2014）。學習重點包含「學習表現」與「學習內容」兩個 向度，其中學習表現強調以學生為中心，重視認知、情意態度與生活應用的學習展現， 而學習內容涵蓋數學基礎重要的事實、概念、原理原則、技能與後設認知等知識（教育 部，2018）。 從 108 課綱的設計理念可知，它不僅重視基礎重要的事實、概念、原理原則，更重 視學生將所學應用於日常生活中的表現能力、情意態度以及核心能力。洪詠善（2018） 指出，108 課綱承續九年一貫課程綱要（以下簡稱舊課綱）的基本能力，著重的認知、 情意態度與生活應用，以核心素養來豐富並落實基本能力的內涵。換言之，108 課綱強 調生活應用，希望藉由與生活的連結，讓學生察覺學習的實用性、提升學生的學習動 機、強化學生的信心與正向態度。因此符合108 課綱的教學與評量，不但重視知識的學 習，也重視知識如何應用在真實情境中。 在 108 課綱揭櫫後，強調以學生為本、重視情境脈絡的素養導向教學方式（左台益、 李健恆，2018；任宗浩、詹馨怡、劉桂光，2018；范信賢，2019），逐漸受到教師的重 視，也逐步改變教學現場。然而，要培養學生具備核心素養，必需有效地連結課程、教 學與評量。因此，在 108 課綱與素養導向教學發展逐漸成熟之際，素養導向評量的發展 刻不容緩。唯有教學內容與評量內容相符，才能完備培養核心素養的教學，正確、客觀 地評估學生的學習成效，釐清學生的學習困難之處或教學的不足之處。二、研究目的與研究問題
目前已陸續有研究開始以108課綱為基礎，探討如何發展素養導向評量試題，例如： 任宗浩（2018）提出素養導向紙筆測驗的要素；謝佩蓉（2018）提出閱讀素養導向試題 命題原則並建構國中國語文閱讀素養線上評量；林蓓伶、潘昌志、蘇少祖、陳柏熹 （2018）探討國中自然科學領域素養導向評量試題研發。然而在數學領域方面，尚未有 探討研發符合108 課綱數學素養導向評量的相關文獻。因此，本研究的目的為提出一些 符合 108 課綱的數學素養導向評量發展策略。根據上述的研究目的，本研究的研究問題 如下：（一）符合 108 課綱的數學素養導向試題的特色為何？（二）符合 108 課綱的數 學素養導向的命題是否有發展的策略或程序？如果有，其內容為何？貳、文獻探討
一、108課綱的數學素養內涵
核心素養是落實十二年國民基本教育課程的理念與目標的重要指標，它的定義為： 「一個人為適應現在生活及面對未來挑戰，所應具備的知識、能力與態度。核心素 養強調學習不宜以學科知識技能為限，而應關注學習與生活的結合，透過實踐力行 而彰顯學習者的全人發展」（教育部，2014）。 十二年國民基本教育之核心素養可再細分為三大面向：「自主行動」、「溝通互動」、 「社會參與」，每個面向都包含三個項目（教育部，2014），其中： 「自主行動」包含：身心素質與自我精進、系統思考與解決問題、規劃執行與創新 應變，「溝通互動」包含：符號運用與溝通表達、科技資訊與媒體素養、藝術涵養 與美感素養、以及「社會參與」包含：道德實踐與公民意識、人際關係與團隊合作、 多元文化與國際理解。 數學領域課程綱要（以下簡稱數學領綱）結合核心素養與數學領域的基本理念、課 程目標後，條列出1至12年級各教育階段核心素養的三面九項之具體內涵（教育部，2018）。 為落實這些數學核心素養內涵，數學領綱進一步提出學習重點。 學習重點包含「學習內容」與「學習表現」兩個向度，其中學習內容涵蓋數學基礎 重要的事實、概念、原理原則、技能與後設認知等知識（教育部，2018）。以數學知識 的類別來區分，學習內容可區分數與量、空間與形狀、坐標幾何、關係（國中、高中改 稱為代數、函數）、資料與不確定性。 學習重點的另一個向度為學習表現。學習表現強調以學生為中心，重視認知、情意 態度與生活應用的學習展現。數學領綱具體說明六類學習表現的認知描述，包括：（一） 認識、理解、熟練：「認識」包含察覺、認識；「理解」包含辨識、概念連結、理解；「熟 練」包含可做應用解題、推理，以及程序課題上的熟練。（二）情境：學生在理解概念 或規律，以及解題應用時，經常需要連結於某經驗脈絡中，既可協助學習，亦有益於日 後應用。（三）具體情境：學生在學習時，經常需要先有恰當的範例、應用來提示與引 導，這些情境泛稱為具體情境。（四）解題：泛指能應用數學概念與程序解決應用問題。 （五）操作活動：操作活動泛指由操作中察覺、形成概念，甚至簡單連結各概念的各種 活動。（六）報讀：泛指資料的閱讀，包括能正確理解資料呈現方式（表格、統計圖）， 也能回答關於資料的直接問題與簡單延伸的問題（如：與其他數學概念連結的問題）。除了上述六大類，數學領綱進一步以學習階段劃分，詳細說明各學習階段學生應需 要習得且能發揮出來的能力。學習階段共分五類，依序為國民小學低年級、國民小學中 年級、國民小學高年級、國民中學、普通型高級中等學校。每個學習階段分別有14、20、 24、38、35 項學習表現。每個學習階段的學習表現都包含數與量、空間與形狀、坐標幾 何、關係（國中、高中改稱為代數、函數）、資料與不確定性等不同的學習類別，以及 這些學習內容相對應的認知描述。學習表現不但融合了不同的認知表現與學習內容，學 習表現也與核心素養相互呼應（教育部，2018）。例如：第二學習階段的學習類別「關 係」的第 1 條（r-II-1）：「理解乘除互逆，並能應用與解題」，其中「乘除互逆」是第二 階段的其中一項學習內容，而「理解」、「應用與解題」屬於認知表現。表 1 整理各學習 階段中，不同的認知描述。
表1 各學習階段的認知描述
