空間中的平面與直線

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空間中的平面與直線

精選例題平面方程式例題_{1 平面 E : x + 2y + 3z = 4 包含下列哪些向量?} −⇀ A = (1, −2, 1),−⇀B = (1, 2, 3) , −⇀_{C = (1, 1, −1),}−⇀_{D = (−3, 2, 1) 又下列哪些} 點在平面 E 上? P (1, −2, 1), Q(1, 2, 3),R(1, 1, −1), S(−3, 2, 1) Ans:−⇀A ,−⇀C ;S 例題_{2 求通過 P (3, 2, 1) 和平面 x − 2y + 3z = −4 平行的平面方程式?} Ans: x − 2y + 3z = 2 例題_{3 求過點 A(1, −1, 2), B(2, 0, 4), C(3, 2, 5) 三點的平面方程式? [Ans:E:3x-y-z=2]} 例題_{4 求平面 E : x +}√_{2y + z = 4 與 xz 平面的夾角? [Ans:θ = 45}◦_{, 135}◦_] 例題_{5 求點 P (4, −3, 5) 到平面 E : x − 2y + 2z = 2 的垂足點坐標? [Ans:(2,1,1)]} 例題_{6 坐標空間中, 求平面 E : 2x − 3y + 4z = 17 上一點 Q 坐標, 使 Q 點到空間} P (0, 11, −2) 的距離為最短? [Ans:Q(4, 5, 6)] 空間直線方程式例題_{1 已知直線 L 過 A(2, 1, −3), B(4, 2, 1) 兩點, 求 L 的參數式?} [Ans: x = 2 + 2t y = 1 + t z = −3 + 4t , t ∈ R (表示法不唯一)] 例題_{2 求過點 P (1, 4, −3) 且包含直線} x = 2 + 2t y = −4 + 3t z = 5 − t , t ∈ R 的平面方程式? [Ans: 16x − 17y − 19z = 5] 例題_{3 求兩平面 E}₁ _{: x − 2y + z − 3 = 0, E}₂ _{: 2x + y − z − 2 = 0 交線的對稱式?} [Ans:x − 2₁ = y − 1₃ = z − 3_{5 ]} 例題_{4 求兩線 L}₁ _{: x − 4} 2 = y + 12 = z + 31 , L2 : x − 4 3 = y + 1−1 = z + 32 的交點坐標 P 及包含兩直線的平面方程式 E? [Ans:P (4, −1, −3), E : 5x − y − 8z = 45] 1

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https://sites.google.com/site/hysh4math _· 例題_{5 求包含點 P (−1, 1, 5) 和直線 L : x1 =} y − 1 1 = z − 2−5 的平面 E 方程式? [Ans:E : 3x + 2y + z = 4] 例題_{6 空間中, 討論直線 L :} x = 5 + 2t y = 3 − 2t z = −1 + t , t ∈ R, 與平面 E : 2 − 3 − 5 + 9 = 0 相交情形? [Ans: 交一點P (−1, 9, −4)] 例題_{7 設平面 E 的方程式為 2x + y − z = 3, 試分別討論與下列三直線與平面的關係:} L1 : x − 2 3 = y − 2 1 = z − 3 2 , L2 : x − 1 2 = y − 2 −1 = z − 3 3 , L3 : x − 1 2 = y − 2 −1 = z − 1

3 [Ans:L1, E交一點 P (2, 2, 3); L2//E ;L3 ⊂ E] 例題_{8 求直線 L :} x−1 1 = y₋₂ −3 = z₋₃ 2 與兩直線 L1 : x 2 = y −6 = z 4, L2 : x₋₂ −1 = y+1 3 = z₋₅ −2 的相交情形? [Ans:L//L1, L = L2] 例題₉ ⊚ 求點 P (3, 2, 6) 到直線 x + 1 2 = y2 = z − 2₋₃ 的距離? [Ans:6] 例題₁₀ ⊚ 求二平行線 L₁ : x − 1 2 = y − 3 −3 = z − 4 2 , L2 : x − 4 2 = y − 2 −3 = z − 8 2 的距_{離? [Ans:3]} 例題₁₁ ⊚ 兩歪斜線 x − 1 1 = y − 2 1 = z − 1 −1 , x − 8 6 = y − 7 2 = z − 2 −3 , 求(1) 公垂線段兩端點坐標? (2) 公垂線直線的對稱比例示? [Ans:P (1, 2, 1), Q(2, 5, 5);LP Q: x − 1 1 = y − 2 3 = z − 1 4 ] 三元一次聯立方程式例題_{1 解方程組} x + y + z = 4 x + 2y + 3z = 5 2x + 3y + 4z = 9 。 [Ans:z = t, y1 − 2t, x = t + 3, t ∈ R] 例題_{2 已知一二次函數 f (x) = ax}2 + bx + c 的函數圖形經過 (1, 1), (2, 12), (−1, −9) 三點, 求出此二次函數? [Ans:2x2 + 5x − 6] 例題_{3 解三元一次聯立方程組} x − y + 2z = 3 2x + y + z = 3 x − 4y + 5z = 6 。 [Ans:    x = 2_{− t} y = _{−1 + t} z = _t , t_{∈ R}] 例題_{4 利用克拉瑪公式解解方程組} n 3x + 11y = 15 4x + 15y = 7 。 [Ans:x = 148, y = −39] 例題₅ ⊚ 利用克拉瑪公式解解方程組 2x + 3y − z = −2 x − y + z = 8 3x − 2y − 9z = 9 。 [Ans:x = 4, y = −3, z = 1] · 2 · ∼順伯的窩 ∼

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https://sites.google.com/site/hysh4math _· 例題₆ ⊚已知聯立方程組 ( x − y − 2z = 3 2x + 3y + z = 1 ax + 2y − z = b 有無限多組解, 求 a, b 的值? [Ans:a=3,b=4] 例題₇ ⊚就實數 a 值, 判定三平面 ( E1 : x + 2y + z = 3 E2 : 2x + 5y − 2z = 5 E3 : x + 4y − 7z = a 的相交情形? [Ans:a = 1 , 相交一線,    x = 5_{− 9t} y = _{−1 + 4t} z = _t , t_{∈ R}; a 6= 1 兩兩相交一直線且互相平行] 例題₈ ⊚ 給定坐標空間四個向量 −⇀a = (1, 1, 1),−⇀b = (1, 3, 4),−⇀c = (1, 2, 6),−⇀d = (6, 13, 27) , 其中−⇀d 可否表示成 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 的線性組合 −⇀d = x−⇀a + y−⇀b + z−⇀c ? 若可以, 求出其線性組合? [Ans:x = 1, y = 2, z = 3] · 3 · ∼順伯的窩 ∼