《平面图形的认识（二）》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】 1. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用； 2. 了解图形平移的概念及性质； 3. 熟练掌握三角形的三边关系及内角和定理，并能灵活应用； 4. 掌握多边形的内角和公式与外角和定理． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法 1：同位角相等，两直线平行． 判定方法 2：内错角相等，两直线平行． 判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行． 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质 1：两直线平行，同位角相等；性质 2：两直线平行，内错角相等； 性质 3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 要点二、图形的平移 1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 要点诠释：决定平移的两个要素：（1）平移的方向；（2）平移的距离． 2.平移的性质： (1)图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置． （2）图形平移后，对应点的连线平行或在同一直线上且相等． (3)图形经过平移，对应线段互相平行或在同一条直线上且相等，对应角相等． 要点三、认识三角形 1.三角形的分类 （1）按角分： 三角形 2.三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形任意两边之差小于第三边. 要点诠释： （1）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否大于最长边. （2）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和. 3.三角形的三条主要线段 （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角 形内部一点，叫做三角形的重心. （2）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角 平分线，三角形的三条角平分线交于三角形内一点，叫做三角形的内心. （3）在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线， 简称三角形的高，三角形的三条高交于一点，叫做三角形的垂心. 4.三角形的角 （1）三角形的内角和为 180°. (2) 三角形的一边与他的邻边的延长线组成的角叫做三角形的外角. 要点诠释：（1）直角三角形的两个锐角互余； （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和； （3）三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角. 要点四、多边形的内角和与外角和 1. 多边形的内角和：
n
边形的内角和为(n
－2)·180°(n
≥3)． 要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (2)正多边形的每个内角都相等，都等于(
n
2) 180
n
°
. 2. 多边形的外角和：任意多边形的外角和都为 360°. 底和腰不等的等腰三角形 三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 （2）按边分：要点诠释：多边形的外角和为 360°．
n
边形的外角和恒等于 360°，它与边数的多少无关. 【典型例题】 类型一、平行线的性质与判定 1. （2015 春 霸州市期末）如图，• AB CD∥ ，分别探讨下面四个图形中∠APC 与∠PAB、∠PCD 的关系， 请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难） 【思路点拨】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即 可． 【答案与解析】 解：如图： （1）∠APC= PAB+ PCD∠ ∠ ； 证明：过点 P 作 PF AB∥ ，则 AB CD PF∥ ∥ ， APC= PAB+ PCD ∴∠ ∠ ∠ （两直线平行，内错角相等）． （2）∠APC+ PAB+ PCD=360°∠ ∠ ； （3）∠APC= PAB∠ ﹣∠PCD； （4）∵AB CD∥ ， POB= PCD ∴∠ ∠ ， POB ∵∠ 是△AOP 的外角， APC+ PAB= POB ∴∠ ∠ ∠ ，APC= POB PAB ∴∠ ∠ ﹣∠ ， APC= PCD PAB ∴∠ ∠ ﹣∠ ． 【总结升华】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达 到解决问题的目的． 举一反三： 【变式 1】已知直线 AB CD∥ ，当点 E 在直线 AB 与 CD 之间时，有∠BED＝ ABE+ CDE ∠ ∠ 成立；而当点 E 在直线 AB 与 CD 之外时，下列关系式成立的是( ). A．∠BED＝∠ABE+ CDE∠ 或∠BED＝∠ABE- CDE∠
B．∠BED＝∠ABE- CDE∠
C．∠BED＝∠CDE- ABE∠ 或∠BED＝∠ABE- CDE∠ D．∠BED＝∠CDE- ABE∠
【变式 2】如图，两直线 AB、CD 平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ . 【答案】900° 2.如图，已知 CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求证：AB∥GF. 【答案与解析】 证明：如图，过点 C 做 CK∥FG，并延长 GF、CD 交于点 H， ∵ CD∥EF （已知）， ∴ ∠CHG＝∠1(两直线平行，同位角相等）. 又∵ CK∥FG， ∴ ∠CHG＋∠2＋∠BCK＝180°（(两直线平行，同旁内角互补）. ∴ ∠1＋∠2＋∠BCK＝180°（等量代换）. ∵ ∠1＋∠2＝∠ABC（已知）， ∴ ∠ABC＋∠BCK＝180°（等量代换）. ∴ CK∥AB（同旁内角互补，两直线平行）. ∴ AB∥GF（平行的传递性）.
【总结升华】
反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到 直线平行就应联想到角相等或互补. 类型二、图形的平移 3.（吉林）如图所示，把边长为 2 的正方形的局部进行图①～④的变换，组成图⑤，则图⑤的面积是 ( )A．18 B．16 C．12 D．8 【思路点拨】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则 ⑤面积可 求． 【答案】B 【解析】图①到图②是将一个等腰三角形由下方平移到上方．图③到图④是将右边的小长方形平移到左侧 ， 所以图④中阴影部分的面积与边长为 2 的正方形的面积是相等的，图⑤是由 4 个图④组成的，所以图⑤的 面积是 4×4＝16． 【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．平移的性质是平移前后，图形的形状、大小不变. 举一反三：
【变式】如图，AB DC∥ ，ED BC∥ ，AE BD∥ ，写出图中与△ABD 面积相等的三角形。
【答案】解：由 DC∥AB 得，S△ABD＝S△ABC，
由 AE∥BD 得，S△ABD＝S△EBD,
由 ED∥BC 得，S△EBD＝S△EDC，所以 S△ABD＝S△EDC。
类型三、认识三角形 4.
如图，P 为△ABC 内任意一点，试比较 AB＋AC 与 PB＋PC 的大小，并说明理由。
【思路点拨】根据比较的线段构造出三角形，再根据三角形三边关系进行求解． 【答案与解析】
解：AB＋AC＞PB＋PC，理由如下： 延长 BP 交 AC 于 D，在△ABD 中，根据三角形三边关系得 AB＋AD＞BP＋PD ①。 在△PDC 中，同理可得 PD＋DC＞PC ② ①＋②得：AB＋AD＋PD＋DC＞BP＋PD＋PC ， 即 AB＋AC＞BP＋PC. 【总结升华】本题考查了三角形三边关系，构造三角形是解题的关键，本题也可以延长线段 CP 与 AB 相 交． 举一反三： 【变式】（2015•南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0） 【答案】A． 解：A、∵10 5﹣ ＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确； B、∵11 5=6﹣ ，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； C、∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； D、∵4a+4a=8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．
5.已知如图∠xOy＝90°，BE 是∠ABy 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于点 C， 当点 A，B 分别在射线 Ox，Oy 上移动时，试问∠C 的大小是否发生变化？如果保持不变，请说明理由； 如果随点 A，B 的移动而变化，请求出变化范围.
【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．
【答案与解析】
解：∠C 的大小保持不变．理由：
∴∠ABE＝ 1 2∠ABy＝ 1 2（90°+∠OAB）＝45°+ 1 2∠OAB， 即∠ABE＝45°+∠CAB， 又∵∠ABE＝∠C+∠CAB， ∴∠C＝45°， 故∠ACB 的大小不发生变化，且始终保持 45°． 【总结升华】本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意： ①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是 180°”这一隐含的条件； ②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决． 类型四、多边形的内角和与外角和 6.（营口）若一个多边形的每个外角都等于 60°，则它的内角和等于（ ） A．180° B．720° C．1080° D．540° 【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于 60°，根据