階段 國民小學 低年級 國民小學 中年級 國民小學 高年級 國民中學 普通型高級 中等學校 認知 描述 理 解 、 計 算 、 應 用 題、具體情 境、實測、 估 算 、 認 識、操作活 動、應用、 分類、認識 規 律 、 解 題、蒐集資 料、呈現與 說明 理 解 、 估 算、解題、 具體情境、 應 用 、 計 算、估測、 認識、操作 活 動 、 解 題、說明與 推 理 、 報 讀、製作表 格、推論 理解、認識、 具體情境、計 算、應用、估 算、觀察、表 述、解題、推 論、換算、操 作 活 動 、 熟 練、文字或符 號 表 述 、 推 理、報讀、繪 圖、數據分析 理解、熟練、運 用、推理、應用 計算機、驗證、 估算、 符號表 徵、認 識、判 斷、計 算、報 讀、繪圖、符號 或文字表達、溝 通、推 理、證 明、驗算、符號 或文字 描述情 境、分析資料、 使用統計軟體 理 解 、 熟 練、描述現 象、操作計 算 機 、 欣 賞、溝通、 認 識 、 推 論、察覺、 解決問題、 建模、數據 分析、檢核 假設與推、 運用策略與 原理 與九年一貫課程綱要（以下簡稱舊課綱）相比，108 課綱除學習內容，還強調學習 表現，並且重視學生在習得知識後，將所學應用於日常生活中的表現能力，冀望學生在 習得學習內容與學習表現後，培養出核心素養，成為終身的學習者。二、素養導向評量要素
任宗浩（2018）根據核心素養的定義與培育提出兩項素養導向紙筆測驗試題的基本 要素，包括：（一）佈題強調真實的情境與真實的問題。（二）評量強調總綱核心素養或 領域／科目核心素養、學科本質及學習重點。近年來各領域的素養導向評量發展都有參酌這二項要素，或是建立與這二要素相似 命題原則。謝佩蓉（
2018
）從評量架構的建立、文本挑選或撰寫原則、命題原則三方面， 建立國語文素養導向發展模式。謝佩蓉（2018
）指出國語文素養導向試題必須符合兩項 要素其中一項，若不符合任一項，就不會被視為素養導向試題。林蓓伶等人（2018
）則 是從學習表現出發，再挑選真實情境及學習內容，設計出不同層次、步驟或階段的試題。 整體試題開發的重點與兩項素養導向紙筆測驗試題的基本要素相去不遠。 綜言之，生活情境或情境脈絡是發展數學素養導向評量必備的要素，而且試題除了 評量學習內容外，要同時包含學習表現、領域核心素養，才能評量學生是否習得數學知 識，能否應用數學知識、展現數學能力解決日常生活的能力，才能評估學生是否具備108
課綱的核心素養。三、PISA
國際學生能力評量計畫（
Programme for International Student Assessment, PISA
）的 目的與108
課綱的培育核心素養的目的相似，二者皆強調運用知識、能力與態度，解決 生活上的問題，都是關注學生的學習與生活的結合。PISA
定義的數學素養為（OECD, 2016
）： 「數學素養是指在不同情境脈絡中，個人能形成（formulate
），運用（employ
）和 詮釋（interpret
）的數學能力。它包含數學推理、使用數學概念、程序、事實和工 具來描述、解釋和預測現象。數學素養可以幫助個人辨識數學在生活中的用途，以 及具備依證據做判斷和決定，成為有建設性（constructive
）、投入性（engaged
） 和反思性（reflective
）的公民。」PISA
的數學素養評量架構（OECD, 2016
）是依據數學素養的定義發展，其架構主 要分為三個部分：情境脈絡（context
）、數學歷程（mathematical processes
）、以及數學 內容（mathematical contents
），其中情境脈絡是指評量試題所鋪陳的真實世界問題情境，PISA
將情境脈絡分成個人、社會、職業、科學四大類，這部分也是PISA
與其他數學成 就評量不同之處。數學歷程是指解決問題的順序，包括形成、運用和詮釋三步驟。形成 是指將現實生活中遭遇的問題轉換成具數學結構、表徵、或數學特異性的問題。運用是 指應用數學概念、事實、程序與推論解決問題，獲得結果。詮釋是指反思解法、答案或 結論的合理性，並在真實生活中進行做合理的詮釋。在解決問題時，需要使用不同的數 學內容，再搭配不同的數學能力。PISA
將數學內容分為四大類，包括數量、改變與關 係、空間與形狀、資料與不確定性；數學能力分為七大項，包括：溝通、數學化、表徵、推理與論證、制定解題策略、運用符號的、正式的、數學的術語和運算、使用數學工具。 詳細的 PISA 數學素養評量架的說明，請參見 OECD（2016）。 PISA 數學素養評量強調生活應用，其設計理念與素養導向評量相似，因此發展素 養導向評量試題時，可以參酌 PISA 的數學素養定義與評量架構。
參、研究方法
108 課綱從核心素養出發，結合數學領域的基本理念、課程目標後，發展不同階段 的學習重點，學習重點再細分為認知層次的學習表現與學科知識的學習內容。本研究從 傳統試題出發，分析傳統試題與108 課綱強調的重點之差異，從中引導出素養導向命題 的重點與命題策略。一、傳統數學試題
傳統數學試題的命題方式多數是從學習內容出發（即舊課綱分年細目），因此試題 內容會使用許多數學符號或專有名詞，這是因為傳統試題的評量重點大多著重在計算或 未來學習更高階數學的基本數學知識。雖然部分的傳統應用問題會針對評量內容選用一 個生活情境包裝，但用來包裝試題的生活情境通常是可有可無。換言之，即使刪掉試題 中的情境，也不會影響評量的內容。表 2 為二道傳統試題範例：表2 傳統數學試題
題號 試題內容 評量內容 範例 1 請寫出「斜率為 2，y 軸截距為 100」的方程式，並繪 製圖形。 G-10-2 直線方程式。 範例 2 連日的大雨造成蘇花公路有兩處出現坍方現象。修復蘇 花公路的團隊勘查後表示，修復第一坍方處需 5 小時 25 分，修復第二坍方處需 2 小時 40 分。請問修復這兩 處坍方總共需要多少時間？ N-4-13 解題：日常生 活的時間加減問題。 範例 1 是評量直線方程式的傳統試題。試題內容大用使用數學術語，例如：「斜率」、 「y 軸」、「截距」、「方程式」，評量內容與未來即將學習的數學知識「向量」有關。這樣 的試題會讓評量變成機器式的記憶或背誦練習，容易降低學生的學習興趣、讓學生質疑 學習的必要性，也無法正確評估學生的理解程度或應用能力。範例 2 屬於國小 4 年級內 容的應用問題，它評量的是時間加減，包含時、分複名數的加減及跨時進位問題。雖然 試題內容取材自公路的修復事件，看似具有 108 課綱強調的真實情境，但進一步的觀察 可以發現，若將試題中的情境移除，並不會影響評量的目標。這類型的試題雖然增加了 試題情境，卻沒有善用情境進行提問，未經設計的問題，徒增解題的閱讀量。二、數學素養導向試題的特色
根據傳統試題分析，以及傳統試題與 108 課綱內容的落差，可以彙整出下列的四個 素養導向試題的命題注意事項：（一）試題不能僅評量學習內容
如同範例 1，素養導向試題不能只重視評量學習內容，只重視評量學習內容的試題， 會造成多項負面的學習影響。那素養導向試題還需要包含什麼？108 課綱從核心素養出 發，再轉換成具體的學習內容和學習表現，因此，評量需要進一步將學習表現加入。學 習表現重視認知、情意態度與生活應用的學習展現。因此研發試題時，需要融入認知能 力（各階認知能力描述如表 1），並結合情境，如此才能評量生活應用的學習展現。（二）素養導向試題需要包含情境
情境是研發數學素養導向試題的重點之一。結合情境的評量能讓學生體認到學習是 有用的，同時能提升學生的學習動機以及學習遷移的可能。108 課綱對情境的說明為： 學生在理解概念或規律，以及解題應用時，需要連結的經驗脈絡。據此，可以將情境區 分為學習脈絡情境和生活情境。學習脈絡情境主要是協助學生理解、學習，而生活情境 則是偏向應用或解決問題。（三）有情境的試題仍可評量基本的數學知識和學習內容
有情境脈絡的試題，仍可評量基本的數學知識和學習內容。一方面可以評估學生對 數學知識和學習內容的學習成效，另一方面可以讓學生知道生活中到處都有用到數學之， 此外，可以協助學生理解該情境中哪些事物或項目與數學有關。（四）素養導向試題要結合學習表現或核心素養
命題搭配情境後，需要善用情境設計問題。素養導向試題需要進一步搭配學習表現 中的各項認知能力設計問題。除了結合學習表現，也可適時的結合（領域）核心素養， 評量學生高階的思考與應用能力。 綜合上述的命題注意事項可知，數學素養導向評量所應具備的特色為：生活情境， 學習內容、學習表現、（領域）核心素養四項。當試題搭配的情境為真實生活情境時， 結合學習表現或核心素養的提問，等同於在真實生活情境中所會提問的真實問題；當試 題搭配的情境為學習脈絡情境時，結合學習表現或核心素養的提問，等同於學習過程中， 理解新知識、新概念的關鍵問題。肆、命題策略
運用前一節彙整的命題注意事項，本節提出三種將數學素養導向評量的四項特色融 入到試題之中的命題策略。另外，對於如何研發最常見的素養試題題型─「題組題」， 也提供簡要的命題方式說明。一、策略一：從學習內容出發
步驟 1：選定學習內容。 步驟 2：結合情境，提升問題的真實性。 步驟 3：結合學習表現、領域核心素養，增加問題的實用性與需求性。 我們以第一節表1的二道傳統數學試題為例，說明如何運用策略一進行命題。首先， 範例 1 需要搭配一個合適的情境，並利用一些生活話語取代「斜率」、「截距」、「方程 式」……等數學用語，然後再將問題轉換成情境中的真實問題。表 3 的範例 1 為一個修 改後的試題：表3 傳統數學試題「範例 1」第一次的修改結果
題號 試題內容 範例 1A 小明在報社打工，他的薪水的計算方式是，「每週$100 元，每多賣一份報紙多 加$2 元。」請寫出小明每週薪水和販售報紙份數的關係，並繪製圖形。 範例 1A 利用報社打工的情境來包裝、陳述問題。打工是學生寒暑假（或未來）可 能會接觸的情境，如何計算打工的薪水，是打工時最重要的議題。確認情境後，原本傳 統試題的數學符號、專有名詞便可依照選取的情境調整成日常生活中的辭語，例如：「斜 率」改成「每多賣一份報紙多加$2 元」、「截距」改成「每週薪水的底薪$100 元」、「方 程式」改成「小明每週薪水和販售報紙份數的關係」。比較範例 1 與範例 1A 可以發現， 修改後的試題同樣是評量直線方程式，但增加薪水計算的情境，同時也將問題加入學習 表現（f-IV-1 理解函數的意義，f-V-1 理解函數圖形的意義，並能用以推論、溝通）的元 素，將試題轉換成比較真實的問題。 範例 1A 可進一步加入核心素養，評量學生高階的思考與應用能力。表 4 的範例 1B 為修改後的結果。表4 傳統數學試題「範例 1」第二次的修改結果
題號 試題內容 範例 1B 小明正在尋找報社打工的機會 報社 1：每小時$150 元 報社 2：每小時$75 元，多賣一份報紙多$2 元 請幫小明分析一下，哪一個工作比較好？ 範例 1B 在試題中增加了另一個報社打工的機會，讓試題情境轉變成比較打工作機 會的優劣。解題時，學生需要進行比較、判斷，才能決定哪一份打工機會比較好。為了 計算二份工作的薪水差異，學生很自然的就需要繪製圖形，使得繪圖不再是一個制式的 工作，而是分析時一個重要的說明依據。再者，要進行分析工作，學生必須發揮核心素 養的「系統思考」能力，以及「規劃執行」的能力。在評估二家報社的薪水差異處、評 估自己的能力後，才能思考哪一份工作比較好，或哪一份工作比較符合自己。透過上述 的修改方式，不但將核心素養融入試題之中，也呈現出數學的實用性、需求性，讓試題 更貼近學生生活。 範例 2 已有一個不錯的生活情境，但問題本身只是針對學習內容「時間加減問題」 進行提問，強調的是計算能力，並未實際運用時間加減解決問題。表 5 列出範例 2 的修 改結果。類似範例 1 的修改方式，表 5 的範例 2A 為結合了學習表現「n-II-10 理解時間 的加減運算，並應用於日常……」以及核心素養「A3 規劃執行……」的修改結果。修 改後的試題同樣是評量時間的加減運算，但加入解決日常生活問題以及規劃執行的元素， 增加試題的真實性與需求性。比較特別的是，試題中增加了二項條件：「兩坍方處相距 約 80 公里，交通時間需 1 小時 35 分」、「中午要保留 1 小時休息時間，休息時不工作」。 增加的這些條件，一方面能更真實地呈現生活情境，另一方面同時限制真實情境的複雜 性，避免問題有爭議，或過於發散。比較修改前的差異可以發現，修改後的試題將解決 日常問題的情境融入試題中，而不是僅用來評量複名數的時間加減。表5 傳統數學試題「範例 2」的修改結果
題號 試題內容 範例 2A 連日的大雨造成蘇花公路有兩處出現坍方現象。修復蘇花公路的團隊勘查後表 示，修復第一坍方處需 5 小時 25 分，修復第二坍方處需 2 小時 40 分。 如果修復團隊預計在 19:00 天黑前完成這兩處的修復，他們早上最晚何時要開 始進行修復？修復團隊需要考量： ‧兩坍方處相距約 80 公里，交通時間需 1 小時 35 分。 ‧中午要保留 1 小時休息時間，休息時不工作。對學生而言，這樣的試題會變得比較難，主要原因是目前的教學和評量比較少這類 型的試題，多數試題都是類似範例 1 或範例 2。為避免致學生不知從何作答或解題，可 以增加一些小題形成題組題，如表 6 的範例 2B。小題的功用一方面是讓學生逐步的熟 悉問題情境，同時評量學生的基本數學知識，循序漸進的搭建學生對情境的認知鷹架， 另一方面則是引導學生作答，逐步展現並學習較高層次的推論思考能力。一旦學生完成 整個題組的問題，便能獲得時間規劃的成功經驗，增加或建立學習遷移的可能。倘若無 法完成所有試題的作答，仍然可以從作答過程中了解規劃的步驟與要素，逐步培養核心 素養能力。
表6 傳統數學試題「範例 2」的引導試題
題號 試題內容 範例 2B Q1：請問修復這兩處坍方總共需要多少時間？ Q2：下午 13:00 開始修復，可以在 19:00 前完成嗎？為什麼？ Q3：「要在 19:00 前要完成，何時要開始進行修復」，你要考量哪些因素？ Q4：這些因素對工程的影響是什麼？二、策略二：從生活情境出發
步驟 1：選取與數學相關的生活情境。 步驟 2：避免不合理或不適切的情境。 步驟 3：結合學習表現、核心素養的提問，避免不合理的問題。 步驟 4：根據評量對象，簡化超範圍的試題。 生活中許多事物都和數學有關，因此命題時可從生活情境出發。任宗浩（2018）建 議可以從學生親身經歷過的、未來可能經歷的、或他人的經驗但值得參考的生活情境， 選擇合適的情境做為命題的材料。PISA（OECD, 2016）將情境分為四大類，包括與個 人生活相關的，例如：飲食、購物、健康、交通……等；與社會或公眾事務相關的，例 如：選舉、政策、經濟……等；與科學相關的，例如：天氣、生態與環境、醫學、測量…… 等；與未來工作相關的，例如：成本、獲利、決策或品質管控……等。這些建議都可以 用來作為從生活情境出發，發想或研發數學素養導向試題的參考。 從生活情境出發的命題方式，有三項需要注意的問題，包括「避免不合理或不適切 的情境」、「避免不合理的問題」、「簡化超範圍的試題」。以下分別說明這些可能發生以 及如何避免的問題。（一）避免不合理或不適切的情境
傳統試題經常為了配合評量的學習內容，使用不合理的情境或提問不真實的問題， 例如表 7 的範例 3 至範例 5。範例 3 是評量公倍數的傳統試題，題目藉由老師喝咖啡的 間隔時間不同，作為計算公倍數的情境。但真實情境中，老師一天會喝那麼多杯咖啡嗎？ 老師們會關心第三次一起喝咖啡的時間嗎？範例 4 是評量學生設未知數、解聯立方程式 的代數能力。雞兔同籠問題是中國古代的數學著作《孫子算經》中有趣的數學問題，但 試題的情境並不真實。範例 5 是常見的畢氏定理的應用問題。然而，梯子長 5 公尺、梯 子上端靠在牆壁上的高度是 4 公尺，二者都可測量獲得，那麼梯腳距離牆角的長度，為 什麼測量不出來嗎？表7 不合理的情境或提問不真實的傳統試題
題號 試題內容 評量內容 範例 3 王老師每 1 個半小時喝一杯咖啡，劉老師每 150 分鐘喝一杯咖啡，二人在上午 8 時 30 分同時喝了第一杯咖啡，請 問二人第三次同時喝咖啡是什麼時候？ N-5-3 公因數與 公倍數。 範例 4 籠子裡關了雞和兔子，全部共有 10 隻，只知腳的總數為24 隻，請問雞有幾隻？兔子有幾隻？ A-7-5 二元一次聯立方程的解 法與應用。 範例 5 志明因為家中的書架太高，拿不到上層的書，所以搬來一 個梯子。梯子的長度是 5 公尺，梯子上端靠在牆壁上的高 度是 4 公尺，請問梯腳距離牆角的長度是幾公尺？ 資料來源：任宗浩，2018。 S-8-6 畢氏定理。 上述這些不合理情境或不真實的問題，很容易讓學生質疑學習的必要性。再者，這 些不合理的問題也無法真實評量學生應用數學解決問題的能力，例如：在範例 5 中，學 生只要會帶畢氏定理的公式，即可獲得答案，冗長的試題內容與情境幾乎與作答無關。 如何避免這些問題？表 8 的範例 6 為另一道同樣是評量畢氏定理的試題，此試題結 合消防隊救災的情境，再從情境中提問救災相關的數學問題。比較這兩試題後可以發現， 不合理的情境，只是評量學生代公式的能力，但範例 6 結合適當生活情境後，在解決問 題時，需要覺察數學可用之處、轉換真實問題到數學問題、解決數學問題、解釋和評估 結果，而這些能力，才是重要的數學能力。表8 評量畢氏定理的素養導向試題範例試題
題號 試題內容 範例 6 在2004
年，新北市消防隊取得一臺配有旋轉雲梯的消防車。在雲梯的末端會使 用籃架，消防隊員可以在非常高的高度下救人。根據正式的救災規定，在救人 過程中，車輛與燃燒中的房屋應保持至少12
公尺的距離。消防車的規格資料如 下表。 規格資料車輛型號
Daimler Chrysler AG Econic 18/28 LL - Diesel
製造年份2004
動力205kw
（179HP
） 引擎容積6374cm
3 車輛尺寸 長度10m
寬度2.5m
高度3.19m
雲梯規格 長度可達30m
空車重量15540kg
車輛總重18000kg
問題1
：新北市消防隊用此消防車可以救人的最高高度是多少？ 問題2
：昨天有三人在20
公尺高度處獲救。請問雲梯的長度最小會是多少？ 資料來源：Krawitz, J., Schukajlow, S., Chang, Y. P., and Yang, K. L. (2017)
。（二）避免不合理的問題
人類的大腦通常不會主動思考，習慣接受身邊的所有事情，因此大部分的人都不習 慣提問。通常只有在有需求的時候，或者在做決定的時候，才會思考和提問（
Mason,
Burton, & Stacey, 2010
），例如：租車時，才會考慮按日或計時租借比較划算？我要去哪 裡旅遊、度假？然而，學習主動思考、提問，才能有助於素養導向命題能力提升。提升 主動思考、提問能力的關鍵是對生活中的事物有好奇心、有求知的欲望與企圖。如此才 能培養在需求和決定外，主動思考與提問的習慣，讓命題者本身具備多元的提問能力。 至於要如何提問，才能避免問題不真實，才是真實且貼近學生生活的問題？選擇好 情境後，要設想你身處在此情境時，會想問什麼問題，例如：你想知道結果是什麼？你 想知道如何處理問題？或你想知道為什麼會這樣？表9
列舉三個範例，這些三個範例中 的問題都是在該情境中，可能會問的問題。例如：範例7
是利用已知的沙拉醬食譜，試 題詢問要調配更多份量的沙拉醬時，該如何準備材料。範例8
是根據成績的統計圖表， 提出不同的成績比較方式，反駁老師的看法。範例9
是有關面積的計算，如何才能快速 且有效率的計算面積。這些範例及問題，都是在題目的情境下可能會問的問題。這樣的 問題，才能貼近學生生活，才是真實的問題。表9 真實情境中的真實問題範例試題
題號 試題內容 範例 7 假設你正在調製沙拉醬。這裡有一個調製100
毫升（mL
）沙拉醬的食譜。 沙拉油60mL
醋30mL
醬油10mL
要調製150mL
的沙拉醬要多少毫升（mL
）的沙拉油？ 資料來源：臺灣PISA
國家研究中心，2012
。 範例 8 下圖是兩組學生參加科學測驗的結果，這兩組學生分別為A
組和B
組。A
組的 平均分數是62.0
分，B
組的平均分數是64.5
分。當學生得分為50
分或50
分以 上時，他們便通過這個測驗。 由上圖，老師認為B
組學生比A
組學生的表現較佳。但A
組學生不同意老師 的看法。他們試著說服老師B
組並不一定比較好。依據上點，寫出一個A
組學 生可能使用的數學論點。 資料來源：臺灣PISA
國家研究中心，2012
。 範例 9 這是柏睿的父母想要從房地產公司購買的公寓平面圖。 為了估計公寓的地板總面積（包括陽臺和牆壁），你可以測量每個房間的大小， 計算出每個房間的面積，再將所有面積加起來。當然，也有一個更簡易的方法 來估計地板總面積，你只需要測量出4
條邊長。在上面的平面圖中，標示出估 計公寓地板總面積時所需的4
個邊長。PISA
2012
「在此情境中，你會想問什麼問題？」代表你想要運用你的數學知識來解決某個問 題，換言之，當學生在解題時，代表學生正在使用學習過的數學知識（即 108 課綱的學 習內容）、展現你的數學能力（即 108 課綱的學習表現、核心素養）。因此，身處於某個 情境下，你、學生或任何其他人可能會想問的問題，就是較佳的素養導向試題，這也是 素養導向試題和傳統試題最主要的差別。 素養導向試題和傳統應用問題的另一個差異在於提問的內容。依 PISA 的分類，傳 統的應用問題多數屬於第二個歷程「運用」類別的試題，強調計算能力與公式的應用。 然而，素養導向試題除了運用類型的試題外，還會強調「形成」與「詮釋」兩類的試題。 形成類型的問題可以提升學生對學習數學的興趣，讓學生知道生活中到處都是數學、生 活中很多問題都和數學有關，例如上述的範例 7 和範例 9；詮釋類型的問題可以提升學 習數學的價值與實用性，讓學生學習並習慣以數據作為論證依據的能力，提升學生數學 思辨與反思的能力，例如上述的範例 8。
（三）簡化超範圍的試題
選定情境、提問真實問題後，經常會遇到的一個問題──試題超範圍。對於超範圍 的試題，可以嘗試簡化情境內容或計算的複雜度。以下有三個化簡試題的方式，可以用 來避免超範圍的問題。 1. 提供先備知識或解題需要的資訊 表 10 的範例 10 是以樂樂榛球為情境出發，原題目是詢問如何擊球，才能讓球飛行 的最遠，評量的內容是設定為 N-4-10（S-4-1）角度：「度」。由於結合棒球的情境後， 角度的估算變比較複雜，而且「水平向上仰角約 45度拋射出去的球，會飛行最遠」小學 生並不一定知道，因此可以直接將此資訊呈現在試題中，讓試題聚焦在評量 45度角的估 算，同時可避免試題超範圍。表10 「提供先備知識」簡化超範圍的範例試題
題號 試題內容 範例 10 依據牛頓力學結論，水平向上仰角約 45 度拋射出去的球，會飛行最遠。請問哪 一個擊球角度球會飛行最遠？ 1 2 4 32. 調整數據 108 課綱是以螺旋式設計，學習內容隨著年級增加，逐步加深加廣。例如：五年級 教 N-5-9 整數、小數除以整數，六年級教 N-6-4 小數的除法（含小數除以小數）。因此， 可以適當的調整試題中的數據，以符合不同年級的需求。例如：表 11 中的範例 11，將 原本適合評量六年級學生的小數相除，調整成整數相除，避免超出五年級學生所學，才 能作為五年級的評量試題。
表11 「調整數據」簡化超範圍的範例試題
題號 試題內容 範例 11 地震 震度 地震發生時的搖晃程度。以整數值（如：5 級）來表示，數字越大代 表震度越強。一般而言，距離震央越遠，震度越小。目前臺灣地震震 度的分級為 0～7 級。 地震 規模 地震所釋放的能量。以沒有單位的實數（如：7.3）來表示。每個地 震只會有一個地震規模，與測站的位置無關。規模相差 1 個單位，振 幅相差約 10 倍，而所釋出的能量則相差約 32 倍。 根據上表的述敘，有關規模 6.3 與規模 4.3 的地震比較，下列何者正確？ ①地震規模 6.3 所釋放的能量大約是地震規模 4.3 的 1.465 倍。 ②…… 修改成 有關規模 6 與規模 4 的地震比較，下列何者正確？ ①地震規模 6 所釋放的能量大約是地震規模 4 的 1.5 倍。 ②…… 3. 使用簡單的特例或以圖形呈現 表 12 中的範例 12A 至 12C 為三道分別適合高中、國中和國小線性規劃的試題。範 例 12A 是傳統的線性規劃的試題，其計算相對複雜，比較適合高中學生。作答時要假設 甲原料用 x 噸，乙產品用 y 噸，然後解聯立方程式 x ≥ 0 y ≥ 0 10x +15y ≤ 60 5x + 4y ≤ 20 如果想要修改試題成為符合國中範圍，可以選用簡單的二條直線方程式取代複雜的 線性規劃，然後再調整試題情境，以貼近國中學生的生活經驗，例如：範例 12B。國小 的部分則可以利用圖形取代方程式，以圖表報讀的方式讓小學生進行比較，例如：範例 12C。表12 「使用簡單的特例或以圖形呈現」簡化超範圍的範例試題
題號 試題內容 範例 12A ‧適合高中 某工廠利用兩種不同的原料生產同一產品。不同原料的成本、運費和產出的產 品數量都不同。 若採用甲原料，每噸成本 1000 元，運費 500 元，可生產出產品 90 公斤。 若採用乙原料，每噸成本 1500 元，運費 400 元，可生產出產品 100 公斤。 此工廠今年的原料購買成本的預算上限為 8000 元，運費預算上限為 2000 元。 請問在此預算下，最多可生製造多少公斤的產品？ 範例 12B ‧適合國中 在西德蘭這個國家，有兩家報紙想招募售報員，下面的海報顯示兩家報紙售報 員的薪資計算方式。 翰強決定應徵當售報員，他需要選擇西德蘭星報或西德蘭日報？ 資料來源：臺灣 PISA 國家研究中心，2012。 範例 12C ‧適合國小 如果你要選應徵售報員，你會選擇太陽日報或星光日報？三、策略三：從數學家建立數學知識的角度出發
步驟 1：選取數學知識。 步驟 2：建立仿探索數學知識的情境或問題。 步驟 3：提出引導建立數學知識的問題。Woolever Scott（1988）的研究指出，科學結果可依其內在階層性而區分成事實、概 念、原理原則和理論等四個結構要素，如圖 1 所示，從事實出發，逐步歸納出理論；從 理論從發，演繹出不同的事實。同樣地，數學知識的探求、建立也具有這個性質（李國 偉，1978），因為數學家在發展或建立數學知識時，多數是從生活中看到的問題或事實 出發，逐步地建立數學概念、原理原則，最後形成理論。從這個探究的歷程，數學家不 但歸納、創造出許多數學知識和理論，更重要的是在探究過程中，紮實地培養數學論證 的能力。
圖1 構成科學結果的四個階層性要素
然而，現今的教學和評量，多數都是從理論和原理原則出發，要求學生先學會這些 理論和原理原則，再應用到日常生活中解決問題。這樣的方式，很容易造成單純的記憶 或背誦這些理論和原理原則。由於沒有問題的刺激、缺少新、舊經驗的連結、以及思考 的過程，即使記住了知識，也難以應用它們解決真實問題，更不容易建立真正的學習遷 移與應用。因此，若能從事實出發，利用真實或仿真的情境，創造學生學習歷程的經驗， 培養學生的歸納能力，便能增加學生應用知識解決問題、學習遷移以及演繹的能力。 同樣的，評量可以從這個方式出發與命題。表 13 的範例 13A 是一個古代數學家利 用相似三角形的性質測量物體高度的例子。範例 13B 則是仿此古代測量的一個現代測量 情境，評量學生測量的能力。範例 13B 曾用來測試國小學生，小學生具許多的創意思考 方式，有學生認為可以拿長的竹竿測量；有學生利用手機照相功能，計算柱子高度大約 等於某位學生身高的幾倍；還有學生利用計算兩層樓的階梯數及階梯高度來估算柱子的 高度。透過學生的作答，不但能瞭解學生應用數學知識的能力，同時可以順著學生的作 答，引導學生建立不同的測量知識和能力，例如相似三角形的性質、比例、工具的利用。 參照策略一和策略二，範例 13B 可以進一步加入一些情境，豐富試題的內容，例如：要 重新粉刷油漆、或要製作聖誔節裝飾的佈置，或是加入一些小題引導學生作答。表13 建立數學測量知識的範例試題
題號 試題內容 範例 13A Ⓐ為數學家的身高，Ⓑ為數學家的影子，Ⓒ為金字塔的影子，Ⓓ為金字塔的高度 圖片來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Intercept_theorem
。 範例 13B 請問如何測量學校行政大樓的柱子高度？ 圖片來源：https://sites.google.com/a/mail.rhps.tyc.edu.tw/math/shu-xue-sheng-huo-sheng-huo-shu
-xue/xiao-men-kou/1_1
。 特別注意的是，從學習內容出發、從生活情境出發、從數學家建立數學知識的角度 出發這三策命題策略，需要交互使用，命題才能更加靈活、有彈性。若學習內容有明確 的情境可搭配，從學習內容出發最為容易，例如：範例1
修改範例1A
或1B
的打工問 題。若生活情境中，有明確使用到數學知識或能力的地方，或是利用數學能協助問題解 決的事件，即可使用策略二，例如：範例7
至範例9
。若是數學知識背後具有趣的數學 故事或數學史可以引發學生的學習動機，則可利用策略三進行命題。 然而，各個策略各有優缺點，在研發試題時，才能交互補足不足之處。例如：從學 習內容出發時，有時不易尋找到合適的情境，此時可以試著從情境出發，再嘗試研發試 特定學習內容的試題。例如：有關「S-4-2
解題：旋轉角」的問題多數是以時鐘進行討 論，其他的情境較少。表14
中的範例14
則是從樂樂棒球情境出發，並從實際的比賽實 況中，發想出有關「旋轉角」的問題。表14 與「旋轉角」有關的範例試題
題號 試題內容 範例 14 問題 4： 傳球時，要面對目標才能傳的準確。三局上半，投手在投球區正面接到一個滾 地球後，他想傳往 2 壘。 請判斷下列四種投手傳球的方式，旋轉後能否準確地傳往 2 壘？ 正確的請圈選「是」，不正確的請圈選「否」。 旋轉方式 是否正確？ 1 順時針 90 度 是／否 2 逆時針 90 度 是／否 3 順時針 180 度 是／否 4 逆時針 180 度 是／否四、題組題的發展
素養導向試題多數為題組題，以下介紹如何建立題組題，以及完成題組題後如何進 行試題檢核。（一）題組題的研發
大部分的素養試題都是題組題，因為同一個情境或主題中，可以提問的數學問題相 當多。但如何發展題組題？以下提供二種在選定情境後，發展題組題的方式。 方法一：當情境資訊比較多時，可以由淺入深的提問，逐步增加資訊量的使用，讓 學生能清楚的理解情境、釐清情境中的資訊以及情境中可能的問題。 步驟 1：選取部分資訊命題。 步驟 2：結合不同的資訊命題。 以表 15 中的範例 15 為例，此題題幹中有一個包含 5 個國家的擁有電視、裝設有線 電視的表格，試題本身所包含的資訊量相對較多。首先，範例 15 的問題 1 從解讀一個 國家的表格數據開始提問，利用表格中有關瑞士的資訊，估算瑞士的家庭總數。接著， 問題 2 擴大使用表格的資訊，學生需要同時計算並比較法國和挪威的數據資料，判斷文 中人物凱文的論述是否正確。表15 題幹情境資訊較多的範例試題
題號 試題內容 範例 15 下表顯示的是五個國家各自擁有電視的家庭資料。表中也呈現擁有電視的家庭 同時也裝設有線電視的百分比。 國家 擁有電視的家庭 擁有電視的家庭在全部家庭中所占的百分比 裝設有線電視的家庭在擁有電視的家庭中所占的百分比 日本 48.0 百萬 99.8% 51.4% 法國 24.5 百萬 97.0% 15.4% 比利時 4.4 百萬 99.0% 91.7% 瑞士 2.8 百萬 85.8% 98.0% 挪威 2.0 百萬 97.2% 42.7% 問題 1： 表中顯示，在瑞士全部家庭中，85.8%擁有電視。根據表中的資訊，最接近瑞 士家庭總數的估計是多少？Ⓐ2.4 百萬Ⓑ2.9 百萬Ⓒ3.3 百萬Ⓓ3.8 百萬 問題 2： 凱文看著表中有關法國和挪威的資料。凱文說：「因為兩個國家擁有電視的家庭 所占的百分比差不多，所以挪威裝設有線電視的家庭更多。」請解釋為什麼這 句話是不正確的。提出一個理由來說明你的答案。 資料來源：臺灣 PISA 國家研究中心，2012。 方法二：當情境資訊比較少時，可以發展同一情境下其他相關或可能延伸的問題， 類似主題式的方式發展題組。 步驟 1：確認試題資訊。 步驟 2：選取試題資訊相關的命題題材。 步驟 3：以主題式或故事的方式延伸一系列的命題題材。 以表 16 的範例 16 為例，此題的題幹只有三項產品的價錢，因此在命題時，必須結 合相關的題材，才能發展出題組。首先，範例 16 以消費者的角度提問，其中問題 2 是 評量學生使用計算機時可能會發生的問題；問題 3 是結合促銷活動，評量在固定的金額 限制下，能選購哪些產品。接著，轉為店家的角度，探討成本與利潤的關係，評量學生 結合代數的表徵能力。表16 題幹情境資訊較少的範例試題
題號 試題內容 範例 16 問題 1： 維維用她的計算機把 MP3 播放器、耳罩式耳機和喇叭的價錢加起來。她得到的 答案是 248。 維維得到的答案是不正確的。她犯了下面的一項錯誤，是哪一項呢？Ⓐ她加了 其中的一個價錢兩次。Ⓑ她忘記加上三個價錢中的一個。Ⓒ她漏按了其中一個 價錢的個位數字。Ⓓ她減去其中一個價錢而不是加上。 問題 2： 音樂城進行促銷活動，只要你買 2 件或 2 件以上的商品，就可以原售價的 8 折 來買。森森有 200 西德蘭元。在這個促銷活動中他能買什麼？針對每一個選項， 圈選「是」或「否」。 商品 森森是否用 200 西德蘭元能買到？ MP3 播放器和耳罩式耳機 是／否 MP3 播放器和喇叭 是／否 全部 3 個商品─MP3 播放器、耳罩 式耳機和喇叭 是／否 問題 3： MP3 的銷售價錢包含了 37.5%的利潤，不含利潤的價錢稱為批發價。利潤是以 批發價的百分比計算出來的。以下公式是否正確表示出批發價 w 和銷售價錢 s 之間的關係？針對每一個公式，圈選「是」或「否」。 資料來源：臺灣 PISA 國家研究中心，2012。 公式 公式是否正確？ s＝w＋0.375 是／否 w＝s－0.375s 是／否 s＝1.375w 是／否 w＝0.625s 是／否（二）題組題的檢核
當試題完成後，可以利用試題檢核表來確認題目是否完整、恰當。表 17 為一個檢 核表範例，此檢核表依檢核的事項區分為四大類，包括「情境說明」、「問題內容」、「一 般命題注意事項」、「計分相關」，其中與情境相關的有 6 項、與問題相關的有 4 項、一 般的命題注意事項有 4 項、與計分相關的有 2 項。詳細的檢核項目，列於表 17。表17 素養導向試題的試題檢核表
類別 檢核項目 情境說明 1.題目的資訊是否完整？ 2.題目的語句是否通順？ 3.題目的情境是否真實合理？ 4.題目的情境是否適當且適合考生年紀？ 5.題目的閱讀負荷是否減至最低程度？ 6.題目是否需要先備知識，如果需要，是否適當？ 問題內容 1.使用的數學知識是否正確？ 2.題目是否能跟數學素養評量架構匹配？ 3.題目是否有應該被移除的陷阱存在？ 4.題目是否明確呈現所希望學生回答的內容？ 一般命題注意事項 1.題組的題目是否跟主題幹有關連？ 2.題目之間是否有相依性（某一題可能成為另一題答題的線索）？ 3.選擇題型的選項是否有意義？ 4.題目內容是否公平（不涉及特定族群或特定文化）？ 計分相關 1.計分是否具有一致性（能力高的得分高、能力低的得分低）？ 2.計分規則是否明確？ 註：標記為粗體字的檢查項目為初次嘗試素養導向評量命題的人員常犯的錯誤。 資料來源：修改自吳慧珉（2018）。 初次嘗試命題的人員需要特別注意其中的幾項檢核項目，例如：情境說明的「題目 的資訊是否完整」、「題目的語句是否通順」。因為要把試題中的情境和資訊完整說明清 楚，又要顧及語句的通順，通常需要經過多次的討論和修改，才能完成。其次是問題敍 述中的「題目是否明確呈現所希望學生回答的內容」。因為許多命題人員在完成命題後， 常會發現學生的作答和自己撰寫的評分規準有落差，因此命題後需要進行試題試寫，以 防範此問題。第三是一般命題注意事項中的「題目內容是否公平」。因為命題的人員通 常會從自己的生活經驗出發，選取的素材可能會因為命題者本身的背景經驗、興趣、知 識的不同，造成內容取材的公平性問題，例如：城鄉差距或性別差異的問題。最後是計分相關的二個要素，多數命題人員不是清楚非選擇題的計分或評分規準要如何撰寫。此 問題可以利用班級預試，確認使用二元或多元計分，同時利用學生的作答作為範例，以 補充完備評分規準，讓後續的閱卷更公平、更有效率。 試題檢核表不但可以用來檢查試題是否有缺失，重覆應用試題檢核表還能讓命題人 員內化素養導向的命題要點，提升命題的能力。
伍、結論
素養導向評量的研發要配合 108 課綱，才能正確地回饋與引導教學，評估學生學習 成效。本研究根據 108 課綱的理念、傳統試題的問題，以及兩者的差異，並參酌素養導 向紙筆測驗試題的基本要素，與 PISA 數學素養評量架構，彙整出一系列的數學素養導 向試題研發的策略，包括：從學習內容出發、從生活情境出發、與從數學家建立數學知 識的角度出發這三策命題策略，以及研發題組題的策略。每個命題策略都扣緊 108 課綱 所強調的四大元素：生活情境、學習內容、學習表現、以及領域核心素養，同時提供範 例，並利用傳統試題作為對照與說明。此外，每個命題策略也都提供了許多命題相關的 注意事項。這些命題策略，可提供現場教師或命題研究人員參考，讓更多人能參與數學 素養導向評量的研發，完備 108 課綱在數學領域的評量工具。 此外，本研究也彙整現場命題實做工作坊的心得，建立一個包含「情境說明」、「問 題內容」、「一般命題注意事項」、「計分相關」四大類的檢核表。每一個面向都包括數項 的檢核項目，可以作為數學素養導向評量的研發人員的參考。希望作為未來相關領域學 者及教師發展評量工具或進行教學設計之參考。 本研究已利用文章中所提的四個命題策略開始著手研發試題，未來在試題研發量足 夠後，會進行預試與分析，然後再次的檢視這些命題策略，以期待能更精進結課程、教 學與評量的連結。參考文獻
左台益、李健恆（2018）。素養導向之數學教材設計與發展。教育科學研究期刊，63（4）， 29-58。 任宗浩（2018）。素養導向評量的界定與實踐。載於蔡清華（主編），課程協作與實踐第 二輯（頁 75-82）。臺北：教育部中小學師資課程教學與評量。任宗浩、詹馨怡、劉桂光（
